人教版九年级数学圆的专题复习

第二十四章 圆的专题复习

专题一、与圆的切线有关的计算与证明

1．如图， I 是△ABC 的内心，∠ 1＋∠

2＝65°，求∠ BAC 的度数．

2．(黄石中考 )如图，⊙ O 的直径 AB ＝4，∠ ABC ＝

30°， BC 交⊙O 于D ，D 是BC 的中点．

(1) 求 BC 的长；

(2) 过点 D 作 DE ⊥ AC ，垂足为 E ，求证：直线 DE 是⊙ O 的切线．

3．如图， AB ＝BC ，以 AB 为直径的⊙ O 交 AC 于点 D ，过 D 作DE ⊥ BC ，垂足为 E. (1)求

证： DE 是⊙O 的切线；

(2)作 DG ⊥ AB 交⊙ O 于G ，垂足为 F ，若∠ A ＝30°， AB ＝8，求弦 DG 的长．

分别交于 A ，D 两点，过 C 作CE ⊥BD 于点 E. (1)求证： CE 是⊙ O 的切线；

(2)若∠ D ＝30°，BD ＝2＋2 3，求⊙ O 的半径 r.

(1)如图 1，当直线 l 与⊙ O 相切于点 C 时，若∠ DAC ＝30°，求∠ BAC 的大小；

(2)如图 2，当直线 l 与⊙ O 相交于点 E ，F 时，若∠ DAE ＝ 18°，求∠ BAF 的大小．

4．如图所示， MN 是⊙ O 的切线， B 为切点， BC 是⊙ O 的弦且∠ CBN ＝ 45°，过 C 的直线与⊙ O ，MN 5．已知直线 l 与⊙O ，AB 是⊙O 的直径， AD ⊥l 于点 D.

6．如图，⊙ O 是边长为 6 的等边△ ABC 的外接圆，点 D 为BC 的中点，过点 D 作 DE ∥BC ，DE 交 AC 的 延长线于点 E ，连接 AD ，CD.

(1)DE 与⊙O 的位置关系是 ________

(2)求△ ADC 的内切圆半径 r.

7．(桂林中考 )如图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接正方形， AB ＝4，PC ，PD 是⊙ O 的两条切线， C ，D 为 切点．

(1)如图 1，求⊙ O 的半径；

(2)如图 1，若点 E 是 BC 的中点，连接 PE ，求 PE 的长度；

(3) 如图 2，若点 M 是 BC 边上任意一点 (不含 B ， C)，以点 90°，交直线 CP 于点 N ，求证： AM ＝MN.

专题二、证明切线的两种常用方法

类型 1 直线与圆有交点

方法归纳： 直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需 “连半径，证垂直，得切线 ”．“ 证垂 直” 时通常利用圆中的关系得到 90°的角，如直径所对的圆周角等于 90°等．

【例 1】 如图，AB ＝AC ，AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M.求证： DM 与⊙ O 相切．

M 为直角顶点，在 BC 的上方作∠ AMN ＝

1．(朝阳中考)如图，AB 是⊙ O的弦，OA ⊥OD，AB ，OD交于点C，且CD＝BD. (1)判断BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；

(2)当OA＝3，OC＝1时，求线段BD 的长．

2．(德州中考)如图，已知⊙ O的半径为1，DE是⊙ O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD 的中点，AE 交⊙ O于B点，四边形BCOE 是平行四边形．

(1)求AD 的长；

(2)BC 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．

3．(毕节中考)如图，以△ ABC 的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC 边交于点E，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F，AC ＝FC.

(1)求证：AC 是⊙ O 的切线；

(2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF 的长．

类型 2 不确定直线与圆是否有公共点方法归纳：直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等．

如图，AB＝AC，D为BC中点，⊙ D与AB切于E点．求证：AC与⊙ D相切．

4．如图， O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心， OA 长为半径的⊙ O 与 BC 相切于点 M ， 与 AB ，AD 分别相交于点 E ，F.求证： CD 与⊙O 相切．

5．如图，在 Rt △ABC 中，∠ B ＝90°，∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D ，E 为 AB 上的一点， DE ＝ DC ，以

D 为圆心， DB 长为半径作⊙ D ，AB ＝5，EB ＝3.

