新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何圆的方程教案文

一、知识梳理１．圆的方程

标准方程

（x—a）２＋（y—b）２＝r

２（r>0）圆心（a，b）半径为r

一般方程x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0条件：D２＋E２—４F>0圆心：错误!

半径：r＝错误!错误!

点M（x0，y0）与圆（x—a）２＋（y—b）２＝r２的位置关系．

（１）若M（x0，y0）在圆外，则（x0—a）２＋（y0—b）２＞r２.

（２）若M（x0，y0）在圆上，则（x0—a）２＋（y0—b）２＝r２.

（３）若M（x0，y0）在圆内，则（x0—a）２＋（y0—b）２＜r２.

常用结论

１．以A（x１，y１），B（x２，y２）为直径端点的圆的方程为（x—x１）（x—x２）＋（y—y１）（y—y ２

）＝0．

２．二元二次方程表示圆的条件

对于方程x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D２＋E２—４F>0这一条件．

二、习题改编

１．（必修２P１２３练习T２改编）圆x２＋y２—２x＋４y—6＝0的圆心坐标，半径．答案：（１，—２）错误!

２．（必修２P１２0练习T１（２）改编）若圆的圆心为（—8，３），且经过点（—５，0），则圆的标准方程为．

答案：（x＋8）２＋（y—３）２＝１8

３．（必修２P１２４A组T２（２）改编）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（１，１），（２，0）的圆的方程为．

答案：x２＋y２—２x＝0

一、思考辨析

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）确定圆的几何要素是圆心与半径．（）

（２）方程x２＋y２＝a２表示半径为a的圆．（）

（３）方程x２＋y２＋４mx—２y＋５m＝0表示圆．（）

（４）方程Ax２＋Bxy＋Cy２＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D２＋E２—４AF>0．（）

答案：（１）√（２）×（３）×（４）√

二、易错纠偏

错误!（１）忽视方程表示圆的条件D２＋E２—４F>0；

（２）错用点与圆的位置关系判定．

１．方程x２＋y２＋４mx—２y＋５m＝0表示圆的充要条件是（）

Ａ．错误!１

Ｃ．m<错误!Ｄ．m>１

解析：选Ｂ．由（４m）２＋４—４×５m>0，得m<错误!或m>１．

２．点（１，１）在圆（x—a）２＋（y＋a）２＝４内，则实数a的取值范围是．

解析：因为点（１，１）在圆的内部，

所以（１—a）２＋（１＋a）２<４，

所以—１

答案：（—１，１）

求圆的方程（师生共研）

（１）圆心在x轴上，半径长为２，且过点A（２，１）的圆的方程是（）Ａ．（x—２—错误!）２＋y２＝４Ｂ．（x—２＋错误!）２＋y２＝４

Ｃ．（x—２±错误!）２＋y２＝４Ｄ．（x—２）２＋（y—１）２＝４

（２）（一题多解）圆心在直线x—２y—３＝0上，且过点A（２，—３），B（—２，—５）的圆的方程为．

【解析】（１）根据题意可设圆的方程为（x—a）２＋y２＝４，因为圆过点A（２，１），所以（２—a）２＋１２＝４，解得a＝２±错误!，所以所求圆的方程为（x—２±错误!）２＋y２＝４．（２）法一：设点C为圆心，因为点C在直线x—２y—３＝0上，所以可设点C的坐标为（２a＋３，a）．

又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，

即错误!

＝错误!，解得a＝—２，

所以圆心C的坐标为（—１，—２），半径r＝错误!，

故所求圆的方程为（x＋１）２＋（y＋２）２＝１0．

法二：设所求圆的标准方程为（x—a）２＋（y—b）２＝r２，

由题意得错误!解得a＝—１，b＝—２，r２＝１0，

故所求圆的方程为（x＋１）２＋（y＋２）２＝１0．

法三：设圆的一般方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0，

则圆心坐标为错误!，

由题意得错误!解得D＝２，E＝４，F＝—５．故所求圆的方程为x２＋y２＋２x＋４y—５＝0．【答案】（１）C （２）x２＋y２＋２x＋４y—５＝0

错误!

求圆的方程的两种方法

（１）直接法

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

（２）待定系数法

１若已知条件与圆心（a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

２若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．

１．（２0２0·内蒙古巴彦淖尔月考）在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（２，４），B（6，２），则三角形OAB的外接圆方程是．

解析：设三角形OAB的外接圆方程是x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0，由点O（0，0），A（２，４），B （6，２）在圆上可得错误!解得错误!故三角形的外接圆方程为x２＋y２—6x—２y＝0．答案：x２＋y２—6x—２y＝0

２．若圆C经过坐标原点与点（４，0），且与直线y＝１相切，则圆C的方程是．

解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点（0，0）和（４，0），设圆心为（２，m），又因为圆与直线y＝１相切，

所以错误!＝|１—m|，解得m＝—错误!，

所以圆C的方程为（x—２）２＋错误!错误!＝错误!.

