高数 第九章多元函数微分法及其应用 习题

第九章 多元函数微分法及其应用

练习9—1 多元函数的基本概念

1．选择题：

（1） 设2

(,)f x y x y xy y +?=+，则(,)f x y =

（A ）

()2x x y ?． （B ）2xy y +． （C ）()2

x

x y +． （D ）2x xy ?． （2） 2210

cos lim

1x x y e y

x y →→++= （A ） 0． （B ）1． （C ）

1

e

． （D ） 2e ．

（3）下列极限存在的为

（A ）00lim

x y x x y →→+． （B ）001lim x y x y →→+． （C ）001lim sin x y x x y →→+ ． （D ）2

00

lim x y x x y →→+． （4）有且仅有一个间断点的函数为

（A ）

y x ． （B ）22

ln()x e x y ?+． （C ）x x y + ． （D ）arctan(1)xy +．

2．求下列函数的定义域： （1）)

1ln(4222

y x y x z ???=

； （2）y x z ?=．

3．求下列极限：

（1）2210)

ln(lim y x e x y y x ++→→； （2）()22

01

1x

x y y e lim arctan x y →→+++；

（3）()2

2

001

x y lim x y arcsin xy →→+． （4）

00

1x y ln x y →→++

1．计算下列各题：

（1） z

y x u )arctan(?=，求y u ，z u ；

（2）设∫

+=2

2 d ),(y x x

t t e y x f ，求)21(，x f ；

（3） 设)sin (sin sin y x f y z ?+=，其中)(u f 可微，求y z ；

（4）y

xy z )1(+=，求x z ，y z ；

2．y

x

y x y x f tan )1(),(22

?+=，求)1,(x f x ．

3．设),ln(xy x z =求

y

x z

???2．

4．设arctan()x

u z y

=，证明：2222220u u u x y z ???++=???．

1．选择题：

（1）在点P 处，f 可微的充分条件是 ．

（A ）f 连续． （B ）f 的全部二阶偏导存在． （C ）f 的全部一阶偏导连续． （D ）f 连续且，

f x ??，f y

??均存在． （2）若函数) ,(y x f 在点00(,

)x y 处不连续，则 ．

（A）0

lim (, )

x x y y f x y →→必不存在． （B）00(,

)f x y 必不存在． （C）) ,(y x f 在点00(, )x y 必不可微． （D）00(, )x f x y 、00(, )y f x y 必不存在．

（3）设函数???

??=+≠++=0 , 0

0 ,),(2

222242y x y x y x y

x y x f ，则在)0 ,0(点处 ．

（A ）连续，偏导数存在． （B ）连续，偏导数不存在． （C ）不连续，偏导数存在． （D ）不连续，偏导数不存在．

（4）若函数),(y x f 在区域D 内具有二阶偏导数：22x f

??，22y f ??，y x f ???2，x

y f ???2，

则 ．

（A ）必有x

y f

y x f ???=???22． （B ）),(y x f 在D 内必连续． （C ）),(y x f 在D 内必可微． （D ）以上结论都不对． 2．求下列函数的全微分： （1） )ln(tan x

y z =； （2） yz

x u =．

3． 设(sin )x

z f e y =，f 可微，求dz ．

练习9—4 多元复合函数的求导法则

1．计算下列各题：

（1） 3

43)arcsin(t y t x y x z ==?=，，，求t

z d d ；

（2） 设vw u z +=2

，而xy w x v y x u ==+=，，2，求z d ；

（3） 1

)(2+?=

a z y e u ax ，而，，x z x a y cos sin ==求x u

d d ．

2．求下列函数的偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）： （1）(z

y y x f u ，=；

（2） )sin ,,(2

z xy xy x f u =．

3．设()z xy yF u =+，而()x u F u y =为可导函数，计算：z z

x

y z x y

??+???．

练习9—5 隐函数求导公式

1．设0sin 2

=?+xy e y x

确定了函数()y y x =,用两种方法求

dx

dy ．

2．计算下列各题： （1）设02=+???z xy

e z e ，求

y

z x z ????，； （2）设ln x z

z y

=，求x z ，y z ．

3．设22

x u v

y u v =+??=+?

