第一章三角形的证明
一、重要知识点:
1、全等三角形
(1)性质:全等三角形的对应边、对应角相等。
( 2)判定:“ SAS”、SSS 、AAS 、ASA 、HL( 直角三角形) 。
2、等腰三角形
'(1)性质:①等腰三角形的两底角相等。(“等边对等角”) ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一)。
(2)判定:① 有两边相等的三角形是等腰三角形
② 有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)
( 3)反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出与已知条件相矛盾的结果
命题:由条件和结论组成
逆命题:由结论和条件组成
3 、等边三角形 ( 1) 定义:三条边都相等的三角形是等边三角
形。
(2)性质:①三个内角都等于60度,三条边都相等
②具有等腰三角形的一切性质。
(3)判定:①三个角都相等的三角形是等边三角形
②有一个角等于60 度的等腰三角形是等边三角形。
4、直角三角形
(1) 定理:在直角三角形中,如果一个锐角是30 度,那么它所对
的直角边等于斜边的一半。
(2) 定理:在直角三角中,斜边上的中线等于斜边的一半
(3) 直角三角形的两锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形
(4) 勾股定理;直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平
方,那么这个三角形是直角三角形
( 5)“斜边、直角边”或“ HL” 直角三角形全等的判定定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
定理的作用:判定两个直角三角形全等
5、线段的垂直平分线
( 1 )线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相
2 )到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
6、角平分线
(1)角平分线上的点到这个叫的两边的距离相等(2)在一个角的
内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
二、考点:
考点 1 等腰三角形的性质
1.已知等腰三角形的一个底角为80°,则这个等腰三角形的顶角为()
A.20°B.40°C.50°D.80°
2.等腰三角形的两条边长分别为 5 cm和6 cm,则它的周长是
3. 已知等腰三角形ABC的腰AB= AC= 10 cm,底边BC= 12。口,则厶ABC的角平分线AD的长是 ______ cm.
考点 2 等腰三角形的判定
1. 如图15-4,在厶ABC中, / B=Z C,AB= 5,则AC 的长为(
)
A. 2 B . 3 C . 4 D . 5
2. 如图15-5,在厶ABC中,AB= AC 点D, E在BC边上,
/ ABD=Z DAE=Z EAC= 36°,则图中共有等腰三角形的个数是
()
A. 4 B . 5 C . 6 D . 7
5
B ------------------- C
图15 —4
考点3等边三角形的性质
1. 边长为6 cm的等边三角形中,其一边上高的长度为__________ .
2. 如图15-6,已知△ ABC是等边三角形,点B, C, D, E在同
一直线上,且CG= CD DF= DE 则/ E= ___________ .
考点4直角三角形
1. 在Rt△ ABC中,/ ACB= 90°, AB= 10, CD是AB边上的中线,
则CD的长是()
5
A. 20 B . 10 C . 5 D. 2
2. 在△ ABC中,/ C= 90° ,Z ABC= 60° , BD平分/ ABC交AC
于点D,若AD= 6,则CD= _______ .
考点5勾股定理及其逆定理
5
1. 在Rt△ ABC中,/C= 90°, a= 9, b= 12,贝U c 的长为()
A. 6 B . 9 C . 15 D.
2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长,不能构成直角三角形的是()
A. 3,4,5 B . 6,8,10
C. ;3,2, :5 D . 5, 12, 13
考点6垂直平分线的性质和判定
1. __________________________________________________ 点P在线段AB的垂直平分线上,PA= 7 则PB= ______________ .
