几何图形初步全章复习与巩固知识讲解.doc
《几何图形初步》全章复习与巩固（基础）知识讲解
【学习目标】
1．认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图，初步培养空间观念和几何直观；
2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；
3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；
4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单
的图形．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、多姿多彩的图形
1．几何图形的分类
立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
几何图形
平面图形：三角形、四边形、圆等 .
.
要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果
2．立体图形与平面图形的相互转化
（1）立体图形的平面展开图：
把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会
得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．要点诠释：
①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的11 种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图；
②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践. （2）从不同方向看：
几何体的三视图主（正）视图---------从正面看左视图 -----从左（右）边看
俯视图 ---------------从上面看
要点诠释：
①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.
②能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
（3）几何体的构成元素及关系
几何体是由点、线、面构成的 . 点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.
要点二、直线、射线、线段
1.直线，射线与线段的区别与联系
2.基本性质
(1)直线的性质 : 两点确定一条直线． (2) 线段的性质 : 两点之间，线段最短．要点
诠释：
①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度 , 再画一条等于这个长度的线段 .
（2）用尺规作图法：用圆规在射线 AC上截取 AB=ａ，如下图：
4．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或 AC=a+b； AD=AB-BD。
a A a B
b C
b
A D B
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，
1
叫做线段的中点．如下图，有：AM MB AB
2
A M B
要点诠释：
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有AM 1
AB ，则点M为线段AB 2
的中点 .
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点 M,N,P 均为线段AB的四等分点 .
A M N P B
AM MN NP PB 1
AB 4
要点三、角
1．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这
两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示. 例如下图：
要点诠释：
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（3）角度制及角度的换算
1周角 =360°， 1 平角 =180°， 1°=60′， 1′ =60″，以度、分、秒为单位的角的度量
制，叫做角度制 .
要点诠释：
①度、分、秒的换算是60 进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式( 即从高级单位向低级单位转化) 时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度( 即低级单位向高级单位转化) 时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60 进一，减一
成60.
（ 4）角的分类
∠β锐角直角钝角平角周角
范围0＜∠β＜90°∠β =90°90°＜∠β＜180°∠β =180°∠β =360°
（ 5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～ 180°之间共能画出11 个角 .
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法 .
2．角的比较与运算
（1）角的比较方法 : ①度量法；②叠合法 .
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：
如下图，因为OC是∠ AOB的平分线，所以∠1=∠2= 1
∠AOB，或∠ AOB=2∠1=2∠ 2. 2
类似地，还有角的三等分线等.
3．角的互余互补关系
余角补角
（1）若∠ 1+∠2=90°，则∠ 1 与∠ 2 互为余角 . 其中∠ 1 是∠ 2 的余角，∠ 2 是∠ 1 的余角 .
（2）若∠ 1+∠ 2=180°，则∠ 1 与∠ 2 互为补角 . 其中∠ 1 是∠ 2 的补角，∠ 2 是∠ 1 的补角 .
（3）结论 : 同角 ( 或等角 ) 的余角相等；同角 ( 或等角 ) 的补角相等 .
要点诠释：
①余角 ( 或补角 ) 是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角( 或补角 ).
②一个角的余角( 或补角 ) 可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”.
4．方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点诠释：
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的. 所以在应用中一要确
定其始边是正北还是正南. 二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东 45 °通常叫做东北方向，北偏西 45 °通常叫做西北方向，南偏东 45 °通常叫做东南
方向，南偏西 45 °通常叫做西南方向 .
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
【典型例题】
类型一、概念或性质的理解
1.下列说法正确的是 ( )
A. 射线AB与射
线BA表示同一条射
线
. B. 连结两点的线段叫做两点之间的距离.
C. 平角是一条直线.
D. 若∠ 1+∠ 2=90°, ∠ 1+∠3=90° , 则∠ 2=∠ 3. 【答案】 D
【解析】选项 A 中端点和延伸方向不同，所以是两条射线；选项B中两点之间的距离是指线段的长度，是一个数值，而不是图形；C中角和直线是两种不同的概念，不能混淆.
【总结升华】理解概念，掌握概念与概念的本质区别，并进行“比较”性分析和记忆．
举一反三：
【变式】下列结论中，不正确的是A．两点确定一条直线（） .
B．两点之间，直线最短
C．等角的余角相等D．等角的补角相等
【答案】 B
类型二、立体图形与平面图形的相互转化
2． ( 天门、潜江、仙桃) 如图所示，是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上，与“看”相对的面上的汉字是( ) .
A ．南B．世C．界D．杯
【答案】 C
【解析】由图形可以判定“南”与“世”相对，“看”与“界”相对，“非”与“杯”相对．【总结升华】判断两个面是对面的根据是：展开图的对面没有公共边或公共顶点．
举一反三：
【变式】 ( 瞿州模拟 ) 下面形状的四张纸板，按图所示的线经过折叠可以围成一个直三棱柱
的是 ( ) ．
【答案】 C
3. ( 浙江金华 ) 如图所示几何体的主视图是( )
【答案】 A
【解析】从正面看球位于桌面右方，故选A．
【总结升华】从正面看所得到的图形是主视图，先得到球体的主视图，再得到长方体的主视
图，再根据球体在长方体的右边可得出答案．
类型三、互余互补的有关计算
4. 已知∠ A＝ 53° 27′，则∠ A的余角等于 ( )．
A ． 37°B．36° 33′C．63°D．143°
【思路点拨】根据互为余角的定义求解．
【答案】 B
【解析】∠A 的余角为90° -53 ° 27′＝ 36° 33′．
【总结升华】本题考查角互余的概念：和为90 度的两个角互为余角．
举一反三：
【变式】一个角与它的余角相等, 则这个角是 ______, 它的补角是 _______
【答案】 45°， 135°
类型四、方位角
5. 如图，射线OA的方向是 :________ ；射线 OB的方向是 :_________ ；射线 OC的方向
是 :________ .
