高一数学一元二次不等式解法练习题及解答
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案
[ ]
分析 求算术根，被开方数必须是非负数．
解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．
例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．
分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．
解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知
例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01
a
A a x
B x a
．＜＜
．＜＜1
1
a a C x a
D x x a
．＞或＜．＜或＞x a
a
1
1
分析比较与的大小后写出答案． a 1
a
解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．
选．
0a 1a a x A 11
a a 例有意义，则的取值范围是
．2 x x 2--x 6
例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)
分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．
答 (1){x|x ＜2或x ＞4}
(4)R (5)R
说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．
[ ]
A ．{x|x ＞0}
B ．{x|x ≥1}
-=-+=-=-=-??
?????b
a
a ()()1211122×得a
b =
=-121
2
，．(4)3x 2-+--+-3132
511
3
12
2x x x x x x ＞＞()()
(2){x|1x }≤≤3
2(3)?例不等式＋＞
的解集为5 1x 1
1-x
C ．{x|x ＞1}
D ．{x|x ＞1或x ＝0}
分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．
∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．
说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．
[ ]
A ．(x －3)(2－x)≥0
B ．0＜x －2≤1
D ．(x －3)(2－x)≤0
故排除A 、C 、D ，选B ．
两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”．
[ ]
解不等式化为＋－
＞，通分得＞，即＞，
1x 0001
11122
----x
x x x x 例与不等式
≥同解的不等式是6 0x x
--3
2C ．
≥23
0--x
x 解法一原不等式的同解不等式组为≥，
≠． ()()x x x ---???
32020解法二≥化为＝或－－＞即＜≤
x 3
20x 3(x 3)(2x)02x 3--x
例不等式
＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax
x -1
[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}
答 选C ．
说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．
解 先将原不等式转化为
∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，
即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x |－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2
A a
B a
C a
D a ．＜
．＞
．＝
．＝－
1
21
21
2
1
2
分析可以先将不等式整理为
＜，转化为 0()a x x -+-11
1
可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 111
2
a -例解不等式≥．8 237
23
2x x x -+-37
23
202x x x -+--≥即≥，所以≤．
由于＋＋＝＋＋＞，
---+-+++-21232123
147
8
2222x x x x x x x x 002x x 12(x )022≤，若，求的范围．0}B A a ?
分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关
解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)
4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．
说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例10 解关于x 的不等式
(x －2)(ax －2)＞0．
分析 不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论．
系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ?(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得??(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：?应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12?12a 12042a 4a 2014
12a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a
--?
????
??22187综上所述得的范围为－＜≤
．a 1a 18
7
解 1° 当a ＝0时，原不等式化为 x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；
4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；
从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；
a ＝1时，{x|x ≠2}；
说明：讨论时分类要合理，不添不漏．
2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解
集为
22
a a {x|2
a
x 2}＜＜；3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解
集为
22
a a {x|x 2x }＜或＞；2
a
5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解
集是
22
a a {x|x x 2}＜或＞．2
a
a 0{x|2
a x 2＜时，＜＜｝；0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2
a
a 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2
a
例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．
分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：
解法一 由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：
∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．
解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程． 且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，
－＝α＋β，＝α·β．b
a
c a
??
?????即＝－α＋β＜，＝α·β＞．b
a c a
()00???????又
×，b a a c b c
=∴
＝－α＋β①
由＝α·β，∴＝α·β②
b c c a a c (1)111对＋＋＜化为＋
＋＞，cx bx a 0x x 022b c a
c
由①②得
α，β是＋＋＝两个根且α＞β
＞，1111
x x 002b c a c ∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β
．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11
说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．
分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．
进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0． (1)当a ＞0时，不等式化为
(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；
综上所述，原不等式解集为：
例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________． 分析 可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式．
答 填{x|x ＜－1或x ＞4}．
∴＋＋＜的解集为＞
α或＜β
．cx bx a 0{x|x x } 211
例解关于的不等式：
＜－∈．12 x 1a(a R)x
x -1
解原不等式变为
－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111
(x )(x 1)01{x|a 1
a x 1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；
a a a a ---11(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－
·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．
a a a a
a a
---11
1
当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1
a
x 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a
1
由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)?
