2018-2019学年广东省深圳市宝安区高一(上)期末数学试卷及答案

2018-2019学年广东省深圳市宝安区高一（上）期末

数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）

1.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|（x-1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）

A. B. C. 0, D. 1,

2.化简cos 15°cos45°-sin15°sin45°的值为（）

A. B. C. D.

3.函数f（x）=+lg x的定义域是（）

A. B. C. D.

4.如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么=（）

A.

B.

C.

D.

5.若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为

( )

A. B.

C. D.

6.已知函数f（x）=a+log2（x2+a）（a＞0）的最小值为8，则（）

A. B. C. D.

7.已知为三角形△ABC内角，且，若m∈(0,1)，则关于△ABC的形状的

判断，正确的是

A. 直角三角形

B. 锐角三角形

C. 钝角三角形

D. 三种形状都有可能

8.已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）

A. B. C. D.

9.函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝-1，则满足－1≤f(x－

2)≤1的x的取值范围是( )

A. B. C. D.

10.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，

则函数g（x）=A cos（φx+ω）图象的一个对称中心可能为（）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.函数f（x）=的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是______．

12.设函数f（x）=+bx+3x+b的图象关于y轴对称，且其定义域为[a-1，2a]（a，b∈R），

则函数f（x）在x∈[a-1，2a]上的值域为______．

13.已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=m有两个不同的实根，

则实数m的取值范围是______．

14.已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区

间[m2，n]上的最大值为2，则n+m=______．

三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

15.已知集合A={x|x2-2x-8≤0}，，U=R．

（1）求A∪B；

（2）求（?U A）∩B；

（3）如果非空集合C={x|m-1＜x＜2m+1}，且A∩C=?，求m的取值范围．

平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα=，求cos（α-β）的值．

16.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处，第一种是从

A沿直线步行到C，第二种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从

B沿直线步行到C．某旅客选择第二种方式下山，山路AC长为

1260m，从索道步行下山到时C处BC=500m经测量，cos A=，cos C=，求索道AB的长．

17.已知函数f（x）=x|x-m|，x∈R，且f（3）=0．

（1）求实数m的值；

（2）作出函数f（x）的图象并直接写出f（x）单调减区间．

（3）若不等式f（x）≥ax在4≤x≤6时都成立，求a的取值范围．

18.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且

图象上相邻两个最高点的距离为π．

（Ⅰ）求ω和φ的值；

（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．

19.设函数f（x）=ka x-a-x（a＞0且a≠1）是奇函数．

（1）求常数k的值；

（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；

（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为-2，求实数m的值．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了交集及其运算，考查学生的计算能力，属于基础题.

解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．

【解答】

解：B={x|-2＜x＜1}，A={-2，-1，0，1，2}，

∴A∩B={-1，0}，

故选A．

2.【答案】C

【解析】解：cos 15°cos45°-sin15°sin45°=cos（15°+45°）=cos60°=．

故选：C．

直接利用两角和的余弦化简求值．

本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的余弦，是基础题．

3.【答案】A

【解析】解：要使函数有意义，则，

得，即0＜x≤2，

即函数的定义域为（0，2]

故选：A．

根据函数成立的条件即可求函数的定义域．

本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用，

由题意点E，F分别是DC，BC的中点，求出，，然后求出向量即得．

【解答】

解：因为点E是CD的中点，所以=，

点得F是BC的中点，所以==-，

所以=+=，

故选D．

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于基础题.

由函数图象变换法则得出平移后的函数的解析式,然后利用正弦函数的性质求解即可.

【解答】

解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin[2（x+）]=2sin（2x+）的图象,

令2x+=kπ+（k∈Z），

得：x=+（k∈Z），

即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），

故选B．

6.【答案】A

【解析】解：函数（a＞0）的最小值为8，

可得a+log2a=8，

令f（a）=log2a-8+a，函数是增函数，

f（5）=log25-3＜0，

f（6）=log26-2＞0，

所以函数的零点在（5，6）．

故选：A．

利用复合函数的性质求出函数的最小值时的表达式，然后求解a的范围．

本题考查函数的最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算能力．

7.【答案】C

【解析】解：∵sinθ+cosθ=m，

∴m2=（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ

∵0＜m＜1∴0＜m2＜1

∴0＜2sinθcosθ+1＜1，-＜sinθcosθ＜0

∵θ为三角形△ABC内角，∴sinθ＞0，cosθ＜0

θ为钝角，即三角形△ABC为钝角三角形

故选：C．

利用同角平方关系可得，m2=1+2sinθcosθ，结合m∈（0，1）可得sinθcosθ＜0，从而可得θ的取值范围，进而可判断三角形的形状．

本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从sinθcosθ的符号中判断θ的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用．

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查用向量的数量积求夹角，属于基础题.

由向量的坐标便可求出，及的值，再根据向量夹角余弦公式求解即可．【解答】

解：，，

∴，

又0°≤∠ABC≤180°，

∴∠ABC=30°，

故选A．

9.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于基础题.

由题干函数的单调性及奇偶性，可将不等式-1≤f（x-2）≤1化为-1≤x-2≤1，即可解得答案．

【解答】

解：∵函数f（x）为奇函数，

若f（1）=-1，则f（-1）=-f（1）=1，

又∵函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，-1≤f（x-2）≤1，

∴f（1）≤f（x-2）≤f（-1），

∴-1≤x-2≤1，

解得：1≤x≤3，

所以x的取值范围是[1，3].

