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高三数学教案第七讲数列求和

第七讲数列求和 ★★★高考在考什么【考题回放】

1.设

4710

310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ D ）

A.2(81)7n -

B.12(81)7n +-

C.3

2(81)7n +- D.4

2(81)7n +-

2. 等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n 项和Sn=100,则n=（ B ）

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

3.）数列

{}

n a 的前n 项和为

S ，若

(1)n a n n =

+，则5S 等于（ B ）

A ．1

B ．56

C ．16

D ．1

4.设Sn 是等差数列｛an ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6

S 12＝

A.310

B.13

C.18

D.1

解析:由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112

1615273

12669010S a d d S a d d +===+,故选A 5.已知数列

}

{n a 、

}

{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，

*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（）

A ．55

B ．70

C ．85

D ．100 解：数列

}

{n a 、

}

{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，

*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于1210

b b b a a a +++=

11119

b b b a a a ++++

+，

111(1)4

b a a b =+-=，∴

11119

b b b a a a +++++

=4561385+++

+=，选C.

6.对正整数n ，设曲线)1(x x y n

-=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列

}

+n a n

的前n 项和的公式是

解：1(1)n n y nx n x -'=-+，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n -1-(n+1)2n

切点为（2，-2n ）,所以切线方程为y+2n=k(x -2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=21n

a n =+.数列

??????+1n a n 的前n 项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2

★★★高考要考什么

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ?????≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n

公比含字母时一定要

讨论

(理)无穷递缩等比数列时，q a S -=

2．错位相减法求和：如：

{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++

3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

4．合并求和：如：求2

2222212979899100-++-+- 的和。

5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：111)1(1+-

=+n n n n )121

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ]

)2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n

!)!1(!n n n n -+=?

)!1(1

!1)!1(+-

=+n n n n

6．公式法求和 6)12)(1(12++=∑=n n n k n

3]2)1([

+=∑=n n k n

7．倒序相加法求和

★★ 突破重难点

【范例1】设数列

{}n a 满足

211233333n n n

a a a a -++++=

…，a ∈*N ．

（Ⅰ）求数列

{}n a 的通项；（Ⅰ）设

n n n

b a =

，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

解 (I)2112333...3,3n n n a a a a -+++=2212311

33...3(2),

3n n n a a a a n ---+++=≥

1113(2).333n n n n a n --=

-=≥ 1(2).3n n a n =≥

验证1n =时也满足上式，*1

().3n n a n N =

∈

(II)

n b n =?，

23132333...3n

n S n =?+?+?+? ①

②

①

-②

：

231233333n n n S n +-=+++-? 1133313n n n ++-=-?-，

1113

33244n n n n S ++∴=?-?+? 【变式】已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'

()62f x x =-，数列

{}

n a 的前n 项和为

S ，点

(,)()

n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。（Ⅰ）、求数列{}

a 的通项公式；

（Ⅱ）、设

11n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m

T <

对所有n N *∈都成立

的最小正整数m ；

点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点

(,)()

n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S

＝3n2－2n.

当n ≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝（3n2－2n ）－[]

)1(2)132

---n n （

＝6n －5.

当n ＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an ＝6n －5 （n N *

∈）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知

13+=

n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)

161

561(21+--n n ，

故Tn ＝

∑=n

i i

b 1

＝2

1?????

?+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *

∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m

，即m ≥

10，所以满足要求的最小正整数m 为10. 【范例2】已知数列

{}

n a 中的相邻两项

212k k

a a -，是关于x 的方程

2(32)320k k x k x k -++=的两个根，且212(123)k k a a k -=≤，，，．

23413132333...3n n S n +==?+?+?+?

（I ）求

a ，

a ；（II ）求数列

{}n a 的前2n 项和2n S ；

（Ⅰ）(理)记

sin 1()32sin n f n n ??=+ ???，(2)(3)(4)(1)

123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++

…，求证：15

()

624n T n ∈*N ≤≤．

（I ）解：方程2(32)320k k

x k x k -++=的两个根为13x k =，22k x =，

当1k =时，1232x x ==，，所以12

a =；

当2k =时，16x =，24x =，所以34a =；

当3k =时，

x =，

x =，所以

a =时；

当4k =时，112x =，216x =，所以712a =．

（

）

解

：

2122n n S a a a =+++2(363)(222)

n n =++

+++++213322

2n n n ++=+-．

（III ）证明：

(1)

123456212111

(1)f n n n n T a a a a a a a a +--=+-+

，

所以

112116T a a =

，

21234115

24T a a a a =+=．当3n ≥时，

(1)

3456

212111

(1)6f n n n n T a a a a a a +--=+-+

，3456

2121111

6n n a a a a a a -??

