江苏省赣榆县厉庄高级中学 两条直线的位置关系 教案
基础梳理:
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2?______.特别地，当直
线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2都与x 轴________．
(2)两条直线垂直
如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，分别设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2?________.
2. 三种距离
(1)两点间的距离
平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式
P 1P 2＝________________________.
特别地，原点(0,0)与任一点P (x ，y )的距离OP ＝_________________.
基础达标：
1. (2011·西安调研)已知两条直线y ＝ax －2和 y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于
________.
解析：∵两条直线互相垂直，∴a (a +2)=-1，∴a =-1.
2. (必修2P84习题2.1(2)第1题改编)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则
l 的方程是________________.
解析：由题意知，直线l 的斜率为- ，
因此直线l 的方程为y -2=32
- (x +1)，即3x +2y -1=0. 3. (2011·苏州质检)直线x ＋ay ＋3＝0与直线ax ＋4y ＋6＝0平行的充要条件是a ＝
________.
解析：由两条直线平行可知
24063a a
?-=?≠? ∴a =-2.
4. 若点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平
面区域内，则实数a 的值为________.
解析：由 4915
a -+=4得a =7或-3，又2a +3-3<0，得a <0，∴a =-3. 5. (必修2P94习题2.1(3)第6题改编)若点P (a ，
b )在直线x -y +2=0上，则的最小值是
________．
解析：
O 到直线x -y +2=0的距离d =
= 经典例题：
题型一 两条直线位置关系的判定和应用
【例1】 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)．
(1)若l 1∥l 2，求实数a 的值；
(2)若l 1⊥l 2，求实数a 的值．
分析：由C ，D 两点的横坐标可知l 2的斜率一定存在，由A ，B 两点的横坐标可知l 1的
斜率可能存在也可能不存在，因此要注意对a 的取值进行讨论．在(1)中首先考虑斜率是否
存在，还要排除两直线重合的情况；在(2)中，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否
为0.
解：设直线l 2的斜率为k 2 ，则k 2＝ 2(2)1(2)3
a a -+=--- . (1) 若l 1∥l 2，则l 1的斜率存在，且k 1＝k 2＝ 3a -
. 又k 1 22(1)34a a a a --==--- ，所以 243
a a a -=-- 解得a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时， l 1∥l 2
都成立．
(2)若l 1⊥l 2，①当k 2＝0时，此时k 1也存在，且a ＝0，k 1＝12-
，当k 1＝0时，a ＝2，k 2＝23
-，均不符合题意；
变式1－1：
已知直线l 1：3mx ＋8y ＋3m －10＝0和l 2: x ＋6my －4＝0，问：m 为何值时，
(1)l 1与l 2相交；(2)l 1与l 2平行；(3)l 1与l 2垂直．
解：当m ＝0时，l 1：8y －10＝0，l 2：x －4＝0，l 1与l 2垂直；
当m ≠0时，l 1：310388
m m y x -=-
+ l 2：1263y x m m =-+ 由312103228,8638333
m m m m m m --=-?=±=?=或 而 31()186m m
--=- 无解． 综上所述，(1)m ≠± 23 时，l 1与l 2相交；(2)m ＝－ 23时，l 1与l 2平行； (3)m ＝0时，l 1与l 2垂直．
题型二 距离问题
【例2】 (2011·江苏镇江模拟)已知两条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)，直线
l 2：－4x ＋2y ＋1＝0，且l 1与l 2的距离是
.求a 的值． 分析：直接利用两平行直线间的距离公式求解即可．
解：∵l 2：－4x ＋2y ＋1＝0，∴l 2：2x －y 12-
＝0，∴l 1与l 2距离为d ＝
=
，解得a ＝3或a ＝－4.又a ＞0，
∴a ＝3.
变式2－1: 已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，求一点P 使|PA |＝|PB |，且点P 到l 的
距离等于2.
解：设点P 的坐标为P (a ，b )，∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴AB 的中点M 的坐标为(3，－2)，
AB 的斜率
3142
AB k --=-＝－1， 所以AB 的中垂线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.
而点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，故a －b －5＝0.①又已知点P 到l 的距离为2，得
2.②解①，②组成的方程组，
得
1
4
a
b
=
?
?
=-
?
或
27
7
8
7
a
b
?
=
??
?
?=-
??
于是P(1，－4)和P
278
(,)
77
-为所求的点．
题型三交点及直线系问题
【例3】求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
分析：本题可以先求交点坐标，然后由直线间的位置关系求解，也可以先设出直线系方程，后代入点具体求解．
解：方法一：由
3210
5210
x y
x y
+-=
?
?
++=
?
，得l1，l2的交点P(－1,2)．
又l3的斜率k3＝3
5
，∴l的斜率k＝－
5
3
，
∴l：y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
方法二：∵l⊥l3，故设l：5x＋3y＋C＝0.
又∵l1，l2的交点可以求得为P(－1,2)．
∴5×(－1)＋3×2＋C＝0，∴C＝－1，
∴l：5x＋3y－1＝0.
变式3－1：
已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0.证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．解：将直线l的方程化为：a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，∴无论a，b如何变化，该直线系都恒过直线2x＋y＋1＝0与直线x＋y－1＝0的交点，
由得∴直线l过定点Q(－2,3)
题型四对称问题
【例4】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线l关于点A对称的直线l′的方程．
分析：求对称直线的方程，一是转化为点对称问题，二是用相关点转移法解决
变式4－1：
光线通过点A(－2,4)，经直线l：2x－y－7＝0反射，若反射线通过点B(5,8)．求入射线和反射线所在的直线方程.
解：如图所示，已知直线l：2x－y－7＝0，设光线AC经l上点C
反射为BC，则∠1＝∠2. 再设A关于l的对称点为A′(a，b)，则
∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，则B，C，A′三点共线.
∵A′A⊥l且AA′的中点在l上，
∴
24
270 22
4
21
2
a b
b
a
-+
?
--=??
?
-
?=-
?+
?
解得
10
2
a
b
=
?
?
=-
?
即A′(10，－2).
∴直线A′B的方程为y＋2＝(x－10)，即2x＋y－18＝0.
∴直线A′B与l的交点为C
2511 (,)
42
，
∴入射线AC的方程为y－4＝
11
4
2
25
2
4
-
--
(x＋2)，即2x－11y＋48＝0.
∴入射线方程为2x－11y＋48＝0，反射线方程为2x＋y－18＝0. 易错警示：
【例】讨论直线ax＋y－2＝0与x－ay＋3＝0的位置关系．
错解∵两直线的斜率分别是k1＝－a，k2＝1
a
，
∴k1k2＝－a×1
a
＝－1.∴两直线垂直
正解：若a＝0，则两直线方程分别为y＝2和x＝－3，显然两直线垂直；
若a≠0，由k1k2＝－a×1
a
＝－1知两直线垂直．
综上可知，题目中的两直线垂直．
链接高考
(2010·上海)圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
知识准备：1. 圆心坐标的求法；
2. 点到直线的距离公式的应用．
解析：圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为
314245
?+?+＝3.