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二轮复习圆锥曲线的性质学案(全国通用)

微专题67 圆锥曲线的性质

一、基础知识（一）椭圆： 1、定义和标准方程：

（1）平面上到两个定点12,F F 的距离和为定值（定值大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆，其中

12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距

（2）标准方程：

①焦点在x 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离和

122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22

221x y a b

+=，其中()2220,a b b a c >>=-

②焦点在y 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离和

122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22

221y x a b

+=，其中()2220,a b b a c >>=-

焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大

2、椭圆的性质：以焦点在x 轴的椭圆为例：()22

2210x y a b a b

+=>>

（1）a ：与长轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为长轴长 b ：与短轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为短轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距（2）对称性：椭圆关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设()00,P x y ，则00,a x a b y b -≤≤-≤≤ （4）通径：焦点弦长的最小值 ① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦

② 过焦点且与长轴垂直的弦2

2b PQ a

说明：假设PQ 过()1,0F c -，且与长轴垂直，则()()00,,,P c y Q c y ---，所以

002221c y b y a b a +=?=，可得20b y a =。则22b PQ a

= （5）离心率：c

e a

，因为c a <，所以()0,1e ∈ （6）焦半径公式：称P 到焦点的距离为椭圆的焦半径

① 设椭圆上一点()00,P x y ，则1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c - （7）焦点三角形面积：122

tan 2

PF F S b θ

=V （其中12PF F θ=∠）

证明：1212121

sin 2

PF F S PF PF F PF =?V 且2

1212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-

()

()2

121221cos PF PF PF PF F PF =+-+

()2212124421cos c a PF PF F PF ∴=-+ 222

1212122221cos 1cos a c b PF PF F PF F PF -∴==

++ 12

212121212

112sin sin 221cos PF F b S PF PF F PF F PF PF F =?=?+V 22121212sin tan 1cos 2

F PF F PF

b b F PF =?

因为1200122PF F S c y c y =

??=?V ，所以2120tan 2

F PF

b c y =?，由此得到的推论： ① 12F PF ∠的大小与0y 之间可相互求出

② 12F PF ∠的最大值：12F PF 最大?12PF F S V 最大?0y 最大?P 为短轴顶点（二）双曲线：

1、定义：平面上到两个定点12,F F 距离差的绝对值为一个常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点12,F F 距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支

2、标准方程：

① 焦点在x 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离差的绝对值

122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22

221x y a b

-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-

② 焦点在y 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离差的绝对值

122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22

221y x a b

-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-

焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数

2、双曲线的性质：以焦点在x 轴的双曲线为例：()22

2210,0x y a b a b

-=>>

（1）a ：与实轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为实轴长 b ：与虚轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为虚轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距（2）对称性：双曲线关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称

（3）双曲线上点坐标的范围：设()00,P x y ，则有0x a ≤-或0x a ≥，0y R ∈ （4）离心率：c

e a

，因为c a > ，所以()1,e ∈+∞ （5）渐近线：当x →+∞或x →-∞时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。

① 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出y

关于x 的直线即可。例如在()222210,0x y a b a b -=>>中，求渐近线即解：22

220x y a b

-=，变

形为b y x a =±

，所以b

y x a

=±即为双曲线的渐近线 ② 渐近线的几何特点：直线,,,x a x a y b y b ==-==-所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线

③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现,,a b c 的关系。（6）通径：

① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段

②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQ x ⊥轴，2

2b PQ a

（7）焦半径公式：设双曲线上一点()00,P x y ，左右焦点分别为12,F F ，则 ① 1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”

） ② 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为c a - （8）焦点三角形面积：设双曲线上一点()00,P x y ，则122

cot

PF F S b θ

=V （其中12PF F θ=∠）

（三）抛物线：

1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线

2、抛物线的标准方程及焦点位置：

（1）焦点在x 轴正半轴：()2

20y px p =>，焦点坐标,02p ??

??? （2）焦点在x 轴负半轴：()2

20y px p =->，焦点坐标,02p ??

??? （3）焦点在y 轴正半轴：()2

20x py p =>，焦点坐标0,

2p ?? ??