(1)求证： AC 是⊙ D 的切线；

(2)求线段 AC 的长．

【例 3】 (人教版九年级上册教材第 90页第 14 题)如图， A ，P ，B ，C 是⊙ O 上的四个点， ∠ APC ＝∠ CPB ＝ 60°，判断△ ABC 的形状，并证明你的结论．

变式练习

1．如图，延长 BP 至 E ，若∠ EPA ＝∠ CPA ，判断△ ABC 的形状并证明你的结论．

2

．如图，四边形

ABCD 是⊙ O 的内接四边形， DB ＝ DC.求证： AD 是△ABC 外角∠ EAC 的平分线．

3．如图，A，P，B，C 是半径为8 的⊙ O上的四点，且满足∠ BAC ＝∠ APC ＝60 (1)求证：△ ABC 是等边三角形；

(2)求圆心O 到BC 的距离OD.

4．如图，△ ABC 内接于⊙ O，P 为弧AB 上异于A， B 两点的一动点时，当△ ABC 满足什么条件时，PA 能否平分∠ BPC 的外角∠ CPE.若能，请证明，若不能，请说明理由．

5．(1)如图1，△ABC内接于⊙ O，AD为∠BAC的平分线，过D作DE垂直于AB于E，AE与△ABC 的两边AB ，AC 有怎样的关系呢？

(2)如图2，若AD 为△ABC 的外角∠ CAG 的平分线时，AE 与△ ABC 的两边AB，AC 又有怎样的关

系呢？

6．如图，平面直角坐标系中，O′为y 轴上一点，⊙ O′交x 轴于A，B 两点，交y 轴于C， D 两点．直线AE交⊙O′于F点，连接FC.过C作CH垂直AF交其延长线于H.试问：当点F在弧AC上运动时，FB－FA 与FH 的比值是否为定值？并说明理由．

人教版初三数学圆的测试题及答案

九年级圆测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，直角三角形A BC 中，∠C ＝90°，A C ＝2，A B ＝4，分别以A C 、BC 为直径作半圆，则图中阴影的面积为 （ ） A 2π－ 3 B 4π－4 3 C 5π－4 D 2π－23 2．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 （ ） A 1∶2∶3 B 1∶ 2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶1 3．在直角坐标系中,以O(0，0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3-,4)的位置在 （ ） A ⊙O 内 B ⊙O 上 C ⊙O 外 D 不能确定 4．如图，两个等圆⊙O 和⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5．在Rt △A BC 中，已知A B ＝6，A C ＝8，∠A ＝90°，如果把此直角三角形绕直线A C 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1；把此直角三角形绕直线A B 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，那么S 1∶S 2等于 （ ） A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶12 6．若圆锥的底面半径为 3，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角等于 （ ） A ． 108° B ． 144° C ． 180° D ． 216° 7．已知两圆的圆心距d = 3 cm ，两圆的半径分别为方程0352 =+-x x 的两根，则两圆的位置关系是 （ ） A 相交 B 相离 C 相切 D 内含 8．四边形中，有内切圆的是 （ ） A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对 9．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案完整版

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含 答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

圆 24.1.1圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB， A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M， CD⊥ABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

人教版九年级数学圆和正多边形专题

圆和正多边形 教学目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形。 教学重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系。 教学难点：理解四者：正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系． 正多边形是轴对称图形，正n 边形有n 条对称轴；?正2n 边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对角线交点。 知识结构及知识点： 1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 正n 边形每一个内角的度数为：(n-2)*180°/n 正n 边形的一个中心角的度数为：360°/n 正多边形的中心角与外角的大小相等。 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180°。 4、圆内接正n 边形的性质（n ≥3，且为自然数）： (1) 当n 为奇数时，圆内接正n 边形是轴对称图形，有n 条对称轴；但不是中心对称图形。 (2) 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。 5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：(设圆内接正多边形的半径为r ，边心距为d) （1）圆内接正三角形：d=12 r （2）圆内接正四边形：d=22 r （3）圆内接正六边形：2 r 6、常见圆内接正多边形半径r 与边长x 的关系： （1）圆内接正三角形：（2）圆内接正四边形：x= 22r （3）圆内接正六边形：x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R 的正n 边形，只要把半径为R 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。 （1）用量角器等分圆周。 （2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n 边形）。 8、定理1：把圆分成n(n≥3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；

