复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀教学设计

复数代数形式的加减运算及其几何意义

【教学目标】

知识与技能：掌握复数的加法运算及意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部） 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

【教学重难点】

重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系。

难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

【教学准备】

多媒体、实物投影仪 。

【教学设想】

复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。复数z =a +bi （a 、b ∈R ）与有序实数对（a ，b ）是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi （a 、b ∈R ），由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对（a ，b ）惟一确定。

【教学过程】

一、复习回顾：

1．复数的定义：

2．复数的代数形式：

3．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当 时，复数a +bi （a 、b ∈R ）是实数a ；当 时，复数z =a +bi 叫做虚数；当 时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当 时，z 就是实数0.

4．复数集与其它数集之间的关系： 。

5．两个复数相等的定义：

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小　6．复平面、实轴、虚轴：

点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi （a 、b ∈R ）可

用点Z （a ，b ）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫

做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0）， 它所确定的复数是z =0+0i =0复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数z a bi =+←???

→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

二、讲解新课：

复数代数形式的加减运算

1．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=（a +bi ）+（c +di ）=

2．复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=（a +bi ）-（c +di ）=

3．复数的加法运算满足交换律： z 1+z 2=z 2+z 1．

证明：

4．复数的加法运算满足结合律： （z 1+z 2）+z 3=z 1+（z 2+z 3）

证明：设z 1=a 1+b 1i 。z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i （a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ）。

讲解范例：

例1计算：（5-6i ）+（-2-i ）-（3+4i ）

解：

例2计算：（1－2i ）+（－2+3i ）+（3－4i ）+（－4+5i ）+…+（－2002+2003i ）+（2003－2004i ）

解法一：

解法二：

复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加（减）法 （a +bi ）±（c +di ）=（a ±c ）+（b ±d ）i 。

与多项式加（减）法是类似的。就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减）。

1．复平面内的点(,)Z a b ←???→一一对应

平面向量OZ u u u r 2．复数z a bi =+←???→一一对应

平面向量OZ u u u r 3．复数加法的几何意义：

4．复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =（a －c ）+（b －d ）i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边

形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差（a －c ）+（b

－d ）i 对应由于21OZ Z Z =u u u u r u u u r ，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减

数的向量对应。

例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？

解：

点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差。　即AB 所表示的复数是z B －z A ．　，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即例4复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。分析一：利用=，求点D 的对应复数。

解法一：

分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解。

解法二：

点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

课堂练习

课堂小结 ：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小　复数的加法法则：

复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1OP 、2OP ，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量 复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。

【教学反思】

【作业布置】

复数代数形式的加减运算及其几何意义(教案)

新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则． 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则; .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力． 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用. 拓展点：复数与其他知识的综合. 一、引入新课 复习引入 .虚数单位：它的平方等于,即; .对于复数： 当且仅当时,是实数; 当时,为虚数; 当且时,为纯虚数; 当且仅当时,就是实数. .复数集与其它数集之间的关系：. 一一对应 .复数几何意义： 复数复平面内的向量 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知

探究一:复数的加法 .复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设,是任意两个复数,那么： 提出问题： ()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? ()当时,与实数加法法则一致吗? ()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: ()仍然是个复数,且是一个确定的复数; ()一致; ()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神． .复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的,有 （交换律）, （结合律）. 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力． .复数加法的几何意义 复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有 . 这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：

第二讲 复数的模及其几何意义

第二讲 复数的模及其几何意义 （一）复数模的运算 复数()R b a bi a ∈+,的模：z = ； 例1. 已知84z z i +=-，求复数z 。 例2. 已知复数12cos ,sin z i z i θθ=-=+，求12z z ?的最值。 运算律： ； ； ； 例1：已知()()() 2321331i i i z --+=，则—z = 例2：复数()()()223321i a i a i z ---=，则3 2=z ，则a =