? （4）焦点在y 轴负半轴：()2

20x py p =->，焦点坐标0,2p ??-

小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：2

4x y =，则焦点在y 轴上，且坐标为()0,1

3、焦半径公式：设抛物线()2

20y px p =>的焦点为F ，(),A x y ，则2

AF x =+u u u r

4、焦点弦长：设过抛物线()2

20y px p =>焦点的直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，

则12AB x x p =++（AB AF BF =+，再由焦半径公式即可得到）二、典型例题：

例1：已知双曲线

214x y b

-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）

C. 3

D. 5

思路：先从常系数方程入手，抛物线2

12y x =的焦点为()3,0，即双曲线中的3c =，所以

5b c a =-=，从而双曲线方程为：22

145

x y -

，其渐近线方程：2y x =±，由对称

性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择:20l y -=，右焦点()23,0F ，所以

2F l d -=

=答案：A

小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，进而解出其他圆锥曲线的要素答案：A

例2：已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线

()220x py p =>的焦点重合，直线1y kx =-与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，

则p =（）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以p 作为核心变量，抛物线2

2x py =的焦点为0,

2p ?

? ???，所以可得2

b =，因

为2a a =?=，所以双曲线方程为22

2418x y p

-=，可求得渐

近线方程为

y =，不妨设1

y kx =-与

y x =

平行，则有k =

从相切可想到与抛物线

联立消元后的方

程0?=

：22

21202y x x p x py

=-??--=??=?

，所以

8022p ?

?=--= ???

解得4p =

答案：A

例3：如图，

12,F F 是椭圆()22122:10x y C m n m n +=>>与双曲线()22

222:10,0x y C a b a b

-=>>的公共焦点，将12,C C 的离心率分别记为12,e e ，点A 是12,C C 在第一象限的公共点，若2C 的一条渐近线是线段1AF 的中垂线，则

212

e e +=（） A. 2 B.

52 C. 7

D. 4 思路：椭圆与双曲线共焦点，所以有2

c m n a b =-=+，所求表达式

2222

22222

1211m a m a e e c c c ++=+=，本题与焦半径相关，所以考虑

12122,2AF AF m AF AF a +=-=。

结合1AF 的中点与12F F 的中点可得双曲线的渐近线与2AF 平行，从而12AF AF ⊥，所以有222

212124AF AF F F c +==，联系上面条件可得：

()()2

12121

14222c AF AF AF AF AF

AF m a ?

?=+=

++-=+?

，所以

22212112m a e e c

++== 答案：A

例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线22

2:14

y C x -

=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（） A. 2

132a =

B. 213a =

C. 2

b = D. 22b = 思路：因为12,C C 有公共焦点，所以通过2C 可得()(

)

125,0,5,0F F -，从而5c =，圆的

直径为2a ，所以AB 截椭圆的弦长为

。由双曲线得:2AB y x =，进而与椭圆方程联立，再利用弦长公式即可得到关于a （或b ）的方程，解方程即可

解：通过2C

可得(

))

,F F

，c ∴=

不妨设:2AB y x =，则222222222

242b x a y a b a b x a b y x

?+=?=?+=?

，所以x =

利用弦长公式可得122

d x a =-=

又因为222

5a b c -==

235a a b ?=-=?解得：2211212

a b ?=????=?? ，故选C

答案：C

例5：（2014，山东，10）已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22

221x y a b +=，双曲线2C 的方程是

1x y a b

-=，1C 与2C

的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为（） A.

0x ±

= B.

0y ±= C. 20x y ±= D. 20x y ±=

思路：要想求渐近线方程，关键在,a b 的比值，所以将两个离心率均用,a b 表示，再利用乘积

为

即可得到,a b 关系，进而求出渐近线方程解：设曲线12,C C 的离心率分别为12,e e

，则12c

e e a a a

1222

e e a a

a ∴=

?==

即

443114442

a b b b a a a -??=?=?== ??? 因为双曲线的渐近线方程为：b

y x a

=±

，代入可得：02y x x =±?±= 答案：A

小炼有话说：本题在设计上利用椭圆和双曲线中c 的求法不同，从而使得两条曲线在,a b 相同的情况下，离心率的乘积中含有平方差公式的特点，从而简化运算，较易得出,a b 关系

例6：椭圆()222210x y m n m n +=>>和双曲线()22

2210x y a b a b

-=>>的公共焦点为12,F F ，P

是两曲线的一个交点，那么12PF PF ?的值是（）

A. m a -

B. 22

m a - C.

m a

- D. 思路：所求12,PF PF 既是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定义可得：122PF PF a -=，122PF PF m +=，由此联想到两个式子的完全平方公式，进而可求出12PF PF ?，则()

()2

2121212

PF PF PF PF PF PF m a ?