九年级数学圆的知识点总结大全

r B 一、知识回顾 第四章：《圆》 圆的周长 ： C=2πr 或 C=πd 、圆的面积 ： S=πr 2 圆环面积计算方法： S=πR2- πr 2或 S=π（ R2-r 2） (R 是大圆半径， r 是小圆半径） 二、知识要点一、圆的概念 集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是： 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 d r 点C 在圆内； A d 2、点在圆上 d r 点B 在圆上； O d 3、点在圆外 d r 点 A 在圆外； C 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交 d r 有两个交点； r d d=r r d

C D 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1） 无交点 d R r ； 外切（图 2） 有一个交点 d R r ； 相交（图 3） 有两个交点 R r d R r ； 内切（图 4） 有一个交点 d R r ； 内含（图 5） 无交点 d R r ； d d d R r R r R r 图 1 图2 图 3 d d r R r R 图4 图 5 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其 它 3 个结论，即： ① AB 是直径 ② AB CD ③ CE DE ④ 弧 BC 弧 BD ⑤ 弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 A 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 C D 即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD O O ∴弧 AC 弧BD A B E B 六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定

人教版九年级数学上册圆

初中数学试卷 金戈铁骑整理制作 圆 章节测试 时间:40分钟 满分:120分 姓名: 得分: 一、选择题（本大题共9小题，共54分） 1. 如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（ ） A. 4π B. 6π C. 12π D. 16π 2. 一个扇形的弧长是10πcm ，面积是60πcm 2，则此扇形的圆心角的度数是（ ） A. 300° B. 150° C. 120° D. 75° 3. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是（ ） A. ∠ADC B. ∠ABD C. ∠BAC D. ∠BAD 5. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，连接OC ，若∠ACO =30°，则∠BOC 的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°

6.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12， OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（） A. 26π B. 13π C. D. 7.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的 对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（） A. B. 2- C. 2- D. 4- 8.如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°， 则阴影部分的面积是（） A. 4π-4 B. 2π-4 C. 4π D. 2π

人教版九年级上册《圆的证明与计算》专题讲解

《圆的证明与计算》专题讲解 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 圆的有关证明 一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 知识点一：判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：

方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B 为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E，

人教版九年级数学上册圆单元测试题及答案

九年级数学第二十四章圆测试题（A） 时间：45分钟分数：100分 一、选择题（每小题3分，共33分） 1 .若O O所在平面内一点P到O O上的点的最大距离为10, A . 14 B . 6 C . 14 或6 D. 7 或3 2. 如图24—A —1 , O O的直径为10,圆心O到弦AB的距离 A . 4 B . 6 C . 7 I 3. 已知点O ABC的外心，若/ A=80 A . 40 4. 如图 A . 20° B . 80 24—A — 2, B . C. 160° △ ABC内接于O 最小距离为 OM的长为 4则此圆的半径为（ 3,则弦AB 的长是 D . 8 ，则/ BOC的度数为（ D. 120° 若/ A=40 °，则/ OBC的度数为（ O 图24—A — 4 图24—A — 3 小明同学设计了一个测量圆直径的工具， 垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上， A . 12个单位 B . 10个单位 6. 如图 A . 80° 7. 如图 PB于点 A . 5 24—A —4, AB为O O的直径，点 B. 50° C. 40 ° 24—A —5, P 为O O 外一点， 5 .如图24—A —3, 标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起， 读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ D . 15个单位 ，则/ A等于（） 并使它们保持 ） PA 、 C、D，若PA=5，则△ PCD的周长为( B . 7 C . 8 D . 10 C . 1个单位 C 在O O 上，若/ B=60 ° D . 30° PB分别切O O于A、B, ) CD切O O于点E,分别交PA、 &若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为 毡，则这块油毡的面积是（） 4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓顶部铺上油 A . 6m2 C . 12m22 D . 12二 m 9.如图24—A —6,两个同心圆，大圆的弦AB 点P,且 CD=13 , PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ A. 16 n B . 36 n 10 .已知在△ ABC中， 10 A . 3 11.如图 C、D E、 C. 52 n AB=AC=13 , 与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过） D. 81 n BC=10，那么△ ABC的内切圆的半径为（ 12 B . 5 24—A —7,两个半径都是4cm的圆外切于点C, 一只蚂蚁由点A开始依A、B、 F、C、G A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这 C. 2 径上不断爬行，直到行走2006 n cm后才停下来， A . D 点 B . E 点 C . F 点D 二、填空题（每小题3分，共30分） 12 .如图24—A —8,在O O中，弦AB等于O 则蚂蚁停的那一个点为（ .G点 O的半径，0C丄AB交O O于点C,则 8段路 ）

