《复变函数与积分变换》习题册
第一章 复数与复变函数
本章知识点和基本要求
掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念；
熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。
一、填空题
1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.
2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y =
3、若1231i
z i i
+=--，则z =
4、若(3)(25)
2i i z i
+-=
，则Re z =
5、若4
21i
z i i
+=-
+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z =
7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 。 8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为
_________________.
9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____.
10、设4
i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。z = 11、.方程0273=+z 的根为_________________________________.
12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程
为 。
13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数1
2
+-=
z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________. 15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的部。
16
二、判断题（正确打√，错误打?）
1、复数7613i i +>+. ( )
2、若z 为纯虚数，则z z ≠. ( )
3、若 a 为实常数，则a a = （ ）
4、复数0的辐角为0.
5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在
00(,)x y 点连续。 （ ）
6、设21,z z 为复数，则2121z z z z ?=。 （ ）
7、1212z z z z +=+ （ ）
8、参数方程2
z t ti =+ （t 为实参数）所表示的曲线是抛物线2y x =. ( )
三、单项选择题
1、下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是 （ ） A.z·z =Re(z·z ) B. z·z =Im(z·z ) C. z·z =arg (z·z )
D. z·z =|z|
2、方程3z =8 的复根的个数为 （ ）
A. 3个
B. 1个
C. 2个
D. 0个
3、当11i
z i
+=-时，1007550z z z ++的值等于 （ ）
A i
B i -
C 1
D 1-
4、方程23z i +-= （ ）
A 中心为23i -的圆周
B 中心为23i -+，半径为2的圆周
C 中心为23i -+的圆周
D 中心为23i -，半径为2的圆周
四、计算题
1．求出复数4)31(i z +-=的模和辐角。
2．设iy x z +=满足,4)3Re(2
=+z 求x 与y 的关系式
3、将复数6z i =化为三角表示式和指数表示式。
4、求复数1cos sin ,(0)i j j j p -+＃的三角表示式、指数表示式及幅角主值。
5．将直线方程1
+y
x化为复数形式。
2=
3
6、求以下根式的值：
（1）(2) (3)
第二章 解析函数
本章知识点和基本要求
理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；
掌握复变函数解析的C-R 条件，并能利用C-R 条件判断复变函数的可导性和解析性；
掌握解析函数的基本性质；
了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。
一、填空题
1、(1)Ln i +的主值为
2、()Ln i -= ，主值为
3、设i e z 43+-= , 则=)Re(iz _________________
4、=i 3_____________________________.
5、=+i i )1(________________________.
6、1i i +=
7、指数函数z e 的周期是
8、设()(1)z f z z e -=-，则()f z '=
9、设3322()f z x y ix y =++，则(1)f i '+=
10、已知函数()(21)(,)f z x y v x y i =++解析，则()f i ￠
= 11、.函数()f z u iv =+在000z x iy =+点连续是()f z 在该点解析的_________条件。
二、判断题（正确打√，错误打?）
1、.若)(z f '在区域D 处处为零，则)(z f 在D 必恒为常数。 （ ）
2、.若()f z 在0z 点不解析，则()f z 在0z 点必不可导。 （ ）
3、函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点000z x iy =+可微等价于(,)(,)u x y v x y 和在点
00(,)x y 可微。 （ ）
4、sin 1z ≤.. （ ）
5、函数z e 是周期函数。 （ ）
6、设函数()f z 在点0z 处可导，则()f z 在点0z 处解析。 （ ）
7、对于任意的复数12,z z ，等式1212(.)Ln z z Lnz Lnz =+恒成立。 （ ）
8、不等式Re()2z ≤ 表示的是有界闭区域。 （ ）
9、对于任意的复数z ，整数n ，等式n Lnz nLnz =恒成立 （ ）
三、单项选择题
1、下列点集是单连域的是 （ ）
A ．Re()2z > B.13z
C.1z ￡
D.2arg 2Z p ＃+
2、下列所示区域中是多连域的为 （ ） A.Im 0z > B.Re 0z < C.01z << D.
