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2018福建省质检福建省2018届高三普通高中毕业班4月质检数学文试题 Word版含答案

2018年福建省普通高中毕业班质量检查

文科数学

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I4IeOCFw4D 1．已知全集U =R ，集合{}31|<≤-=x x A ，{}0,2,4,6B =，则A B ?等于

A ．{}

0,2B ．{}1,0,2- C ．{}|02x x ≤≤ D ．{}|12x x -≤≤ 2．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的y 的值为

A ．4

B ．5

C ．8

D ．10

3．某几何体的俯视图是正方形，则该几何体不可能是Ａ．圆柱Ｂ．圆锥Ｃ．三棱柱Ｄ．四棱柱

4．函数()f x =

的定义域是 A ．()0,2 B ．[]0,2 C ．()()0,11,2? D ．[)(]0,11,2? 5．“1a =”是“方程22220x y x y a +-++=表示圆”的Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件

6．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n ()3,n n N ≥∈边形内的概率为

n P ，下列论断正确的是

A ．随着n 的增大，n P 减小

B ．随着n 的增大，n P 增大

C ．随着n 的增大，n P 先增大后减小

D ．随着n 的增大，n P 先减

小后增大

7．已知0ω>，2

所示．为了得到函数()sin g x x =ω的图象，只要将()f x 的图象 A ．向右平移4π个单位长度 B ．向右平移8

π个单位长度

C ．向左平移4

π个单位长度 D ．向左平移8

π个单位长度

8．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在),0[+∞单调递增，若(lg )0f x <，则x 的取值范围是

A ．(0,1)

B ．(1,10)

C ．(1,)+∞

D ．(10,)+∞

9．若直线ax by ab +=<0,0a b >>）过点()1,1，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为

A ． 1

B ．2

C ．4

D ． 8

10．若ABC ?满足2

A π

∠=，2AB =，则下列三个式子：①AB AC ，②BA BC ，

③CA CB 中为定值的式子的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

11．已知双曲线()22

122:10,0x y C a b a b

-=>>，一条渐近线为l ，抛物

线2C ：24y x =的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线2C 异于原点的交点，则PF = A ．2 B ． 3 C ．4 D ．5

12．已知()g x '是函数()g x 的导函数，且()()f x g x '=，下列命题中，真命题是

A ．若()f x 是奇函数，则()g x 必是偶函数

B ．若()f x 是偶函数，则

()g x 必是奇函数

C ．若()f x 是周期函数，则()g x 必是周期函数

D ．若()f x 是单调函数，则

()g x 必是单调函数

第Ⅱ卷<非选择题共90分）

二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．

13．复数()1i i +=__________．

14．已知1sin 3

α=，则cos2α=__________．

15．已知y x ,满足40

00x y x y y +-≤??-≥??≥?

，则2z x y =-的最大值是__________．

16．在平面直角坐标系xOy 中， Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量

a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ OP a =+，则称a 为平面点集Ω的一个

向量周期．现有以下四个命题：yscqAJo3Va ①若平面点集Ω存在向量周期a ，则ka (),0k k ∈≠Z 也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；

③若平面点集(){},0,0x y x y Ω=>>，则()1,2b =为Ω的一个向量周期； ④若平面点集()[][]{},0x y y x Ω=-=<[]m 表示不大于m 的最大整数），则

()1,1c =为Ω的一个向量周期．

其中真命题是＿＿＿＿<写出所有真命题的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分>

已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，432a a =，26S =。

<Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

<Ⅱ）若数列{}n b 满足：2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．(本小题满分12分>

如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，⊥1AA 底面

ABC ，M 为11B A 的中点．

<Ⅰ）求证：C B 1∥平面1AMC ；

<Ⅱ）若15BB =，且沿侧棱1BB 展开三棱柱的侧面，得到的侧面展开图的对角线长为13，求三棱锥11B AMC -的体积． 19．(本小题满分12分>

某地区共有100万人，现从中随机抽查800人，发现有700人不吸烟，100

人吸烟．这100位吸烟者年均烟草消费支出情况的频率分布直方图如图．

<Ⅰ）估计这100位吸烟者年均烟草消费支出的平均数；

<Ⅱ）据统计，烟草消费税约为烟草消费支出的40%，该地区为居民支付因吸烟导致的疾病治疗等各种费用年均约为18800万元．若将频率视为概率，当地的烟草消费税是否足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用？说明理由．yscqAJo3Va <注：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以该小矩形底边中点的横坐标所得的积之和．） 20．(本小题满分12分>

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆Γ：22

221x y a b

+=()0a b >>过

点()2,0，焦距为

<Ⅰ）求椭圆Γ的方程；

<Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过点C ()1,0-且交椭圆Γ于A ，B 两点，试探究椭圆Γ上是否存在点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．yscqAJo3Va 21．(本小题满分12分>