（二）复数的几何意义 1. 复数加法，减法的运算的几何意义满足 ； 2. 21z z -表示复平面上 ； 例1：复平面内，说出下列复数z 对应的点的集合构成的图形； （1）1z = （2）1z i -+=（3）4z i z i ++-= （4）|1|||z z i +=- 例2：（1）若 2=z ，则i z +-1的取值范围为 。 （2）已知C z ∈，且132=--i z ，求cos sin z i θθ--?的最大值和最小值。 （3）若 622=-++i z i z ，则i z 5-的取值范围为 。 （4）复平面内，曲线11=+-i z 关于直线x y =的对称曲线方程为 。

例3：已知1z =，设2 1u z i =-+，求u 的取值范围。 例4：已知123,5z z ==，126z z +=，求12z z -的值。 （三）综合问题 例1. 已知复数z 的实部大于零，且满足)()cos sin z i R θθθ= +∈，2z 的虚部为2． （1）求复数z ； （2）设22 z z z z -、、在复平面上的对应点分别为,,A B C ，求AB AC ? 的值．

复数的减法及其几何意义1

复数的减法及其几何意义 教学目标 1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义． 2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提升分析、解决问题水平． 3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）． 教学重点和难点 重点：复数减法法则． 难点：对复数减法几何意义理解和应用． （一）引入新课 上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义） （二）复数减法 复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（+i）-（+i）=（-）+（-）i， 1．复数减法法则 （1）规定：复数减法是加法逆运算； （2）法则：（+i）-（+i）=（-）+（-）i（，，，∈R）．把（+i）-（+i）看成（+i）+（-1）（+i）如何推导这个法则．

（+i）-（+i）=（+i）+（-1）（+i）=（+i）+（--i）=（-）+（-）i． 推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算． 推导：设（+i）-（+i）=+i（，∈R）．即复数+i为复数+i减去复数+i的差．由规定，得（+i）+（+i）=+i，依据加法法则，得（+）+（+）i=+i，依据复数相等定义，得 故（+i）-（+i）=（-）+（-）i．这样推导每一步都有合理依据．我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数．是唯一确定的复数． 复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（+i）±（+i）=（±）+（±）i． （三）复数减法几何意义 我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？ 设z=+i（，∈R），z1=+i（，∈R），对应向量分别为， 如图 因为复数减法是加法的逆运算，设z=（-）+（-）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（-）+（-）i对应，如图．

复数代数形式的四则运算

复数代数形式的四则运算（教学设计）（1） §3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 教学目标： 知识与技能目标： 掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义 过程与方法目标： 培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力。 情感、态度与价值观目标： 培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。 教学重点：复数代数形式析加法、减法的运算法则。 教学难点：复数加减法运算的几何意义。 教学过程： 一、复习回顾： 1、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法 2、. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 3、 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1) 二、师生互动、新课讲解： 1、复数代数形式的加减运算 （1）复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . （2）复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . （3）复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. 证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R ). ∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i . z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i . 又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1. ∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律. （4）复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 证明：设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ). ∵(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )］+(a 3+b 3i ) =［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i =［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i =(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i . z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］

复数 复数的减法及其几何意义 教案

复数·复数的减法及其几何意义·教案 教学目标 1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义． 2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力． 3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）． 教学重点和难点 重点：复数减法法则． 难点：对复数减法几何意义理解和应用． 教学过程设计 （一）引入新课 师：上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义） （二）复数减法 师：首先规定，复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板书） 1．复数减法法则 （1）规定：复数减法是加法逆运算； （2）法则：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）． 如何推导这个法则呢？ 生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）． （学生口述，教师板书） （a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i． 师：说一下这样推导的想法和依据是什么？ 生：把减法运算转化为加法运算，利用乘法分配律和复数加法法则． 师：转化的想法很好．但复数和乘法分配律在这里作为依据不合适，因为复数乘法还没有学，逻辑上出现一些问题． 生：我觉得可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导． （学生口述，教师板书） 推导：设（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差．由规定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依据加法法则，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依据复数相等定义，得 故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i． 师：这样推导每一步都有合理依据． 我们得到了复数减法法则，那么两个复数的差是什么数？ 生：仍是复数． 师：两个复数相减所得差的结果会不会是不同的复数？ 生：不会． 师：这说明什么？ 生：两个复数的差是唯一确定的复数． 师：复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．