例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则
[ ]
A．(U A)∩B＝R
B．A∪(U B)＝R
C．(U A)∪(U B)＝R
D．A∪B＝R
分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即
A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即
B＝{x|5－a＜x＜5＋a}
∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6
∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．
答选D．
说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查
不等式中恒成立问题的解法研究
在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：
类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00
（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立
?????>>-
?????<-?0
)(2020)(2βββαααf a
b
a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ )(0)(βαf f （2）当0x x f 在上恒成立? ??>>?0)(0 )(βαf f ],[0)(βα∈ ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3： αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>?∈ 类型4： ) ()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 一、用一次函数的性质 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ?? ?<>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为： 0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0 )( )12()1(20 )12()1(22 2 x x x x ，所以x 的范围是)2 31,271(++-∈x 。 二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）01≠-m 时，只需?? ?<---=?>-0 )1(8)1(0 12 m m m ，所以，)9,1[∈m 。 三、利用函数的最值（或值域） （1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥?min )(； （2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥?。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3：在?ABC 中，已知2|)(|,2cos )2 4 (sin sin 4)(2<-++ =m B f B B B B f 且π 恒成立，求实数m 的范围。 解析：由 ]1,0(sin ,0,1sin 22cos )2 4( sin sin 4)(2∈∴<<+=++ =B B B B B B B f ππ ，]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f 恒成立，2)(2<-<-∴m B f ，即?? ?+<->2 )(2 )(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m 例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 解析：由于函]4 3,4[4),4sin(2cos sin π πππ -∈-- = ->x x x x a ，显然函数有最大值 2，2>∴a 。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2 ,0(4,cos sin π π ∈- ->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得x x y cos sin -=的最大值取不到2，即a 取2也满足条件，所以2≥a 。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。 例5：已知恒成立有时当2 1)(,)1,1(,)(,1,02<-∈-=≠>x f x a x x f a a x ，求实数a 的取 值范围。 解析：由x x a x a x x f <-<-=2 121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图 象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由1222 1 )1(211-=--=- a a 及得到a 分别等于2和0.5，并作出函数x x y y )21(2==及的图象，所以，要想使函数x a x <-2 1 2在 区间)1,1(-∈x 中恒成立，只须x y 2=在区间)1,1(-∈x 对应的图象在2 1 2-=x y 在区间 )1,1(-∈x 对应图象的上面即可。当2,1≤>a a 只有时才能保证，而 2 110≥< [ ∈a 。 由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。 例6：若当P(m,n)为圆1)1(22=-+y x 上任意一点时，不等式0≥++c n m 恒成立，则c 的取值范围是（ ） A 、1221-≤≤--c B 、1212+≤≤-c C 、12--≤c D 、12-≥c 解析：由0≥++c n m ，可以看作是点P(m,n)在直线0=++c y x 的右侧，而点P(m,n)在圆1)1(22=-+y x 上，实质相当于是1)1(22=-+y x 在直线的右侧并与它相离或相切。 1211 1|10|0 1022-≥∴??? ??≥+++>++∴c c c ，故选D 。 其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。 以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。 练习题：1、对任意实数x ，不等式),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++恒成立的充要条件是_______。][22b a c +> 2、设]1,(7 932lg lg -∞++=在a y x x x 上有意义，求实数a 的取值范围.),95 [+∞。 3、当1||)3,31 (<∈x Log x a 时， 恒成立，则实数a 的范围是____。)],3[]3 1,0[(+∞ 4、已知不等式：3 2)1(1211......2111+->++++++a Log n n n n a 对一切大于1的自然数n 恒成立，求实数a 的范围。)]2 5 1,1([+∈a 含参不等式恒成立问题的求解策略 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立?? ??00 a ; 2）0)( ?? ?+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有 04)1(22<--=?a a 解得3 1 1>- 所以实数a 的取值范围为),3 1()1,(+∞--∞ 。 若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。 综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a ? 例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。 解：设c x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(23， 则由题可知0)(≤x F 对任意]3,3[-∈x 恒成立 令01266)(2'=++-=x x x F ，得21=-=x x 或 而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=- ∴045)(max ≤-=a x F ∴45≥a 即实数a 的取值范围为),45[+∞。 例4．函数),1[,2)(2+∞∈++= x x a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。 解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立， 即对),1[+∞∈x ，02)(2>++= x a x x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a 注：本题还可将)(x f 变形为2)(++=x a x x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小值。 三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有： 1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >? 2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g
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