答案第1章 事件与概率

1.从一批产品中随机抽两次，每次抽1件 。以A 表示事件“两次都抽得正品”,B 表示事件“至少抽得一件次品”，则下列关系式中正确的是（ A ） A. A=B B. A=B C. A ?B D.B ?A

2. 某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为（ D ）

A.0.002

B.0.04

C.0.08

D.0.104

3.设A 与B 相互独立， P(A) =0.2,P(B)= 0. 4，则P (|)A B =（ D ）。

A.0.2

B. 0.4

C. 0.6

D. 0. 8

4．设A,B 为B 为随机事件，且A B ?，则AB 等于( C )

A ．A

B B.B C.A D.A

5．设A ，B 为随机事件，则()P A B -= ( B )

A.()()P A P B -

B.()()P A P AB -

C.()()()P A P B P AB -+

D.()()()P A P B P AB +-

6.已知P(A)=0.75, P(B)=0.25, 则事件A 与B 的关系是(D )

A.互相独立

B.互逆

C.A ?B

D.不能确定

7.设每次试验成功率为p(0

A.(1－p)

B.1－p 3

C.1－(1－p)3

D.(1－p)3+p(1－p)2+p 2(1－p)

8．甲、乙、丙三人射击的命中率分别为0.5、0.6、0.7，则三人都未命中的概率为( D )

A ．0.21 B. 0.14 C.0.09 D.0.06

9．若某产品的合格率为0.6，某人检查5只产品，则恰有两只次品的概率是( D )

A ．0.62·0.43 B.0.63·0.42 C.25C ·0.62·0.43 D. 25C ·0.63·0.42

10.已知事件A ，B ，A ∪B 的概率分别为0.5，0.4，0.6，则P (A B )=( B )

A.0.1

B.0.2

C.0.3

D.0

11.设某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为0.6，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是( C )

A.0.63

B.0.62×0.4

C.0.42×0.6

D.2

24C 0.40.6

12.设A,B 为随机事件，则事件“A ,B 至少有一个发生”可表示为( D )

A.AB

B.AB

C.A B

D.A B

13.掷一颗骰子，观察出现的点数。A 表示“出现3点”，B 表示“出现偶数点”，则( B )

A.A B ?

B.A B ?

C.A B ?

D.A B ?

1.若1,2,3,4,5 号运动员随机排成一排，则1号运动员站在正中间的概率为51。

2.一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是__0.6________。（11

3225C C C ）

3.已知

P(A)=0.5, P(B)=0.6及P(B|A)=0.8，则P(A ∪B)=_0.7__________. ()()()()()()()()()0.8,0.5,0.4,P AB P B A P A P AB P A B P A P B P AB P A ===∴=?=+-

4.一批产品有6个正品和2个次品, 从中任意抽取2个产品, 则至少抽取了一个正品的概率为27.28221C -

5.已知随机事件A, B 满足P(AB)=P(A B ), 且P(A) = p, 则P(B)=1- p.

()()()()()()()

()()()()

()()1101P AB P AB P A B P A P B P AB P AB P A P B P AB P A P B ==?=-+-∴=--+=-- 6.．在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，则选中的书都

是科技书的概率为151．2

622C C 7．设随机事件A 与B 相互独立，且()0.5,()0.3P A P AB ==，则()P B =_0.4_____． ()()()()()()B P A P B P A P B A P -==1

8．设A ,B 为随机事件，()0.5,()0.4,()0.8P A P B P A B ===，则()P B A =_0.64_____． ()()()()()()()()()

64.0,32.0====?=A P AB P A B P B A P B P AB P B P AB P B A P 9．设袋中有2个黑球、3个白球，有放回地连续取2次球，每次取一个，则至少取到一个黑球的概率是______．55331??-

=p 10．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=0.3，P (B )=0.4,则()P AB =__0.18____. ()()()()

()()18.0,12.0=-===AB P A P B A P B P A P AB P

11．设P (A )=0.3，P (A ∪B )=0.6，若AB =φ，则P (B )=_0.3___.

12．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则

这2个棋子颜色相同的概率为____________.3

162C 242222==+C C 13.设甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲、乙击中目标的概率分别为0.8，0.5，则甲、乙两人同时击中目标的概率为____0.4_________.

14.设A ，B 为两事件，且P (A )=P (B )=13，P (A |B )= 16

，则P (A |B )=_____________. ()()()()()()()()()()()()()()()()12711111181)()(=--+-=-?-=-?====?=

B P AB P B P A P B P B A P B P B A P B P B A P

B A P B A P B P AB P B P AB P B A P

15.已知事件A ，B 满足P (AB )=P (A B )，若P (A )=0.2，则P (B )=__0.8____.

()()()

()()()()()()B P A P AB P B P A P B A P B A P AB P --=?-+-=?==101

16.设A ，B 分别表示甲、乙两人投篮命中，则A ∪B 表示的事件是至少一人投篮命中.

17.设随机事件A 与B 相互独立，且()0,(|)0.6P B P A B >=，则()P A =_0.4__. ()()()()()()

()()6.01=-====A P P B P B P A P B P B A P

B A P 18.甲、乙两个气象台独立地进行天气预报，它们预报准确的概率分别是0.8和0.7，则在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是__0.56___.