+-++ ???

≥

11111662622n ??+-++

???≥111

6626n =+>，

同时，

(1)

5678

212511

(1)24f n n n n T a a a a a a +--=--+

5612

2125111

24n n a a a a a a -??

-+++ ???

≤

151111249292

2n ??-+++

??≤

515

249224n =-<．

综上，当n ∈N*时，156

24n T ≤≤

．

【变式】在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．

（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列；

（Ⅰ）求数列

{}n a 的前n 项和n S ；

（Ⅰ）证明不等式

14n n

S S +≤，对任意n ∈*

N 皆成立．

解、（Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得

1(1)4()

n n a n a n +-+=-，n ∈*

N ．

又

111

a -=，所以数列

{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．

（Ⅰ）解：由（Ⅰ）可知

4n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．

所以数列{}n a 的前n 项和

41(1)

32n n n n S -+=+．（Ⅰ）证明：对任意的n ∈*

N ，

1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++??-++-+-=+-+ ???21(34)0

2n n =-+-≤．

所以不等式

14n n

S S +≤，对任意n ∈*

N 皆成立．

【点睛】本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．

【范例3】已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn 及数列｛an ｝的通项；

记bn=

11++

n n a a ，求｛bn ｝数列的前项和Sn ，并证明Sn+

32-n T =1. 解：（Ⅰ）由已知2

12n n n a a a +=+，

11(1)n n a a +∴+=+

12a =

n a ∴+>，两

边取对数得

1lg(1)2lg(1)

n n a a ++=+，即

1lg(1)

lg(1)

n n a a ++=+

{lg(1)}

n a ∴+是公比为2的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=?+ 1

122lg3lg3n n --=?= 1

13n n a -∴+=（*）

12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a ) 012222333=????n-12…3 21223+++=n-1…+2=n 2-1

由（*）式得

1n n a -=-

（Ⅲ）

102n n

a a a +=+1(2)

n n n a a a +∴=+

11111

()22

n n n a a a +∴

=-+

1112

2n n n a a a +∴

又

112n n n b a a =

++1112()n n n b a a +∴=-

12n S b b ∴=++n

…+b

122311111112(

)n n a a a a a a +=-+-+-…+1111

2()n a a +=-

221131,2,31

n n

n n a a a -+=-==-22131n

n S ∴=-

又2

T -=2

131n n S T ∴+=-.

【变式】已知数列{}n x 满足121x x ==，并且11n n

n n x x

x x λ+-=（λ为非零参数，234n =，，，…）．

（Ⅰ）若

135

x x x ，，成等比数列，求参数λ的值；

（Ⅱ）设01λ<<，常数k *∈N 且3k ≥．证明1212()1k k k n k k n x x x n x x x λλ*

++++++<∈-N …．

解：（I ）由已知121,x x ==且36335244345213243

,,.

x x x x x x

x x x x x x x x x λλλλλλ=?==?==?=

若

x 、

x 成等比数列，则

2315,

x x x =即26

.λλ=而0,λ≠解得 1.λ=±

（II ）证明：设

1,n n n x a x +=

由已知，数列{}n a 是以2

x x =为首项、λ为公比的等比数列，

故

,n n n

x x λ-+= 则

1112....n k n k n k n n n k n k n

x x x x

x x x x +++-++-+-=

(3)

.....k k kn n k n k n λλ

+-+--==

因此，对任意*

,n N ∈1212...k k n k

n x x x x x x ++++++(3)(3)(3)2222...k k k k k k k k kn λλλ---+++=+++

(3)(3)22

(1)

(...).

1k k k k k nk k k

k λλλ

λλ

λ---=+++=-

当3k ≥且01λ<<时，(3)

01,011,k k nk λ

λ-<≤<-<

所以*

1212...().1k k k n k k n x x x n N x x x λλ++++++<∈-

2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法文数(含解析)

专题43 数列数列的求和4 （分组求和、倒序相加法）【考点讲解】一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述：求数列前n 项和的基本方法（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；等差：；等比：公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式：；；；；（3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么

这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法．温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．形如： n n b a +其中，（6）并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项：； . 【真题分析】

数列求和公开课教案(1)

《数列求和复习》教学设计开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。二、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。在教学过程中采取如下方法：（1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；（2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。三、教学设计： 1、教材的地位与作用：对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。 2、教学重点、难点：教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能：会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。

数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n

高考数学第2讲数列求和及综合问题

第2讲数列求和及综合问题高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1，所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1，所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38，所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，

所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1，由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4，所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析法一因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.

