函数值域的十一种求法求法
函数值域求法十一种
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1
y _
例1.求函数 X 的值域。
解：??? X 0
显然函数的值域是：(,0) (0,) 例2.求函数y 3 x 的值域。 解：.、x 0
■■■-.'X 0,3 x 3
故函数的值域是：[，3] 2.配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3.求函数y X 2x 5,x [ 1,2]的值域。
2
解：将函数配方得：y (x D 4
x [ 1,2]
由二次函数的性质可知：当 X=1时，y min 4，当x 1时，y max 故函数的值域是：[4 , 8] 3. 判别式法
y
例4.求函数
解：原函数化为关于 X 的一元二次方程
(y 1)x 2 (y 1)x
(1)当 y 1 时，x R
2
(1) 4(y 1)(y 1) 0 1
3
y _ 解得：2
2
故函数的值域为 2 2 例5.求函数y
%
x(2
x)的值域。
1 x x
2 1
X?的值域。
1
(2)当 y=1 时，x 0，而 1 3 2，
2
2 .. 2 242
2 时， 原函数的值域为：【°，1 -2］
注：由判别式法来判断函数的值域时， 若原函数的定义域不是实数集时， 应综合函数的 定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x 4
例6.求函数5x 6值域。
4 6y 解：由原函数式可得:
x
5y 3
y 4 6y
3 x - 则其反函数为： 5x 3，其定义域为：
5
故所求函数的值域为:
3
5
5
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性， 反客为主来确定函数的值域。
e x 1 y
例7.求函数 e
1
的值域。
解：由原函数式可得：
；1
解：两边平方整理得:
?/ x R 2x 2 2(y 1)x y 2
(i )
4(y 1)2 8y 解得：1 2 y 1
但此时的函数的定义域由x (2 x) 0
，得° 由 °，仅保证关于x 的方程：2x 2(y 确保其实根在区间［0, 2］上，即不能确保方程 1 实际范围大，故不能确定此函数的值域为 2 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 --0 x y
min
X i
解得:
、
2 (1)
3 2 x 2 1)x y2 0在实数集R 有实根，而不能 有实根，由 0求出的范围可能比y 的 ' x(2 x) 0 °，y 1 2
代入方程(i )
2 、2 24.2
[0,2]
、
、2
X i
即当
2
所以当x=1时，y y1
y 2
有最小值' 2，原函数有最大值 -2
y i
解得：1 y 1 故所求函数的值域为
(1,1)
COSX y ---- --------
例8.求函数 Sin x 3的值域。 解：由原函数式可得：ysinx cosx
例10.求函数y 'X 1 x 1的值域。
y 2
解：原函数可化为：
x 1 x 1
令y1 x 1，y2 x 1，显然力』2在［1
，］上为无上界的增函数 所以y *，人在［1，］上也为无上界的
增函数
2
3y
，可化为:
1 sin x(x )3y sin x(x
即
?/ x R
3y
、屮1
sin x(x 故函数的值域为 6. 函数单调性法
例9.求函数y 2 log 3 x 1(2 x 10)的值域。 解：令 y 1
2x 5,y 2 log s 、x 1
则y1,y 2在［2，10］上都是增函数 所以y y1
y
2在［2，10］上是增函数
y min 2 3 lOg^/T7 1
当x=2时，
8
当 x=10 时 y max 2 log 3
33
故所求函数的值域为:
8,33
)［1,1］
1
即
解得:
例12.求函数y 解：因1°X 2 1 (x 1)的值域。
1)2 °
即(x 1)2 1
故可令X 1 cos , [°,]
y cos 1
一2si n( -)
4
° ,°
.1 cos2 sin cos 1 2
sin(
2
°2s in( 4)1
)112
4
I—
故所求函数的值域为【°,1、
2]
X3 X
y 4 9 2 例13.求函数x 2x
y 解：原函数可变形为：
2x
2 可令x tg ，则有1 X
1
y sin 2 cos2
2
k
—y max
当 2 8时，
1的值域。
1 2x 1 x2
2 1 x2 1 x2
1 X 2
2 sin2 , cos
1 x2
1
sin 4
4
1
显然y °，故原函数的值域为（°，^2】
7.换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11.求函数y X.X 1的值域。
解: 令x 1t(t °)则x t2 1
2
11 23
y t t(t )—
24
又t°，由二次函数的性质■可知
当t°时，
y
min
1
4
当t°时，y
故函数的值域为[1，）
4
*
故所求函数的值域为
x —,—
例 14.求函数 y (sinx 1)(cosx 1) , 12 2
的值域。
解：y (si nx 1)(cosx 1)
sin x cosx sin x cosx 1
1 2
丄 sin x cosx —(t 1)
令 sin x cosx t ，贝y
2 1 2
1 2
y -(t 2 1) t 1
-(t 1)2
2
2
由 t sinx cosx
、.2sin(x / 4)
12 ‘2
故所求函数的值域为：[4 '5,4 、'10] 8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义， 如两点的距离公式直线斜率等等,
题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16.求函数y (x 2)2
-(x 8)2的值域。
3
_
2
y
max
? ??当t 2
时，
2 2 , t
当
2
时,
故所求函数的值域为
3
V 2 3 4
2 ,
2
.2
。
可得：乎t 2
y
2
例15.求函数y x 4
' 5 x 的值域。
k_ 当亍
而此时
tan
y min
8时，
有意义。
解：由5 X 2
，可得|x|?'5
故可令 x , 5 cos , [0,]
y 、5cos 4 ＜：： 5 sin 10 s in( —) 4
...0 4
当
当
/ 4
时，y max
时，y min .10
、
亠、