三、计算题

1.设在某条国道上行驶的高速客车与一般客车的数量之比为1：4，假设高速客车因发生故障需要停驶检修的概率为0.002，一般客车因发生故障需要停驶检修的概率为0.01.

（1）求该国道上有客车因发生故障需要停驶检修的概率；

（2）已知该国道上有一辆客车因发生故障需要停驶检修，问这辆客车是高速客车的可能性有多大？

解 设1A 表示“国道上行驶的高速客车”， 2A 表示“国道上行驶的一般客车”

设B 表示“发生故障需要停驶检修”

则()()()()01.0,002.0,5

4,512121====A B P A B P A P A P （1）由全概率公式

()()()()()0084.001.05

4002.0512211=?+?=+=A B P A P A B P A P B P （2）()()()()()0476.00084

.0002.0511111≈?===B P A B P A P B P B A P B A P

2.两台车床加工同样的零件, 第一台出现废品的概率是0.03, 第二台出现废品的概率是0.02， 加工出来的零件放在一起, 并且已知第二台加工的零件比第一台加工的多一倍.

(1)求任意取出的零件是合格品的概率;

(2)如果任意取出的零件是废品, 求它是第二台车床加工的概率.

解设1A 表示“第一台车床加工的零件”， 2A 表示“第二台车床加工的零件”

设B 表示“取出的零件是废品”

则()()()()02.0,03.0,3

2,312121====A B P A B P A P A P （1）由全概率公式

()()()()()300

702.03203.0312211=?+?=+=A B P A P A B P A P B P ()()300

2931==

-=B P B P （2）由贝叶斯公式 ()()()()()()7

4300

7002.0322222=?===B P A B P A P B P B A P B A P 3．某生产线上的产品按质量情况分为A ，B ，C 三类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行抽检，若发现其中两件全是A 类产品或一件A 类一件B 类产品，就不需要调试设备，否则需要调试．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品、B 类品和C 类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．求：(1)抽到的两件产品都为B 类品的概率1P ；(2)抽检后设备不需要调试的概率2P ．

()()9

.0205.09.09.09.02,0025.005.01221=??+?===P P

第一章 随机事件及其概率课后习题参考答案

第一章 随机事件及其概率 1. 1) {}01001,,,.n n n n Ω=L 2) {}{}10,11,12,13,,10.n n Z n Ω==∈≥L 3) 以"'',''"+-分别表示正品和次品，并以""-+--表示检查的四个产品依次为次品，正品，次品，次品。写下检查四个产品所有可能的结果S ，根据条件可得样本空间Ω。 , ,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,. , ,,,S ++--++-++++-+++++---+--++-+-+-++?? =? ?-+---+-+-++--+++-------+--+---++??++--++-++++-+++++--+-+-+-++?? Ω=? ?-+---+-+-++--+++--?? 4) {}22(,)1.x y x y Ω=+< 2. 1) ()A B C ABC --=， 2) ()AB C ABC -=， 3) A B C A B C ++=U U ， 4) ABC ， 5) ()A B C ABC Ω-++=， 6) ()AB BC AC AB BC AC Ω-++=++， 7) ()ABC A B C Ω-=U U ， 8) AB AC BC ++. 3. 解：由两个事件和的概率公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，知道 ()()()() 1.3(),P AB P A P B P A B P A B =+-+=-+ 又因为()(),P AB P A ≤ 所以 （1）当()()0.7P A B P B +==时，()P AB 取到最大值0.6。 （2）当()1P A B +=时，()P AB 取到最小值0.3。 4. 解：依题意所求为()P A B C ++，所以 ()()()()()()()() 1111 000(0()()0)44485.8 P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P ABC P BC ++=++---+=++---+≤≤==Q 5. 解：依题意， ()()() () ()()()() ()()()() ()()0.70.5 0.25. ()()()0.70.60.5 P B A B P BA P B A B P A B P A B P BA BA BA A P A P B P AB P A P BA P A P B P AB ++= = ++=+=+---= ==+-+-Q 6. 解：由条件概率公式得到111()1()()(),(),34 12()2 P AB P AB P A P B A P B P A B ==?=== 所以1 111 ()()()().4 6123 P A B P A P B P AB +=+-=+-= 7. 解：

第一章 随机事件与概率

第一章随机事件与概率 一、选择题 1.下列不属于随机事件的特征的是（） A.试验在相同条件下进行 B.每次实验的结果都相同或者相近 C.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个 D.每次试验必有预知结果的其中一个 答案：B 2.下列说法正确的是（） A.基本粒子构成碳原子 B.在不同高度抛出两枚硬币是正面朝上，这一实验属于随机试验 C.抛掷骰子所有可能结果为{1,2,3,4} D.在相同条件下抛掷硬币不属于随机事件 答案：A 3.下列属于必然事件的是（） A.抛掷硬币出现正面的情况 B.抛掷硬币出现反面的情况 C.抛掷骰子有{1,2,3,4,5,6}出现的情况 D.从装有红球和蓝球的框中取出绿球 答案：C 4.下列属于不可能事件的是（） A.抛掷硬币出现正面的情况 B.抛掷硬币出现反面的情况 C.抛掷骰子有{1,2,3,4,5,6}出现的情况 D.从装有红球和蓝球的框中取出绿球 答案：D 5.抛掷骰子的随机试验中，基本事件包括（） A.1,2,3 B.4,5,6 C.2,4,6 D.A∪B 答案：D 6.现有一批药品共5件，其中有2件是次品。则抽3次抽到的次品数的样本空间是（） A.{0,1,2,3,4,5} B.{1,2,3,4,5} C.{0,1,2} D.{1,2} 答案：C 7.已知A={1，4，7}，则当B=( ),A B A.{1，4，6} B.{1，6，7}

