2008年高考试题——数学文(福建卷)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数 学（文史类）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）若集合A ={x |x 2-x ＜0},B={x |0＜x ＜3},则A ∩B 等于 A.{x |0＜x ＜1} B.{x |0＜x ＜3} C.{x |1＜x ＜3} D.￠
（2）“a=1”是“直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 （3）设|a n |是等左数列，若273,13a a ==,则数列{a n }前8项的和为 A.128 B.80 C.64 D.56
（4）函数()()3
sin 1f x x x x R =++∈，若()2f a =,则()f a -的值为
A.3
B.0
C.-1
D.-2 (5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4
5
，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是
A.
12125 B.16125 C.48125 D.96125
(6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为
B.23 D.13
（7）函数cos ()y x x R =∈的图象向左平移
2
π
个单位后，得到函数()y g x =的图象，则
()g x 的解析式为
A.sin x -
B. sin x
C.cos x -
D.cos x
(8)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c
，若2
2
2
a c
b +-=,则角B 的值为 A.
6π B.3π C.6π或56π D.3
π或23π
(9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，
那么不同的选派方案种数为
A.14
B.24
C.28
D.48
(10)若实数x 、y 满足10,
0,2,
x y x x -+≤??
??≤?
则y x 的取值范围是
A.（0，2）
B.（0，2）
C.(2,+∞)
D.[2，+∞) （11）如果函数()y f x =的图象如右图，那么 导函数()y f x ='的图象可能是
（12）双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且
122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为
A.（1，3）
B.（1，3）
C.（3，+∞）
D. [3，+∞]
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.
（13）9
1x x ??+ ??
?展开式中3
x 的系数是 .（用数字作答）
（14）若直线340x y m ++=与圆222440x y x y +-++=没有公共点，则实数m 的取值范围是 .
（15，则其外接球的表面积是 . （16）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a+b 、a-b 、ab 、a b
∈P （除数b ≠0）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数； ②整数集是数域；
③若有理数集Q ?M ,则数集M 必为数域;
④数域必为无限集.
其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n = (Ⅰ)求tan A 的值；
(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域.
（18）（本小题满分12分）
三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为111,,,543
且他们是否破译出密码互不影响.
(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；
(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD ⊥底面
ABCD ，侧棱PA ＝PD 底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AD =2AB =2BC=2，O 为AD 中点.
(Ⅰ)求证:PO ⊥平面ABCD ；
(Ⅱ)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值； (Ⅲ)求点A 到平面PCD 的距离.
（20）（本小题满分12分）
已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=11n a +）（n ∈N *）在函数y =x 2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足111,2n a
n n b b b +==+，求证：221n n n b b b ++< .
(21)（本小题满分12分）
已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点()1,6--，且函数()()6g x f x x ='+的图象关于y 轴对称.
(Ⅰ)求m n 、的值及函数()y f x =的单调区间；
(Ⅱ)若a ＞0，求函数()y f x =在区间()1,1a a -+内的极值.
(22)（本小题满分14分）
如图，椭圆22
22:1x y C a b
+=（a ＞b ＞0）的一个焦
点为F (1,0)，且过点（2，0）.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线:4l x =与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M . (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值.
数学试题（文史类）参考答案
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分. （1）A （2）C (3)C (4)B (5)C (6)D （7）A （8）A (9)A (10)D (11)A (12)B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分. （13）84
（14）(,0)(10,)-∞?+∞ （15）9π （16）①④
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）由题意得 m ·n =sin A -2cos A =0,
因为cos A ≠0,所以tan A =2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知tan A =2得
2213
()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22
f x x x x x x =+=-+=--+
因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-. 当1sin 2x =
时，f (x )有最大值3
2
， 当sin x =-1时，f (x )有最小值-3， 所以所求函数f (x )的值域是33,.2
??-???
?
（18）本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分12分.
解：记“第i 个人破译出密码”为事件A 1(i =1,2,3)，依题意有
123111
(),(),(),54.3
P A P A P A ===且A 1，A 2，A 3相互独立.
（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B ，则有
B ＝A 1·A 2·3A ·A 1·2A ·A 3+1A ·A 2·A 3且A 1·A 2·3A ，A 1·2A ·A 3，1A ·A 2·A 3 彼此互斥
于是P (B )=P (A 1·A 2·3A )+P （A 1·2A ·A 3）+P （1A ·A 2·A 3）
＝
31
4154314351324151??+??+?? ＝20
3
.