数列求和高考专题

数列求和高考专题 1.【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 【答案】（1）32n a n =-.2n n b =.（2）1328 433 n n n T +-=?+. 【解析】（II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-， 12124n n b --=?，有()221314n n n a b n -=-?，故()23 245484314n n T n =?+?+?+ +-?， ()()23414245484344314n n n T n n +=?+?+?+ +-?+-?，上述两式相减，得()2 3 1324343434314n n n T n +-=?+?+?+ +?--?

( )()()1 112144314 14 3248.n n n n n ++?-= ---?-=--?- 得1328 433 n n n T +-= ?+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为 1328 433 n n +-?+. 2.【2017江苏，19】对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++ ++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”; （2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析（2）数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，因此，当3n ≥时， 21124n n n n n a a a a a --+++++=，① 当4n ≥时， 3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=.② 由①知， 3214n n n a a a ---+=- ()1n n a a ++，③ 2314n n n a a a ++++=- ()1n n a a -+，④ 将③④代入②，得112n n n a a a -++=，其中4n ≥，所以345,,, a a a 是等差数列，设其公差为'd .

高考理科数学复习题解析数列求和

高考数学复习第四节数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： 2．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 1．一些常见的数列前n 项和公式：

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n n ＋1 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n . 2．常用的裂项公式 (1) 1n n ＋k ＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (2)1 4n 2－1＝1 2n －1 2n ＋1＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a ? ?? ??1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n . [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2 ＋3a 3 ＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n n ＋1 ，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1) n －1 ·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2 n ，…的前n 项和S n 的值等于________．

2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和

第四节数列求和一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )

高三数学总复习综合专题数列求和(学生版)

数列求和概述：先分析数列通项的结构特征，再利用数列通项揭示的规律来求数列的前n 项和，即求和抓通项。 1、直接（或转化）由等差数列、等比数列的求和公式求和思路：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 ①等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=； ②等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n ； ③)1(211+==∑=n n k S n k n ； ④)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n ； ⑤21 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 。 2、逆序相加法思路：把数列正着写和倒着写再相加。（即等差数列求和公式的推导过程的推广）例1：设函数2 22)(+=x x x f 的图象上有两点),(),,(211121y x P y x P ，若)(2121OP OP OP +=，且点P 的横坐标为2 1。（1）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若; 求,),()3()2()1(*n n S N n n n f n f n f n f S ∈+?+++= 3、错位相减法

思路：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则求{}n n b a 的前n 项和n S 可用错位相减法。例2：在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>。（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。 4、裂项相消法思路：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。一般地，数列{}n a 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为0，∑∑∑=++==+-?=-=n i i i i i n i n i i i a a d a a d a a 111111)11(1)11(11。常见的通项分解（裂项）如下： ①)11(1)(1k n n k k n n a n +-?=+=，（当1≠k 时，通项裂项后求和是隔项相消的，注意观察剩余项） 1 11)1(1+-=+=n n n n a n ；（通项裂项后求和是逐项相消的，剩余的是所裂项的首项和末项） ②)1 21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n ； ③]) 2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n 等。例3：求数列 ???++???++,11 ,,321 ,211 n n 的前n 项和。补充练习：已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为26)('-=x x f ，数列{}n a 的前n 项

高中数列求和方法大全

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ； 1111()(2)22 n n n n =-++ )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? 5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+-Λ的和。 7．倒序相加法： 8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用；（三）例题分析：例1．求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。解：①)110(9 110101011112 -= ++++==k k k k a Λ321Λ个 ] )101010[(9 1 )]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ81 10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S Λ

高三数学一轮复习数列求和巩固与练习

高三数学一轮复习数列求和巩固与练习 A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 解析：选B.设等差数列公差为d ，则由已知得 ? ???? a 1＋a 1＋d ＝4a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝28，即????? 2a 1＋d ＝42a 1＋13d ＝28 ，解得a 1＝1，d ＝2， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×1＋10×9 2 ×2＝100. 2．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列{S n n }的前10项的和为( ) A ．120 B ．70 C ．75 D ．100 解析：选C.S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2)，∴S n n ＝n ＋2. 故S 11＋S 22＋…＋S 10 10 ＝75. 3．(原创题)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{ 1f (n ) }(n ∈N * )的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析：选A.f ′(x )＝mx m －1 ＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x (x ＋1)， 1f (n )＝ 1 n (n ＋1) ＝1n －1n ＋1，用裂项相消法求和得S n ＝n n ＋1 .故选A. 4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1 ·n ，S 17＋S 33＋S 50等于________．解析：由题意知S n ＝????? n ＋12(n 为奇数)，－n 2(n 为偶数). ∴S 17＝9，S 33＝17，S 50＝－25， ∴S 17＋S 33＋S 50＝1. 答案：1 5．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2 ＋3n (n ∈N * )，则a 12＋a 23＋…＋ a n n ＋1 ＝________. 解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2 ＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2 ，当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2 (n ∈N * )．于是 a n n ＋1 ＝