C.{1，2，7} D.{1，4，7} 答案：D 8.已知A={1，4，5，6，7}，B={1,3,5,7},A-B=（ ） A.{4，6} B.{1，4，5，6，7} C.{1，3，4，5，6，7} D.{3} 答案：A 9.已知A 的概率为0.3，B 的概率为0.4，A 和B 互斥，则AB 的概率为（ ） A.0 B.0.3 C.0.4 D.0.1 答案：A 10.关于事件的运算，下列说法错误的是（ ） A.BA AB = B.()()BC A C AB = C.()AC AB C B A +=+ D.B A AB +=_____ 答案：D 11.在随机试验中，一共做了20次试验，其中出现红色的次数为5次，则出现红色的概率为（ ） A.4 B.0.25 C.3 D.0.75 答案：B 12.关于古典概型，下列说法正确的是（ ） A.试验的结果可以是有限个，也可以是无限个。 B.每种结果的概率可以是相同的，也可以是不相同的。 C.每个结果之间是互不相容的。 D.古典概型的无法用计算公式进行计算。 答案：C 13.已知事件A 的概率为0.6，事件B 的概率为0.3，事件A 、B 为互斥事件，则事件A+B 的概率为（ ） A.0.6 B.0.9 C.0.8 D.0.3 答案：B 13.已知事件A 的概率为0.6，事件B 的概率为0.3，B ?A ，则事件A+B 的概率为（ ）

随机事件与概率 考研试题

第一章 随机事件与概率 一、填空题 1．（1990年数学一）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4，0.3和0.6若B 表示B 的对立事件，那么积事件AB 的概率P AB （） =_________． 【解题分析】要求P AB （）时,一般应想到AB A B A AB =-=-，这是事件的差与事件的积之间常见的转化关系，AB A ?而,所以有, () ()()P AB P A P AB =-,这时只需要求出 ()P AB 即可. 解: ()()()()P A B P A P B P AB =+- ， 又 () ()()P AB P AB P A +=， 所以 () ()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= . 本题用文氏图考虑求解思路更为直观,见图10-1. 图10-1 注:本题()0.4P A =是多余的. 2．（1991年数学四）设A ，B 为随机事件，()0.7,P A =()0.3P A B -=,则 () P AB =________． 【解题分析】 要求() P AB ,由于AB AB 与是对立事件,只要求出()P AB 即可.利用关系A B A AB -=-，()()()P A B P A P AB -=-，可得()P AB . 解:由题设()()() 0.7,0.3P A P A B P AB =-==， 利用公式 AB AB A +=，知 ()()()0.70.30.4P AB P A P AB =-=-=, 故 () ()110.40.6P AB P AB =-=-=． 本题也可利用图10-1考虑求解思路. 3．（2000年数学一）设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =________．

概率论第一章随机事件及其概率答案2

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<

概率论与数理统计教程习题(第一章随机事件与概率)

习题1（随机事件及其运算） 一．填空题 1. 设A ，B ，C 是三个随机事件，用字母表示下列事件： 事件A 发生，事件B ，C 不都发生为 ； 事件A ，B ，C 都不发生为 ； 事件A ，B ，C 至少一个发生为 ； 事件A ，B ，C 至多一个发生为 . 2. 某人射击三次，用A i 表示“第i 次射击中靶”(i =1,2,3).下列事件的含义是： 1A 表示 ； 321A A A 表示 ； 321321321A A A A A A A A A ++表示 ； 321A A A 表示 . 3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生”，用B 表示“选到的是二年级的学生”，用C 表示“选到的是运动员”。则式子ABC=C 成立的条件是 . 二．选择题 1. 在事件A ,B ,C 中，B 与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ）. ① A BC A = ； ② A BC A = ； ③ Φ=BC A ； ④ Ω=BC A . 2. 用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ ）. ① “甲产品滞销，乙产品畅销”； ② “甲、乙产品都畅销”； ③ “甲产品滞销或乙产品畅销”； ④ “甲、乙产品都滞销”. 3. 若概率0)(=AB P ，则必有（ ）. ① Φ=AB ； ② 事件A 与B 互斥； ③ 事件A 与B 对立； ④ )()()(B P A P B A P += .