?=+--=-??

答案：B

例7：已知抛物线()2

20y px p =>的焦点F 与双曲线22

145

x y -=的右焦点重合，抛物线的

准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK AF =，则A 点的横坐标为（）

A. B. 3 C. D. 4

思路：因为两条曲线的焦点重合，所以可用双曲线计算出焦点的坐标2

459c =+=，所以

()3,0F ，进而可确定抛物线方程：212y x =，以及准线方程l ：3x =-。所以()3,0K -，

设A 点横坐标为x ，则(A x ，所以()2

312AK

x x =--+????，由焦半径公式可得：

AF x x =+

=+，

所以

2AK AK AF

=?=，即

()

()2

31223x x x ++=+，可解得：3x =

答案：B

例8：设F 为双曲线

1169

x y -=的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与双曲线左，右两支在x 轴上方的交点分别为,M N ，则

FN FM

-的值为（）

25 B. 52 C. 54 D. 45

思路：因为所求分式涉及到三条线段长度，若直接用距离公式则异常复杂，所以考虑时刻简化计算，首先由,FM FN 联想到焦半径公式，设()()1122,,,M x y N x y ，则有

11MF a ex ex a

=+=--，

22NF a ex ex a

=+=+，所以

()122FN FM e x x a -=++，设(),0A m ，由双曲线可知()5,0F -，则FA 的中点

5,02m C -?? ???，圆半径52m r +=，所以圆方程为：2

5522m m x y -+????-+= ? ?????

，整理后可得：()22550x m x y m --+-=，因为FN FM -的值与()12x x +相关，所以考虑联

立圆和双曲线方程：()2222550

1169x m x y m x y ?--+-=?

=??消去y 可得：

()2

25595016

x m x m ---+=，所以()1216525m x x -+=

，代入FN FM -可得：()()16545584255m m FN FM -+-=?+=，因为5FA m =+，所以原式的值为4

答案：D

小炼有话说：本题可发现无论A 的位置如何，从选项上来看

FN FM

-应该为定值，故可

以利用特殊位置，比如A 为右焦点时，便可轻松得到答案：由对称性可得

28FN FM a -==，且210FA c ==，所以

FN FM

a FA

c -=

= 例9：如图，从双曲线()222210,0x y a b a b

-=>>的左焦点F 引圆222

x y a +=的切线，切点

为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则

MO MT -的值为__________（用含,a b 的表达式表示）

思路：首先要将,MO MT 向,a b 靠拢，因为PF 与圆切于T ，连结OT ，可知OT r a ==，且FOT V 为直角三角形，OF c =，

从而22

22FT OF OT

c a b =-=-=，进而

MT FM FT PF b =-=

-，在寻找MO ，因为M 为线段FP 的中点，且由双曲线性质得O 为'FF 的中点，所以连结'PF ，则由中位线性质可得'12OM PF =，而'

PF 恰好是

另一焦半径。所以()

''111222MO MT PF PF b b PF PF ??

--=-- ???

，由双曲线定义可得：'2PF PF a -=，从而MO MT b a -=- 答案：b a -

小炼有话说：（1）题目中遇到中点问题，除了已知条件外，在椭圆和双曲线中还要注意“原点也是两焦点的中点”这一隐藏条件

（2）在椭圆与双曲线中，因为两条焦半径存在几何关系（和差与a 相关），所以题中出现一条焦半径时，常见的辅助线是连出另一条焦半径。

例10：如图，椭圆()22

2:124

x y C a a +

=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆的左右焦点分别为12,F F ，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ?=，则PM PN ?的值为__________

思路：本题很难直接求出,PM PN 的值，从而考虑将其视为整体，进行转化：从图上可得：

,PM OM OP r OP PN ON OP r OP

=-=-=+=+，

从而

224PM PN r OP a OP ?=-=+-，所以只需确定2

OP 即可，设(),P x y ，即

OP x y =+，已知22

214

x y a +

=，则需利用好126PF PF ?=，想到焦半径公式：则12,PF a ex PF a ex

=+=-，所以

222126

PF PF a e x ?=-=，所以

2222

22222

44444x a c x y x x x a a a

-+=+-=+=+，即22222

42x y e x a +=+=-，所以6PM PN ?=

答案：6

圆锥曲线的经典性质总结

椭圆必背的经典结论 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 222 2 1x y a b + =（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. A B 是椭圆 2222 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22 O M AB b k k a ?=- ，即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + .

