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线性代数模拟试题(4套)

模拟试题一

一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）

1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………( )

2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( )

3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )

4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )

5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合. …………………………………………………………( ) 二、填空题：(每空2分，共20分)

1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= .

2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 .

3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .

4、已知()??

? ??-==256,

102B A 则=AB .

5、若?

? ??--=1225A ，则=-1

A . 6、设矩阵???

? ??--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则

b Ax =的通解为 .

7、()B A R + ()()B R A R +.

8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .

9、设=A ???

? ??-50021011

1t ，则当t 时，A 的行向量组线性无关.

10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每小题8分，共16分)

1、已知4阶行列式1

61122121

2112401---=

D ，求4131211132A A A A +-+.

2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2

，其中????

? ??=101020101A ，求矩阵B .

四、(10分) 求齐次线性方程组???????=++-=-++=--+-=++-0

24220523020

432143214

3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.

五、(10分) 设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为

???

? ??+-+----22

)1)(1()2)(1(00)1(11

011λλλλλλλλλλ，讨论当λ取何值时，b Ax =无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解.

六、(10分) 判断向量组????

??---=??????? ??--=??????? ??=??????? ??-=16

22,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求一个最大无关组，并用它表示其余向量. 七、综合计算：（本题14分）

已知二次型31232221

321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求二次型所对应的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表示；（2）求A 的特征值与全部特征向量；

（3）求正交变换PY X =化二次型为标准形, 并写出标准形；（4）判断该二次型的正定性。八、证明题：(每小题5分，共10分)

1、已知向量321,,a a a 线性无关，证明 1333222115,4,32a a b a a b a a b +=+=+=线性无关.

2、某矿产公司所属的三个采矿厂321,,a a a ，在2011年所生产的四种矿石

54321,,,,b b b b b 的数量（单位：吨）及各种矿石的单位价格（万元/吨）如下表：

（1）做矩阵53?A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ；（2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值.

模拟试题二

一、判断题（正确的打√，不正确的打?）（每小题2分，共10分）（） 1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+；

（） 2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ；（） 3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零；（） 4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+ 也是该方程组的解.

（） 5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。二、填空题（每小题2分，共16分）

1、排列7623451的逆序数是；

2、设四阶行列式3

2142143143243214=D ，则=+++44342414432A A A A ，

其中ij A 为元素ij a 的代数余子式；

3、设A 、B 均为5阶矩阵，2,2

B A ，则=--1BA ； 4、)(5)(2)(3321α+α=α+α+α-α，其中T )3,1,5,2(1=α，T )10,5,1,10(2=α

T )1,1,1,4(3-=α，则=α ；

5、已知向量组:A ???? ??-=α???? ??=α12,221k ，向量???

? ??=11b ，当k 时，b 可由A 线性表示，且表示法唯一；

6、设齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵通过初等行变换化为??

?????--000020103211，则此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为； 7、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T

2,,2λ-正交，则λ= ；

8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为。

三、计算题（每小题8分，共16分）

1、设矩阵???

??=???? ??--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。 2、已知矩阵111211111A -?? ?=- ? ???，236B ?? ?= ? ???，660C ??

= ? ???

求矩阵方程AX B C -=。

四、计算题（每小题8分，共16分）

1、已知向量组123120,2,2012k k k k ααα?????? ? ? ?

==+=+ ? ? ? ? ? ?--??????

，

（1）k 取何值时，该向量组线性相关；

（2） k 取何值时，该向量组线性无关，说明理由。

2、已知二次型323121232221

321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=， (1) 写出此二次型对应的矩阵A ;

(2) 判断该二次型是否正定二次型，说明理由。五、计算题（每小题10分，共20分）

1、设矩阵A =???

?-----43333320126624

220121.

求：（1）矩阵A 秩；（2）矩阵A 的列向量组的一个最大线性无关组。．

2、求非齐次线性方程组???

??=++=+++=+++5

22132243143214321x x x x x x x x x x x 所对应的齐次线性方程组的基础解

系和此方程组的通解。

六、（12分）设矩阵131011002A ??

=- ? ???

(1) 求矩阵A 的特征值和全部的特征向量；

(2) 求可逆矩阵P ，使得1P AP -=Λ（其中Λ是对角矩阵），并写出对角矩阵Λ。七、（5分）证明题

设方阵A 满足2A A E O +-=，证明：A 可逆并求它的逆矩阵。

八、（5分）应用题

假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：

21商店商店梨橘子苹果 21人员人员

梨橘子苹果????