三．解答题 1. 将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为偶数}；=B {点数之和能被3整除}. 2. 将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为6}；=B {点数之差为2}. 3. 某城市发行日报和晚报两种报纸。有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%，求下列事件的概率：C ={至少订一种报}；D ={恰订一种报}；E ={不订任何报}. 4. 若已知,2.0)(,0)()(,3.0)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P 求概率)(ABC P ；)(C B A P ；).(C B A P

第一章 概率论的基本概念重点和难点

第一章概率论的基本概念 一、重点、难点概要复述 随机事件的定义及事件间的关系；概率的定义及性质；常见的三大概率模型：古典概型，几何概型，贝努利概型；条件概率与三大公式：乘法公式，全概公式，贝叶斯公式；事件的独立性。 1.设事件表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则表示_________________. 2.设为事件，则都发生可表示为___________________；发生但与不发生可表示为_______________；中不多于一个发生可表示为 ________________. 3．设为随机事件，则。 A．B． C．D． 4. 设为随机事件，则。 A． B． C． D． 5.设事件满足，则 _______. 6.将20本书随机放入书架，则指定的某3本书挨在一起的概率是 ____________. 7.向半径为的圆内随机抛一质点，则质点落入圆内接正方形区域的概率为__________. 8.将一枚骰子连续抛掷100次，则事件“出现1点或6点”至少发生2次的概率为_______. 9. 一批灯泡共100只，其中10只为次品。做不放回抽取，每次取1只，则第3 次才取到正品的概率为___________. 10. 三个箱子，第一个箱子有4个黑球、1个白球，第二个箱子有3个黑球、3个白球，第三个箱子有3个黑球、5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中任取一个球，则这个球为白球的概率为 ___________。若已知取得的球为白球，则此球属于第二个箱子的概率

为__________. 二、常见问题及解法 (一) 随机事件的表示： 1．随机事件的表示：设为随机事件，则 i）同时发生可表示为； ii）至少有一个发生可表示为； iii）发生但不发生可表示为 （二）随机事件概率的求法 1．利用加法公式： 2. 应用乘法公式：，其中. ，其中。 注：若，则由乘法公式可得 从而，也即与可以相互转换。又因 ； 故，可相互转换。 3. 在古典概型中求事件的概率： 4. 在几何概型中求事件概率： 5. 在贝努利概型中求事件的概率：在重貝努利试验中，事件每次发生的 概率为，则事件 恰发生次的概率为：，。 6. 利用全概公式与逆概公式求概率：设是完备事件组，，是任一个事 件，则 （i）全概公式: （ii）逆概公式：，其中。 （三）事件独立性的判断 1. 根据实际问题直观判断 2. 根据定义来判断或证明：事件相互独立当且仅当。 三、拓展练习 1.设事件满足求 2.设事件满足，已知，求。 3．设事件满足，，， 求至少有一个发生的概率为。 4. 设事件满足 则有 （A） （B） （C） （D） 5. 设事件满足则

(完整word版)第一章_随机事件及其概率习题

第一章 随机事件及其概率 习题一 一、填空题 1．设样本空间}20|{≤≤=Ωx x ，事件}2341|{ },121| {<≤=≤<=x x B x x A ，则B A Y 1 3{|0}{|2}42x x x x =≤<≤≤U , B A 113{|}{|1}422 x x x x =≤≤<

第1章 事件与概率

第1章事件与概率 1.1 内容框图 随机事件 事件的概率事件的独立性 各种定义计算公式独立试验序列 1.2 基本要求 (1)了解随机事件的定义。 (2)掌握事件的关系和运算。 (3)熟练掌握古典概率。 (4)掌握条件概率的定义、概率的乘法公式。 (5)熟练掌握全概率公式和贝叶斯公式。 (6)掌握事件的独立性，以及独立重复试验序列。 1.3 内容概要 1）随机试验与随机事件 (1)随机试验作为概率论研究的对象具有如下三个特点： 重复性：试验可以在相同的条件下重复进行； 已知性：每次试验所有可能出现的结果是已知的； 不确定性：每次试验在试验结束之前，具体出现哪一个结果是不确定的。 (2)随机试验的每一个可能结果均称为随机事件，是样本空间的一个子集。一般用大写的英文字母A、B、C…表示。特别地，每次试验中一定会发生的事件称为必然事件，记为Ω。每次试验中一定不会发生的事件称为不可能事件，记为?。 2）事件的关系和运算 (1)事件A与B的和： ? +== A B A B U{A与B至少有一个发生} (2)事件A与B的积： ? == AB A B I{A与B同时发生} (3)事件A与B的差： ? -== A B AB{A发生而B不发生} (4)包含关系：若事件A发生必导致事件B发生，称事件B包含事件A，记为. ? A B