故选D．

10.【答案】C

【解析】解：根据函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2，=2（6+2），∴ω=，

再根据函数的图象经过点（6，0），结合图象可得?6+φ=0，∴φ=-，∴f（x）=2sin （x-）．

则函数g（x）=A cos（φx+ω）=2cos（-x+）=2cos（x-），

图象的一个对称中心可能（-，0），

故选：C．

由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得g

（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数g（x）=A cos（φx+ω）图象的一个对称中心．

本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

11.【答案】[0，]∪[1，+∞）

【解析】解：由题意，∵函数f（x）=的值域为[0，+∞），

∴或a=0

当时，解得或a≥1

∴实数a的取值范围是[0，]∪[1，+∞）

故答案为：[0，]∪[1，+∞）．

根据函数f（x）=的值域为[0，+∞），分类讨论，建立不等式，即可

求得实数a的取值范围．

本题考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．

12.【答案】[-3，-]

【解析】解：由题意可知a≠0，

函数f（x）=+bx+3x+b的图象关于y轴对称，对称轴为x=0，

可得：，即b=-3，即函数解析式函数f（x）=+bx+3x+b化简成f（x）=x2-3．由定义域[a-1，2a]关于y轴对称，故有a-1+2a=0，得出a=，即函数解析式化简成f（x）=3x2-3，x∈[-，]

f（x）的值域为[-3，-]．

故答案为：[-3，-]．

由题意可知a≠0，图象关于y轴对称可判断出b=-3，即函数解析式化简成f（x）=x2-3，

由定义域[a-1，2a]关于y轴对称，得出a的值，求f（x）的值域．

此题主要考查函数二次函数图象对称的性质以及二次函数的值域的求法，求解的关键是熟练掌握二次函数的性质，本题理解对称性很关键．

13.【答案】（1，+∞）

【解析】解：由题意作出函数f（x）=的图象，

关于x的方程f（x）=m有两个不同的实根等价于

函数f（x）=与y=m有两个不同的公共点，

由图象可知当m∈（1，+∞）时，满足题意，

故答案为：（1，+∞）．

由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．

本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．

14.【答案】

【解析】解：∵f（x）=|log2x|，且f（m）=f（n），

∴mn=1

∵若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2

∴|log2m2|=2

∵m＜n，

∴m=

∴n=2

∴n+m=

故答案为：

先结合函数f（x）=|log2x|的图象和性质，再由f（m）=f（n），得到m，n的倒数关系，再由“若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2”，求得m．n的值得到结果．

本题主要考查对数函数的图象和性质，特别是取绝对值后考查的特别多，解决的方法多数用数形结合法．

15.【答案】解：（1）集合A={x|x2-2x-8≤0}={x|-2≤x≤4}，…（2分）

={x|-1＜x＜6}；…（4分）

∴A∪B={x|-2≤x＜6}；…（6分）

（2）全集U=R，∴?U A={x|x＜-2或x＞4}，…（8分）

∴（?U A）∩B={x|4＜x＜6}；…（10分）

（3）非空集合C={x|m-1＜x＜2m+1}，

∴2m+1＞m-1，

解得m＞-2；

又A∩C=?，

∴m-1≥4或2m+1≤-2，

解得m＞5或；

∴m的取值范围是．…（14分）

【解析】（1）化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B；

（2）根据补集与交集的定义写出（?U A）∩B；

（3）根据非空集合C与A∩C=?，得关于m的不等式，求出解集即可．

本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题．

16.【答案】解：角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα=，∴α+β=2kπ+π，k∈Z，

∴sinα==sinβ，cosα=-cosβ=±=±．

∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=-．

【解析】由题意可得sinα==sinβ，cosα=-cosβ，再利用两角和差的三角公式求得cos

（α-β）=2sin2α-1的值．

本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．

17.【答案】解：在△ABC中，∵cos A=，cos C=，

∴sin A=，sin C=，

则sin B=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C=×+×=，

由正弦定理得得AB==×=1040m，则索道

AB的长为1040m．

【解析】利用两角和差的正弦公式求出sin B，结合正弦定理求AB即可

本题主要考查三角函数的应用问题，根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行求解是解决本题的关键．

18.【答案】解：（1）∵f（x）=x|x-m|，

由f（3）=0得4×|3-m|=0

即|3-m|=0

解得：m=3；

（2）由（1）得f（x）=x|x-3|，

即f（x）=

则函数的图象如图所示；

单调减区间为：；

（3）由题意得x2-3x≥mx在4≤x≤6时都成立，

即x-3≥m在4≤x≤6时都成立，

即m≤x-3在4≤x≤6时都成立，

在4≤x≤6时，（x-2）min=1，

∴m≤1．

【解析】（1）由f（3）=0，代入可得m值；

（2）分类讨论，去绝对值符号后根据二次函数表达式，画出图象．

（3）由题意得x2-3x≥mx在4≤x≤6时都成立，可得m≤x-3在4≤x≤6时都成立，解得即可

本题考查的知识点是函数解析式的求法，零点分段法，分段函数，由图象分析函数的值域，其中利用零点分段法，求函数的解析式是解答的关键．

19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，

∴=π，∴ω=2．

再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．

结合-≤φ＜可得φ=-；

（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），

∴sin（α-）=，∴sin（α-）=．

再根据0＜α-＜，

∴cos（α-）==，