?????10.020.015.010.015.010.0 21人员人员??????535

104

5 21城镇城镇??

???100050020001000 设第一个矩阵为A ，第二个矩阵为B ，而第三个矩阵为C 。

（1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？（2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？

模拟试题三

一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）

1、B A ,为n 阶方阵则 BA AB = （）

2、设A 为)n m (n m

3、向量组1A 是向量组A 的一部分，向量组1A 线性无关，则向量组A 一定线性相关；（）

4、设21,λλ是方阵A 的特征值，则21λλ+也是方阵A 的特征值。

（） 5、4个3维向量一定线性相关。（）二、填空题：(每空2分，共20分)

1、已知A 为3阶方阵，且2A =-，则2A -= ；

2、六阶行列式中某项645342362115a a a a a a 带有的符号为；

3、设A 为n 阶方阵，满足2A A E -=，则1A -= ；

4、设12,ξξ是n 元非齐次线性方程组A x b =的两个解，且A 的秩()R A 1=-n ，则

A x b

=的通解x = ； 5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为

B =2102

-1101-3000001-)1k k k ?? ? ? ?-??

（，则k = 时方程组无解，当k = 时方程组有无穷解，此时该方程组对应的齐次线性方程组的基础解系中有个向量。

6、二次型xz z y xy x f 44642222+--+-=的秩为，正定性为（请选正定、负定、不定之一）。

7、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 322-+=，则B 的特征值为。三、计算：(每小题8分，共16分)

1、已知4阶行列式1

12012121

2101

---=

D ，求4131211122A A A A +++

2、已知111121113A ?? ?

= ? ???

，试判断A 是否可逆。若可逆，求1-A ，若不可逆，求A 的

伴随矩阵A *

四、计算：(每小题10分，共20分)

1、求齐次线性方程组???????=++-=++-=--+-=++-0

3422022240202432143214

3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解。

2、已知线性方程组 ??

??=++=---=++a z y x z y x z y x 223320有解，求a ，并求全部解；

五、 (10分)判断向量组????

? ??-=??????? ??--=??????? ??-=??????? ??-=12

10,1012,0212,11014321αααα 的线性相关性，并求它的一个最大无关组，并用最大无关组表示该组中其它向量。

六、综合计算：（本题14分）

二次型212322213212),,(x x x x x x x x f +++=

（1）求二次型所对应的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表示（2）求A 的特征值与全部特征向量；

（3）求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角形矩阵。（4）求正交变换PY X =化二次型为标准形（5）写出标准形

七、证明题：(每小题5分，共10分)

1、设0η是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，123,,ξξξ是对应的齐次线性方程组

Ax =0的一个基础解系，证明： 0123,,,ηξξξ线性无关；

2、某石油公司所属的三个炼油厂321,,a a a ，在2010年所生产的四种油品4321,,,b b b b 的数量（单位：吨）及各种油品的单位价格（元/吨）如下表：

（1）做矩阵43?A 表示2010年工厂i a 产油品j b 的数量)4,3,2,1;3,2,1(==j i （2）计算三个工厂在2010年的生产总值。

模拟试题四

一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）

1、设B A ,均为n 阶方阵,则若A 或B 可逆,则AB 必可逆. （）

2、已知B A ,是n 阶方阵，k 为整数，则k k k B A AB =)(. （）

3、已知向量组1234,,,αααα的秩为3，则1234,,,αααα中至少有三个向量线性无关. （）

4、一个向量组的最大无关组与这个向量组本身等价. （）

5、设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，21,p p 是对应的特征向量，则1p 与2p 正交. （）二、填空题：(每空2分，共20分)

1、4阶行列式)det(ij a 中含2113,a a 的带正号的项为 .

2、,A B 为 3 阶方阵，如果3,2==B A ，那么=-13AB .

3、m 个n 维向量构成的向量组m a a a ,,,21 线性相关的充分必要条件是矩阵

),,,(21m a a a A =的秩)(A R 于向量个数m .

4、若n 元非齐次线性方程组b x A n m =?有解且r A R =)(，则当时，方程组有无穷多解.

5、行列式4

531759

34=D 中元素521=a 的代数余子式=21A .

6、已知,3712?

? ??--=A 则=-1

A . 7、已知4阶行列式1

111111111111

D -=

--，则24232221A A A A +++的值为，其

中A ij 为D 的第i 行第j 列元素的代数余子式.

8、矩阵???

? ??--=31412040

1A 对应的二次型是 .

9、矩阵???

? ??----=265103412033A 的列向量组的秩为 .