(5)相等关系：若?A B 且?B A ，则称A 与B 相等，记为.=A B (6)互不相容(互斥)：若事件A 与B 不可能同时发生，即=?AB ，则称A 与B 互不相容。 (7)互相对立(互逆)：若A 与B 同时满足：,Ω+==?A B AB ，则称A 与B 互相对立，B 为A 的对立事件，记为=B A 。 3）古典概率与几何概率 (1)古典概型具有两个特征： 有限性：样本点的个数为有限个； 等可能性：每个样本点发生的可能性相等。 在古典概型中，事件A 的概率为 (2)几何概型具有两个特征： ①试验的结果是无限且不可列的； ②每个结果发生的可能性是均匀的。 在几何概型中，事件A 的概率为 ()Ω=A M P A M 其中ΩA M M 与分别为事件A 与样本空间Ω的几何度量。 4）概率的性质与运算公式 (1)0()1,()1,()0Ω≤≤=?=P A P P 。 (2)有限可加性：若12,,,n A A A L 互不相容，则 11 ()==??= ???∑∑n n i i i i P A P A (3)()1()=-P A P A 。 (4)()()()()-==-P A B P AB P A P AB 特别地，当?B A 时，有()()()-=-P A B P A P B (5)加法公式: 对任意事件A 、B 、C ，有 ()()()()+=+-P A B P A P B P AB ()()()()()()()()++=++---+P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC (6)条件概率：当()0>P B 时，()(|)() =P AB P A B P B (7)乘法公式：对任意两个事件A 、B ，当()0,()0>>P A P B 时有 ()()(|)()(|)==P AB P A P B A P B P A B (8)全概率公式：设事件组12,,,n B B B L 互不相容，且()0>i P B ，事件1==?∑i n i i A B ，则有 1()()(|)==∑n i i i P A P B P A B (9)贝叶斯公式：设事件组12,,,n B B B L 互不相容，且()0>i P B ，事件1==?∑i n i i A B ，则有 A 包含的样本点数 样本点总数 ()= P A

第一章 事件与概率

复旦大学《概率论基础》习题答案 （第一版） 第一章 事件与概率 2、解：（1）ABC A C A B A ABC A BC A ??????=且显然)(，若A 发生，则B 与C 必同时发生。 （2）A C ?????=且A B A C B A C B A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。 （3）A C AB ??与B 同时发生必导致C 发生。 （4）C B A BC A ???，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。 3、解：n A A A 21)()(11121----++-+=n n A A A A A A (或)＝121121-+++n n A A A A A A A ．

6、解：（1）{至少发生一个}=D C B A . （2）{恰发生两个}=C A BD B A CD D A BC C B AD D B AC D C AB +++++. （3）{A ，B 都发生而C ，D 都不发生}=D C AB . （4）{都不发生}=D C B A D C B A =. （5）{至多发生一个}=C B A D D B A C D C A B D C B A D C B A ++++ CD BD BC AD AC AB =. 8、解：（1）因为n n n n n n x nC x C x C x ++++=+ 2211)1(，两边对x 求导得 12112)1(--+++=+n n n n n n x nC x C C x n ，在其中令x=1即得所欲证。 （2）在上式中令x=-1即得所欲证。 （3）要原式有意义，必须a r ≤≤0。由于k b b k b r b b a r a b a C C C C -++-+==,，此题即等于 要证∑=++-+≤≤=a k r b b a k b b r k a a r C C C 00,.利用幂级数乘法可证明此式。因为 b a b a x x x ++=++)1()1()1(，比较等式两边r b x +的系数即得证。 9、解：15.0335/311151516===A A A A P 10、解：（1）第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任 意排，所以5/2!5/!42=?=p （2）可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷

(第一章)随机事件与概率习题

第一章 随机事件与概率 亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策。 ──祖冲之 内容提要 1. 事件间的关系与运算（四种关系：包含关系、互不相容、对立和相互独立；三种运算：和、积与差；若干运算规律：交换律、结合律、分配律和对偶律：1111,n n n n i i i i i i i i A A A A ===== = ） 2. 确定概率的三种方法：频率方法（(()(),n k A P A f A n n ≈=出现的次数)充分大(试验的总次数) ）；古典方法（用于求古典概型的随机试验中各种结果出现的概率：()k A P A n =（中的样本点数）（样本点总数））； 几何方法（用于求几何概型的随机试验中各种结果出现的概率：()A S A P A S Ω=Ω（的度量）（的度量） ）； 3. 概率的公理化定义及其简单性质 （1） 公理化定义：概率是定义在事件域Φ 上的非负、规范、可列可加的实值函数： ()()()()()o o 1:P A 021 o 3,,() 1212P P A A P A P A A A i j i j ≥Ω==++=?≠ 非负性规范性：可列可加性： （2） 性质： 11 1111. ()0,2.:,,()3.()()()()() 4.()1(), 5. 6.()()()()()(n n n i i i i n n i i i j i i i P A A P A P A A B P B A P B P A P A P B P A P A P A B P A P AB P A B P A P B P AB P A P A P A A ===≤=?=??= ?????-=-≤=--=-=+-??=- ???∑∑ o o o o o o 1有限可加性若互不相容，则单调性：且（）（）（），加法公式:，一般地 111)()(1)n n i j k i j n i j k n i P A A A P A -<≤≤<<≤=??+++- ??? ∑∑ 4. 条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes 公式） （1） 条件概率的定义 直观上的定义：已知A 出现的条件下B 发生的概率称为在A 发生的条件下B 的条件概率，记

