应用二次函数求实际问题的最值
应用二次函数求实际问题的最值
运用二次函数解决实际问题中的最大（小）值问题是近几年来各地中考命题的一个热点，解决这类问题的关键是从实际问题中抽象出二次函数的模型，然后再应用二次函数的有关性质去寻找实际问题的最佳答案，请看几个典型的例子．
例1. 张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．
（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．
（2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．
（参考公式：二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠），当2b x a =-时，2
44ac b y a -=最大(小)值) 分析：（1）由矩形的面积公式建立函数关系式；（2）利用二次函数的顶点坐标公式求解.
解：（1）由题意得(322)S AB BC x x ==- ，2232S x x ∴=-+；
（2）20a =-< ，S ∴有最大值．32822(2)
b x a ∴=-=-=?-． 2243212844(2)
ac b S a --===?-最大值，8x ∴=时，S 有最大值是128． 说明：解决几何类问题时，图形的有关公式是寻找解题思路的有效途径.
例2．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？
（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式；
（3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值．
分析：（1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为800台，每台彩电的收益为200元；（2）利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式；（3）商场销售彩电的总收益＝商场销售彩电台数×每台家电的收益，将（2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值.
解：（1）该商场销售家电的总收益为800200160000?=（元）；
（2）依题意可设1800y k x =+，2200Z k x =+，∴有14008001200k +=，
2200200160k +=，解得12115k k ==-，．所以800y x =+，12005
Z x =-+． （3）1(800)2005W yZ x x ??==+-+ ??? 21(100)1620005x =--+，政府应将每台补贴款额x 定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元．
说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼.
例3．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去.
（1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式.
（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.
分析：（1）提价后每间包房的收入＝原每间包房收包房费+每间包房收包房提高费，包房减少数＝每间包房收包房提高费数量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房总收入＝提价后每间包房的收入×每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y 取得最大值时x 的值.
解：（1）x y +=1001，x y 212=
； （2）)21100()100(x x y -?+=y 11250)50(2
12+--=x ，因为提价前包房费总收入为100×100=10000，当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元.
说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好.
例4．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）
满足关系式1y ＝36x 8
3+-，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．
（1）试确定b c 、的值；
（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式；
（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ 分析：（1）将点（3，25），（4，24）代入求b 、c 的值；（2）y ＝1y -2y ；（3）将（2）中的二次函数配方为顶点式，再利用二次函数的增减性，在满足“五·一”之前的前提下求最大值.
解：（1）由题意：22125338124448b c b c ?=?++????=?++??，解得7181
292b c ?=-????=??；
（2）12y y y =-23115136298882x x x ??=-
+--+ ???21316822x x =-++； （3）21316822y x x =-
++ 2111(1236)46822x x =--+++21(6)118x =--+. ∵108
a =-<，∴抛物线开口向下．在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大．由题意5x <，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大．最大利润
211(46)111082
=--+=（元）． 说明：本题在x ＝6，即6月份时取得最大值，但题目要求在“五·一”之前，所以要将二次函数配方为顶点式，利用二次函数的增减性来求解.
练习题
1．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．
（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 25 24 y 2（元）
x （月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2218y x bx c =++O
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
2．新星电子科技公司积极应对2008年世
界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y （万元）与销售时间第x （月）之间的函数关系式（即前x 个月的利润总和y 与x 之间的关系）对应的点都在如图3所示的图象上．
该图象从左至右，依次是线段OA 、曲线AB 和曲线BC ，其中曲线AB 为抛物线的一部分，点A 为该抛物线的顶点，曲线BC 为另一抛物线252051230y x x =-+-的一部分，且点A ，B ，C 的横坐标分别为4，10，12
（1）求该公司累积获得的利润y （万元）与时间第x （月）之间的函数关系式；
（2）直接写出第x 个月所获得S （万元）与时间x （月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；
（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？ 参考答案
1．（1）2(21010)(5040)101102100y x x x x =-+-=-++（015x <≤且x 为整数）；
（2）210( 5.5)2402.5y x =--+．100a =-< ，∴当 5.5x =时，y 有最大值2402.5．
015x < ≤，且x 为整数，当5x =时，5055x +=，2400y =（元），当6x =时，5056x +=，2400y =（元）∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的
月利润是2400元；（3）当2200y =时，21011021002200x x -++=，解
得：12110x x ==，．∴当1x =时，5051x +=，当10x =时，5060x +=．∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．
2．（1）()()()22101234:0123410801205678952051230101112x x x y x x x x x x -==??∴=-+=??-+-=?
