电磁场与电磁波习题及答案.doc
1
麦克斯韦方程组的微分形式
uv uv uv
uv
是 ： . uuv uv
D ,
B ,
B 0
H J E
,
t
g
t
uv
gD
2 静电场的基本方程积分形式为：
uv uuv
uv uuv
g
?C Egdl
S D ds
?
3 理想导体（设为媒质
2）与空气（设为媒质 1）分界
面上，电磁场的边界条件为：
r
r
e n D S
3. r r 0
e n B
r r 0
e n E
r r r
e n H J S
4 线性且各向同性媒质的本构关系方程是：
uv
uv uv uuv uv uv
4. D
E ,B H ,J
E
5 电流连续性方程的微分形式为：
r
5.
gJ
t
2
6 电位满足的泊松方程为 ；
在两种完纯介质分界面上电位满足的边界
。
1 1 2
2 1
2 n
n
7 应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理论依据是 : 唯一性定理 。
8. 电场强度 E
的单位是 V/m ，电位移 D 的单位是 C/m2 。
9 ．静电场的两个基本方程的微分形式为
E 0
gD
；
10. 一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的
库仑力作用外还将受到安培力作用
uv
1. 在分析恒定磁场时，引入矢量磁位 A ，并令
uv
uv uv
）
的依据是（
B 0
B
A g
2. “某处的电位0 ，则该处的电场强度 E 0 ”
的说法是（错误的 ）。
3. 自由空间中的平行双线传输线， 导线半径为 a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为
（
C 1
）。
D
a )
ln( a
4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2
）。
5. N 个导体组成的系统的能量
W
1 N ，其中i
q i
i
2 i 1
是（除 i 个导体外的其他导体）产生的电位。
6. 为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电
流密度 J ，其国际单位为（ a/m2 ）
7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）
分布。
8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。
8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度 dB 随
该点到电流元距离变化的规律为（
1/r2
）。
10. 半径为 a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存
于 （整个空间 ）。
三、海水的电导率为 4S/m ，相对介电常数为 81，求频
率为 1MHz 时，位幅与导幅比值？
三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为：
r r
E
e x E m cos t
r
r r
则位移电流密度为：
D 0 r
E m sin t
J d
t
e x
其振幅值为： J dm 0 r
E m
4.5 10 3 E m 传导电流的振幅值为： J cm
E m 4E m
因此：J dm
1.125 10 3
J
cm
四、自由空间中， 有一半径为 a 、带电荷量 q 的导体球。 试求：（1）空间的电场强度分布； （ 2）导体球的电容。
（15 分）
四、解：由高斯定理
uuv uuv
q uuv v
v q
?S DgdS q
得
D
4 r 2
D e r D e r 4 r 2
uuv
uuv
v r
空间的电场分布 D q E
e
0r 2 0
4
导体球的电位
UE gdl
uuv uuv
v q uuv q E gdr
a
e r 2 gdr a
a
4 0r 4 0a
导体球的电容 C
q
4
a
U
五、两块无限大接地导体板分别置于 x=0 和 x=a 处，
其间在 x=x0 处有一面密度为
C/m 2 的均匀电荷分
布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。 （20 分）
解：d 2
1
d 2
2
dx 2
0 x x 0
;
dx 2
x 0
x a 得：
1
x
C 1x
D 1
0 x x 0 ;
2 x C 2 x D 2
x 0 x a
1
x 和 2 x 满足得边界条件为
1
0,
2
a
0;
1 x
2 x 0
,
2
x
x
解得
C
x 0 a
D 0,
x 0 D 2
x 0
,
C 2 ,
1
0a
0 a
所以
1
x
a x
x
0≤ x ≤ x 0 ,
a
2
x
x 0 a x
x 0 ≤ x ≤ a
a
uuv
1
x
v d
1
x
v a x 0
0 x x 0
E 1
e x
dx
e x
a
uuv 2
x
v d 2
x
v x 0
x 0 x a
E 2
e x
dx
e x
a
六、有一平行金属板电容器，极板面积为
l × b ，板间
距离为 d ，用一块介质片（宽度为
b 、厚度为 d ，介电
常数为ε）部分填充在两极板之间，如图所示。设极 板间外加电压为 U0，忽略边缘效应，求介质片所受的 静电力。