圆锥曲线经典性质总结材料及证明

圆锥曲线的经典结论一、椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF

9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0 20 2y a x b K AB -=。（点差法）

圆锥曲线知识点整理

高二数学圆锥曲线知识整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。当01时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在x 轴上的方程如下：椭圆双曲线抛物线标准方程 1b y a x 2 22 2=+ （a>b>0） 1b y a x 2 22 2=- （a>0，b>0） y 2=2px （p>0）顶点（±a ，0）（0，±b ）（±a ，0）（0，0）焦点（±c ，0）（ 2 p ，0）准线 X=±c a 2 x=2 p - 中心（0，0）焦半径 P(x 0，y 0)为圆锥曲线上一点，F 1、F 2分别为左、右焦点 |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=a-ex 0 P 在右支时： |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=-a+ex 0 P 在左支时： |PF 1|=-a-ex 0 |PF 2|=a-ex 0 |PF|=x 0+ 2 p

圆锥曲线综合应用及光学性质

圆锥曲线综合应用及光学性质（通用）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．二次曲线142 2=+m y x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（） A ．]2 3,22[ B ．]2 5,23[ C ．]2 6,25[ D ．]2 6,23[ 2．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 千米，远地点B 距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为（） A ．))((2R n R m ++ B ．))((R n R m ++ C ．mn D ．2mn 3．已知椭圆1252 22=+y a x )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（） A ．10 B ．20 C ．241 D ． 414 4．已知椭圆的中心在原点，离心率2 1 =e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（） A ．1342 2=+y x B ．1682 2=+y x C ．12 22 =+y x D ．14 22 =+y x 5．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围（） A ．[－ 21，2 1 ] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4] 6．以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（） A ．22 2 =-y x B ．22 2 =-x y C ．42 2 =-y x 或42 2 =-x y D ．22 2 =-y x 或22 2 =-x y 7．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（） A ．4a B ．2()a c - C ．2()a c + D ．以上答案均有可能

高考数学圆锥曲线的经典性质50条

For pers onal use only in study and research; not for commercial use 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 . For pers onal use only in study and research; not for commercial use 椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 椭圆点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的外角. PT平分△ PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若 F0(X 若 P0(X0 2 x ,y0)在椭圆一亍 a 2 、x ,y0)在椭圆一2 a 2 2 2 2 y - b y - b =1上，则过P0的椭圆的切线方程是一0厂?辔=1. a b =1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦 2 x 椭圆一2 a 2 x 椭圆一 2 a 2 2 2 2 y b y - b =1 (a>b> 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点一RPF2 - =1 ( a > b> 0)的焦半径公式： P1P2的直线方程是°2 - =1. a b 戈，则椭圆的焦点角形的面积为S A：1PF2 = b2 tan—

|MF i |=a ex o ,|MF 2p a-( Fj-c,0) , F 2(c,0) M (心 y °)). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A i 、A 2为椭圆长轴上的顶点， A i P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和A i Q 交于点N ，则MF 丄NF. 2 2 2 2 -2 y ^ = 1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是一2 y^ - ―02 - a b a b a b 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 2 2 5. 若F 0(x 0, y 0)在双曲线令-占=1( a > 0,b > 0)上，则过F 0的双曲线的切线方程是彎一呼 =1. a b a b 2 2 6. 若i =0(x 0, y 0)在双曲线—~2 ^2 -1(a >0,b >0)外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是■X 0，__y°y = 11. AB 是椭圆即 K AB 2 2 a 2 b 2 b 2X 0 —2 。 a y ° =1的不平行于对称轴的弦， M (x 0, y 0)为AB 的中点，_则k OM k AB = b 2 ~2 ， a 12. F 0(X o ， y o )在椭圆 2 2 7占=1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是翠晋色止 a 2 b 2 13. F 0(x 0,y °)在椭圆