某港湾的平面示意图如图所示， O ，A ，B 分别是海岸线

12,l l 上的三个集镇，A 位于O 的正南方向6km 处，B 位于O 的

北偏东060方向10km 处．yscqAJo3Va <Ⅰ）求集镇A ，B 间的距离；

<Ⅱ）随着经济的发展，为缓解集镇O 的交通压力，拟在

海岸线12,l l 上分别修建码头,M N ，开辟水上航线．勘测时发现：以O 为圆心，3km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头,M N 的位置，使得,M N 之间的直线航线最短．yscqAJo3Va 22．(本小题满分14分>

已知函数1()ln (1)f x x a x

=--，R a ∈． <Ⅰ）求()x f 的单调区间；

<Ⅱ）若()f x 的最小值为0，回答下列问题： <ⅰ）求实数a 的值；

<ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y <21x x <）是函数()()g x xf x =图象上的两点，且曲线()g x 在点(),()T t g t 处的切线与直线AB 平行，求证：12x t x <<．

2018年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．A 9．C 10．C 11．D 12．A

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

13．1i -+； 14．7

； 15．4； 16．②③④．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．满分12分．解：<Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，

由4322,

6,a a S =??=? 得321111

2,6,a q a q a a q ?=?+=? ……………………………………………………2分

解得

2,q a =??=? …………………………………………………………………………………………………4分所以

112n n n a a q -==．………………………………………………………………………

……6分

<Ⅱ）2log n n n b a a =+22log 2n n =+2n n =+，…………………………………………8分

所以()()()1221222n n T n =++++++

()()1222212n n =++

++++

+………………………………………………9分

()()

212112

n n n -+=

- ()

11222

n n n ++=+

-．………………………………………………………………………12分

18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．yscqAJo3Va 解法一：<Ⅰ）如图，连接1A C ，交1AC 于点O ，连接OM ．……………………1分

∵三棱柱111C B A ABC -的侧面是矩形，∴O 为1A C 中点，

M 为11B A 的中点，

∴1//OM B C ． ……………………3分

又∵1OM AMC ?平面，11B C AMC ?平面，

∴11//B C AMC 平面． ……………………6分

<Ⅱ）∵三棱柱侧面展开图是矩形，且对角线长为13，侧棱15BB =，

∴三棱柱底面周长为12=， ……………………7分又∵三棱柱的底面是正三角形，

∴114A C =,12B M =

,1C M =……………………9分

由已知得，11

1112B C M S B M C M ?=?

?122

=??=10分

∴1

B AM

C V -=11

113

A B C M B C M V S AA -?=?

=，

即三棱锥11B AMC -

的体积为

． ……………………12分

解法二：<Ⅰ）如图，取AB E 中点，连接1EB EC ，．……………………1分 ∵三棱柱

111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面是矩形，M 为11B A 的中点，

∴11//,//EB AM EC MC ， ……………………3分

又∵111AM AMC MC AMC ??平面，平面，111EB AMC EC AMC ??平面，平面 ∴111////EB AMC EC AMC 平面，平面， ……………………4分

又E EC EB = 1,∴11//B EC AMC 平面平面． ……………………5分 ∵11B C B EC ?平面，∴C B 1∥平面1AMC ． ……………………6分 <Ⅱ）同解法一．

19．本小题主要考查概率、频率分布直方图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．yscqAJo3Va 解：<Ⅰ）由频率分布直方图知，样本中吸烟者年均烟草消费支出的平均数约为

0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1?+?+?+?+?+?……………………………

4分

0.36=<万

元）． …………………5分 yscqAJo3Va <Ⅱ）依题意可知，该地区吸烟人数为1100

?万， …………………7分yscqAJo3Va 又由<Ⅰ）知，吸烟者年均烟草消费支出的平均数约0.36万元，

所以该地区年均烟草消费税约为41100100.40.36180008

????=<万元）．…………………10分

又由于该地区居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用年均约为18800万元，它超过了当地的烟草消费税，

故当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．………12分

20．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分14分．yscqAJo3Va 解：<Ⅰ）由已知得2a =

，

c =，…………………………………………………………2分

因为222a b c =+ ，所以

2221b a c =-=， ……………………………………………… 3分

所以椭圆Γ的方程为

214

x y +=；…………………………………………………………4分 <Ⅱ）依题意得：直线()1y k x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，

假设椭圆Γ上存在点()00,P x y 使得四边形OAPB 为平行四边形，则12012

,x x x y y y +=??+=?．

由()2

1,4

y k x x y ?=+??+=??得()()2222

148410k x k x k +++-=， ……………………6分

所以2122814k x x k -+=+，()2121222

82221414k k

y y k x x k k k ??-+=++=+= ?++??

．…………8分

于是2

8,142,14k x k k y k ?-=??+??=?+?

即点P 的坐标为

22282,1414k k k k ??

- ?

++??