，，，注写成，，，，亦可，
，，，，，；（4x =可归为第2段，10x =亦可归为第2段）
（2）()()()1012340420905678959102101011121012x x x x s x x x x x x x x ?-=??∴=-=??-+=??，，，或≤≤且为整数，
，，，或≤≤且为整数，，
或≤≤且为整数； （3）由（2）知，1234x =，
，，时，s 均为-10；56789x =，，，，时，2090s x =-，s 有最大值90，而在101112x =，，时，10210s x =-+，在10x =时，s 有最大值110，故在10x =时，
s 有最大值110．即第10个月公司所获利润最大，它是110万元．
二次函数的几何最值问题
二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．
（2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．
（2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
九上二次函数的实际应用(最值问题)
第4课时 二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题 知识要点： 在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． [例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动． （1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm2)是多少？ （2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm2)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案： 63 363 3360726612626262 1 )1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--?=+-=?-= [例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？ 解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米 则长为：x x 4342432-=+-(米) 则：)434(x x S -= x x 3442 +-=
二次函数应用题(含答案)
二次函数应用题 一、选择题 1．烟花厂为扬州烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 与飞行时间t(s)的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( ) A．3s B．4s C．5s D．6s 2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( ) A．5元B．10元C．0元D．3600元 3．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为 ，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( ) A．10m B．20m C．30m D．60m 4．由表格中信息可知，若设，则下列y与x之间的函数关系式正确的是( ) x -1 0 1 1 8 3 A．B． C．D． 5．一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S(米)与时间t(秒)间的关系式为 ，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为( ) A．24米B．12米C．米D．6米
6．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是( ) A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 7．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为，则该企业一 年中应停产的月份是( ) A．1月、2月、3月B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月D．1月、11月、12月 8．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( ) A．当C是AB的中点时，S最小B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小D．当C为AB的三等分点时，S最大 二、填空题 9．如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN
二次函数最值问题解答题专项练习60题(有答案)
二次函数最值专项练习60题 1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值． 3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求 （1）函数在一2＜x≤a的最小值； （2）函数在a≤x≤a+2的最小值． 4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值． 5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理： ∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0 ∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2． 试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．
6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）． （1）写出?ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围． （2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值． 7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值． 8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值． 9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值．
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若-(完整版)二次函数(应用题求最值)(含答案).doc
二次函数应用题 1、某商场将进价为2000 元的冰箱以2400 元售出，平均每天能售出8 台，为了配合国家“家 电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50 元，平均每天就能多售出 4 台． （ 1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间 的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰（ 2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈 利箱应降价多少元？ （ 3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 2. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（ 4 ，1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ， C 两点（点 B 在点C的左侧）. 已知 A 点坐标为（0 ， 3）. （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）过点 B 作线段AB 的垂线交抛物线于点 D ，如果以点 C 为圆心的圆与直线BD 相 切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明； （ 3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于 A ，C两点之间，问：当点P 运动到 什么位置时，PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC 的最大面积. y D A x O B C ( 第 13 题 )
3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙 另三边用总长为32 米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所 示的矩形ABCD ．设 AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为 S 平方米． （ 1）求 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （ 2）当 x 为何值时， S 有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数 y ax 2 bx c（a 0 ），当x b 4a c b2 时， y最大(小)值) 2a 4a 4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x 之间满足函数关系y 50x 2600 ，去年的月销售量p（万台）与月份x 之间成一次函数关系，其 中两个月的销售情况如下表： 月份 1 月 5 月 销售量 3.9 万台 4.3 万台 （1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？ （2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年 12 月份下降了m% ，且每月的销售量都比去年12 月份下降了 1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受 此政策的影响，今年 3 至 5 月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年 2 月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年 2 月份增加了 1.5 万台．若今年 3 至 5 月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936 万元，求m的值（保留一位小数）． （参考数据：34 ≈ 5.831 ，35 ≈5.916 ，37 ≈ 6.083 ，38 ≈ 6.164 ）
二次函数最值及应用
第17讲、二次函数最值及应用(B) 姓名________ 一、知识梳理： 知识点一：二次函数的最值： 知识点二：利用二次函数研究“最大利润”： 利用二次函数解决实际问题中的最值问题（如最大利润）的步骤为： （1）分析题意，设出自变量x ，根据题中两个变量之间的关系列出二次函数关系式； （2）利用公式法或者配方法求出其最大（小）值； （3）结合相关问题写出结果。 二、精典题型例析： 考点一、求二次函数的最值 例1．求二次函数223y x x =-+的最值。（用两种方法） 考点二、区间最值 例2．分别在下列范围内求函数223y x x =-+的最小值和最大值。 （1）20≤≤x （2）23x ≤≤ （3）30x -≤≤ 2 A ． ﹣10.5 B ． 2 C ． ﹣2.5 D ． ﹣6
考点三、面积最值问题 例3、（2012·张家界）.如图，抛物线 233 5 2++ -=x x y 与x 轴交于 C 、A 两点，与y 轴交于点B ，OB =2点O 关于直线AB 的对称点为D . （1） 分别求出点A 、点B 的坐标 （2） 求直线AB 的解析式, （3） 若反比例函数x k y = 的图像过点D ，求k 值. （4）两动点P 、Q 同时从点A 出发，分别沿AB 、AO 方向向B 、O 移动，点P 每秒移动1个单位，点Q 每秒移动 2 1 个单位，设△POQ 的面积为S ，移动时间为t ,问：S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t 值，若不存在，请说明理由. 考点四、应用题中的最值问题 例4、（2014.成都）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB 、BC 两边），设AB=x 米。 （1）若花园的面积为192平方米，求x 的值； （2）若在P 处有一棵树与墙CD 、AD 的距离分别是15米和6米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值。 y x B D P A Q O C 2
初中数学二次函数的最值问题专题复习
二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．
(文章)应用二次函数求实际问题的最值
应用二次函数求实际问题的最值 运用二次函数解决实际问题中的最大（小）值问题是近几年来各地中考命题的一个热点，解决这类问题的关键是从实际问题中抽象出二次函数的模型，然后再应用二次函数的有关性质去寻找实际问题的最佳答案，请看几个典型的例子． 例1. 张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米． （1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数2 y ax bx c =++（0a ≠），当2b x a =-时，2 44ac b y a -=最大(小)值) 分析：（1）由矩形的面积公式建立函数关系式；（2）利用二次函数的顶点坐标公式求解. 解：（1）由题意得(322)S AB BC x x ==- ，2232S x x ∴=-+； （2）20a =-< ，S ∴有最大值．32822(2)b x a ∴=-=-=?-． 2243212844(2) ac b S a --===?-最大值，8x ∴=时，S 有最大值是128． 说明：解决几何类问题时，图形的有关公式是寻找解题思路的有效途径. 例2．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．