六、解：平行板电容器的电容为：
C
(l x)b bx 所以电容器内的电场能量为：
d
d
W e
1
CU 02 bU 02 [ 0 (l x) x]
2 2d
由
F i
W e
不变 可求得介质片受到的静电
g i
力为： F x
W e U 0 不变
b(0 )U 02 x
2d
1．旋度矢量的 恒等与零梯度矢量的 恒等与零。
2．在静电场中，导体表面的电荷密度
与导体外的电
位函数 满足 的关系式 。
3．极化介质体积内的束缚电荷密度与极化强度之间的关
系式为
。
4．若密绕的线圈匝数为
N ，则产生的磁通为单匝时的
倍，其自感为单匝的
倍。
5．如果将导波装置的两端短路，
使电磁波在两端来回反
射以产生振荡的装置称为 。
6．电介质的极性分子在无外电场作用下，
所有正、 负电
1
x
荷的作用中心不相重合，而形成电偶极子，但由于电偶x x
x
极矩方向不规则，电偶极矩的矢量和为零。在外电场作
用下，极性分子的电矩发生
________________ ，使电偶
极矩的矢量和不再为零，而产生
__________ 。
7．根据场的唯一性定理在静态场的边值问题中，
只要满
足给定的 _______ 条件，则泊松方程或拉普拉斯方程的
解是 __________。
8．谐振腔品质因素
Q 定义为 _______________ 。
9 ． 在导电媒质中，电磁波的传 播速度（相速） 随
改变的现象，称为色散效应。
10．在求解静电场的边值问题时，常常在所研究的区域
之外，用一些假想的电荷代替场问题的边界，这种求解
方法称为
法。
11．若电介质的分界面上没有自由电荷，则电场和电位
移应满足的边界条件分别为
， 。
12．电磁波的恒定相位点推进的速度，称为
，
而包络波上某一恒定相位点推进的速度称为
。
13 在任何导波装置上传播的电磁波都可分为三种模式，
它们分别是
波、 波和 波
判断题
1．应用分离变量法求解电、 磁场问题时， 要求整个场域内媒质必须是均匀、线性的。 （）
2．一个点电荷
Q 放在球形高斯面中心处。如果此电荷
被移开原来的球心，但仍在球内，则通过这个球面的电
通量将会改变。 （）
L
3．在线性磁介质中，由
I
的关系可知，电感系数不
仅与导线的几何尺寸、材料特性有关，还与通过线圈的
电流有关。（
）
4．电磁波垂直入射至两种媒质分界面时，
反射系数
与
透射系数 之间的关系为 1+ = 。（）
5．损耗媒质中的平面波， 其电场强度和磁场强度在空间上互相垂直、时间上同相位。 （）
6. 均匀平面波中的电场能量与磁场能量相等。
（）
7 位移电流和传导电流都是电荷定向运动形成的。
（）
8．在时变电磁场中， 只有传导电流与位移电流之和才是
连续的。（）
9．若有两个带电导体球的直径，
与球间距离差不多， 它
们之间的静电力等于把每个球的电量集中于球心后所形
成的两个点电荷之间的静电力。 （）
第三套 1 ．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导
磁率为
，则磁感应强度 B
和磁场 H 满足的方程为：
。
2 ．设线性各向同性的均匀媒质中，
2
称为
方程。
3．时变电磁场中，数学表达式
S
E H 称为
。
4．在理想导体的表面， 的切向分量
等于零。
5．矢量场
A(r )
穿过闭合曲面
S 的通量的表达式为：
。
6．电磁波从一种媒质入射到理想
表面时，
电磁波将发生全反射。
7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的 积分等于
。
8．如果两个不等于零的矢量的
等于零，则此
两个矢量必然相互垂直。
9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向 三者符合
关系。
10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场
是无散场，因此，它可用 函数的旋度来表
示。
B
11．已知麦克斯韦第二方程为
E
t ，试说明其物理
意义，并写出方程的积分形式
11．答：意义：随时间变化的磁场可以产生电场。
其积分形式为： E dl
B dS
C
S
t
12．试简述唯一性定理，并说明其意义。
12．答：在静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉
斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一定理称为唯一性定理。 它的意义：给出了定解的充要条件：既满足方程又满足边界条件的解是正确的。
13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。
13．答：电磁波包络或能量的传播速度称为群速。
群速 v g 与相速 v p 的关系式为：
v g
v p dv p
1
v p d
14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 14．答：位移电流：
J d
D
位移电流产生磁效应代
t
表了变化的电场能够产生磁场，使麦克斯韦能够预言电磁场以波的形式传播，为现代通信打下理论基础。
三、计算题 （每小题 10 分，共 30 分）
15．按要求完成下列题目
（ 1）判断矢量函数
B 2
?