arg 4
3
z π
π
<<
3、函数()f z 在点z 可导是()f z 在点z 解析的 （ ）
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充分必要条件
D.既不充分又不必要条件 4、下列说确的是 （ ）
A 、()f z 在0z 可导的充要条件是()f z 在0z 处解析。
B 、()f z 在0z 可导的充要条件是 ,u v 在0z 处偏导数连续且满足
C R -条件。 C 、()f z 在0z 可导的充要条件是()f z 在0z 处连续。
D 、()f z 在0z 可导的充要条件是,u v 在0z 处可微且满足C R -条件
5、在复平面上，下列关于正弦函数sinz 的命题中，错误的是（ ） A.sinz 是周期函数 B.sinz 是解析函数 C.|sinz|1≤
D.(sin )cos z z '=
6、以下说法中，错误的是 （ ）
A ．复指数函数z e 具有周期 B.幂函数a z (a 为非零的复常数)是多值函数 C ．对数函数Lnz 为多值函数 D.在复数域sin z 和cos z 都是有界函数 7、设()sin f z z =，则下列命题中错误的是（
）。
A ．()f z 在复平面处处解析
B ．()f z 以2π为周期
C ．()2
iz iz e e f z --= D ．()f z 是无界的
四、计算题
判断下列函数在何处可导，在何处解析？ (1)33()23f z x y i =+
(2)2()()2()f z x y x y i =-++
(3) 22()f z xy ix y =+
第三章 复变函数的积分
本章知识点和基本要求
了解复变函数积分的定义及性质； 会求复变函数的积分；
理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；0 掌握解析函数的高阶导数公式；
了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。
一、填空题
1、设曲线C 是正向圆周2z =，则1
1C
dz z =-?? ，21(1)C dz z =-?? ，2
(1)
z
C
e dz z =-?? 。
2、设C 为从点1z i =-到点20z =的直线段，则C
zdz =?_______.
3、若C 为正向圆周2z =，则1
C dz z =??________.
4、若22
21
()z z z f dz z ξξ=++=-??，2ξ≠，则(35)f i +=__ ___,(1)f = . (1)f '=
5、(:4)3
z c e dz c z z =-??的值是________ 二、单项选择题
1、若f(z)在D 解析，()z Φ为f(z)的一个原函数，则（ ） A.()()f z z '=Φ B. ()()f z z ''=Φ C.()()z f z 'Φ=
D. ()()z f z ''Φ=
2、下列积分中，积分值不为0的是 （ ）
A.3(2)C
z z dz +?? ，12z -= B.z
c
e dz ?? ，2z = C.sin c z dz z ??，1z = D.cos 1c
z
dz z -??，2z = 三、计算题
1、沿下列路径计算积分C
zdz ?
(1) 从原点到3i +的直线段
(2) 从原点沿实轴到3，再从3垂直向上到3i +。
2、沿下列路径计算积分2C
z dz ?
(1)从原点到1i +的直线段
(2)从原点沿实轴到1，再从1垂直向上到1i +。
3、计算0
cos i zdz ?。 4、计算积分30
(23).i
z dz +-?
5、2()C
x y ix dz -+?，其中C 是从点0到1i +的直线段。
6、设C 为从-2到2的上半圆周，计算积分23
C z dz z
-?的值。
7、21
1
C
dz z -?
?，C 为正向圆周2z =
8、计算积分()(4)
C dz
z i z -+??，其中C 为圆周3Z =，且取正向。
9、计算212(1)(2)
C z i
dz z z i ++++?
?，其中C 为正向圆周3z =.
10、求下列积分之值（积分沿闭曲线的正向）
（1） 1
(2)c z dz z z --??，3z = （2） ()(2)
2
c
dz
i
z z -+?