高中数学_复数代数形式的加减运算教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计 一、教学目标： 1.知识与技能：掌握复数的加法运算及理解其几何意义． 2.过程与方法：通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律，得到复数加减运算的法则，同时了解复数加减法运算的几何意义． 3.情感、态度与价值观：通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律． 二、教学重点和难点 教学重点掌握复数的加法与减法的运算法则及应用，难点是加减法的几何意义。 三、教学方法 使用多媒体教学辅助手段，从感性到理性的角度认识复数的加减运算，引导学生思考、探索、从解决问题的过程中建构新的知识体系。 四、教学过程

学情分析： 高二（5）班属普通中学艺术文科班，女生比例较大，学生基础普遍比较薄弱，学习习惯较差。学生受文科思维的影响，习惯于机械记忆，受文科学习方式的负面影响，文科学生

不自觉的加剧了数学学习中的机械记忆，习惯于老师讲，自己记，复习背，对概念、定理、公理的本质属性缺乏正确的认识，不重视思维训练，导致数学学习能力下降，心理压力增大，恶性循环。加之，经常要参加专业的培训课，而一段时间不能正常的进行文化课的学习，更使得学习数学的兴趣降低，信心不足，经常会出现一些非常低级的错误。因此培养学生良好的学习数学自信心与严谨的逻辑思维能力相当重要。从而在课堂上要给以学生不断的肯定和鼓励是非常重要的。 效果分析 本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则，它是复数加减法运算的基础，对于这个规定的合理性，在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法，以它为根据来解决某些平面图形的问题，学生对这一点不容易接受。 （1）在复数的加法与减法中，重点是加法．教材首先规定了复数的加法法则．对于这个规定，应通过下面几个方面，使学生逐步理解这个规定的合理性：①当 b=0时，与实数加法法则一致；②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立；③符合向量加法的平行四边形法则．这样讲解让学生对复数加法法则规定有更加正确的认识，从而接受复数加法法则。 （2）复数加法的向量运算讲解时，画出向量后，提问向量加法的平行四边形法则，并让学生自己画出和向量（即合向量），画出向量后，问与它对应的复数是什么，即求点Z的坐标（证法如教材所示）．让学生从数到形全面理解复数加法的的实质。 （3）向学生指出复数加法的三角形法则的好处．向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的：例如讲到当与在同一直线上时，求它们的和，用三角形法则来解释，可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释容易理解一些；讲复数减法的几何意义时，用三角形法则也较平行四边形法则更为方便． （4）一开始，我想把复数的加减法则和几何意义一起讲完，再讲解复数代数形式的加减运算的例题，再练习。后来觉得复数加减的几何意义对于学生来讲可能一时比较难理解，所以讲完法则和运算律以后，紧跟例题和练习，这样安排，使学生觉得很容易接受，然后再来讲解几何意义，再跟进几何意义的练习，这里和预先想到的一样，学生在俩个复数差的绝对值的几何意义上遇到了困难。 （5）这节课设置的例题和练习题的难度都不算大，主要是考虑到我们学校艺术类文科学生，基础不太好，数学思维比较欠缺，学习数学的自信心不够足的实际情况而定的。由于新课之前事先发下了本节课的导学案，在课堂上进行的还是比较理想的。

典型例题：复数的代数形式及其运算

复数的代数形式及其运算 例1．计算： i i i i i 2 1 2 1 ) 1( ) 1( 2005 40 40 + + - + + - - + 解：提示：利用i i i i= ± = ±2005 2,2 ) 1( 原式＝0 变式训练1： 2 = （A）1 -（B） 1 22 +（C） 1 22 -+（D）1 解：21 2 ===-+故选C； 例2. 若0 1 2= + +z z，求2006 2005 2003 2002z z z z+ + + 解：提示：利用z z z= =4 3,1 原式＝2 ) 1(4 3 2002- = + + +z z z z 变式训练2：已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝▲ ． 解：2 例3. 已知4, a a R >∈，问是否存在复数z，使其满足ai z i z z+ = + ?3 2（a∈R），如果存在，求出z的值，如果不存在，说明理由 解：提示：设) , (R y x yi x z∈ + =利用复数相等的概念有 ? ? ? = = + + a x y y x 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2> ? ? = - + + ? a y y i a a z a 2 16 2 2 4 | | 2 - ± - + = ? ≤ ? 变式训练3：若 (2) a i i b i -=+，其中i R b a, ,∈是虚数单位，则a＋b＝ __________