2. 如图15-3所示,用两根钢索加固直立的电线杆AD若要使
钢索AB与AC的长度相等,需加 _______________ 条件,理由是
考点7角平分线的性质和判定
1. 如图15- 1,在厶ABC中,/ C= 90°,/ BAC的
平分线交BC于点D,若CD= 4,则点D到AB的距离是
2 .如图15-2,点D在BC上,DEL AB DF丄AC,且DE= DF,则线段人。是厶ABC的()
A.高B .角平分线 C .垂直平分线D .中线
B D C
第一章检测题
一、选择题
1. 已知等腰三角形的两边长分别为 5 cm. 2 cm,则该等腰三角
形的周长是
()
A. 7 cm B . 9 cm C . 12 cm或者9 cm
D. 12 cm
2. 一个等腰三角形的顶角是40°,则它的底角是()
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
3 .已知△ ABC的三边长分别是6cm 8cm 10cm 则厶ABC的面积是()
三角形的证明知识点汇总 知识点1 全等三角形的判定及性质 判定定理简称 判定定理的内容 性质 SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对应边相等、对应角相等 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL (Rt △) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。简述为:等边对等角 在△ABC 中,若AB=AC ,则∠B=∠C 条件:边相等,即AB=AC 结论:角相等,即∠B=∠ C 推论 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直,简述为:三 线合一 在△ABC ,AB=AC ,AD ⊥BC , 则AD 是BC 边上的中线,且 AD 平分∠BAC 条件:等腰三角形中已知顶点的平分线,底边上的中线、底边上的高线之一 结论:该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段:1、等腰三角形两底角的平分线相等;2、等腰三角形两腰上的高相等;3、两腰上的中线相等;4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理 等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60度 解读 (1)等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 (2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形,但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形,简述为:等校对等边 在△ABC 中,若∠B=∠C 则AC=BC 条件:角相等,即∠B=∠C 结论:边相等,即AB=AC 解读 对“等角对等边”的理解仍然要注意,他的前提是“在同一个三角形中” 拓展 判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形;2、利用等腰三角形的判定定理,即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念 证明的一般步骤
第七章平行线的证明专题专练 专题一定义与命题 一、知识要点 1.定义:对术语和名称的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义. 2.命题:判断一件事情的句子叫做命题,每个命题都是由条件和结论两部分组成,条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题一般写成“如果……,那么……”的形式,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 3.真命题、假命题与反例 真命题:正确的命题称为真命题. 假命题:不正确的命题称为假命题. 反例:要说明一个命题是假命题,通常可以举出一二例子,使之具有命题的条件,而不具有命题的结论,这个例子称为反例. 4.公理、定理、证明 公理:人们公认的真命题称为公理. 定理:经过证明了的真命题称为定理. 证明:推理的过程称为证明. 二、考点分析:该考点主要涉及命题的概念和命题的结构形式、判断命题的真假等. 多以选择题的形式出现,以判断真假命题类型题为主要考点. 三、复习策略:应结合具体实例来理解命题的定义,体会寻找命题的题设和结论的常用方法----将命题改写成“如果……,那么……”的形式,能举反例说明一个命题是假命题,能利用推理的方法证明一个命题是真命题等. 四、典例分析
例1 判断下列语句是不是命题,如果是命题,是真命题还是假命题? (1)两点之间,线段最短;(2)作线段AB=CD;(3)你今天上数学课了吗?(4)熊猫没有翅膀;(5)对于角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 解析:判断一个句子是否为命题需抓住两点:(1)命题必须是一个完整的语句,且是陈述句,不是疑问句、祈使句;(2)要对事情作出判断.根据这两条可知(2)、(3)不是命题,(1)、(4)、(5)是命题,且都是真命题. 例2 写出下列命题的条件和结论. (1)如果一个三角形中有两条边相等,那么这个三角形是等腰三角形. (2)对顶角相等. 解析:(1)命题一般写成“如果A,那么B”的形式,A部分为条件,B部分为结论,所以(1)中的条件“一个三角形中有两条边相等”,结论为“这个三角形是等腰三角形”. (2)对于命题本身不含“如果”,“那么”词语,此时需将其改写成“如果……,那么……”的形式,再找条件和结论,便不易错,所以(2)中可改成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”,故条件为“两个角是对顶角”,结论为“这两个角相等”. 专题练习一 1.把“垂线段最短”改写成“如果……,那么……”的形式是________. 2.下列语句中,不是命题的是() A.直角都相等 B.如果ab=0,那么a=0 C.不是对顶角的两个角相等 D.连接两点A、B 3.下列命题中,是真命题是是() A.互补的两角若相等,则此两角都是直角 B.直线是平角 C.不相交的两条直线叫平行线 D.和为180°的两个角叫邻补角 4.下列命题中,是真命题的是()