?，1z =
（3） 3cos c z
dz z ??，1z = (4) 3()iz
c e dz z i -??，1z i -=
第七章 傅里叶变换
本章知识点和基本要求
掌握傅氏积分定理、理解傅氏积分公式； 理解傅立叶变换及傅立叶逆变换的概念； 了解δ函数的概念、性质及其傅氏变换， 了解傅氏变换的物理意义；
掌握傅氏变换的性质，熟悉常用傅氏变换对。
一、填空题
1、设50 ,0(),0
t t f t e t -ì
(), t 0t t f t e β-
3、[1]_______F =
4、设1
[()]F f t i αω
=
+，则()f t = ； 5、设2()sin f t t =，则[()]F f t = ；
6、设[()]()F f t F w =，则[(5)()]F t f t += ；
7、设[()]()F f t F ω=，0t 为实常数，则0[()]F f t t -= ； 8、0[()]F t t δ-= ；
9、设[()]()F f t F w =，则(1)f t -的傅氏变换[(1)]F f t -= ； 10、[()]()F f t F ω=，则[()]_______t F f d ττ-∞
=?
11、已知()f t t =，且2
2
[()]F f t ω=-
，则12
2
[](2)
F ω--
=- 二、单项选择题
1、下列变换中，正确的是 ( )
A.[()]1F t δ=
B. [1]()F δω=
C. 1[()]1F δω-=
D. 1[1]()F u t -= 2、设[()]()F f t F ω=，则[(1)()]F t f t -为 ( )
A. ()()iF F ωω'+
B. ()()iF F ωω'-
C. ()()iF F ωω'-+
D. ()()iF F ωω'-- 3、()0t t δ-的傅里叶变换[]0()F t t δ-为 （ ）
A ．1
B 。0t
C 。0
i t e
ω- D 。0
i t e
ω
4、设[()]()F f t F ω=，则[(23)()]F t f t -= （ ）
A.2()3()iF F ωω'-
B. 2()3()iF F ωω'+
C. 2()3()iF F ωω'-+
D. 2()3()iF F ωω'-- 5、设[()]()F f t F ω=，则[(2)()]F t f t -= （ ）
A.()2()F F ωω'-
B. ()2()F F ωω'--
C. ()2()iF F ωω'-
D. ()2()iF F ωω'-- 6、设0()cos f t t ω=，则[()]F f t = （ ）
A.00[()()]πδωωδωω++-
B. 00[()()]πδωωδωω+--
C.00[()()]i πδωωδωω+--
D. 00[()()]i πδωωδωω++- 7、设0()(2)i t f t t e ωδ=-+，则[()]F f t = （ ）
A 202()i e ωπδωω-+-
B 202()i e ωπδωω+-
C 202()i e ωπδωω-++
D 202()i e ωπδωω++ 8、设0()sin f t t ω=，则其傅氏变换[()]F f t = （ ）
A.00[()()]δωωδωω+--
B. 00[()()]i πδωωδωω+--
C.00[()()]πδωωδωω+--
D. 00[()()]i πδωωδωω++-
三、计算题
1、已知函数0,12,10()1,020,2t t f t t t -∞<<-??-≤
=?≤
?，求它的傅里叶变换。
2、求函数2,10() 2, 01 0, t f t t --<<=<<ì???
í?????其他的傅里叶变换；
3、求函数0,0
()0t t f t e t β- ）的傅氏变换及其积分表达式。
4、求函数 sin ()0t t f t t π
π? ≤?=? ,>??
的傅氏变换，
并证明2
sin ,sin sin 210,t t t d t π
π
ωπωωωπ+∞
?≤?=?-?≥?
?；
5、利用定义或查表求下列函数的傅里叶逆变换
（1）00()[()()]555i F p w w
w d w d w =+--
（2）00()[()()]555
F p w w
w d w d w =++-
6、用傅里叶变换求解下面的微分方程
()()(),x t x t t t δ'+=-∞<<+∞
7、设[()]()F f t F ω=，列表给出下列函数的付里叶变换：
2
00'(),"(),(),(),(),()f t f t tf t t f t f t t f t t -+，(),()t
f d f at ττ-∞
?