(完整)数列求和教案高三

?????≠--=时当时当1,1)1(1,a a a a a n n n n n ? ?? ??-++2112)1(《数列求和》教案一、高考要求等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分组求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、并项求和法、变换通项法等 . 二、知识点归纳 1、公式法 2、分组求和法 3、错位相减法 4、裂项求和法 5、倒序求和法 6、变换通项法 7、关于正整数的求和公式：三、热身练习 1、求和：1+4+7+……+97= 1617 2、求和：n n a a a a s ++++=Λ32= 3、求和：=-++-+-100994321Λ -50 4、求和：??? ??+++++=n n n s 21813412211 Λ= 四、题型讲解例1：（2005年湖北第19题）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n 本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力. 解：（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. (1) 122n n n ++++=L 222(1)(21) 126n n n n +++++=L 3332(1)12[]2 n n n ++++=L

高中数学数列求和题解题方法技巧

高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法 1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。 2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。 3.错位相减：形如An=Bn?Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q?Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫做错位相减。 4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。 5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。 6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。 7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜

想证明起到了关键作用。高中数学解题方法实用技巧 1 解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。具体转化方法有： ①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。 ②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。 ③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。 ④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。 2 因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法 3

高考数学专题复习数列求和

第4讲数列求和一、选择题 1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则对任意正整数n，S n＝( ) A.n[1n－1] 2 B. 1n－1＋1 2 C.1n＋1 2 D. 1n－1 2 解析∵数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列， ∴S n＝11n1 11 ＝ 1n－1 2 . 答案 D 2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝( ) A．66 B．65 C．61 D．56 解析当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－4n＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n－5.∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，∴|a1| ＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋81＋15 2 ＝2＋64＝66. 答案 A 3．在数列{a n}中，a n＝ 1 n n ＋1 ，若{a n}的前n项和为 2 013 2 014 ，则项数n为( )． A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014 解析∵a n＝1 n n ＋1＝ 1 n － 1 n＋1 ，∴S n＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1 ＝ 2 013 2 014 ，解得n＝2 013. 答案 C 4．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为( )．A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 解析当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，

∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30 3＋119 2 ＝30×61＝1 830. 答案 D 5．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则 1～100 这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( ) A ．130 B ．325 C ．676 D ．1 300 解析设两个连续偶数为2k ＋2和2k (k ∈N ＋)，则(2k ＋2)2－(2k )2＝4(2k ＋1)，故和平数是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4×1＋252 ×13＝676. 答案 C 6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1 2(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21 ＝ ( )． A.21 2 B ．6 C ．10 D ．11 解析依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝1 2，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×1 2＋1＝6，故选B. 答案 B 二、填空题 7．在等比数列{a n }中，若a 1＝1 2，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋… ＋|a n |＝________. 解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以

等差数列求和公式教学设计

等差数列求和公式教学设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

等差数列前n项的和教学设计一、教材分析本节教学内容选自高中必修5，教材安排1课时。数列是中职数学教学的重要内容之一，与实际生活有着紧密的联系，而“等差数列前n项的和”一节，更是体现了数列在生产实际中的广泛应用, 如堆放物品总数的计算，分期付款、储蓄等有关计算都用到本节课的一些知识，因此，本节课对于学生能否树立“有用的数学”的思想，有着重要作用。本节课的教学不仅关系到学生对数列知识的学习,也关系到学生对数学这一学科的兴趣, 因此设计好这节课的教学是至关重要的，通过这节课要让学生体会到：（1）数学来源于生活，生活需要数学；（2）数学学习是为专业课学习服务的；并以此激发学生学习数学的兴趣和热情。因此，本节课可谓本章教学的关键点之一，有着举足轻重的地位。二、教学目标知识目标：掌握等差数列前n项的和的公式。能力目标： 1、能够运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题，增强学生应用知识的能力； 2、通过分组探究的方式提高学生合作学习的能力； 3、练习题采取由学生讲解的方式完成，锻炼学生的语言表达能力。情感态度价值观： 1、通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法； 2、通过与生活实际相联系的例题及习题，使学生了解数学在生活中的实用性，渗透学以致用的思想。 3、通过对解题步骤的严格要求，培养学生严谨的工作作风。三、重点、难点教学重点：等差数列的前n项和的公式及其应用。教学难点：等差数列的前n项和的公式的推导。