解：3 例4. 证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i -+--+=+（i 为虚数单位）无解． 证明：原方程化简为 2||(1)(1)1 3.z i z i z i +--+=-设 yi x z += (x 、y∈R，代入上述方程得22221 3.x y xi yi i +--=- 221(1)223(2)x y x y ?+=?∴?+=?? 将（2）代入（1） ，整理得281250. x x -+=160,()f x ?=-<∴方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解. 变式训练4：已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a∈R, 若12z z -<1z ，求a 的取值范围. 解：由题意得 z 1＝151i i -++＝2＋3i, 于是12z z -=42a i -+1z =13. 13，得a 2－8a ＋7<0，1

复数的几何意义及应用

复数的几何意义 问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是，则向量是的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，=| a+bi |=22b a +（a ，b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量, 22122121)()(y y x x z z d -+-==-= (二)探索研究 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r （1）该圆向量形式的方程是什么? )0(>=r r （2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r （3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x 2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨一一对应 向量 O

迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 221=+ )2(21Z Z a > （1）该椭圆向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a > （2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段 （1）向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a = （2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a = （三）应用举例 例1．复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4， 则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（ ） （A ） 双曲线 （B ）双曲线的右支 （C ）线段 （D ）射线 答案：（D ）一条射线 例2．若复数z 满足条件1=z ， 求i z 2-的最值。 （数形结合法）由1=z 可知，z 对应于单位圆上的点Z ； i z 2-表示单位圆上的点Z 到点P （0，2）的距离。 由图可知，当点Z 运动到A （0，1）点时，12min =-i z ,此时z=i ； 当点Z 运动到B （0，-1）点时，32max =-i z , 此时z=-i 。 例3．已知z 1、z 2∈C ，且11=z ， 若i z z 221=+，则21z z -的最大值是（ ）

数学人教A版选修1-23.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

§3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 学习目标 1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别.3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质． 知识点一 复数代数形式的加减法 思考1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？ 答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 思考2 若复数z 1，z 2满足z 1－z 2>0，能否认为z 1>z 2? 答案 不能，如2＋i －i>0，但2＋i 与i 不能比较大小． 梳理 (1)运算法则 设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di 是任意两个复数，那么(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ，(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i. (2)加法运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 知识点二 复数加减法的几何意义 思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？ 答案 如图，设OZ 1→，OZ 2→ 分别与复数a ＋bi ，c ＋di 对应，

则OZ 1→＝(a ，b)，OZ 2→ ＝(c ，d)， 由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→ ＝(a ＋c ，b ＋d)， 所以OZ 1→＋OZ 2→ 与复数(a ＋c)＋(b ＋d)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？ 答案 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1―――→ 对应复数z 1－z 2. 梳理

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

复数代数形式的四则运算 3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 预习课本P107～108，思考并完成下列问题 (1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？ (2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？ 1．复数的加、减法法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)， 则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ， z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 2．复数加法运算律 设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1， (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 3．复数加、减法的几何意义 设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→ 为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→ 的终点并指向OZ 1――→ 的向量所对应的复数． [点睛] 对复数加、减法几何意义的理解 它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处

理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( ) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( ) (3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( ) A ．8i B ．6 C ．6＋8i D ．6－8i 答案：B 3．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0 B ．2i C ．6 D ．6－2i 答案：D 4．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA ――→和OB ――→ ，其中O 为坐标原点，则|AB ――→ |等于( ) A. 2 B ．2 C.10 D ．4 答案：B [典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________. (2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________. [解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i. (2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ， 所以????? 5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3， 解得x ＝1，y ＝0， 所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，