人教版九年级中考复习圆的专题教程文件

人教版九年级中考复习圆的专题

1.（十校联考二）如图，AH是⊙O的直径，矩形ABCD交⊙O于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B落在CD边上的点F处，画直线EF. (1)求证：直线EF是⊙O的切线。 (2)若CD=10，EB=5，求⊙O的直径。 2.（重组卷四）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是⌒AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线于E、F. （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径.

3（重组卷五）.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE. （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理 由； （2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长. 4.(2017江西中考)如图①，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C 不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交O于点D. （1）如图②，当PD∥AB时，求PD的长； （2）如图③，当弧DC=弧AC时，延长AB至点E，使BE=12AB，连接DE. ①求证：DE是⊙O的切线； ②求PC的长.

5.(2016江西中考).如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为点E，射线EP交弧AC于点F，交过点C的切线于点D. （1）求证：DC=DP； （2）若∠CAB=30°，当点F是弧AC的中点时，判断 以点A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？ 说明理由. 6.（2014江西中考）如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP. (1)求△OPC的最大面积； (2)求∠OCP的最大度数； (3)如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线。

初三数学圆知识点总结

初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角． ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆接四边形的对角互补；外角等于它的对角． (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．

垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的心、外心、重心、垂心 (1)三角形的心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形切圆的圆心，在三角形部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示． (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质： (1)切线的判定：

新人教版九年级圆测试题及复习资料全

九年级圆测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，则图中阴影的面积为 （ ） A 2π－3 B 4π－43 C 5π－4 D 2π－23 2．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 （ ） A 1∶2∶3 B 1∶2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶1 3．在直角坐标系中,以O(0，0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3-,4)的位置在 （ ） A ⊙O 内 B ⊙O 上 C ⊙O 外 D 不能确定 4．如图，两个等圆⊙O 和⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5．在Rt △ABC 中，已知AB ＝6，AC ＝8，∠A ＝90°，如果把此直角三角形绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1；把此直角三角形绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，那么S 1∶S 2等于 （ ） A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶12 6．若圆锥的底面半径为 3，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角等于 （ ） A ． 108° B ． 144° C ． 180° D ． 216° 7．已知两圆的圆心距d = 3 cm ，两圆的半径分别为方程0352 =+-x x 的两根，则两圆的位置 O O' A B 第4题图

关系是（） A 相交 B 相离 C 相切 D 内含 8．四边形中，有内切圆的是（） A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对9．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D，连结AD，那么（） A ∠BAD +∠CAD= 90° B ∠BAD>∠CAD C ∠BA D =∠CAD D ∠BAD <∠CAD B C A . 10．下面命题中，是真命题的有（）①平分弦的直径垂直于弦；②如果两个三角形的周长之比为3∶2，则其面积之比为3∶4；③ 圆的半径垂直于这个圆的切线；④在同一圆中，等弧所对的圆心角相等；⑤过三点有且只有一个圆。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二、填空题（每题3分，共24分） 11．一个正多边形的内角和是720°，则这个多边形是正边形； 12．现用总长为m 80的建筑材料，围成一个扇形花坛，当扇形半径为_______时，可使花坛的面积最大； 13．如图是一个徽章，圆圈中间是一个矩形，矩形中间是一个菱形，菱形的边长 是 1 cm ，那么徽章的直径是； 14．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，如果C是? AmC上任意一点，则sinC = ；