10、已知2=λ是A 特征值，且A 可逆，则是1-A 的特征值. 三、计算：(每小题8分，共16分)

1、已知矩阵????? ??=010100001A ，???

??=300020001B ，求（1）A 2；（2）()

20122-+T

B A .

2、设矩阵A 和B 满足关系式B A E AB +=+2，其中???

??=5432A ，求矩阵B .

四、(10分) 求齐次线性方程组?????

??=++++=++++=+-+-=++++0765*******

230

3454321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系和它

的通解.

五、(10分)设有5个向量??????? ??-=42111a ，?

????

? ??=21302a ，??????? ??-=02113a ，??????? ??=143214a ，??

?????

??-=0101265a ，

求此向量组中的一个最大线性无关组，并用它表示其余的向量．六、 (10分) 设非齐次线性方程组b AX =的增广矩阵为

B =???

????

?------21)1(0

0110000

31011

201

k k k k k ，

讨论它的解的情况，何时无解，何时有无穷多个解，并说明理由；有无穷多个解时求出该方程组的通解. 七、（本题14分）设二次型

3231212

322213216646),,(x x x x x x x x x AX X x x x f T +++++==，

（1）求二次型的矩阵A ；

（2）求矩阵A 的特征值及全部特征向量；（3）判断矩阵A 是否可以对角化；（4）判断它是否为正定二次型. 八、综合题：(每小题5分，共10分)

1、证明题：设,211a a b +=,322a a b +=,433a a b +=,144a a b +=证明向量组

4321,,,b b b b 线性相关.

2、应用题：已知某公司生产两种产品C B ,，对每美元价值的产品B ，公司需耗费0.45美元材料，0.25美元劳动，0.15美元管理费用，对每美元价值的产品C ，公司需耗费0.40美元材料，0.30美元劳动，0.15美元管理费用。设公司希望生产1x 美元产品B 和2x 美元产品C ，试给出描述两种产品的“单位美元产出成本”向量和该公司花费的各部分成本（材料，劳动，管理费用）的向量。

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为（） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则（） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与（） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似（D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系是。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为。

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题一．单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （密） … … … … … … … … … … … … （封） … … … …… … … … … … … … （线） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷答案合集文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数考试练习题带答案(6)

线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，A -1 表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设行列式33 32 31 2322 21131211a a a a a a a a a =4，则行列式33 3231232221 13 1211 333222a a a a a a a a a =（） A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（） A.A -1 CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1 3.已知A 2 +A -E =0，则矩阵A -1 =（） A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E 4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（） A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关 C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示 D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

《线性代数》模拟试卷B及答案

《线性代数》模拟试卷B 及答案一、选择题（每小题3分，共30分）（1）若A 为4阶矩阵，则3A =（） (A) 4A (B) 43A (C) 34A (D)3A （2）设A ，B 为n 阶方阵，0A ≠且0AB =，则（） (A)0B = (B)0BA = (C)222()A B A B +=+ (D)00A B ==或（3）A ，B ，C 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（） (A) AB BA = (B)0,00A B AB ≠≠≠则 (C) AB A B = (D) ,AB AC B C ==若则（4）222()2A B A AB B +=++成立的充要条件是（） (A)AB BA = (B) A E = (C)B E = (D)A B = （5）线性方程组(1)22(1)k x y a x k y b -+=??+-=?有唯一解，则k 为（） (A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于0 （6）若A 为可逆阵，则1()A *-=（） (A)A A (B)A A * (C)1 A A - (D)1 A A -* （7）含有4个未知数的齐次方程组0AX =，如果()1R A =，则它的每个基础解系中解向量的个数为（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

（8）设A 为m n ?矩阵，齐次方程组0AX =仅有零解的充要条件是A 的（） (A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关 (C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关（9）已知矩阵A=3111?? ?-?? ,下列向量是A 的特征向量的是（） (A)10?? ??? (B)12?? ??? (C)12-?? ??? (D) 11-?? ??? （10）二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型，则λ 的取值范围是（） (A)21λ-<< (B)12λ<< (C)32λ-<<- (D)2λ> 二、计算题（第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分） 1、计算行列式 4x a a a a x a a D a a x a a a a x = 。（5分） 2、设321A=315323?? ? ? ??? ，求A 的逆-1A 。（5分）