复数的几何意义

3.1.2 复数的几何意义 1．理解复平面、实轴、虚轴等概念． 2．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点) 3．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点) [基础·初探] 教材整理 复数的几何意义及复数的模 阅读教材P 52～P 53内容，完成下列问题． 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――――→一一对应 复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ――――→一一对应 平面向量OZ →. 为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量OZ → ，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 3．复数的模 向量OZ → 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且r ＝a 2＋b 2(r ≥0，

且r∈R)． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．() (2)复数的模一定是正实数．() (3)复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|.() 【解析】(1)正确．根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2. (2)错误．复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0也是复数，它的模为0不是正实数． (3)错误．两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小． 【答案】(1)√(2)×(3)× [小组合作型] 的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)． (1)在实轴上； (2)在第三象限； (3)在抛物线y2＝4x上． 【精彩点拨】解答本题可先确定复数z的实部、虚部，再根据要求列出关于a的方程(组)或不等式(组)求解． 【自主解答】复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2a－1，在复平面内对应的点为(a2－1,2a－1)． (1)若z对应的点在实轴上，则有 2a－1＝0，解得a＝1 2. (2)若z对应的点在第三象限，则有

复数的几何意义及应用

复数的几何意义及应用 一、教学目标： (一)知识与技能: 通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。 (二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力; 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点； 3、提高知识之间的理解与综合运用能力。 (三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。 二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用 三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用 四、教学工具：计算机、投影仪 五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法 六、教学过程： (一)设置情境，问题引入 问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是OZ ，则向量是OZ 的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，|z|==| a+bi |=2 2 b a +（a ， b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量, 2 212 2121)()(y y x x z z d -+-= =-= 一一对应 向量 O Z

(二)探索研究 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r （1）该圆向量形式的方程是什么? )0(>=r r （2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r （3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x 2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 22 1=+ )2(21Z Z a > （1）该椭圆向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a > （2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段 （1）向量形式的方程是什么? a 2=+ )2(21Z Z a = （2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a = 3．双曲线的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的差的绝对值等于 常数(小于21Z Z ) 的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为实轴长的双曲线的上 任意一点,

《复数代数形式的加减运算及其几何意义》参考教案2

3.2.1 复数的代数形式的加减运算 教学要求：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。 教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义 教学难点：加、减运算的几何意义 教学过程： 一、复习准备： 1. 与复数一一对应的有？ 2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。 3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +。向量的加减运算满足何种法则？ 4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？ 二、讲授新课： 1.复数的加法运算及几何意义 ①.复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++。 例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++ （3）[(32)(43)](5)i i i --++++ （4）(32)(43)(5)]i i i --++++[ ②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。 例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。 ③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则） 2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作。 ④讨论：若12,Z a b Z c di =+=+，试确定12Z Z Z =-是否是一个确定的值？ （引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演） ⑤复数的加法法则及几何意义：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。

(完整word版)复数的概念与几何意义

第三章第一节 数系的扩充与复数的概念 学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。 自学探究 问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么？ 方程x 2 +1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能 设想一种方法，使这个方程有解吗？ 问题2.复数的概念是什么？ 问题3.若复数a+bi=c+di ，则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件？ 问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。 练习题： （一）完成课本104页1，2，3 （二）1.实数m 取何值时，复数z=m+1+(m-1)i 是实数？虚数？纯虚数？ 2.已知i 是虚数单位，复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ，当m 取何实数时，Z 是：（1）实数 （2）纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？ 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根，试求：,,a b k 的值。 [思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？ 第三章第二节 复数的几何意义 学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想； 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。 自学探究 问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？ 问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈（ 可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？ 问题3.怎样求一个复数的模？ 练习题： （一）完成课本105页1，2，3；106页A 组全做 （二） 1. 若复数1z =，求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+ ，2z = ，3z =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 试 判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.