第一章事件与概率

第一章：事件与概率 1.1随机事件和样本空间 1.2概率和频率 1.3古典概率 1.4概率的公理化定义及概率的性质 1.5条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 1.6独立性 1.7贝努里模型 本章要求掌握： ●利用古典概率和可加性定理计算概率。 ●利用条件概率与乘法公式计算概率 ●利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率 第二章：离散型随机变量 2.1一维随机变量及分布列 2.2多维随机变量、联合分布列和边际分布列 2.3随机变量函数的分布列 2.4数学期望的定义及性质 2.5方差的定义及性质 2.6条件分布与条件数学期望 本章要求掌握： ●清楚一维随机变量及分布列，清楚多维随机变量及联合分布列和边际分布列、并且 会计算各种分布列 ●会计算随机变量函数的分布列 ●清楚数学期望和方差的定义，会计算。 ●清楚条件数学期望 第三章：连续型随机变量 3.1随机变量及分布函数 3.2连续型随机变量 3.3多维随机变量及其分布 3.4随机变量函数的分布 3.5随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式 3.6条件分布与条件期望、回归与第二类回归 本章要求掌握： ●清楚连续型随机变量及分布函数，清楚多维随机变量及分布、并且会计算各种分布 ●会计算随机变量函数的分布 ●清楚数学期望和方差的定义，会计算。 第四章：大数定律与中心极限定理

4.1大数定律 4.2随机变量序列的两种收敛性 4.3中心极限定理 本章要求掌握： ●清楚中心极限定理、并会计算。 ●随机变量序列的两种收敛性的区别 ●清楚中心极限定理。 第五章：数理统计的基本概念 5.1母体与子样、经验分布函数 5.2统计量及其分布 5.3次序统计量及其分布 本章要求掌握： ●母数理统计的一些基本概念。 ●统计量 ●次序统计量。 第六章：点估计 6.1矩法估计 6.2极大似然估计 6.3罗–克拉美不等式 6.4充分统计量 6.5罗- 勃拉克维尔定理和一致最小方差无偏估计 本章要求掌握： ●矩法估计。 ●极大似然估计 ●一致最小方差无偏估计 第七章：假设检验 7.1假设检验的基本思想和概念 7.2参数假设检验 7.3正态母体参数的置信区间 7.4非参数假设检验 本章要求掌握： ●参数假设检验。 ●正态母体参数的置信区间 ●非参数假设检验。 第八章：方差分析和回归分析

答案第1章 事件与概率

1.从一批产品中随机抽两次，每次抽1件 。以A 表示事件“两次都抽得正品”,B 表示事件“至少抽得一件次品”，则下列关系式中正确的是（ A ） A. A=B B. A=B C. A ?B D.B ?A 2. 某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为（ D ） A.0.002 B.0.04 C.0.08 D.0.104 3.设A 与B 相互独立， P(A) =0.2,P(B)= 0. 4，则P (|)A B =（ D ）。 A.0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0. 8 4．设A,B 为B 为随机事件，且A B ?，则AB 等于( C ) A ．A B B.B C.A D.A 5．设A ，B 为随机事件，则()P A B -= ( B ) A.()()P A P B - B.()()P A P AB - C.()()()P A P B P AB -+ D.()()()P A P B P AB +- 6.已知P(A)=0.75, P(B)=0.25, 则事件A 与B 的关系是(D ) A.互相独立 B.互逆 C.A ?B D.不能确定 7.设每次试验成功率为p(0

第一章 随机事件与概率-教案

第一章随机事件与概率－教案引言在这一章将介绍： ·《概率》中用到的基本概念和术语， ·随机事件之间的关系以及概率的基本关系式, ·再介绍应用非常广泛的两类概率问题：等可能概型、n重贝努利概型. 这一章是学习《概率》的基础. §1.1 随机事件 【教学目的】 1.理解《概率》研究的对象是随机现象的统计规律性，随机现象的特点具有不确定的一面，即试验前哪一个结果发生不知道，也有确定性的一面，即统计规律性，也称频率稳定性. 2.理解随机试验的条件，样本点、样本空间术语. 3.理解随机事件术语，掌握随机事件的关系、运算与运算律，注意 （1）从发生的角度清楚事件的关系与运算的涵义； （2）熟练掌握由简单事件表示复杂事件的方法； （3）掌握事件关系的常用变形，如 -=-=，A S A =+，A B A AB AB A B A AB B AB +=+=+，A AB AB =-； （4）理解事件互斥与对立不等价. 【教学内容】 一、随机现象与频率稳定性 确定性现象 ◆自然与社会存在两类现象不确定性现象随机现象 其他 随机现象的特点不确定性——事情发生之前，不清楚那一个结果会发生. 确定性——频率稳定性，也称作统计规律性. 《概率论与数理统计》研究的对象即随机现象的统计规律性. ◆又《概率论》是研究概率的，“概率”与“统计规律性”什么关系？以后解决. 二、随机试验、样本空间