答案：（x—２）２＋错误!错误!＝错误!

与圆有关的最值问题（多维探究）

角度一借助几何性质求最值

已知实数x，y满足方程x２＋y２—４x＋１＝0．

（１）求错误!的最大值和最小值；

（２）求y—x的最大值和最小值；

（３）求x２＋y２的最大值和最小值．

【解】原方程可化为（x—２）２＋y２＝３，表示以（２，0）为圆心，错误!为半径的圆．

（１）错误!的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设错误!＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时错误!＝错误!，解得k＝±错误!（如图１）．所以错误!的最大值为错误!，最小值为—错误!.

（２）y—x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时错误!＝错误!，解得b＝—２±错误!（如图２）．

所以y—x的最大值为—２＋错误!，最小值为—２—错误!.

（３）x２＋y２表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图３）．

又圆心到原点的距离为错误!＝２，

所以x２＋y２的最大值是（２＋错误!）２＝7＋４错误!，x２＋y２的最小值是（２—错误!）２＝7—４错误!.

错误!

与圆有关的最值问题的三种几何转化法

（１）形如μ＝错误!形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．

（２）形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．

（３）形如m＝（x—a）２＋（y—b）２形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

角度二建立函数关系求最值

设点P（x，y）是圆：（x—３）２＋y２＝４上的动点，定点A（0，２），B（0，—２），则|错误!＋错误!|的最大值为．

【解析】由题意，知错误!＝（—x，２—y），错误!＝（—x，—２—y），所以错误!＋错误!＝（—２x，—２y），由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程（x—３）２＋y２＝４，故y２＝—（x—３）２＋４，所以|错误!＋错误!|＝错误!＝２错误!.由圆的方程（x—３）２＋y２＝４，易知１≤x≤５，所以当x＝５时，|错误!＋错误!|的值最大，最大值为２错误!＝１0．

【答案】１0

错误!

建立函数关系式求最值

根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．

１．（２0２0·厦门模拟）设点P（x，y）是圆：x２＋（y—３）２＝１上的动点，定点A（２，0），B （—２，0），则错误!·错误!的最大值为．

解析：由题意，知错误!＝（２—x，—y），错误!＝（—２—x，—y），所以错误!·错误!＝x２＋y２—４，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程x２＋（y—３）２＝１，故x２＝—（y—３）２＋１，所以错误!·错误!＝—（y—３）２＋１＋y２—４＝6y—１２．易知２≤y≤４，所以，当y＝４时，错误!·错误!的值最大，最大值为6×４—１２＝１２．

答案：１２

２．设点P是函数y＝—错误!图象上的任意一点，点Q坐标为（２a，a—３）（a∈R），则|PQ|的最小值为．

解析：函数y＝—错误!的图象表示圆（x—１）２＋y２＝４的下半圆（包括与x轴的交点）．令点Q 的坐标为（x，y），则错误!得y＝错误!—３，即x—２y—6＝0，作出图象如图所示．

由于圆心（１，0）到直线x—２y—6＝0的距离d＝错误!＝错误!>２，所以直线x—２y—6＝0与圆（x—１）２＋y２＝４相离，因此|PQ|的最小值是错误!—２．

答案：错误!—２

与圆有关的轨迹问题（师生共研）

已知A（２，0）为圆x２＋y２＝４上一定点，B（１，１）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．（１）求线段AP中点的轨迹方程；

（２）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

【解】（１）设AP的中点为M（x，y），

由中点坐标公式可知，P点坐标为（２x—２，２y）．

因为P点在圆x２＋y２＝４上，所以（２x—２）２＋（２y）２＝４．

故线段AP中点的轨迹方程为（x—１）２＋y２＝１．

（２）设PQ的中点为N（x，y），

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|２＝|ON|２＋|PN|２＝|ON|２＋|BN|２，所以x２＋y２＋（x—１）２＋（y—１）２＝４．

故线段PQ中点的轨迹方程为x２＋y２—x—y—１＝0．

错误!

与圆有关的轨迹问题的四种求法

已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（—１，0），B（３，0）．求：

（１）直角顶点C的轨迹方程；

（２）直角边BC的中点M的轨迹方程．

解：（１）法一：设C（x，y），

因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．

因为AC⊥BC，所以k AC·k BC＝—１，

又k AC＝错误!，k BC＝错误!，

所以错误!·错误!＝—１，

化简得x２＋y２—２x—３＝0．

因此，直角顶点C的轨迹方程为x２＋y２—２x—３＝0（y≠0）．

法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（１，0），由直角三角形的性质知|CD|＝错误!|AB|

＝２．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（１，0）为圆心，２为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）．

所以直角顶点C的轨迹方程为（x—１）２＋y２＝４（y≠0）．

（２）设M（x，y），C（x0，y0），因为B（３，0），M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝错误!，y＝错误!，

所以x0＝２x—３，y0＝２y.