． ………………………………10分又点P 在椭圆上，所以2

222281421414k k k k ??

- ?+????+= ?+??

，整理得2410k +=，此方程无解． …………………………………………

………11分

故椭圆Γ上不存在点P ，使四边形OAPB 为平行四边形． ……………………………12分

21．本小题主要考查解三角形、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分12分．yscqAJo3Va 解法一：<Ⅰ）在△ABO 中，6OA =，10OB =，

120AOB ∠= ，…………………………………1分

根据余弦定理得，

2222cos120AB OA OB OA OB =+-???…………………………………3分

22161026101962??

=+-???-= ???

，

所以14AB =．

故A ，B 两集镇间的距离为14km ．………………………………………5分

<Ⅱ）依题意得，直线MN 必与圆O 相切．设切点为C ，连接OC ，则

OC MN ⊥．………………6分

设OM x =，ON y =，MN c =，

在△OMN 中，由11sin12022

MN OC OM ON ?=??，

得113sin12022

c xy ?=

，即xy =， …………………………… …8分由余弦定理得，

222222cos1203c x y xy x y xy xy =+-=++≥， ……………………………10分

所以2c ≥

，解得

c ≥ ………………………………………11分

当且仅当6x y ==时，c

取得最小值．

所以码头,M N 与集镇O 的距离均为6km 时，,M N 之间的直线航线最短，最短距

离为．…12分

解法二：<Ⅰ）同解法一．

<Ⅱ）依题意得，直线MN 必与圆O 相切．设切点为C ，连接OC ，则MN OC ⊥．设OMN α∠=，则(0,)3

α∈，

ONM π

α∠=

- ，………………………………………6分

在Rt OCM ?中，tan OC CM α=，所以3cos tan sin OC CM α

αα

==， ………………………7分

在Rt OCN ?中，CN

-)3

tan(απ

，所以3cos 3tan sin 33OC CN παππαα??

- ?

??==

????-- ? ???

，……………8分

所以3cos()

3cos 3sin sin()3

MN CM CN π

ααπαα-=+=+

3cos sin()sin cos()33sin sin()

ππααααπ

αα??

-+-??

?=- 3sin

(

sin(2)62

α=

． ………………………10分

因为(0,)3πα∈，所以26π

α+)65,

6(π

π∈，因此当262π

α+

，即6

α=时，

sin(2)62

πα+-有最大值21，故MN

有最小值6OM ON ==．

所以码头,M N 与集镇O 的距离均为6km 时，,M N 之间的直线航线最短，最短距

离为． …12分

22．本小题主要考查函数的单调性、函数的最值、导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．yscqAJo3Va 解：<Ⅰ）函数()x f 的定义域为(0,)+∞，且221

()a x a

f x x

x x

-'=-

=．…………2分当0a ≤时，()0f x '>，所以()x f 在区间(0,)+∞单调递增；…………3分当0a >时，由()0f x '>，解得x a >；由()0f x '<，解得0x a <<．

所以()x f 的单调递增区间为(,)a +∞，单调递减区间为(0,)a ．…………4分综上述：0a ≤时，()x f 的单调递增区间是(0,)+∞；

0a >时，()x f 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是

(,)a +∞．…………5分

<Ⅱ）<ⅰ）由<Ⅰ）知，当0a ≤时，()x f 无最小值，不合题意；…………6分当0a >时，min [()]()1ln 0.f x f a a a ==-+= …………7分

令()1ln (0)h x x x x =-+>，则11()1x

h x x x

-'=-+=

，由()0h x '>，解得01x <<；由()0h x '<，解得1x >．

所以()h x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞．…………8分故max [()](1)0h x h ==，即当且仅当1x =时，()h x =0．

因此，1a =． …………9分 <ⅱ）因为()()ln 1(0)g x xf x x x x x ==-+>，所以()ln g x x '= 直线AB 的斜率212211

2121

()()ln ln 1,AB g x g x x x x x k x x x x --=

=---()ln g t t '=．……10分

依题意，可得()AB k g t '=，即

221121ln ln 1ln x x x x t x x --=-．令21

x λ=>，

于是22112221112121

ln ln ln ln ln ln 1ln 1x x x x x x x x

t x x x x x x ---=--=---=2

112

11x x x x -- =

ln (1)1

1λλλ

---． …………11分

由<ⅰ）知，当1λ>时，1

ln 1λλ

>-，于是1ln ln 0t x ->，即1t x >成立． ………12分

22111112

222121

ln ln ln ln ln ln ln (

1)1x x x x x x x x x t x x x x x ---=--=+--12

11x x x x =+- =

λλλ+--=ln 11λλλ-+--．由<ⅰ）知，当1λ>时，ln 1λλ<-，即ln 10λλ-+->，于是2ln ln 0x t ->，即2x t >成立．

综上，12x t x <<成立． …………14分

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