? 是否是某区域的
y e x
xze y
磁通量密度？（ 2）如果是，求相应的电流分布。
解：（ 1）根据散度的表达式
B
x
B
y
B
z
将矢
B
x
y
z
量函数 B 代入，显然有 B 0 故：该矢量函数为某
区域的磁通量密度。
（ 2）电流分布为：
J 1
B
（2分）
?x ?y
?z
e
e
e
x y z
（2分）
y 2 xz 0
1
xe?x 2 y
z e?z
（1分）
16 ． 矢 量
A
?
? ? ，
2 e x e y
3 e z
B
? ? ? ，求（ 1） A B （2） A B
5e x 3e y e z
解： 1
? ? ? 2
AB103310
A B 7e x 2e y 4e z
17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式
为 E
e?x 3E 0 e?y 4E 0 e jkz
1. 试写出其时间表达
式； 2. 说明电磁波的传播方向；
解：（ 1）该电场的时间表达式为： E z,t
Re Ee j
t
E z t
e E 0 e E 0 cos t kz
,
?x 3 ?y 4
由于相位因子为
e jkz ，其等相位面在 xoy 平面，传播
方向为 z 轴方向。
18．均匀带电导体球，半径为
a ，带电量为 Q 。试求
球内任一点的电场球外任一点的电位移矢量
解：（ 1）导体内部没有电荷分布，电荷均匀分布在导
体表面， 由高斯定理可知在球内处处有：
D dS 0
S
故球内任意一点的电位移矢量均为零，即 E 0r
a
由于电荷均匀分布在 r
a 的导体球面上， 故在 r
a
的球面上的电位移矢量的大小处处相等，
方向为径向， 即 ? ，由高斯定理有
即
D D 0 e r D dS
Q
S
4 r 2 D 0
Q 整理可得：
?
Q
?
r a
D D 0e r 4 r 2
e
r
19．设无限长直导线与矩形回路共面， （ 1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（画×） ；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面， 求通过矩形回路中的磁通量。
解：建立如图坐标
通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即
为 e y
方向。在 xoz 平面上离直导线距离为 x 处的磁感
?
应强度可由下式求出： B dl 0 I 即： B ? 0 I
e y 2 x
c
通过矩形回路中的磁通量
d b a / 2
I
0 Ia
d
B dS
ln
dxdz
S
x d z a / 2
2 x
2
d b
20．解：（ 1）由于所求区域无源，电位函数满足拉普 拉斯方程设：电位函数为
x, y ，满足方程：
2
x,y
2
2 0 （ 2）利用分离变量法：
2
2
x
y
d 2 f
k x 2 f
x, y f x g y
dx
2
根据边界条件
d
2
g
2
g
dy 2 k y
k x 2
k y 2
x 0
x a y
0 ， x, y 的通解可写为：
n
n
y
x, y
A n sin x e
a
n
1
a
A n sin n U 0 y 0
x
再由边界条件：
n 1
a
求得 A
2U 0 1 cosn π
n A
n
n
槽内的电位分布为
2U 0
n n
y
x, y
1 cosn πsin x e a
1
n 1
n a
．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为
，则电位移矢量
D
和电场
E 满足的方程为：
。
2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为 ，媒质的介电常
数为 ，电荷体密度为 V
，电位所满足的方为
。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。
4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等
于零。
A r
dS
S 的
5．表达式
S
称为矢量场 A( r )
穿过闭合曲面
。
6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波 将发生
。
7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的 积分等于 。
8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个
矢量必然相互
。
9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分
量为
。
10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场
是
场，因此，它可用磁矢位函数的旋
度来表示。
简述题
（每小题 5 分，共 20 分）
答： 磁通连续性原理 是指：磁感应强度沿任一闭合曲 面的积分等于零，或者是从闭合曲面 S 穿出去的通量 等于由 S 外流入 S 内的通量。
其数学表达式为：
B dS
S
12．答：当一个矢量场的两类源 ( 标量源和矢量源 ) 在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一
规律称为亥姆霍兹定理。 亥姆霍兹定理 告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等） ，需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。
13．答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电
场。 方程的微分形式：
B E
t
14．答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为 极化 。极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。
15．矢量函数 A
yx e x yze z
2 ?