由（１）知，点C的轨迹方程为（x—１）２＋y２＝４（y≠0），

将x0＝２x—３，y0＝２y代入得（２x—４）２＋（２y）２＝４，

即（x—２）２＋y２＝１．

因此动点M的轨迹方程为（x—２）２＋y２＝１（y≠0）．

[基础题组练]

１．已知圆C的圆心为（２，—１），半径长是方程（x＋１）（x—４）＝0的解，则圆C的标准方程为（）

Ａ．（x＋１）２＋（y—２）２＝４Ｂ．（x—２）２＋（y—１）２＝４

Ｃ．（x—２）２＋（y＋１）２＝１6 Ｄ．（x＋２）２＋（y—１）２＝１6

解析：选Ｃ．根据圆C的半径长是方程（x＋１）（x—４）＝0的解，可得半径长为４，故要求的圆的标准方程为（x—２）２＋（y＋１）２＝１6．

２．（２0２0·河北九校第二次联考）圆C的半径为２，圆心在x轴的正半轴上，直线３x＋４y＋４＝0与圆C相切，则圆C的方程为（）

A．x２—y２—２x—３＝0 Ｂ．x２＋y２＋４x＝0

Ｃ．x２＋y２—４x＝0 Ｄ．x２＋y２＋２x—３＝0

解析：选Ｃ．由题意设所求圆的方程为（x—m）２＋y２＝４（m>0），则错误!＝２，解得m＝２或m＝—错误!（舍去），故所求圆的方程为（x—２）２＋y２＝４，即x２＋y２—４x＝0，故选Ｃ．３．方程|x|—１＝错误!所表示的曲线是（）

Ａ．一个圆Ｂ．两个圆

Ｃ．半个圆Ｄ．两个半圆

解析：选Ｄ．由题意得错误!

即错误!或错误!

故原方程表示两个半圆．

４．（２0２0·湖南长沙模拟）圆x２＋y２—２x—２y＋１＝0上的点到直线x—y＝２距离的最大值是（）

Ａ．１＋错误!Ｂ．２

Ｃ．１＋错误!Ｄ．２＋２错误!

解析：选Ａ．将圆的方程化为（x—１）２＋（y—１）２＝１，圆心坐标为（１，１），半径为１，则圆心到直线x—y＝２的距离d＝错误!＝错误!，故圆上的点到直线x—y＝２距离的最大值为d＋１＝错误!＋１，选Ａ．

５．点P（４，—２）与圆x２＋y２＝４上任一点连线的中点的轨迹方程是（）

Ａ．（x—２）２＋（y＋１）２＝１Ｂ．（x—２）２＋（y＋１）２＝４

Ｃ．（x＋４）２＋（y—２）２＝４Ｄ．（x＋２）２＋（y—１）２＝１

解析：选Ａ．设圆上任一点为Q（x0，y0），PQ的中点为M（x，y），则错误!解得错误!因为点Q在圆x２＋y２＝４上，所以x错误!＋y错误!＝４，即（２x—４）２＋（２y＋２）２＝４，化简得（x—２）２＋（y＋１）２＝１．

6．已知a∈R，方程a２x２＋（a＋２）y２＋４x＋8y＋５a＝0表示圆，则圆心坐标是，半径是．

解析：已知方程表示圆，则a２＝a＋２，

解得a＝２或a＝—１．

当a＝２时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．

当a＝—１时，原方程为x２＋y２＋４x＋8y—５＝0，

化为标准方程为（x＋２）２＋（y＋４）２＝２５，

表示以（—２，—４）为圆心，半径为５的圆．

答案：（—２，—４）５

7．过两点A（１，４），B（３，２）且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程为．

解析：设圆的标准方程为（x—a）２＋（y—b）２＝r２.因为圆心在直线y＝0上，所以b＝0，所以圆的方程为（x—a）２＋y２＝r２.又因为该圆过A（１，４），B（３，２）两点，所以错误!解得错误!所以所求圆的方程为（x＋１）２＋y２＝２0．

答案：（x＋１）２＋y２＝２0

8．若圆C与圆x２＋y２＋２x＝0关于直线x＋y—１＝0对称，则圆C的方程是．

解析：设C（a，b），因为已知圆的圆心为A（—１，0），由点A，C关于x＋y—１＝0对称得错误!