《线性代数》期末复习要点

《线性代数》期末复习要点第一章行列式 1、行列式的计算（略） 2、Cramer法则：系数行列式D≠0,则方程租有唯一解。齐次方程租有非零解，则D＝0。 3、V andermonde行列式。（略）第二章矩阵 1、矩阵的计算（略） 2、对称矩阵：A∧T=A。反称矩阵A∧T=-A。 3、矩阵可逆，则｜A｜≠0。 4、分块矩阵（略） 5、初等变换与初等矩阵（略） 6、m×n阶矩阵A，B等价，则当且仅当存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使PAQ＝B。 7、（1）可逆矩阵一定满秩，即r=n。（2）若A的一个r阶子式不等于零，则r（A）≥r，若A的r+1阶子式都为零，则r（A）≤r。 8、矩阵秩的不等式：（1）r（AB）≤min｛r（A），r（B）｝。（2）A，B分别为m×n阶和n×k 阶矩阵，r（AB）≥r（A）+r（B）-n。特别的，当AB=0时，r（A）+r（B）≤n。（3）A，B 均为m×n阶矩阵，则r（A+B）≤r（A）+r（B）。第三章n维向量空间 1、线性相关：（1）k1，k2，kn不全为0且能使kiα1+k2α2+……+knαn＝0成立，则α1，α2，……，αn线性相关。（2）至少一个向量是其余向量的线性组合。（3）含零向量的向量组是线性相关的。（4）n维向量中的两个向量组T1＝｛α1,α2,α3,……,αr｝，T2=｛β1,β2,β3,……βs｝，若T1可由T2线性表示，且r＞s，则T1线性相关。若T1可由T2线性表示但T1线性无关，则r≤s。（5）n+1个n维向量一定线性相关。 2、（1）零向量自身线性相关。非零向量自身线性无关。（2）向量组中一部分线性相关，则整体线性相关，若向量组整体线性无关，则向量组的一部分线性无关。 3、向量组的任意极大线性无关组都与之等价，向量组的任意两个极大线性无关组都等价。 4、矩阵的秩等于其行（列）向量组的秩。 5、向量空间的基与维数，空间向量的坐标（略） 6、基变换和坐标变换：｛α1,α2,α3,……,αr｝，｛β1,β2,β3,……βs r｝是向量空间V的两组基，若有r维方阵C，使［β1,β2,β3,……βs］=［α1,α2,α3,……,αr］C，则称C为从基｛α1,α2,α3,……,αr｝到基｛β1,β2,β3,……βs｝的过渡矩阵（基变换矩阵）。则坐标变换X=CY。 7、内积：（1）交换性（α，β）=（β，α）。（2）线性性：（α1+α2，β）=（α1，β）+（α2，β）。（kα，β）＝k（α，β）。（3）非负性。（4）Cauchy-Schwarz不等式P99。向量的长度，向量间夹角的余弦P99。 8、标准正交向量组，Gram-Schmidt正交化方法。P103，104。▲重点记忆。第四章线性方程组 1、线性方程组及其表示（略） 2、m×n型线性方程AX＝b。（1）有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相同。（2）有唯一解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相同，都为n。 3、Gauss消元法。（略） 4、齐次线性方程和非齐次方程组解的结构。基础解系与通解。（略） 5、AX＝b解空间的维数dimN（A）＝n-r（A）。 m×n型线性方程AX＝0有非零解的充要条件是r（A）＜n。

(完整版)线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（） A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=bの一个解

线性代数期末考试试卷答案

线性代数期末考试题样卷一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数模拟试题(4套)

模拟试题一一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则B A B A +=+.……………………() 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆.……………………………() 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…() 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………() 5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合1、23456. 7、(R 8、若9、设10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为. 三、计算：(每小题8分，共16分) 1、已知4阶行列式1 6 11221212 112401---= D ，求4131211132A A A A +-+.

2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中??? ? ? ??=101020101A ，求矩阵B . 四、(10分)求齐次线性方程组???????=++-=-++=--+-=++-024********* 432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解. 五、(10分)设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为 2六、(10（1（2（3（41. 2、（单（1）做矩阵53?A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ；

（2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值. 模拟试题二一、判断题（正确的打√，不正确的打?）（每小题2分，共10分）（）1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+；（）2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ；（）3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零；（）4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+也是该方程组的解. （）5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。 123、设4、(33α5一； 67、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T 2,,2λ-正交，则λ=； 8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为。三、计算题（每小题8分，共16分） 1、设矩阵??? ? ??=???? ??--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。