，求x u ??，u y ??．

4．设2

23

x y z z x y z z ?+++=??+++=??，求dz dx ，dy dx ．

练习9—6 多元函数微分学的几何应用

1．选择题：

（1）曲面(,,)z F x y z =的一个法向量为

（A ）（1,,?′′′z y x F F F ）． （B ）（1,1,1?′?′?′z y z F F F ）． （C ）（,,x y z F F F ′′′）． （D ）（1,,y z F F ′?′?）．

（2）旋转抛物面2

2

224z x y =+?在点（1，1?，0）处的法线方程为 （A ）

14141?=+=?z y x ． （B ）14141?=?+=?z y x ．

（C ）

14141?=+=??z y x ． （D ）4411

1z

y x =+=??．

（3） 在曲线2

3

,,x t y t z t ==?=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线 （A ）只有1条． （B ）至少有3条． （C ）只有2条． （D ）不存在．

2．求曲线cos ,sin ,2x t y t z t ===在点(,,)222

π处的切线及法平面方程．

3．为使平面01633=+??z ky x 与曲面1632

2

2

=++z y x 相切，求k ．

4．证明曲面)(x

y xf z =在任一点处的切平面都通过原点．

练习9—7 方向导数与梯度

1．填空题：

（1）函数2

2

2

ln()u x y z =++在点(1,2,2)M ?处的梯度gradu ．

（2）函数r =

，则梯度gradr ．

（3）函数2

ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B ?方向的方向导

数 ．

（4）函数2

2

2

u x y z =++在点(2,2,1)M ?处沿点M 到点(3,3,1)N ?方向的方向导

数 ．

2．求u x xy xyz =++在点M 0（1，2，-1）处的梯度，并求该梯度方向的方向导数．

3．o (,)3l i π=G G ，p

(,)6

l j π=G G ，且(,)z z x y =由方程sin 0z z x y +++=确定，求z l ??．

4．设函数u =

(1,1,1)M 函数u 沿着哪一个方向其方向导数取得最大值，并求出方向导数的最大值．

练习9—8 多元函数的极值及其求法

1．求2

2(,)(2)x

f x y x y y e =++极值点及极值．

2．求函数z x y x =+?2

2

32在闭域D x y :22

94

1+≤上的最大值和最小值．

3．设生产某种产品的数量(,)f x y 与所用甲、

乙两种原料的数量x ,y 之间有关系式(,)f x y ＝0.005x 2y ，已知甲，乙两种原料的单价分别为1元，2元，现用150元购料，问购进两

种原料各多少，使产量(,)f x y 最大?最大产量是多少?

总 习 题 九

1．填空题：

⑴ 设??，，f y x y xy f x

z )()(1++=具有二阶连续导数，则

=???y x z

2 ． ⑵ 函数)ln(22z y x u ++

=在)1,0,1(A 点处沿A 点指向)2,2,3(?B 点方向的方向导数

为 ．

⑶ 由曲线?

??==+012

2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧

的单位法向量为 ．

2．选择题：

（1） (,)f x y 在00(,)x y 处

f x ??，f y

??均存在是(,)f x y 在00(,)x y 处连续的 条件． （A ）充分． （B ）必要． （C ）充分必要． （D ）既不充分也不必要． （2） 已知

x

f

??>0，则 ． （A ）(,)f x y 关于x 为单调递增 ． （B ）(,)0f x y >．

（C ）220f x

?>?． （D ）2

(,)(1)f x y x y =+．

（3）设(,)f x y 在点00(,)x y 处有偏导数存在，则00000

(2,)(,)

lim

h f x h y f x h y h

→+??=

（A ）0． （B ）'

003(,)x f x y ． （C ）'

002(,)x f x y ． （D ）'

00(,)x f x y ． （4）设(,)z z x y =是由方程(,)0F x az y bz ??=所定义的隐函数，其中(,)F u v 是变量

,u v 的任意可微函数，,a b 为常数，则必有

（A ）1z z

b

a x y ??+=??． （B ） 1z z a

b x y ??+=??． （C ）1z z

b

a x y ???=??． （D ）1z z a

b x y

???=??． （5）设(,)z z x y =由方程2

2

2

40x y z z ++?=确定，22z

x

??=

(A)

223(2)(2)x z z +??． (B)223(2)(2)x z z ???． (C)223(2)(2)x z z ?++． （D ）22

3

(2)(2)x z z +?+．

(6) 二元函数???

??=≠+=)0,0(),(0)0,0(),(),(22y x y x y x xy

y x f ，

，在点)0,0(处

（A ）连续，偏导数存在． （B ）连续，偏导数不存在．

（C ）不连续，偏导数存在． （D ）不连续，偏导数不存在．

（7）函数2

3

u xy yz =+在点(2,1,1)M ?处的梯度gradu 等于 ． （A ）1

3

?

