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高中不等式例题(超全超经典)

一．

不等式的性质：

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三．重要不等式

1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

≥+ (2)若R b a ∈,，则2

2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）

2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2

(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）

(3)若*

,R b a ∈，则2

2??

? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1

2x x

≥ (当且仅当1x =时取“=”）; &

若0x <，则1

2x x

≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0>ab ，则2≥+a

b b

a (当且仅当

b a =时取“=”）

4.若R b a ∈,，则2

)2(2

22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求

它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22

应用一：求最值例

1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋

12x 2 （2）y ＝x ＋1x

解题技巧： .

技巧一：凑项例1：已知5

4x <

，求函数14245

y x x =-+-的最大值。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

技巧三：分离例3. 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t

-+-++==++）

当,即t =

时,4

259y t t

≥?

=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a

f x x x

=+的单调性。例：求函数22

y x =

+的值域。

…

24(2)x t t +=≥，则2

y x =+221

4(2)4x t t t x =+=+≥+

因10,1t t t

>?=，但1

t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故5

2y ≥。

所以，所求函数的值域为5,2??

+∞????

。

2．已知01x <<，求函数(1)y x x =-.；3．2

x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值

1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且b a 33?定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解： b a 33和都是正数，b a 33+≥632332==?+b a b a

当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6．

…

变式：若44log log 2x y +=，求11

x y

+的最小值.并求x ,y 的值

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。

2：已知0,0x y >>，且19

1x y

+=，求x y +的最小值。

应用二：利用基本不等式证明不等式

1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2

1）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc

例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。求证：1111118a b c ??????---≥ ???????????

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又

1121a b c bc

a a a -+-==≥

解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=。∴

111a b c a a a a -+-==≥

。同理11b -≥11c -≥上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

111221118ac ab a b c a b c ??????---≥= ???????????

。当且仅当13a b c ===时取等号。应用三：基本不等式与恒成立问题

例：已知0,0x y >>且19

1x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

解：令,0,0,

x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky

∴++= 103

12k k

∴-

≥? 。16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 应用四：均值定理在比较大小中的应用：

例：若)2

lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b

a R

b a Q b a P b a +=+=?=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .

分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a 2

=Q （p b a b a =?>+lg lg )lg lg

Q ab ab b a R ==>+=lg 2

1lg )2lg( ∴R >Q

四．不等式的解法.

1.一元一次不等式的解法。

2.一元二次不等式的解法

3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一

个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。如 …

（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

（答：{|1x x ≥或2}x =-）；

（2）不等式(0x -≥的解集是____

（答：{|3x x ≥或1}x =-）；

（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x >的解集为______

（答：(,1)[2,)-∞+∞）；

（4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.

（答：81

[7,)8

）

4．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分

解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

（1）解不等式2

5123

x x -<--- 】

（答：(1,1)(2,3)-）；

（2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02

>-+x b

ax 的解集为

____________

（答：),2()1,(+∞--∞ ）.

5.指数和对数不等式。 6．绝对值不等式的解法：

（1）含绝对值的不等式|x|＜a 与|x|＞a 的解集（2）|ax+b|≤c(c ＞0)和|ax+b|≥c(c ＞0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c ?-c ≤ax+b ≤c;

②| ax+b|≥c ? ax+b ≥c 或ax+b ≤-c.

（3）|x-a|+|x-b|≥c(c ＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c ＞0)型不等式的解法

—

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。方法四：两边平方。

例1：解下列不等式：2(1).2x x x -> 1

(2). -3<<2x

【解析】：（1）解法一（公式法）

原不等式等价于x2-2x>x 或x2-2x<-x 解得x>3或x<0或03﹜ 解法2（数形结合法）

；

作出示意图，易观察原不等式的解集为﹛x ︱x<0或03﹜

第（1）题图第（2）题图

【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数

图象，则解集为1|2x x ?

?>???

?1或x<-3,结果一目了然。

例2：解不等式：1

||x x

≥

【解析】作出函数f(x)=|x|和函数g(x)=1

x 的图

象，

易知解集为01∞?∞（－，）[，＋）

例3：

.|1||1|3

2x x +--≥

解不等式　。

【解法1】令

2(1)()|1||1|2(11)

2(1)x g x x x x x x -<-??

=+--=-≤≤??>?

令

()3

2h x =

，分别作出函数g(x)和h(x)

的图象，知原不等式的解集为

[,)4+∞

|1||1|3

2x x +≥

【解法2】原不等式等价于

令

()|1|,()|1|2g x x h x x =+=-+

分别作出函数g(x)和h(x)的图象，易求出g （x ）和h （x ）的图象的交点坐标为37(,)

所以不等式|1||1|3

2x x +--≥

的解集为3[,)4+∞

【解法3】由

|1||1|3

2x x +--≥

的几何意义可设Ｆ1（－１，０），Ｆ２（１，０），Ｍ（x ，y ），

若

123

2MF MF -=

，可知Ｍ的轨迹是以Ｆ1、Ｆ2为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为（，０），

由双曲线的图象和｜x+1｜－｜x-1｜≥知x≥.