1．随机试验 定义1对随机现象作实验或观察，且具有如下三个特点，统称为随机试验，记作E. （1）可以在相同条件下重复进行； （2）试验的可能结果不唯一，全部可能结果已知； （2）试验前不能确定哪一个结果发生. 注关于“相同”当然只能是相对而言，事实上正是因为有很多不确定因素的影响，才造成了结果的不确定性. 2．样本点样本空间 ·随机试验的每一个结果称为样本点，记作e、ω等. ·全部可能结果，即全体样本点组成的集合，称为样本空间，记为S，即S={e}. 例1看如下随机试验与相应的样本空间. （1） E：掷一颗色子，观察出现的点数. 1 E：一枚硬币掷两次，观察朝上一面的图案.记字面朝上为正，朝下为反. （2）2 （3） E：记录120急救站一个小时内接到的呼叫次数. 3 （4） E：对灯泡做破坏性试验，记录灯泡的寿命. 4 E：按户调查城市居民食品、穿衣的支出. （5） 5 其中， S，2S的样本点数为有限个，称为有限样本空间. 3S，4S，5S中样本点数为无限个，称为无 1 限样本空间. 又 S中样本点可按一定顺序排列，简称可列样本空间.4S，5S中样本点则不可排列. 3 三、随机事件的概念、关系与运算 1．随机事件 ◆随机试验E的样本空间S的子集，称为E的随机事件，通常记为A、B、C等. ◆随机事件发生是常用的一个术语，规定： 随机事件A发生的充分必要条件是随机试验时A中的一个样本点出现. 利用符号“?”表示“充分必要”也称“等价”，则随机事件发生的规定可以简记为： 随机事件A发生?随机试验时A中的一个样本点出现. ◆特殊的随机事件： e}或e； 基本事件：一个样本点构成的事件，记作{ 必然事件：每次试验都必然发生的事件，即样本空间S； 不可能事件：每次试验都不会发生的事件，即空集φ. 2．事件间的关系与运算

第一章 随机事件与概率(中山大学)

第一章 随机事件与概率 1．从0,1,2,,9十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间： (1)放回时的样本空间1Ω (2)不放回时的样本空间2Ω 解： (1) 100 01 02 0910 11 12 1990 91 92 99??????Ω=????????，(2)2 01 02 03 0910 12 13 1990 91 92 98??????Ω=???????? 2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间： (1)不放回时的样本空间1Ω (2)放回时的样本空间2Ω 解：(1)Ω１＝{红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝ (2)Ωn 个 ２＝｛红，白红，，白白白红｝ 5.设样本空间{0,1,2,,9},A Ω=事件＝{2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6}，求： (1)A B (2) ()A B C 解：(1) {2,3,4,5}A B A B A B === (2) ()(){4,5} {0,1,5,6,7,8,9}{4,5} {0,1,4,5,6,7,8,9}A B C A BC A ==== 11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。 解： 214!12P == 15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。 解：4105040n A ==，3112 94882296k A C C A =+=

22960.465040k p n ∴= == 14. 设n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r 个人的概率。如果n 个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r 个人的概率与r 无关，都是1 1n -（在圆排列中，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）。 解：(1)基本事件数为!n ，设甲排在第i 位，则乙排在第i+r+1位， 1,2,,1i n r =--，共1n r --中取法，其余n-2个位置是n-2个人的全排列，有（n-2）!种，甲乙位 置可调换，有12C 种，故有利事件数由乘法原理有 12C （n-r-1）(n-2)!，由古典概型的计算公式，得 1 22(1)(1)C n r P n n --== -（n-r-1）(n-2)!n! 甲乙相邻的概率为： 12(1)!2!C n P n n -== 另解１：先固定甲，有n 种，再放置乙，有n-1,基本事件数有(1)n n -,有利事件 数为2(n-r-1).故有 2(1)(1)n r P n n --= - 另解2:先在甲乙之间选出r 个人，然后将甲乙与这r 个人看成一个整体与剩下的n-r-2个人作全排列. 212212(1)!(1)r n r n n r A A A n r P n n n -------== - (2)环排列：甲乙按顺时针方向排列，中间相隔r 个人的基本事件数是 n 个位置取 2个人的排列，共有2n A 种，而甲的位置选取有n 种选法，故由古典概型的计算有 21 1n n P A n = =- 甲乙相邻的情形：设甲乙合一个位置，甲乙可互换，则甲乙相邻有2(2)!n -种排 列，故 2(2)!2(1)!1n P n n -== --. 另解：一圈有n 个位置，甲占一个后，乙还有n-1个，与甲相邻的共2个,故21P n = -(只考虑乙) 16.口袋内有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角的概率. 解: 基本事件数为 5 10252n C ==,有利事件数为 1) 2个伍分,其他任意,有23 2856C C = 2) 1个伍分,2个贰分:12223560C C C =

概率论与数理统计教程习题(第一章随机事件与概率)