高中数列求和公式

数列求和的基本方法和技巧利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

(新课标)高考数学总复习：考点15-数列求和(含解析)

考点15 数列求和 1.（2010·天津高考理科·Ｔ6）已知 {}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ??????的前5项和为( ) （A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和公式．【思路点拨】求出数列 {} n a 的通项公式是关键．【规范解答】选C ．设1 n n a q -=，则36361199(1)111q q q q q q --?=?-=---，即33 918,2q q q =+?=∴=，11112()2n n n n a a --∴=?=，5 51 1()31211612T -∴==-． 2.（2010·天津高考文科·Ｔ１5）设{an}是等比数列，公比2q = ，Sn 为{an}的前n 项和．记 *21 17,. n n n n S S T n N a +-= ∈设0n T 为数列{n T }的最大项，则0n = ．【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和、基本不等式等基础知识．【思路点拨】化简 n T 利用基本不等式求最值．【规范解答】 , )2(,2 1])2(1[,2 1])2(1[112121n n n n n n a a a S a S =--= --= + ∴ ], 17)2()2(16[ 2 11)2(2 1])2(1[2 1])2(1[171211-+?-= --- --?= n n n n n n a a a T ∵ , 8)2()2(16 ≥+n n 当且仅当16)2(2=n 即216n =，所以当n=4，即04n =时，4T 最大．【答案】4 3.（2010·安徽高考理科·Ｔ20）设数列12,,,, n a a a 中的每一项都不为0．证明： {}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有

高考数学复习数列求和专题训练(含答案)

高考数学复习数列求和专题训练（含答案）数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。以下是查字典数学网整理的数列求和专题训练，请考生练习。已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列的前n项和. [解] (1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3，由题意得a2=2，a4=3. 设数列{an}的公差为d，则a4-a2=2d，故d=，从而a1=. 所以{an}的通项公式为an=n+1. (2)设的前n项和为Sn.由(1)知=，则 Sn=++++， Sn=++++. 两式相减得 Sn=+- 所以Sn=2-. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1. (1) 求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足+++=1-，nN*，求{bn}的前n项和Tn. [解] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由S4=4S2，a2n=2an+1，得

解得因此an=2n-1，nN*. (2)由已知+++=1-，nN*，当n=1时，=; 当n2时，=1--=. 所以=，nN*. 由(1)知an=2n-1，nN*，所以bn=，nN*. 所以Tn=++++， Tn=++++. 两式相减，得Tn=+- 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。=--，单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能

数列求和优秀教案设计

题组教学：“探索—研究—综合运用”模式 ——“数列的裂差消项求和法解题课”教学设计【课例解析】 1 教材的地位和作用本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受裂差消项求和法在数列求和中的魅力，体会裂项相消的作用，达到提高学生运用裂项相消求和的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标。 2 学情分析在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时用到了错位相减法、倒序相加法和裂差消项求和法，本节课在此基础上进一步对裂差消项求和法做深入的研究。本节课的容和方处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好的完成本节课的教学任务。【方法阐释】本节课的教学采用心智数学教育方式之“题组教学”模式，分为“创设情景、导入新课，题组探索、自主探究，题组研究、汇报交流，题组综合、巩固提高，归纳总结、提升拓展”五个教学环节．本节课从学生在等比数列求和公式推导过程中用到的裂差消项求和法引入，从课本习题的探究入手展开教学，学生能自主发现裂差消项求和法，并很快进入深层次思维状态。接下来的研究性题组和综合性题组又从更深更广的层面加强裂差消项求和法的应用。【目标定位】

1 知识与技能目标掌握裂项相消法解决数列求和问题的基本思路、方法和适用围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标经历数列裂差消项求和法的探究过程、深化过程和推广过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。 3 情感与价值观目标通过数列裂差消项求和法的推广应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。 4教学的重点和难点本节课的教学重点为裂项相消求和的方法和形式。能将一些特殊数列的求和问题转化为裂项相消求和问题。本节课的教学难点为用裂项相消的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。【课堂设计】一、创设情景、导入新课教师：请同学们回忆一下，我们在推导数列求和公式时，先后发现了哪几种数列求和的方法？学生1：在等差数列求和公式的推导时我们用到了倒序相加法。在等比数列求和公式的推导中我们发现了错位相减法、裂差消项求和法。学生2：在学习求和过程中，我们还发现了分组求和法和通项转换法。

高三数学教案 第七讲数列求和

2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法 文数(含解析)