【思路点拨】 OA 表示的方向是北偏东，再加上其偏转的角度即可，同理 【答案】 北偏东 15°；北偏西 40°；南偏东 45°． 【解析】 根据方位角的定义解答．
【总结升华】 熟知方位角的定义结合图形便可解答．
类型五、 钟表上的角
OB 、OC 也是如此．
6. ( 广西钦州 ) 钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋
转，经过 15 分钟旋转了 ________度．
【答案】 90
【解析】 根据钟表的特征；整个钟面是 360°，分针每 5 分钟旋转 30°，所以经过 15 分钟旋转了 90°．
【总结升华】 在钟表问题中， 常利用时针与分针转动的度数关系： 时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为 6°，时针一分钟转过的度数为°； 两个相邻数字间的夹角为 30°， 每个小格夹角为 6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
类型六、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算
1. 方程的思想方法
7. 如图所示，在射线 OF 上，顺次取 A 、B 、C 、D 四点，使 AB:BC:CD ＝ 2:3:4 ，又 M 、N 分别是 AB 、 CD 的中点，已知 AD ＝ 90cm ，求 MN 的长．
【思路点拨】 有关比例问题，可设每一份为 x ，列方程求解，再利用中点定义，找出线段的和、差．
【答案与解析】
解：设线段 AB ， BC ， CD 的长分别是
2x cm ， 3x cm ， 4x cm ，
∵AB+BC+CD ＝ AD ＝ 90 cm ，∴ 2x+3x+4x ＝ 90， x ＝ 10，
∴AB ＝ 20 cm ， BC ＝ 30 cm ， CD ＝ 40 cm ，
∴MN ＝ MB+BC+CN ＝ 1 AB+BC+1
CD ＝10+30+20＝ 60(cm) ．
2 2
x ，用 x 的式
【总结升华】 当已知某线段被分成的几条线段的长度比时，可根据比设未知数 子表示相关的线段的长度，列方程求出 x 的值，进而求出线段的长．
举一反三：
【变式】如图所示，已知∠ AOC ＝∠ BOD ＝ 100°，且∠ AOB:∠ AOD ＝ 2:7 ，求∠ BOC 和∠ COD
的度数．
【答案】
解：设∠ AOB的度数为2x ，则∠ AOD的度数为 7x．
由∠ AOD＝∠ AOB+∠ BOD及∠ BOD＝100°，
可得 7x＝ 2x+100°．
解得 x＝ 20°，所以∠ AOB＝ 2x＝40°．
所以∠ BOC＝∠ AOC-∠ AOB＝ 100° -40 ° =60°，
∠COD＝∠ BOD-∠ BOC＝ 100° -60 °＝ 40°．
2.分类的思想方法
8.以∠ AOB的顶点 O为端点的射线 OC，使∠ AOC:∠ BOC＝5:4 ．
(1)若∠ AOB＝ 18°，求∠ AOC与∠ BOC的度数；
(2)若∠ AOB＝ m，求∠ AOC与∠ BOC的度数．
【答案与解析】
解： (1) 分两种情况：
①OC在∠ AOB的外部，可设∠ AOC＝ 5x，则∠ BOC＝ 4x
得∠ AOB＝ x，即 x＝ 18°
所以∠ AOC＝ 90°，∠ BOC＝ 72°
②OC在∠ AOB的内部，可设∠ AOC=5x，则∠ BOC＝ 4x
∠AOB＝∠ AOC+∠ BOC＝ 9x
所以 9x＝ 18°，则 x＝ 2°
所以∠ AOC＝ 10°，∠ BOC＝ 8°
（2）仿照（ 1），可得：若∠ AOB＝ m，则∠ AOC＝5
m ，∠BOC＝4 m ，或∠AOC＝5m，∠BOC 9 9
＝4m．
【总结升华】本题中的已知条件没有明确地说明 OC在∠ AOB的内部或外部，所以两个问题都必须分类讨论．
举一反三：
【变式 1】已知线段AB＝ 8cm，在直线 AB 上画线段 BC＝ 3cm，求线段AC的长．
【答案】
解：分两种情况：
(1)如图 (1) ， AC＝ AB－ BC＝ 8－ 3＝ 5(cm) ；
(2)如图 (2) ， AC＝ AB+BC＝ 8+3＝ 11(cm) ．
所以线段 AC的长为 5cm或 11cm．
【变式 2】下列判断正确的个数有( )
①已知 A、 B、 C三点，过其中两点画直线一共可画三条
②过已知任意三点的直线有 1 条
③三条直线两两相交，有三个交点
A ． 0 个B．1个C．2个D．3个
【答案】 A
3.类比的思想方法
【高清课堂：图形认识初步章节复习399079类比思想例5】
9.(1) 如图 , 线段 AD上有两点B、C, 图中共有 ______条线段 .
(2) 如图，在∠ AOD的内部有两条射线OB、 OC，则图中共有个角.
【答案】（ 1） 6；（2） 6.
【解析】（ 1）以 A 为端点的线段有 3 条，同样以B,C,D 为一个端点的线段也各有 3 条，又因
为所有线段均重复了一次，所以共有线段条数：3 4
6 （条）.
2
（2）以射线 OA为一边的角有 3 个，同样以 OB， OC，OD为一边的角也各有 3 个，又因为所
有角均重复一次，所以共有角的个数：3 4
2
6 （个）.
【总结升华】用同样的方法解决了不同的问题，用已知的知识类比地学习未知的内容.