3. ① 43=4 ②事件A 与B 互斥: 习题1 （随机事件及其运算） 一-填空题 1. 设儿8- C 是三个随机事件，用字僻表示下列事件: 事件A 发生，事件8, C 不都发生为 用A 表示“第/次射击中靶"（扫123）.下列事件的含义是: 人表示. A/2人3 + 4/?每+ 4/?比 表示. 瓦U 兀U 召表示, 3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生X 用B 表示“选到的是二 年级的学 生”，用C 表示“选到的是运动员”。则式T ABC=C 成立的条件是 1. 在事件ASX 中，8与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ① A\JBC = A, ② A\JBC = A, ③ AUBC = 4 ④ AUBC = n. 4, 若槪率P （AB ）=O,则必有（ 事件 B, C 都不发生为 事件A, 8, C 至少一个发生为 事件A, B, C 至多一个发生为 2?用 A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”, 则A 表示（ ①“甲产品滞销.乙产品畅销”: ②“甲、乙产品都畅销S ③“甲产品滞销或乙产品畅销I ④“甲、乙产品都滞销”. 2.某人射击三次,

③事件A与B对立: ④ P(A\JB) = P(A) + P(B). 三-解答题 1?将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间C及事件&=｛点数之和为偶数｝：B = ｛点数之和能被3整除｝? 2?将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Q及事件A=｛点数之和为6｝：B = ｛点数之差为2｝? 3.某城市发行日报和晚报两种报纸。有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%,求下列事件的概率：C=｛至少订一种报｝； D巩恰订一种报｝: &｛不订任何报｝? 4?若已知 P(A) = P(B) = P(C) = 03. P(AB) = P(AC) = 0? P(BC) = 02求概率P(ABC)： P(AUBUC)： P(ABC).

第一章随机事件与概率-概念总结

第一章随机事件与概率－概念总结 一、教学要求 1．理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算． 2．了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算． 3．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算． 4．理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算． 5．掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率． 本章重点：随机事件的概率计算． 二、知识要点 1．随机试验与样本空间 具有下列三个特性的试验称为随机试验： (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； · (2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果； (3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现． 试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用Ω表示，其中的每一个结果用e 表示，e 称为样本空间中的样本点，记作{}e Ω=． 2．随机事件 在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件)．通常把必然事件(记作Ω)与不可能事件(记作φ) 看作特殊的随机事件． 3．事件的关系及运算 (1) 包含：若事件A 发生，一定导致事件B 发生，那么，称事件B 包含事件A ，记作 A B ?(或B A ?)． (2) 相等：若两事件A 与B 相互包含，即A B ?且B A ?，那么，称事件A 与B 相等，记作A B =． (3) 和事件：“事件A 与事件B 中至少有一个发生”这一事件称为A 与B 的和事件，记 作A B ?；“n 个事件1,2, ,n A A A 中至少有一事件发生”这一事件称为 1,2, ,n A A A 的和，记作12n A A A ?? ?（简记为1 n i i A =）． (4) 积事件：“事件A 与事件B 同时发生”这一事件称为A 与B 的积事件，记作A B ?(简 记为AB )；“n 个事件1,2, ,n A A A 同时发生”这一事件称为1, 2, ,n A A A 的积 事件，记作12n A A A ???（简记为12 n A A A 或1 n i i A =)． (5) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ=，那么称事件A 与B 互不相 容(或互斥)，若n 个事件1,2, ,n A A A 中任意两个事件不能同时发生，即i j A A φ=(1 ≤i

第一章随机事件及其概率

第一章 随机事件与概率 §1.1 随机事件及其运算 1．1．1 随机现象 在一定条件下必然出现的现象叫做确定性现象。 在相同的条件下可能出现也可能不出现，但在进行了大量重复地观测之后，其结果往往会表现出某种规律性的现象叫做随机现象。(举例) 为了研究和揭示随机现象的统计规律性，我们需要在相同条件下对随机现象进行大量重复地观测、测量或试验，统称为随机试验。也有很多随机试验是不能重复的，比如某些经济现象、比赛等。概率论与数理统计主要研究能够大量重复的随机现象，但也十分注意不能重复的随机现象的研究。 1．1．2 样本空间 用{}ωΩ=表示随机现象的一切可能基本结果组成的集合，称为样本空间。样本空间的元素，即每个基本结果ω，称为样本点。 例1 抛掷一枚硬币，观察正面和背面出现（这两个基本结果依次记为1ω和 2ω）的情况，则该试验的样本空间为12{,}ωωΩ= 例2 一枚骰子，观察出现的点数，则基本结果是“出现i 点”，分别记为i ω（i ＝1，2，3，4，5，6），则该试验的样本空间为123456{,,,,,}ωωωωωωΩ= 例3 在一只罐子中装有大小和形状完全一样的2个白球和3个黑球，依次在2个白球上标以数字1和2，在3个黑球上标以数字3，4和5，从罐子中任取一个球，用i ω表示“取出的是标有i 的球”（i ＝1，2，3，4，5），则试验的样本空间为12345{,,,,}ωωωωωΩ= 例4 在一个箱子中装有10个同型号的某种零件，其中有3件次品和7件合格品，从此箱子中任取3个零件，其中的次品个数可能是0，1，2，3，试验的样本空间为{0,1,2,3}Ω= 例5 某机场问讯电话在一天内收到的电话次数可能是0，1，2，…，则试验的样本空间为{0,1,2,}Ω=L 例6 考察某一大批同型电子元件的使用寿命（单位：h ），则使用的样本空间为[0,)Ω=+∞ 注意： 1样本空间中的元素可以是数也不是数； 2样本空间至少有两个样本点，仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间；