人教版九年级数学上册教案《圆》

《圆》 圆是常见的几何图形， 是平面几何中基本的图形之一，它具有独特的性质。本章是在学生在小学学过的圆的知识的基础上，系统研究圆的概念和性质，点与圆、 直线与圆的位置关系、正多边形和圆的关系，以及圆的弧长与面积的计算等问题。 本小节是圆这一章的第一节课，主要是研究圆的概念及其相关概念，本节内容是继续研究圆的性质的基础。教材一开始是让学生观察生活中有关圆的形象的物体，结合小学学过的有关圆的知识，通过用圆规画圆的方法导入圆的定义的。圆的定义方法有两种，一种是描述性定义，一种是集合性定义。圆的描述性定义，要让学生用自己的语言尝试表述，教师可以引导学生通过观察画加深理解；圆的集合定义，应通过观察、体会画圆的过程，引导学生从圆和点两个方面去思考得出圆的集合定义。得出圆的定义后，接着介绍圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧等相关性质。教材中的例1是证明四点共圆，只要证明矩形的四个顶点到对角线的交点距离相等即可，进一步让学生体会圆的集合定义的应用。 【知识与能力目标】 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念； 2.了解等圆、等弧的概念。

【过程与方法目标】 从感受圆在生活中大量存在到圆的概念的形成过程中，让学生体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系。 【情感态度价值观目标】 在探索圆的概念的过程中让学生体会数学知识无处不在，感受生活中处处有数学。 【教学重点】 对圆的两种定义的理解。 【教学难点】 对圆的集合定义的理解。 多媒体课件、教具等。 一、创设情境，引入新课 问题1 观察下列图形，你能从中找出它们的共同特征吗？ 追问：你能再举出一些生活中类似的实例吗？ 设计意图：让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，为学习圆的相关概念打下基础，同时还可以激发学生的学习热情。 二、探索新知，形成概念 问题2 观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？

人教版九年级数学圆教学计划

人教版九年级数学圆教学计划2019 圆是一种几何图形。根据定义，通常用圆规来画圆。同圆内圆的半径长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。接下来我们一起看看人教版九年级数学圆教学计划。人教版九年级数学圆教学计划2019 教学目标： 1、理解圆的描述性定义，了解用集合的观点对圆的定义; 2、理解点和圆的位置关系和确定圆的条件; 3、培养学生通过动手实践发现问题的能力; 4、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法. 教学重点：点和圆的关系 教学难点：以点的集合定义圆所具备的两个条件 教学方法：自主探讨式 教学过程设计(总框架)： 一、创设情境，开展学习活动 1、让学生画圆、描述、交流，得出圆的第一定义： 定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.记作⊙O，读作“圆O”. 2、让学生观察、思考、交流，并在老师的指导下，得出圆的第二定义. 从旧知识中发现新问题

观察： 共性：这些点到O点的距离相等 想一想：在平面内还有到O点的距离相等的点吗?它们构成什么图形? (1) 圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r); (2) 到定点距离等于定长的点都在圆上. 定义2：圆是到定点距离等于定长的点的集合. 3、点和圆的位置关系 问题三：点和圆的位置关系怎样?(学生自主完成得出结论) 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则： 点在圆上d=r; 点在圆内d 点在圆外d>r. “数”“形” 二、例题分析，变式练习 练习：已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A在⊙O________;当OP=10cm时，点A在⊙O________;当OP=18cm时，点A在⊙O___________. 例1 求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上. 已知(略) 求证(略)

人教版数学九年级上册：24《圆》专题练习(附答案)

word版初中数学 第二十四章《圆》专题练习 目录 专题1 与圆周角有关的辅助线作法 (1) 专题2圆周角定理 (3) 专题3 证明切线的两种常用方法 (4) 专题4与切线长有关的教材变式 (5) 专题5与圆的切线有关的计算与证明 (6) 专题6 求阴影部分的面积 (8)

专题1 与圆周角有关的辅助线作法 类型1 构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 1．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，点B 是AC ︵ 的中点，则∠D 的度数是( ) A ．70° B ．55° C ．35.5° D ．35° 2．如图，点A ，B ，C ，D 分别是⊙O 上的四点，∠BAC ＝50°，BD 是直径，则∠DBC 的度数是( ) A ．40° B ．50° C ．20° D ．35° 3．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝50°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( ) A ．50° B ．55° C ．60° D ．65°

4．如图，A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝40°，点D 在ACB ︵ 上，M 为半径OD 上一点，则∠AMB 的度数不可能为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．85° 类型2 利用直径构造直角三角形 5．如图，在⊙O 中，∠OAB ＝20°，则∠C 的度数为 ． 6．如图，在⊙O 中，AB 为直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，AB ＝6，则BD ＝ ． 7．如图，⊙A 过点O ，C ，D ，点C 的坐标为(3，0)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，已知∠OBD ＝30°，则⊙A 的半径等于 ． 8．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于点D ，AC ＝5，DC ＝3，AB ＝42，则⊙O 的半径为 ．