解得错误!又因为圆的半径是１，

所以圆C的方程是（x—１）２＋（y—２）２＝１，

即x２＋y２—２x—４y＋４＝0．

答案：x２＋y２—２x—４y＋４＝0

9．求适合下列条件的圆的方程．

（１）圆心在直线y＝—４x上，且与直线l：x＋y—１＝0相切于点P（３，—２）；

（２）过三点A（１，１２），B（7，１0），C（—9，２）．

解：（１）法一：设圆的标准方程为（x—a）２＋（y—b）２＝r２，则有错误!

解得a＝１，b＝—４，r＝２错误!.

所以圆的方程为（x—１）２＋（y＋４）２＝8．

法二：过切点且与x＋y—１＝0垂直的直线为y＋２＝x—３，与y＝—４x联立可求得圆心为（１，—４）．

所以半径r＝错误!＝２错误!，

所以所求圆的方程为（x—１）２＋（y＋４）２＝8．

（２）设圆的一般方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0（D２＋E２—４F＞0），

则错误!

解得D＝—２，E＝—４，F＝—9５．

所以所求圆的方程为x２＋y２—２x—４y—9５＝0．

１0．已知以点P为圆心的圆经过点A（—１，0）和B（３，４），线段AB的垂直平分线交圆P于

点C和D，且|CD|＝４错误!.

（１）求直线CD的方程；

（２）求圆P的方程．

解：（１）由题意知，直线AB的斜率k＝１，中点坐标为（１，２）．

则直线CD的方程为y—２＝—（x—１），即x＋y—３＝0．

（２）设圆心P（a，b），

则由点P在CD上得a＋b—３＝0．１

又因为直径|CD|＝４错误!，所以|PA|＝２错误!，

所以（a＋１）２＋b２＝４0．２

由１２解得错误!或错误!

所以圆心P（—３，6）或P（５，—２）．

所以圆P的方程为（x＋３）２＋（y—6）２＝４0或（x—５）２＋（y＋２）２＝４0．

[综合题组练]

１．（应用型）已知平面区域错误!恰好被面积最小的圆C：（x—a）２＋（y—b）２＝r２及其内部所覆盖，则圆C的方程为．

解析：由题意知，此平面区域表示的是以O（0，0），P（４，0），Q（0，２）所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．

因为△OPQ为直角三角形，

所以圆心为斜边PQ的中点（２，１），半径r＝错误!＝错误!，

因此圆C的方程为（x—２）２＋（y—１）２＝５．

答案：（x—２）２＋（y—１）２＝５

２．已知A（0，２），点P在直线x＋y＋２＝0上，点Q在圆C：x２＋y２—４x—２y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是．

解析：因为圆C：x２＋y２—４x—２y＝0，故圆C是以C（２，１）为圆心，半径r＝错误!的圆．设点A（0，２）关于直线x＋y＋２＝0的对称点为A′（m，n），故错误!

解得错误!故A′（—４，—２）．

连接A′C交圆C于Q，由对称性可知

|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|—r＝２错误!.

答案：２错误!

３．（２0１8·高考全国卷Ⅱ）设抛物线C：y２＝４x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l 与C交于A，B两点，|AB|＝8．

（１）求l的方程；

（２）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

解：（１）由题意得F（１，0），l的方程为y＝k（x—１）（k>0）．

设A（x１，y１），B（x２，y２）．

由错误!得k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0．

Δ＝１6k２＋１6>0，故x１＋x２＝错误!.

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝（x１＋１）＋（x２＋１）＝错误!.

由题设知错误!＝8，解得k＝—１（舍去），k＝１．

因此l的方程为y＝x—１．

（２）由（１）得AB的中点坐标为（３，２），所以AB的垂直平分线方程为y—２＝—（x—３），即y＝—x＋５．

设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），

则错误!

解得错误!或错误!

因此所求圆的方程为（x—３）２＋（y—２）２＝１6或（x—１１）２＋（y＋6）２＝１４４．

４．已知圆C的方程为x２＋（y—４）２＝１，直线l的方程为２x—y＝0，点P在直线l上，过点P 作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.

（１）若∠APB＝60°，求点P的坐标；

（２）求证：经过A，P，C（其中点C为圆C的圆心）三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．

解：（１）由条件可得圆C的圆心坐标为（0，４），|PC|＝２，设P（a，２a），则错误!＝２，

解得a＝２或a＝错误!，

所以点P的坐标为（２，４）或错误!.

（２）证明：设P（b，２b），过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x（x—b）＋（y—４）（y—２b）＝0，

整理得x２＋y２—bx—４y—２by＋8b＝0，

即（x２＋y２—４y）—b（x＋２y—8）＝0．

由错误!解得错误!或错误!

所以该圆必经过定点（0，４）和错误!.