． （B ）5?． （C ）(1,3,3)??． （D ）(1,3,3)???． 3．求曲线()()()1cos sin 4sin 2

t r f t t i t t j k ==?+?+G J G G G G

，在与02t π=相应的点处的切

线方程及法平面方程．

4. 设n 是曲面6322

22=++z y x 在点)1,1,1(P 处的指向外侧的法向量，求函数

z

y x u 2

286+=

在点P 处沿方向n 的方向导数．

5.设)()(x z z x y y ==，是由方程)(y x xf z +=和0),,(=z y x F 所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求

x

z d d .

6．设),,(z y x f u =，0),,(2

=z e x y

?，x y sin =其中?、f 都具有一阶连续偏导数，且

0≠??z

?

，求x u d d ．

7．设),sin (2

2

y x y e f z x

+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求 y

x z

???2．

8．设),(y x z z =是由01821062

2

2

=+??+?z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值．

9．某厂生产甲、乙两种产品，其销售单位价分别为10万元和9万元，若生产x 件甲产品和y 件乙产品的总成本为：

Ｃ=400+2x +3y +0.01 (3x 2+xy +3y 2)（万元）

又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时两种产品的产量．

练习9—1 多元函数的基本概念

2．⑴ }410|),{(222x y y x y x ≤<+<，； ⑵ }00|),{(2

y x y x y x ≥≥≥，，． 3．（1）1； （2）12

π

；（3）0；（4）

1

2

．

练习9—2 偏导数

1．⑴()()z y z z x y u x y ??=?+?121、()()

z y z

z x y u x y ??=?+?121； ⑵e e ?5

2； ⑶

cos (1())z

y f u y ?′=??； ⑷12)1(?+=y x xy y z ；()()ln y y xy z xy xy xy ??=+++??+??

111．

2．x 2． 3．

y

1

．

练习9—3 全微分

2．⑴221

cot sec (d d )y y y dz x y x x x x =?+； ⑵1

d z ln d ln d yz yz yz du yzx

x x x y x y x z ?=+??+??．

3．(

)

sin (sin cos )x

x

dz f e y ydx ydy e ′=?+．

练习9—4 多元复合函数的求导法则

1． ⑴232)43(1/)41(3t t t ???；⑵y x y x x y x y x z d ])(2[d ]3)(2[d 3

2+++++=； ⑶x e

ax

sin ．

2．⑴

22212111f z

y z u f z f y x y u f y x u ′?=??′+′?=??′=??，，

， ⑵332322

1cos sin 2sin f z xy u f z x f xy u f z y f y f u z y x ′=′+′=′

+′+′=，，． 3．xy ．

练习9—5 隐函数求导公式

1．2

2cos x dy e y dx xy y

?=?． 2．（1）(2)(2)xy xy

x z z

ye xe z e e ????=??++y ，z ； （2）)

(2z x y z z z x z z y x +=+=，． 3．1,2()

x y v u u v u u v =

=??．

4．2211324dz y dx z y yz ?=+??，2

2231324dy z z dx z y yz

?=+??．

练习9—6 多元函数微分学的几何应用

2

．法平面0x y ??+=

，切线2211x y z π

?

??==? 3．2±=k ．

练习9—7 方向导数与梯度

2

．(1,0,2),

f

gradu l ?==? 3

．122cos z

?+． 练习9—8 多元函数的极值及其求法

1．1

(,1)2?，极小值为2

e

?

． 2．函数z 在点(,)10取最小z (,)101=?，在点(,)?30取最大值z (,)?=3015． 3．100,25x y ==，最大产量为(100,25)1250f =．

总 习 题 九

3

．法平面方程为1102

()()π

?+?

++?=x y z ;

切线方程为 112

π

?=?

+=

x y ．

4．

7

11． 5．

z F y x f x y

F

x

F y x f x y F y x f x y x f ??+′+????+′???+′++)

()()]

()([．

6．

)cos 2(1cos 213

321x e x f x f f dx du

y ?′+?′′?′?′+′=???． 7． xy f y x y y e f y y e f x x

?′′++?′′+?′′2212

2114)cos sin (2cos sin .y e f x cos 1?′+ ． 8．极小值点3)3,9()3,9(=z ，；极大值点3)3,9()3,9(?=????z ，．

9．故当70,30x y ==时，企业获得最大利润，最大利润为(70,30)145L =万元.