高三数学纠错练习3
高三数学纠错练习3
高考数学纠错练习（3）
1.函数y＝sin x和y＝tan x的图象在[－2π，2π]上交点的个数为 .5
2. 已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)·cos x＜0的解集为 .
(－π
2
，－1)∪(0,1)∪(
π
2
，3)
3. 已知函数f(x)＝x－3
3x＋1
，设f1(x)＝f(x)，f n＋1(x)
＝f[f n(x)](n∈N*)，若集合M＝{x∈R|f2009(x)＝2x＋3}，则集合M中的元素个数为 .
1个
4. 在单位正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线A1B上存在
一点P使得AP＋D1P取得最小值，则此最小值为 . 2＋ 2
5. 已知向量OB＝(2，0)，OC＝(2，2)，CA＝(cosα，
sinα)( α∈R)，则OA与OB夹角的取值范围是[15°,75°]
6. 将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器
底面边长为 时，其容积最大。32 7. 动点(,)P a b 在不等式
20
00x y x y y +-≤??
-≥??≥?
表示的平面区域内部及其
边界上运动，则3
1
a b w a +-=-的取值范围是 。(－∞,－1]∪[3,＋∞)
8．设函数3
2
()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x =，若函数()g x 至少存在
一个零点，则实数m 的取值范围
是 ． 2
1(,]e e
-∞+ 9. 已知,a b 是不相等的两个正数，在,a b 之间插入两组数：
12,,
,n
x x x 和1
2
,,
,n
y y y ，（ n N *
∈，且2)n ≥，使得,a 1
2
,,
,,n x x x b
成等差
数列，1
2
,,,,n a y y y
b
,成等比数列．老师给出下列四个式子：
①
1
()
2
n
k
k n a b x =+=∑；
②2
11(2
n k
k x n =>∑；
③
ab
<
；
ab
=ab
>．其中一定成立的是 ▲
①② ．（只需填序号）
10.已知关于x 的函数158)532()(--+-+-=b a x b a x f .如果[]1,1-∈x 时,其图象恒在x
轴的上方,则a
b 的取值范围是 ),3()
23
,(+∞-∞ _ 11.当θ取遍所有值时，直线cos sin )
4
x y π
θθθ?+?=++4所围
成的图形面积为 。16π
12. 设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有
x y,x y,xy S
+-∈，则称S 为封闭集。下列命题：
①集合S ＝{a ＋bi |a,b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；
④若S 为封闭集，则满足S T C ??的任意集合T 也是封闭集.
其中真命题是 ①② （写出所有真命题的序号）
13. 若数列{}n
a 满足：对任意的n N *
∈，只有有限个正整数m
使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n
a *
，则得到一个新
数列{}()n
a *
．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}()n
a *
是
0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *
∈，2
n
a
n =，则5
()a *= ，
(())n a **=
2，2
n
14. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋2n ．数
列{b n }中，b 1＝1，它的第n 项b n 是数列{a n }的第b n －1项(n ≥2)．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若存在常数t 使数列{b n ＋t }是等比数列，求数列{b n }的通项公式； （Ⅲ）求证：①b n+12>b n ；
②1
2
3
111
12n
b
b b
b ++++
<．
（Ⅰ）1n =时，1
13
a
S ==，
2
n ≥时，221(2)(1)2(1)21
n
n n a
S S n n n n n -=-=+----=+，
且1n =时也适合此式，故数列{}n
a 的通项公式是
21
n a n =+；
（Ⅱ）依题意，2n ≥时，1121
n n
b n b a b --==+，
∴112(1)n n b b -+=+，又1
12b +=，
∴
{1}
n b +是以2为首项，2为公比的等比数列，
11222n n
n b -+=?=，即21
n n
b
=-.
（Ⅲ） ①11
2(21)2(21)10
n n n n b
b ++-=---=> 所以1
2n n
b
b +>对一切
自然数n 都成立． ②由12n n
b
b +>得1
1
1
2n n
b b +<
设1
2
3
1111n
S b
b b
b =++++
则S 1
1
2
11111222n b
b b
b -<+++
+
1111
()2n
S b b =+-
所以1
21
2n
S b b
<-<． 15．已知2
()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．
（1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值。
（2）对(0,)x ∈+∞，不等式2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）证明对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e e x
x x >-成立．
(1) ()ln 1f x x '=+. 当()
10,e x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()1
,e
x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增．
因为0t >，所以12e
t +>. ① 当1
02e t t <<<+，即10e
t <<时，[]()
min
11
()e e
f x f ==-；
②当1
2e t t ≤<+，即1e
t ≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，[]min ()()ln f x f t t t
=
=；
所以[]
min
110,
e e ()1ln .
e t
f x t t t ?-<
?≥?
， ，
(2)2
2ln 3
x x x
ax ≥-+-，则32ln a x x x
≤++， 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2
(3)(1)
'()x x h x x
+-=
， 当(0,1)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递增，
当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递减， 所以[]min
()(1)4h x h ==，
因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以[]
min
()4
a h x ≤=；
(3)问题等价于证明2ln ((0,))e
e x
x x x x >-∈+∞， 由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1e
x =时取得.
设2()((0,))e e x
x m x x =-∈+∞，则1()e
x
x m'x -=，易得[]max
1
()(1)e
m x m ==-，当且仅
当1x =时取到，
从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e e x
x x >-成立