第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 2)化边为角: C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形 D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是 百度文库- 让每个人平等地提升自我 1 三角形的证明知识点汇总 判定定理简称判定定理的内容性质SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对 应边相等、对 应角相等SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL(Rt△)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等。 简述为:等边对等角 在△ABC中,若AB=AC,则 ∠B=∠C 条件:边相等,即AB=AC 结论:角相等,即∠B=∠C 推论等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直,简述为:三 线合一 在△ABC,AB=AC,AD⊥BC, 则AD是BC边上的中线,且 AD平分∠BAC 条件:等腰三角形中已知顶点的 平分线,底边上的中线、底边上 的高线之一 结论:该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段:1、等腰三角形两底角的平分线相等;2、等腰三角形两腰上的高相等;3、两腰上的中线相等;4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60度 解读(1)等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 (2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形,但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰 三角形,简述为:等校对等边 在△ABC中,若∠B=∠C则AC=BC 条件:角相等,即∠B=∠C 结论:边相等,即AB=AC 解读对“等角对等边”的理解仍然要注意,他的前提是“在同一个三角形中” 拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形;2、利用等腰三角形的判定定理,即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念证明的一般步骤 第一篇:平行线证明题 平行线证明题 直线ab和直线cd平行 因为,∠aef=∠efd.所以ab平行于cd 内错角相等,两直线平行 em与fn平行因为em是∠aef的平分线,fn是∠efd的平分线,所以角mef=1/2角aef,角efn=1/2角efd 因为,∠aef=∠efd,所以角mef=角efn 所以em与fn平行,内错角相等,两直线平行 2 第五章相交线与平行线试卷 一、填空题: 1、平面内两条直线的位置关系可能是或。 2、“两直线平行,同位角相等”的题设是,结论是。 3、∠a和∠b是邻补角,且∠a比∠b大200,则∠a=度,∠b=度。 4、如图1,o是直线ab上的点,od是∠cob的平分线,若∠aoc=400,则 ∠bod= 0。 5、如图2,如果ab‖cd,那么∠b+∠f+∠e+∠d=0。 6、如图3,图中abcd-是一个正方体,则图中与bc所在的直线平行的直线有条。 7、如图4,直线‖,且∠1=280,∠2=500,则∠acb=0。 8、如图5,若a是直线de上一点,且bc‖de,则∠2+∠4+∠5=0。 9、在同一平面内,如果直线‖,‖,则与的位置关系是。 10、如图6,∠abc=1200,∠bcd=850,ab‖ed,则∠cde0。 二、选择题:各小题只有唯一一个正确答案,请将正确答案的代号填在题后的括号内 11、已知:如图7,∠1=600,∠2=1200,∠3=700,则∠4的度数是 a、700 b、600 c、500 d、400 12、已知:如图8,下列条件中,不能判断直线‖的是 a、∠1=∠3 b、∠2=∠3 c、∠4=∠5 d、∠2+∠4=1800 13、如图9,已知ab‖cd,hi‖fg,ef⊥cd于f,∠1=400,那么∠ehi= a、400 b、450 c、500 d、550 14、一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角 a、相等 b、相等或互补 c、互补 d、不能确定 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b第十一章三角形知识点归纳
三角形的证明知识点汇总
平行线证明题
最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
(完整版)数学四年级下三角形知识点总结