中考数学专题之相似三角形大题篇
中考数学专题之相似三角形大题篇(附答案) 题型一：相似三角形证明等量
（★★）例1：如图所示，已知AB∥CD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝
∠C．
求证：(1)∠EAF＝∠B；
(2)AF2＝FE·FB．
题型二：构造相似三角线求解面积
（★★）已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝11，DC＝6．请
问：在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及它们的面积比．
题型三：存在性问题
（★★★）如图，已知在等腰△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30°，过点C 作CD ⊥AC 交AB 于点D ． （1）尺规作图：过A ，D ，C 三点作⊙O （只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）； （2）若过A ，D ，C 三点的圆的半径为3，则线段BC 上是否存在一点P ，使得以P ，D ，
B 为顶点的三角形与△BCO 相似，若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．
题型四：动点问题
（★★★）如图2－5－15所示，等边三角形ABC 的边长为6，点D 、E 分别在边AB ，AC
上，且AD=AE=2，若点F 从点B 开始以每秒二个单位长度的速度沿射线BC 方向运动，设点F 运动的时间为t 秒，当t ＞0时，直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ，GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ，AB 与GH 相交于点O ．
⑴ 设△EGA 的面积为S ，写出S 与 t 的函数解析式； ⑵ 当t 为何值时，AB ⊥GH ； ⑶ 请你证明△GFH 的面积为定值．
B
A
C
二、专题过关
（★★）检测题1：如图所示，⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC ＝45°，∠ABC ＝15°，AD ∥OC 并交BC 的延长线于D 点，OC 交AB 于E 点．
(1)求∠D 的度数；
(2)求证：AC 2＝AD ·CE ．
（★★★）检测题2:已知：如图①，②，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P ，Q 分别是边BC ，CD 上的点．（1）如图①，若AP PQ ⊥，BP =2，求CQ 的长；（2）如图②，若2=CQ
BP
，且E ，F ，G 分别为AP ，PQ ，PC 的中点，求四边形EPGF 的面积．
6 y
x
O C D
B -3 ＝－x
A
（★★★）检测题3: 矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为A （6，0），C （0，－3），直线y ＝－4
3
x 与BC 边相交于D 点． （1）求点D 的坐标；
（2）若抛物线y ＝ax
2－
4
9
x 经过点A ，试确定此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P 、O 、
M 为顶点的三角形与△OCD 相似，求符合条件的点P 的坐标．
（★★★）检测题4:如图所示，在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒．
(1)求直线AB 的解析式；
(2)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似? (3)当t 为何值时，△APQ 的面积为5
24
个平方单位?
答案：
提醒一：提示：证明△AFE ∽△BFA
题型二：答案：BP=2或9或
3
11
，面积比为1：3或3：2或1：2
题型三：解：（1）作出圆心O ， ………………………………………………………………1分
以点O 为圆心，OA 长为半径作圆.…………………………………………1分 （2）证明：∵CD ⊥AC ,∴∠ACD =90°.
∴AD 是⊙O 的直径……………1分 连结OC ，∵∠A =∠B =30°, ∴∠ACB =120°,又∵OA =OC , ∴∠ACO =∠A =30°,…………1分 ∴∠BCO =∠ACB -∠ACO
=120°-30°=90°. ………………1分 ∴BC ⊥OC ,
∴BC 是⊙O 的切线. ……………………………………………1分
（3）存在. ……………………………………………………………………………1分
∵∠BCD =∠ACB -∠ACD =120°-90°=30°, ∴∠BCD =∠B , 即DB =DC .
又∵在Rt△ACD 中，DC=AD 330sin =
??, ∴BD = 3. ……………1分
解法一：①过点D 作DP 1// OC ，则△P 1D B ∽△COB , BO
BD
CO D P =
1， ∵BO =BD +OD =32,
∴P 1D =
BO
BD
×OC =33×3 =32. ……………………………1分
②过点D 作DP 2⊥AB ,则△BDP 2∽△BCO , ∴BC
BD
OC D P =2， ∵BC ＝,322=-CO BO
∴133
3
2=?=?=
OC BC BD D P .………………………………………1分 解法二：①当△B P 1D ∽△BCO 时，∠DP 1B =∠OCB =90°.
在Rt△B P 1D 中，
O
P 2
P 1
D
C
B
A
DP 1=2
3
30sin =
??BD . ………………1分 ②当△B D P 2∽△BCO 时，∠P 2DB =∠OCB =90°. 在Rt△B P 2D 中，
DP 2=130tan =??BD . ……………1分
题型四：
答案：(1)t s 4
3
=，(2)当t=4时，AB⊥HG ,(3)不论t 为何值,39=s
检测题1：略
检测题2：答案：(1)CQ=3 (2)四边形EPGF 的面积为4
检测题3：答案：（1）D （4，-3）
（2）x x y
4
9
832-= （3）P 1（3，0），P 2（3，4）
检测题4：答案：(1)
64
3+-=x y ，(2) 当t ＝2．4秒时，△APQ 与△ABO 相似 （3）当t ＝2秒,或t ＝3秒时，△APQ 的面积为5分之24个平方单位．