圆锥曲线性质

圆锥曲线的性质、基础知识（一）椭圆： 1定义和标准方程：（1）平面上到两个定点F U F2的距离和为定值（定值大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆，其中F1, F2称为椭圆的焦点，F1F2称为椭圆的焦距（2）标准方程： ①焦点在x轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F1 -c,0 , F2C,0，设距离和 2 2 PF i PF2 = 2a，则椭圆的标准方程为：-y2 =1，其中a b 0,b2二a2 - c2 a b ②焦点在y轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F10^C ,F20,C，设距离和 2 2 PFi +|PF2；=2a，则椭圆的标准方程为：专+令二丨，其中（a Ab>0,b2=a2—c2） a b 焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大 2 2 2、椭圆的性质：以焦点在x轴的椭圆为例：笃?爲=1 a b 0 a b （1）a:与长轴的顶点有关：A - a,0 ,A a,0 ，A A =2a称为长轴长 b :与短轴的顶点有关: BdO,-b）,B2（0,b ），IB1B2 =2b称为短轴长 C :与焦点有关：斤（—c,O ）F? （c,O ）, F1F2 =2c称为焦距（2）对称性：椭圆关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设P x O,y O，则-a乞x O空a,-b乞y O乞b （4）通径：焦点弦长的最小值 ①焦点弦：椭圆中过焦点的弦 2b2 ②过焦点且与长轴垂直的弦，PQ|=—— a 说明：假设PQ过F r；_c,O ，且与长轴垂直，则P：L c, y O ,Q1. —c, - y O，所以

= (|PF i | +IPF 2I ) -2 PF 』PF 2 (1 +COSF 1PF2 ) .4c 2 =4a 2 -2 PF j|PF 2 1 cosFfF 2 PF 」|PF 2 = " _2c 1 +cosF 1PF 2 1 +cosF 1PF 2 比 2 .込各比出n 吐 1 COS RPF 2 2 F 1,F 2距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支 2、标准方程: 厶 + 卑=1 二 y ； =3，可得 y 。-。则 PQ = a b a a 2b 2 (5) 离心率：e = c ，因为c a ，所以e - 0,1 a (6) 焦半径公式：称 P 到焦点的距离为椭圆的焦半径 ①设椭圆上一点 P(x 0,y 0 )，则 PR =a+ex), PF 2 ②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为 (7)焦点三角形面积： S P FF 2二b 2 tan ；(其中n 1 证明：S PF ^- PF 1 - PF 2 sinRPF 2 2 + PF 且 F 1F 2 2 -2 PF 1H PF 2 cosRPF ? =a - e)(Q (可记为“左加右减”) a c ，最小值为a - c =PF 1F 2) 2b 2 1 〈PFf =2 PF 1 ' PF 2 1 sin F ]PF 2 : 2 1 cosPF F 2b 2 sin F |PF 2 1 因为 S PF/2 = 2 2c F 1PF 2 We%，所以2 =c y o ，由此得到的推论: ①.F 1PF 2的大小与 y 0之间可相互求出 ②? F 1 PF 2的最大值: F 1 PF 2 最大二 S PF 1 F 2 最大二 y o 最大=P 为短轴顶点 (二) 双曲线: 1、定义：平面上到两个定点 F 「F 2距离差的绝对值为一个常数(小于 F 1F 2)的点的轨迹称为双曲线，其中 h,F 2称为椭圆的焦点, F 1F 2称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点

高考数学圆锥曲线的经典性质50条

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是002 21x x y y a b +=. 6. 若000 (,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为12 2 tan 2F PF S b γ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 20 2y a x b K AB -=。

圆锥曲线经典性质总结及证明!!!

Gandongle 椭圆双曲线的经典结论一、椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF

圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线光学性质的证明及应用初探一、圆锥曲线的光学性质 1．1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在1F 处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于2F 处，对2F 处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。证明：由导数可得切线l 的斜率0 20 20x x b x k y a y =-' ==，而1PF 的斜率010 y k x c =+，2PF 的斜率020y k x c =- ∴l 到1PF 所成的角α'满足()()200 2 2222 2000001222 2 001000 2 00 tan 11y b x x c a y a y b x b cx k k b x y kk a b x y a cy x c a y α++++-'===+-+-+， ()00,P x y 在椭圆上，∴20tan b cy α'=，同理，2PF 到l 所成的角β'满足2 220 tan 1k k b kk cy β-'==+， ∴tan tan αβ''=，而,0, 2παβ?? ''∈ ?? ? ，∴αβ''= 1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用． 1．3 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．图1.3 图1.2 图1.1