线性代数期末考线代题

一、填空题（每空3分，共15分） (1).设三阶矩阵????? ??---=111111111A ，???? ? ??--=150421321B ，则=B A T . (2).设A 为3阶方阵, 且A 的行列式8 1= A ,*A 为A 的伴随矩阵, 则 *183A A --=___________ . (3).设A 为n 阶方阵，且0=AX 有非零解，则A 必有特征值 . (4).设R 3上的线性变换A 在标准基下的矩阵为???? ? ??=23020111k A ，而 )1,2,3(-=β，若A )4,5,0(-=β,则 k = . (5)设正交矩阵Q =?????? ? ? ?-22220001 22220，则=-1Q . 二、计算行列式（16分） (1). 设41213201 12134321 --=A ，求,44434241M M M M +++其中ij M 为A 中的元素ij a 的余子式。

(2).n n a a a a a a a a a a a a a a a D +++=+ 0001211,其中 .021≠n a a a .

三、(10分)已知矩阵???? ? ??=111011001A ，????? ??=011101110B ，且矩阵X 满足 E BXA AXB BXB AXA ++=+，其中E 为三阶单位矩阵，求矩阵X. 四、(12分) 设B A B A +,，为n 阶矩阵，且AB B A =+，证明：(1)E A -可逆，E 为n 阶单位矩阵；(2) BA AB =.

五、(12分)设T 1)0,1,1(=α, T 2)1,1,0(=α, T 3)1,0,1(=α为R 3的一组基， T 1)0,0,1(=β,T 2)0,1,1(=β,T 3)1,1,1(=β为R 3的另一组基，(1)求由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵P ; (2)在3R 中是否有在基321,,ααα和基321,,βββ下坐标相同的向量？若有，试求出这样的向量. 六、(10分) 已知T 1)3,2,0,1(=α, T 2)5,3,1,1(=α, T 3)1,2,1,1(+-=a α， T 4)8,4,2,1(+=a α,T )5,3,1,1(+=b β.问b a ,为何值时向量β不能由向量组4321,,,αααα线性表示.

线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和勺L =力（jW'g 叫?叫（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转宜行列式D = D r ） ② 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③ 常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行推论：行列式中某一行 ④ 行列式具有分行 ⑤ 将行列式某一行行列式依行（列）展开：余子式M”、代数余子式州=（-1）砒定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则： 0 非齐次线性方程组：当系数行列式￡＞工0时，有唯一解：Xj= +（j = l 、2......n ）齐次线性方程组：当系数行列式D = 1^0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式: 5 铅 a l3 5 ?21 ①转置行列式: ?21 a 22 U 23 "12 ^22 °32 Cl 3\ Cl 32 °33 勺3 ?23如 ②对称行列式:gj = 5 ③反对称行列式:勺= ~a ji 奇数阶的反对称行列式值为零务2 a !3 ④三线性行列式: “22 0 方法：用?“22把"21化为零，。。化为三角形行列式 0 "33 （列）（列）成比例，则行列式值为零；元素全为零，行列式为零。可加性的k 倍加到另一行（列）上，值不变

⑤上（下）三角形行列式:

行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法.升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念：A 〃伤（零矩阵、负矩阵、行矩阵.列矩阵.n 阶方阵、相等矩阵）矩阵的运算：加法（同型矩阵） ------- 交换、结合律数乘kA = （ka ij ）m .n ---- 分配、结合律注意什么时候有意义一般AB*BA,不满足消去律：由AB=O,不能得A=0或B=0 (M)r = kA T (AB)T = B T A r (反序定理) 方幕：A kl A kz =A k ^kl 对角短阵：若 AB 都是N 阶对角阵，k 是数，贝ij kA 、A+B 、 A3都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方制是0 数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的. 力"=3（非奇异矩阵、奇异矩阵IAI=O.伴随矩阵）初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 仔加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）（I o\ 等价标准形矩阵r O O 乘法转置(A T )T = A (A + B)T =A r +B 1 几种特殊的矩阵: 分块矩阵：加法,

上海财经大学《线性代数》课程考试卷(B)及答案

诚实考试吾心不虚，公平竞争方显实力，考试失败尚有机会，考试舞弊前功尽弃。上海财经大学《线性代数》课程考试卷（B ）闭卷课程代码 105208 课程序号姓名学号班级一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装订线…………………………………………………

8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。（A ）充分必要条件；（B ）充分条件；（C ）必要条件；（D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。（A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+

大学线性代数模拟题

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分) 1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。(知识点：行列式的逆序数) 2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D -。 3、设1101A ??= ? ?? , 则100A =110001?? ???。 23111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A = 1 5n +。由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。答案应该为5的n 次方 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）

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