导数概念及其几何意义、导数的运算
一、选择题:
1 已知32
()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于
A
193
B
103
C
16
3
D
133
2 已知直线1y kx =+与曲线3
y x ax b =++切于点(1,3),则b 的值为 A 3
B -3
C 5
D -5
3 函数2y x a a =
+2
()(x-)的导数为 A
222()x a -
B
223()x a +
C
223()x a -
D 22
2()x a +
4 曲线313y x x =+在点4
(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A
19 B 29 C 13 D 23
5 已知二次函数2
y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>,对于任意实数x ,有()0f x ≥,则(1)
(0)
f f '的最小值为 A 3
B
52
C 2 D
32
6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3,则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =-
C
2()2(1)f x x =-
D ()1f x x =-
7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x
'+=+
B
21
(log )ln 2
x x '=
C
3(3)3log x x e '=?
D 2
(cos )2sin x x x x '=-
8 曲线32
153
y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A
6π B 34π C 4π D 3
π
9 曲线3
2
31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A
34y x =-
B
32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =-
10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ,若()k g x =,则函数()k g x =的图像大致为
11 一质点的运动方程为2
53s t =-,则在一段时间[1,1]t +?内相应的平均速度为 A
36t ?+
B
36t -?+
C
36t ?- D 36t -?-
12 曲线()ln(21)f x x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是
A
B
C
D 0
13 过曲线3
2y x x =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-,则切点0P 的坐标为 A (0,1)(1,0)-或
B
(1,4)(1,0)--或
C
(1,4)(0,2)---或
D (2,8)(1,0)或
14 点P 在曲线3
2
3y x x =-+上移动,设点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是 A
[0,]2
π
B 3[0,)[,)24πππU
C 3[,)4ππ
D 3(,]24
ππ
二、填空题
15 设()y f x =是二次函数,方程()0f x =有两个相等实根,且()22f x x '=+,则()y f x =的表达式是______________
16 函数2
sin x y x
=的导数为_________________________________
17 已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是1
22
y x =
+,则(1)(1)f f '+=_________ 18 已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点,则k 的最大值为___________________________ 三、解答题
19 求下列函数的导数
(1)1sin 1cos x y x -=+
(2) 52
sin x x y x +=
(3) y = (4) tan y x x =? 20 已知曲线21:C y x =与2
2:(2)C y x =--,直线l 与12,C C 都相切,求直线l 的方程
21 设函数()b
f x ax x
=-,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --= (1)求()f x 的解析式
(2)证明:曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值,并求此定值。
22 已知定义在正实数集上的函数2
21()2,()3ln 2
f x x ax
g x a x b =
+=+,其中0a >,设两曲线(),()y f x y g x ==有公共点,且在公共点处的切线相同
(1)若1a =,求b 的值
(2)用a 表示b ,并求b 的最大值
导数概念及其几何意义、导数的运算答案
二、填空题:
15、
2
()21f x x x =+
+
16、
222sin cos sin x x x x y x
-?'=
17、 3 18、
1e
三、解答题: 19、解:(1)
2
2
cos (1cos )(1)sin (1cos )cos 1sin (1cos )x x xinx x
y x x x x -?++-'=+-++=
+
(2)
33
2
2
52232
sin 33cos 2sin 2
x y x x
x y x x x x x x
-
---=++
'∴=-
+-
(3)
22
2(1)(01)1y x x x x
=
+=≥≠-且 2
2(1)(1)(1)(1)
2
(1)4(01)(1)
x x x x y x x x x ''+---+'∴=-=≥≠-且
(4)
222sin (tan )()cos (sin )cos sin (cos )1cos cos tan (tan )tan cos x
x x
x x x x x x y x x x x x x x
''=''-==
'''∴=+=+
Q
20、解:设直线l 斜率为k ,且与曲线12,C C 相切于点11122(,)(,)P x y x y 2,P 由 2
2
(),()(2)f x x g x x ==-- 得 ()2,()24f x x g x x ''==-+
∴11()2k f x x '== (1)
22()24k g x x '==-+ (2)
又 Q 22
21122121
(2)y y x x k x x x x -+-==-
-- (3) 由 (1)(2)(3)式得:
11220220
x x x x ==???
?==??或 ∴ 04k k ==或
且1(0,0)(2,0)P 2且P 或1(2,4)(0,4)P -2且P
∴ 所求直线l 的方程为 044y y x ==-或
21、解:(1)方程74120x y --=可化为7
34
y x =
- 当2x =时,12y =
又 2()b f x a x
'=+
于是 1222
7
44
b a b a ?-=????+=?? 解得 13a b =??=?
故 3()f x x x
=-
(2)设00(,)P x y 为曲线上任一点,由2
3
()1f x x '=+
,知曲线在点00(,)P x y 处的切线方程为 0023
(1)()y y x x x
-=+
- 即 0022
33()(1)()y x x x x x --
=+- 令 0
6
0,x y x ==-
得: 从而得切线与直线0x =的交点坐标为0
6(0,)x -
令 y x = 的 02y x x ==
从而得切线与直线y x =的交点坐标为00(2,2)x x
所以点00(,)P x y 处的切线与直线y x =0x =所围成的三角形面积为
00
16262S x x =
-?= 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线y x =0x =所围成的三角形面积为定值,此定值为6.
22、解:(1)Q 1a =
∴ 2
1()2,()3ln 2
f x x x
g x x b =
+=+ ∴ 3()2,()f x x g x x
''=+=
设两曲线的交点为00(,)P x y
∴ 0000()()()()f x g x f x g x =??''=?
∴ 2
00000123ln 232x x x b x x ?+=+????+=??
解得: 03x =-(舍去),或01x = 所以 52
b = (2)
Q 0000()()()()f x g x f x g x =??''=?
∴ 22
0002
00123ln 232x ax a x b a x a x ?+=+????+=??
解得:03x a =-,或0x a =
Q 00,a x a >∴=
所以
2
22123ln 2
a a a a
b +=+ 即 2
253ln (0)2
b a a a a =
-> 设 2
25()3ln (0)2
h a a a a a =
-> ∴ ()56ln 32(13ln )h a a a a a a a '=--=-
令 13
()0,h a a e '==
又当 1
3
(0,)a e ∈时,()0h a '>,当13
(,)a e ∈+∞时,()0h a '<
∴ 当 13
a e =时,()h a 取最大值222
33353
22
e e e -=
即 b 的最大值为2
332
e
导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( )