解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质

4.2解析几何--圆锥曲线的概念及性质一、选择题 1．(2010·安徽双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 ( A. B. C. D．(，0 解析：∵原方程可化为－＝1，a2＝1， b2＝，c2＝a2＋b2＝， ∴右焦点为. 答案：C 2．(2010·天津已知双曲线－＝1(a>0，b>0的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为 ( A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：∵渐近线方程是y＝x，∴＝.① ∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上， ∴c＝6.② 又c2＝a2＋b2，③ 由①②③知，a2＝9，b2＝27，此双曲线方程为－＝1. 答案：B

4．(2010·辽宁设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ ( A．4 B．8 C．8 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－(x－2，当x＝－2时，y＝4，4A(－2,4．当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6， 4P(6,4， 4|PF|＝|PA|＝6－(－2＝8.故选B. 解法二：5PA∞l，4PA%x轴．

又5 AFO＝60°，4 FAP＝60°，又由抛物线定义知PA＝PF， 4≥PAF为等边三角形．又在Rt≥AFF′中，FF′＝4， 4FA＝8，4PA＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 ( A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，＝，从而 PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2，则A(－5,0，C(5,0，设P(x，y，得＝2 化简得x2＋y2＋x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．答案：A 二、填空题解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c

圆锥曲线光学性质几何证明法

利用反证法证明圆锥曲线的光学性质迤山中学数学组贾浩 2014.1.1

利用反证法证明圆锥曲线的光学性质反证法又称归谬法，是高中数学证明中常用的一种方法。利用反证法证明问题的思路为：首先在原命题的条件下，假设结论的反面成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而说明假设不成立，则原命题得证。在光的折射定律中，从点P 发出的光经过直线l 折射后，反射光线的反向延长线经过点P 关于直线l 的对称点。下面结合光的折射定律，利用反证法证明圆锥曲线的光学性质。一、椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点上。该命题证明如下：已知椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上的一个点，过点P 作椭圆的切线l ，2F 关于切线l 的对称点为'2F ，证明：1F 、P 、'2F 三点共线。证明假设'2F 不在1F 、P 所在的直线上，连接1F 、'2F ，交椭圆于M 。则'' 1212F F MF MF =+， ''1212F F PF PF <+ 由122PF PF a +=，'22PF PF =得 '122PF PF a +=，则'122F F a < 又由122MF MF a +=， '22MF MF < 得 '122MF MF a +>，则 '122F F a <。这与上式矛盾。因此，1F 、P 、'2F 三点共线。

二、双曲线的光学性质从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点。该命题证明如下：已知双曲线的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线右支上的一个点，过点P 作双曲线的切线l ，2F 关于切线l 的对称点为'2F ，证明：1F 、P 、'2F 三点共线。证明假设' 2F 不在1F 、P 所在的直线上，连接1F 、'2F ，交椭圆于M 。则''1212F F MF MF =-， ''1212F F PF PF >- 由'122PF PF a -=得 '122F F a >。又由122MF MF a -=，'22MF MF < 得 '122MF MF a -<，则'122F F a <。这与上式矛盾。因此，1F 、P 、'2F 三点共线。三、抛物线的光学性质从抛物线的焦点出发的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的轴。该命题证明如下：已知抛物线焦点分别为F ，直线m 为抛物线的准线， P 为抛物线上的一个点，过点P 作直线m 的垂线，垂足为'P 。过点P 作抛物线的切线l ，F 关于切线l 的对称点为'F ，证明：'F 、P 、'P 三点共线。

圆锥曲线的基本概念和性质汇总

圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例1．已知P 是椭圆22x y 14 +=上的点，12F ,F 是椭圆的两个焦点，且12FPF 60∠=?，求12FPF ?的面积. 解答过程：依题意得：12PF PF 2a 4+==，在12 FPF ?中由余弦定理得 2221212PF PF 2PF PF cos60=+-?? ＝2 121212(PF PF )2PF PF 2PF PF cos60+-?-?? ，解之得：124PF PF 3?=，则12 FPF ?的面积为121PF PF sin 602??=小结：（1）圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重；（2）求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中，正、余弦定理非常重要. 考点3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝a c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁); (2) 双曲线的离心率e ＝a c ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大). 考点利用向量求曲线方程利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：练习．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使???,,成公差小于零的等差数列，（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得 (1,),PM MP x y =-=---),1(y x ---=-=， )0,2(=-= .

圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

圆锥曲线的光学性质及其应用尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。设P（）为圆锥曲线（A、B、C不同时为零）上一定点，则在该点处的切线方程为：。（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率，进而用点斜式写出切线方程，则在点P处的法线方程为。 1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图1中。事实上，设为抛物线上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得，即，斜率为，于是得在点M处的法线方程为令，得法线与x轴的交点N的坐标为，

所以又焦半径所以，从而得即当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。也可以利用点M处的切线方程求出，则，又故，从而得也可以利用到角公式来证明抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。 2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图2中证明也不难，分别求出，然后用到角公式即可获证。椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。 3、双曲线的切线、法线性质经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图3中。仍可利用到角公式获证。这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。

江苏高考数学圆锥曲线性质总结

高考数学圆锥曲线性质总结椭圆与双曲线的对偶性质椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=.

8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角.

Song神圆锥曲线的性质整理 (1)

数学椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭圆必背的经典结论 1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. x 2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. x 3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. x 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. x 5.若 000 (,) P x y在椭圆 22 22 1 x y a b +=上，则过 P的椭圆的切线方程是 00 22 1 x x y y a b +=. x 6.若 000 (,) P x y在椭圆 22 22 1 x y a b +=外，则过Po作椭圆的两条切线切点

为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. x 7. 椭圆 2 2 22 1x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF θ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为 122tan 2 F PF S b θ ?=. x 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+, 20||MF a ex =- (1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). x 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. x 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中

圆锥曲线的性质

毕业论文（2010 届）题目圆锥曲线的性质及其应用学院数学与计算机学院专业数学与应用数学（师范）年级2006级学生学号12006242748 学生姓名王海强指导教师胡有婧 2010年4 月19 日

目录摘要 (1) 关键词 (1) 1.引言 (1) 2.圆锥曲线的性质 (2) 2.1圆锥曲线的基本性质 (2) 2.2圆锥曲线的光学性质 (4) 2.3由圆的性质引出的圆锥曲线的性质 (7) 2.3.1 蝴蝶定理 (7) 2.3.2 帕斯卡定理 (8) 2.4 与焦点弦相关的几条性质 (9) 3.圆锥曲线性质的应用 (11) 3.1基本性质的应用 (11) 3.2光学性质的应用 (12) 3.2.1解决一类“距离之和”的最值问题 (12) 3.2.2 圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用 (15) 3.2.3在生产生活中的作用 (16) 3.3由圆的性质引出的圆锥曲线的性质的应用 (17) 3.3.1蝴蝶定理的应用 (17) 3.3.2巴斯卡定理的应用 (19) 3.4 与焦点弦相关的几条性质的应用 (20) 4.总结 (22) 参考文献 (22)

数学计算机学院数学教育专业2010届王海强摘要本文首先从圆锥曲线的产生和发展入手，对圆锥曲线的定义和圆锥曲线的部分性质进行了简要的概括．主要是利用平面解析几何的知识和数形结合思想，对圆锥曲线的基本性质、光学性质，由圆的性质推广得到的几条性质和与焦点弦有关的性质，进行了总结和证明，并且将它们在日常生活中的应用和在解题中的应用进行了简要说明．关键词圆锥曲线；性质；应用中图分类号O123.1 The Properties of conic and Application

公开课：圆锥曲线光学性质及其应用

圆锥曲线光学性质及其应用 2019-11-27 学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料《圆锥曲线的光学性质及其应用》，使我们了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，这一节课我们进一步对它进行证明和探究，并对它在数学解题和生产科技等方面的应用有了更深的认识。一、圆锥曲线的光学性质 1、椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热． 2、双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用． 3、抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。二、问题转化及证明 2．1圆锥曲线的切线与法线的定义切线：设直线l与曲线c交于P，Q两点，当直线l连续变动时，P，Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P，Q重合为一点M,此时直线l称为曲线c在点M处的切线。法线：过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。

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