复数的代数形式及运算

第三节 复数的代数形式及运算 【目录】 题型1 复数代数形式的运算 题型2 复数代数形式的综合应用 三、解答题 题型1 复数代数形式的运算 1．计算：（1） 5 4)31()22(i i -+； （2） 1996 )12(32132i i i -+++-。 解：（1）原式= ==-=+--+= -?+w w i i i i i 22)2() 2 321(2])1[() 2 31(2)1(5 25 225 4 i i 31)2321(2+-=+-。 （其中ω=i 2 3 21+- ） 。 （2）原式=998998 9982)22(])12[(321) 321(i i i i i i i i +=-+=-+++=i+i 4×249+2=i+i 2=-1+i. 2．设f(x, y)=x 2 y-3xy+y 2 -x+8，求： （1）f(1+i, 2-i)的值； （2）[f(2-5i, 2-5i)]-1 的值。 解：（1）f(1+ i, 2-i)=(1+i)2·(2-i)-3(1+i)(2-i)+(2-i)2 -(1+i)+8 =2i(2-i)-3(3+i)+(3-4i)-1-i+8=2+4i-9-3i+3-4i+7-i=3-4i ； （2）若x=y ，则f(x, y)=x 3 -2x 2 -x+8，又x=2-5i ，∴(x-2)2 =(-5i)2 ，即x 2 -4x+9=0， 而x 3 -2x 2 -x+8=(x 2 -4x+9)(x+2)-2x-10, ∴f(2-5i, 2-5i)=0-2(2-5i)-10=-14+25i, ∴[f(2-5i, 2-5i)]-1 = i i i 108 5 10872165221614)52()14(52142 2--=--= +---. （3）∵(1-i 3)10 =1-C 110·i 3+C 210·(i 3)2 -C 3 10·(i 3)3 +…，∴(1-i 3)10 的展开式中奇数项之和 为复数(1-i 3)10 的实数。又(1-i 3)10 =[-2·10)]2321(i +- =210ω10=210ω=210)2 3 21(i +-=-29+29i 3，∴(1-i 3)10 的展开式中各奇数项的和为-29 。 3．求同时满足下列两个条件的所有复数z ： （1）z z 10+ 是实数，且1

复数的代数形式的加减法运算及其几何意义

【学习目标】 知识目标：能运用复数代数形式的运算法则进行复数代数形式的加减运算。 过程与方法：体会数学思想方法－类比法 情感目标：经历对复数的加减运算法则的探究过程，体会学习的快乐，激发学习兴趣。 学习重点： 复数的加减、运算法则，以及复数加法、减法的几何意义； 学习难点： 复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，． 【知识链接】（第一组A 级） （1） 叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般 用 表示 . （2）如果两个复数 ，那么我们就说这两个复数相等． 学习过程: 复习：（第二组A 级） 1.向量的加减运算满足何种法则？ 2. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ + . 新课导学 探究新知（预习教材P 107～P 108，找出疑惑之处） 问题1：复数的加减法分别是怎样进行的? 归纳1：（第三组B 级） （1）复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则

(2)复数的加法满足交换律、结合律：对任意的123,,z z z C ∈ 有： ： （3）．复数的减法法则：， 问题2：（第四组A 级）复数加减法的几何意义分别是什么？ 归纳2：复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行 四边形、三角形法则） 复数加减法的几何意义： 应用示例（第五组B 级） 例1．计算：（1）)43()53(i i -++ ； （2）)54()23(i i --+- ； （3）)33()22()65(i i i +---+- ◆反馈练习 （第六组B 级） P 1091,2（做到书上） 课堂小结:（第七组A 级） 课后反思:

人教版数学高二新课标 复数代数形式的加减运算及几何意义 精品教学设计

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 教学目标： 知识与技能：掌握复数的加法运算及意义 过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用 教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系． 教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。 教具准备：多媒体、实物投影仪 。 教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。复数z =a +bi (a 、b ∈R)与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定. 教学过程： 学生探究过程： 1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 2 1i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1 4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ?a =c ，b =d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R)可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示 复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序b Z(a ，b)a o y x