? ，
试求（ 1）
A （2）
A
解： 1、 A A x A y A z （ 分）
x
y
z
3
2xy
y
（ 分）
2
e?x
e?y
e?z
2 、
A
x y
z (3
分）
yx 2 0
yz
? ? 2
（ 分）
e x z e z x
2
16．矢量
A
?
? ， B
e?x
，求
2e x 2e z e?y
（1） A
B （ 2）求出两矢量的夹角
?
?
? ?
分）
解： 1 A B 2e x 2e z
e x e y
(3
?x
?y
?z
（ 分）
e
e
2e
2
2根据AB
AB cos
?
? ? ? 2
A B 2e x
2e z e x
e y
cos
2 1
所
以
60
2 2 2
2
17．方程 给出一球族
解：（ 1）
u
e?x u
e?y u
e?z u
（ 分）
x y z
3
? ? ? （ 分）
e x 2x e y 2y e z 2z
2
? ?
?
?
（2） ?
u
所 n? e x 2 e y 4 e x
e y 2
n
u
4
16
5
18．放在坐标原点的点电荷在空间任一点 r （ 1）求出
电力线方程；（ 2）画出电力线。
1
E
q
2 ?
qr
3 q 3 ?? ? 由力线
4 0 r e r
4 0 r 4 0 r e x x e y y e z z
方程得
x
y z 对上式积分得
dx
dy
dz
y C 1 x
式中， C 1 ,C 2 为任意常数。
z
-2
C 2 y
（ 2）电力线图 18-2 所示。
q
19．设点电荷位于 金属直角劈 上方，如图
1 所示，求
画出镜像电荷所在的位置直角劈任意一点 (x, y, z) 处的
电位表达式
q
q
图
图
解：（ 1）镜像电荷所在的位置如图
19-1 所示。（ 2）如
图 19-2 所示任一点
( x, y, z) 处的电位为
q
1
1
1 1 4 0 r 1 r 2
r 3
r 4
r 1
x 1 2 y 2 2 z 2 其中， r 2
x 1 2 y 2 2 z 2 r 3
x 1 2 y 2 2 z 2 r 4
x 1 2
y
2 2 z 2
20．设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为：
E E 0 cos( t
e )
H H 0 cos( t
m )
写出电场强度和磁场强度的复数表达式
证 明 其 坡 印 廷 矢 量 的 平 均 值 为 ：
S
av
1
E 0 H 0 cos( e
m
)
2
解： 1 电场强度的复数表达式
E E 0 e j e （电场强
度的复数表达式
H
H 0 e
j m
（ 2）据 S av
1
Re E H * 得
2
S av
1
Re E 0 H 0 e
j (
e m
)
1
E 0 H 0 cos( e
m
)
2
2
21．设沿 z 方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到
理想导体，如图 2 所示，该电磁波电场只有
x 分量即
?x E 0 e j z 求出反射波电场的表达式；求出区域 1 媒
E e
质的波阻抗。
解：（ 1）设反射波电场
E r
? j z
e x E r e
区域 1 中的总电场为
E E
r e? ( E
e j z
E r e j z )
x
根据 z 0 导体表面电场的切向分量等于零的边界条
件得
E r
E 0
反射波电场的表达式为 E r
e x E 0 e j z
? （ 2）媒质 1 的波阻抗
因而得
120 377( )