九年级数学圆知识点总结

初三圆的知识点总结 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例：∵ CD 过圆心∵CD ⊥AB 2.平行线夹弧定理： 圆的两条平行弦所夹的弧相等 . 几何表达式举例： 3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”；“等弦对等角”；“等角对等弧”；“等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦” . 几何表达式举例：(1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD 4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 .(如 图) （1）（2）（3） （4） 几何表达式举例： （1）∵∠ACB=2 1∠AOB ∴ …………… （2）∵ AB 是直径 ∴∠ACB=90° （3）∵∠ACB=90° ∴ AB 是直径 （4）∵ CD=AD=BD ∴ΔABC 是Rt Δ 5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角 . 几何表达式举例：∵ ABCD 是圆内接四边形∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线； （2）圆的切线垂直于经过切点的半径； ※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例： （1）∵OC 是半径∵OC ⊥AB ∴AB 是切线 （2）∵OC 是半径 ∵AB 是切线∴OC ⊥AB （3） …………… 7．切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例： ∵ PA 、PB 是切线∴ PA=PB ∵PO 过圆心∴∠APO =∠BPO 8．弦切角定理及其推论 : 几何表达式举例： A B C D O A B C D E O 平分优弧 过圆心 垂直于弦平分弦平分劣弧 ∴ AC BC AD BD == AE=BE A B C D E F O A B C O P A B O A B C D E A B C O A B C D ∵∴ ∥=AB CD AC BD A B C O 是半径垂直是切线

人教版九年级圆的性质知识点

学生姓名： 就读年级： 九年级 任课教师： 教导处签名： 日期： 2017 年 10月 21 日 圆的有关性质

课题圆的有关性质 教学目标1、在探索的过程中，能从两种不同的角度理解圆的概念 2、了解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等于圆有关的概念，理解概念之间的区别与联系。 3、能够通过图形直观地认识弦、弧等概念，能够从具体图形中识别出与圆有关的一些元素。 知识要点及重难点重点：圆的概念的解析与应用难点：圆的有关概念的解析 作业评价 ○好○很好○一般○差备注： 作业布置 学生课后评价（学生填 写）学生对本次课的评价： 1、学习心情：□愉悦□紧张□沉闷 2、学习收获：□很大□一般□没有 3、教学流程：□清晰□一般□混乱 4、其它： 。 家长反馈 签名：日期：年月日一、课前复习

1、旋转 2、中心对称 3、中心对称图形 4、求关于原点对称的点的坐标 二、新课导入 初中阶段我们有几种几何是必须掌握的：三角形，四边形，圆。关于前两个已经在前期的学习中接触过了，那么本章我们将重点学习圆的相关性质以及相关的知识点，本章也是中考内容中的重点部分，所以需要打起精神，认真将知识点掌握并灵活应用起来。 三、新课讲授 圆的有关性质 知识点1圆的定义以及表示方法（重点；理解） 1、描述性定义 在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、集合性定义 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 3、圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 命题1圆的定义的理解 例1：下列条件中，能确定圆的是（） A. 以已知点O为圆心 B. 以1cm长为半径 C. 经过已知点A，且半径为2cm D. 以点O为圆心，1cm为半径 针对练习： 1、与已知点A的距离为3cm的点所组成的平面图形是______. 命题点2判断四点共圆的问题 例2：矩形的四个顶点能否在同一个圆上?如果不在,说明理由;如果在,指出这个圆的圆心和半径.

人教版九年级上册数学 圆 几何综合专题练习(解析版)

人教版九年级上册数学 圆 几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标； （3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由 【答案】（1）y=x 2 +2x-8（2）（-1，- 72）（3）（-8，40），（-15 4，-1316），（-174 ，-25 16 ） 【解析】 分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值； （2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点 G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值， 从而求出点E 的坐标； （3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时 和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标. 详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+-

（2）由（1）可得：2 28y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=; ∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ， ∴6AB OA OB =+=， 当0x =时，8y =-， ∴8OC = 过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，, 则11 6322 AG AB = =?= ， 设 ，则 ， 在Rt AGE ?中，， 在 中， ()2 22218CE EF CF a =+=+-， ∵AE CE = ， ∴()2 2918a a +=+- ， 解得：7 2a = ， ∴712E ? ?-- ?? ? ， ； （3）设点()2,28a a a P +-， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-， a.当PBQ ?∽CBO ?时， PQ CO BQ OB =，即228822 a a a +-=-， 解得：10a =（舍去）；