7．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”

注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如 :

（1）若2log 13a <，则a 的取值范围是__________（答：1a >或2

a <<）；

（2）解不等式

()1

ax x a R ax >∈- （答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，1{|x x a >

或0}x <；0a <时，1

{|0}x x a

<<或0}x <）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x 的不等式0>-b ax 的解

集为)1,(-∞，则不等式02

>+-b

ax x 的解集为__________（答：

（－1,2））例2.(1)求函数13+--=x x y 的最大和最小值； (2)设R a ∈，函数())11(2≤≤--+=x a x ax x f . 若1≤a ，求()x f 的最大值

例3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km 和第20km 处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处

七．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后

通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).

！

常用的放缩技巧有：21111111

1(1)(1)1n n n n n n n n n -

=<<=-++--

=<<=

如（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ； (2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；

（3）已知,,,a b x y R +∈，且11

,x y a b

>>，求证：x y x a y b >++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222

a b b c c a

a b c +++++>++；

（5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22()c a abc a b c +≥++；

(6)若*n N ∈(1)n +

(7)已知||||a b ≠，求证：||||||||

||||

a b a b a b a b -+≤-+；

（8）求证：222111

1223n

++++<。

，

八．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式（常应用函数方程

思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >

若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

如（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______

（答：)

1,+∞）

；（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____

（答：1a <）；

（3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____

（答：（

712-,31

+））； >

（4）若不等式n

a n n

)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____

（答：3

[2,)2

-）；

（5）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.

⑹若不等式

log ,(0,)

2a x x x <∈对恒成立，则实数a 的取值范围是此题直接求解无从着手，结合函数

y y=log 0,2

a x x =及在（）上的图象

易知，a 只需满足条件：

0＜a ＜1，且

11log 24a

≥即可

从而解得

[,1)16a ∈

2). 能成立问题

若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；》

若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____

（答：1a >）

3). 恰成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .

例：若不等变

-2x -2ax+62≤≤恰有一解，求实数a 的值引导分析：此题若解不等式组，就特别麻烦了。结合二次函数的图形就会容易得多。图解：

由图象易知：a=2或者a=-2 九．线性规划

基本不等式经典例题精讲

新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）典题精讲例1（1）已知0＜x ＜3 1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1［ 2) 31(3x x -+］2= 12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x= 6 1时，等号成立.∴x= 6 1时，函数取得最大值 12 1 . 解法二：∵0＜x ＜3 1,∴ 3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3［ 23 1x x -+ ］2= 12 1，当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时，等号成立. ∴x= 6 1时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1? =2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+ x 1=-［(-x)+ ) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数.

(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)

初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2．已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3．若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4．若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5．已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7．不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共有（）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值

基本不等式练习题及标准答案

基本不等式练习题及答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________．考向一利用基本不等式求最值【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．考向二利用基本不等式证明不等式【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．

高考不等式经典例题

高考不等式经典例题【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)，当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ；当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ；综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )，所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三开放性问题【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1；当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0，

含绝对值的不等式解法典型例题

含绝对值的不等式解法·典型例题能力素质例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析列出不等式．解根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5，答选D ．例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________．分析利用所学知识对不等式实施同解变形．解原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤． 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析转化为解绝对值不等式．解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4???

解之得＜＜或＜＜．4x x 21121 2 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}．说明：注意元素的限制条件．例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义．解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|．答选C ．例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝123 2 分析解不等式后比较区间的端点．解由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．?? ?123 2 答选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x ＜m ．

(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型1】基本不等式求最值求最值使用原则：一正二定三相等一正：指的是注意,a b 范围为正数。二定：指的是ab 是定值为常数三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题：例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理）解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞

例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥，即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知：在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内，如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。

解不等式典型例题答案

解不等式典型例题答案例1 解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,2 5 ,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于 ???>-<-≠????>-+≠+?>-++2 450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--+-+-x x x x

2 12 1 310 2730132027301320 )273)(132(222222><<+->+-?>+-+-?x x x x x x x x x x x x x x x 或或或 ∴原不等式解集为),2()1,2 1 ()31,(+∞??-∞。解法二：原不等式等价于 0) 2)(13() 1)(12(>----x x x x 0)2()13)(1)(12(>-?---?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为),2()1,2 1()31,(+∞??-∞ 例3解法一：原不等式?? ???+<-<-?????+<-≥-?240 424042 222x x x x x x 或即?? ?>-<<<-?? ?<<--≤≥1 22 2222x x x x x x x 或或或[来源学科网Z|X|X|K] ∴32<≤x 或21<-+<-) 2(42422 x x x x ∴312132<<<-x x x x 故或．例4解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集： ?????>-+<+-0412,05622x x x x 或?????<-+>+-0 412, 0562 2x x x x ?? ?<-+<--?;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x 或? ??>-+>--;0)6)(2(, 0)5)(1(x x x x ； ???<<-<-<><6 ,2, 5,1x x x x 或或 ,51<x ．

不等式典型例题之基本不等式的证明

5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题）雪慕冰一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????

高中不等式所有知识及典型例题(超全)

一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 (2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）； 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x