答：恰好二人破译出密码的概率为20
3
.
（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C ，“密码未被破译”为事件D . D ＝1A ·2A ·3A ，且1A ，2A ，3A 互相独立，则有 P （D ）＝P （1A ）·P （2A ）·P （3A ）＝324354??＝5
2
. 而P （C ）＝1-P （D ）＝
5
3
，故P （C ）＞P （D ）. 答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.
（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD 卡中PA ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD .
又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ?平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO ，在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ,AD =2AB =2BC ， 有OD ∥BC 且OD ＝BC ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OB ∥DC.
由（Ⅰ）知PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角， 所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角.
因为AD ＝2AB ＝2BC ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝1，AO ＝1，所以OB ＝2， 在Rt △POA 中，因为AP ＝2，AO ＝1，所以OP ＝1， 在Rt △PBO 中，PB ＝322=+OB OP , cos ∠PBO =
36
3
2=
=PB OB , 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为
3
6
. (Ⅲ)由（Ⅱ）得CD ＝OB ＝2， 在Rt △POC 中，PC ＝222=+OP OC ，
所以PC ＝CD ＝DP ，S △PCD =43·2=2
3. 又S △=
,12
1
=?AB AD 设点A 到平面PCD 的距离h ， 由V P-ACD =V A-PCD ， 得
31S △ACD ·OP ＝31
S △PCD ·h ， 即
31×1×1＝31×2
3×h ， 解得h ＝
3
3
2. 解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以O 为坐标原点，、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标
则A （0，-1，0），B （1，-1，0），C （1，0，0）， D （0，1，0），P （0，0，1）. 所以CD ＝（-1，1，0），PB ＝（t ，-1，-1）， ∞〈、〉3
6
2
311-
?--＝＝
， 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为
3
6， （Ⅲ）设平面PCD 的法向量为n ＝（x 0,y 0,x 0）， 由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0）， 则
n ·＝0，所以 -x 0+ x 0=0,
n ·＝0， -x 0+ y 0=0，
即x 0=y 0=x 0,
取x 0=1，得平面的一个法向量为n =(1,1,1). 又AC =(1,1,0).
从而点A 到平面PCD 的距离d .3
3
23
2=
=
（20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.满分12分. 解法一：
（Ⅰ）由已知得a n +1=a n +1、即a n +1-a n =1，又a 1=1, 所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列. 故a n =1+(a -1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a n =n 从而b n +1-b n =2n . b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+···+（b 2-b 1）+b 1 =2n -1+2n -2+···+2+1
＝2
121--n =2n -1. 因为b n ·b n +2-b 21+n =(2n -1)(2n +2-1)-(2n -1-1)
2
=(22n +2-2n +2-2n +1)-(22n +2-2-2n +1-1)
=-5·2n +4·2n =-2n ＜0,
所以b n ·b n +2＜b 21+n ,
（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）因为b 2=1,
b n ·b n +2- b 21+n =(b n +1-2n )(b n +1+2n +1
)- b 21+n
=2n +1·b n -1-2n ·b n +1-2n ·2n +1
＝2n （b n +1-2n +1） =2n （b n +2n -2n +1） =2n （b n -2n ） =…
=2n （b 1-2） =-2n 〈0，
所以b n -b n +2
（21）本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分. 解：（1）由函数f (x )图象过点（－1，－6），得m -n =-3, ……① 由f (x )=x 3+mx 2+nx -2，得f ′（x ）=3x 2+2mx +n , 则g (x )=f ′(x )+6x =3x 2+(2m +6)x +n ; 而g (x )图象关于y 轴对称，所以－
3
26
2?+m ＝0，所以m =-3, 代入①得n =0.
于是f ′(x )＝3x 2-6x =3x (x -2). 由f ′(x )>得x>2或x <0,
故f (x )的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）； 由f ′(x )<0得0 故f (x )的单调递减区间是（0，2）. (Ⅱ)由（Ⅰ）得f ′(x )＝3x (x -2), 令f ′(x )＝0得x =0或x=2. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表： 由此可得： 当0