新人教版九年级数学《圆》单元测试题

O B A 第4题图 D C O 第5题图 C B A O 第6题图 C B A 第8题图 O E D C B A ⑤OP 平分AB. 圆测试题 一、选择题： 1、下列命题：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧；④弧是半圆.其中真命题有（ ）。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、如图4，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于点P ，且点P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是（ ）。 A 、错误！未找到引用源。cm B 、4错误！未找到引用源。cm C 、2错误！未找到引用源。cm D 、4cm 3、如 图5，点A 、B 、C 在⊙O 上， AO ∥BC ，∠OAC ＝20°， 则 ∠AOB 的度数是（ ）。 A 、10° B 、20° C 、40° D 、70° 4、如图6，△ABC 三顶点在⊙O 上，∠C ＝45°，AB ＝4，则⊙O 的半径是（ ）。 A 、错误！未找到引用源。 B 、2错误！未找到引用源。 C 、4错误！未找到引用源。 D 、2 5、如图8，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E ，连结AD ，则下列结论正确的个数是 。 ①AD ⊥BC ；②∠EDA ＝∠B ；③OA ＝AC ；④DE 是⊙O 的切线。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、从⊙O 外一点P 向⊙O 作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B.下列结论：①PA ＝PB ；②OP 平分∠APB ；③AB 垂直平分OP ； ④△AOP ≌△BOP ； 其中正确结论的个数是 。 A 、5 B 、4 C 、 3 D 、2 7、若两圆的半径之比为 1∶2，当两圆相切时，圆心距为6cm ，

2020 人教版 九年级 圆专题复习练习题(有部分答案)

3 B ． 10π A ． 8π 3 D ． 4π 5 圆 一、单选题 1．如图所示， MN 为⊙O 的弦， ∠N = 52o ，则 ∠MON 的度数为（ ） A ． 38o B ． 52o C ． 76o D ．104o 2．如图，点 A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若∠BOC=50°，则∠A 的度数是（ ） A ．25° B ．20° C ．80° D ．100° 3．如图，AB 是⊙ O 的直径，AC 是⊙ O 的切线，A 为切点，BC 与⊙ O 交于点 D ，连结 OD ．若 ∠C = 50? ，则∠AOD 的度数为（ ） A ． 40? B ． 50? C ． 80? D ．100? 4．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，若∠OCA ＝40°，AB ＝6，则弧 BC 的长为（ ） 3 C ． π 3 5．如果，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB=5 2 ，AB=5，AC 是⊙O 的弦，OH ⊥AC ， 垂足为 H ，若 OH=3，则弦 AC 的长为（ ）

A．175πcm2B．350πcm2C．800 3D．150πcm2 A．5B．6C．8D．10 6．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（） A．30°B．45°C．60°D．90° 7．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（） A．55°B．45°C．35°D．25 8．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（） πcm2 9．下列说法正确的是() A．等弧所对的圆心角相等C．经过三点可以作一个圆B．平分弦的直径垂直于这条弦D．相等的圆心角所对的弧相等 10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若∠AOC＝∠ABC，则∠D的大小

九年级数学圆的测试题及答案(全)

圆的有关概念与性质 圆的有关概念与性质 1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。 2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 5.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是 90°，90°所对的弦是直径。 7.三角形的三个顶点确定 1 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫外心，是三角形三边垂直平分线的交点。 8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角 平分线的交点的交点，叫做三角形的内心。 9.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． 10.圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角 与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为： ①d > r，②d = r，③d < r. 2.直线与圆的位置关系共有三种：①相交，②相切，③相离； 对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为： ①d < r，②d = r，③d > r. 3.圆与圆的位置关系共有五种： ①内含，②相内切，③相交，④相外切，⑤外离； 两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为： ①d < R-r，②d = R-r，③ R-r < d < R+ r，④d = R+r，⑤d > R+r. 4.圆的切线垂直于过切点的半径；经过直径的一端，并且垂直于这条 直径的直线是圆的切线. 5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线，切线长相等，这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。