001,(),(),(),t t t t t δδδ-+ 0,0
(),0t t f t e t β-
并证明付里叶变换的微分性质和位移性质。
第八章 拉普拉斯变换
本章知识点和基本要求
理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念； 了解拉普拉斯变换存在定理； 掌握拉普拉斯变换的性质； 掌握用留数求拉氏逆变换的方法； 了解拉氏变换卷积概念及卷积定理；
应用拉氏变换求解常微分方程及常微分方程组。
一、填空题
1、设2
1()F S S
=
，则[()]S
L e F S --1= 2、[(sin 3)]L t ￠
= 3、[sin ]t L e t =
4、设()(35)f t u t =-，3[()]t L e f t -=
5、[cos ]t L e t =
6、设2
2[()],4
L f t s =
+ 则 3[()]t
L e f t -= 7、设2()(1)t f t t e =-，[()]L f t = 8、设 22
1()(1)
F s s =
+，则1
[()]L F s -= 9、设11[()](), L f t F S =22[()]()F f t F S =，则12[()*()]L f t f t = 10、设 2
2()16
s F s s +=
+，则1
[()]L F s -= 二、单项选择题
1、下列变换中，不正确的是 ( )
A.[()]1F t δ=
B.[()]1L t δ=
C. [1]()L t δ=
D. [1]2()F πδω= 2、设[()]()L f t F s =，其中正确的是（ ）
A ．[()]()L f t sF s '=
B 。[()]()at L e f t F s a =+
C ．1
[()]()L f at F s a
=
D 。[()]()at L e f t F s a =- 3、()(0)at f t te a => 的拉氏变换为 （ ） A.
1S a - B.1
s a
-- C.21()s a - D.2
1()s a -- 4、若2
1()1
S
F S e S -=
+，则1[()]L F S -= （ ） A.sin(1)t - B.(1)sin u t t - C. ()sin(1)u t t - D.(1)sin(1)u t t -- 5、设2()cos3t f t e t -= 则[()]L f t = （ ） A.
23(2)9S ++ B.2
2
(2)9S S +++ C.
23(2)9S S ++ D. 23(2)
(2)9
S S +++
6、函数2
2()1
s F s s =+ 的拉氏逆变换为 （ ）
A.()cos t t δ
B.()cos t t δ-
C.()(1sin )t t δ-
D.()sin t t δ-
7、设()(2)
S
e F s S S -=+，则1[()]L F S -= （ ）
A 2(1)(1)t e u t ---
B 2(1)(1)(1)t u t e u t ----- C
2(1)1[1](1)2t e u t ---- D 2(1)1
[()(1)]2
t u t e u t ---- 三、计算题
1、利用定义或查表求下列函数的拉普拉斯变换。
(1) 2()sin at f t e t = （2）2()cos 5
t
f t =
(3)()2sin sin f t at t at =- (4) 25()3t t f t e e =+
(5)2()5()t f t e t δ=+ (6)2()t t f t e te =+
(7)()sin at f t e t = （8）2()sin 2f t t =
（9） ()cos f t t at = （10）2()(2)t f t t e =-
（11）()sin (2)f t t u t =?- （12）()sin(2) f t t =-
（13）()sin 2t f t te t -= （14）()sin(2)(2)f t t u t =-?-
2、已知10 ,0
()sin ,0
t f t t t ì
?3??，20 ,0()cos ,0
t f t t t ì
?3??，求1()f t 与2()f t 的卷积12()()f t f t *.
3、用定义或查表求下列函数的拉普拉斯逆变换。
(1) 1
()(1)
F S S S =+ (2) 52()1S e F S S -=+
(3) ()()()b F S S a S b =-- (4)1
()(1)
F S S S =-
(5)3
()(2)(3)S F S S S +=+- (6)22()1
S F S S =+
(7)223
()9
s F s s +=+ (8)4()(4)(2)F s s s =++
(9)22
21
()(1)s s F s s s +-=-