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实变函数A答案(南方学院)

课程实变函数A 卷答案 2010 ~2011学年第2学期

一、填空题(每题4分，共20分)

1. 设)1

1,0[n A n +=，则=∞→n n A lim [0,1]

2. 设B A ?,则A ≥B

3. 设Q A ?,Q 为有理数集，则A 的外测度=)(*A m 0

4. 设P 为Cantor 三分集，则='P P

5.设}{n f 是n R E ?上的..e a 有限的可测函数列，f 是E 上..e a 有限的可测函数，若对任意0

>σ有0]|[|lim =≥-∞

→σf f mE n n ，则称函数列}{n f 依测度收列于f

二、选择题 (每题4分,共20分) 1．下列集合( A )的基数为0?

(A) 非负整数集 (B) 实数集 (C) 区间]1,0( (D) 无理数集 2. 若S 为闭集,且不含内点,则集S 必为( C )

(A) 完备集 (B) 稠密集 (C) 疏朗集 (D) 自密集

3. 已知中无理数，为当中有理数，

为当]10[,]10[,10)(x x x D ???=,则)(x D 在]1,0[上( C )

(A) 几乎处处为0 (B) 几乎处处连续

5. ()()E x f x f n 于?是()()E x f x f e a n 于?→?.

.的（ D ）.

(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 非充分非必要条件

三、(10分)设 ??

??∈∈∈=Q

x e x x

x x x f x ]2,0[Q ]10[2Q ]21[)(C C

2，，，求?]

2,0[)(dx x f

2)(]

2,0[2

210

+=?

??dx x xdx dx x f 5分，10分四、(15分)求极限dx x n

n n ?

+∞→2

1lim

解: 由于n n x x x f +=1)(在]2,0[上连续, 故R 可积. 3分

由于???≤<≤≤=∞→2101

01)(lim x x x f n n ， 5分

且()2,031)1(1)(L x x x x f n n n n n ∈≤+=+≤+= ， ,2,1],2,0[=∈n x 7分

从而由Lebesgue 控制收敛定理, dx x L dx x R n

n n n

n n ?

+=+∞

→∞

→2

01)(lim 1)(lim 10分

1)(1)(1lim )(21

+=+=+=?????∞

→xdx dx R xdx dx L dx x L n n n 15分五、（10分）设q R E ?,若对任意0>ε,存在开集G E ?,使得ε<)\(*E G m ,证明E 是可测集.

证明：由于0>?n ，?开集n G E ?，..t s n

E G m n 1

)\(*<

, 4分令 ∞

==1

n n G G ，则G 为可测集，又因n

E G m E G m n 1

)\()\(**<

≤对一切n 都成立，则0)\(*=E G m ，则E G \为可测集，所以)\(\E G G E =也为可测集。 10分六、（10分）设)(x f 在E 上可积，0)(≥x f ，且?=E

dx x f 0)(，证明：0)(=x f E e a 于..

证明： ∞

==≥=1

]0[]1

[n f E n f E E ，令]1[n f E E n ≥=，则其为可测集， 3分

但n E E E E E

mE n

dx x f dx x f dx x f dx x f n

)()()()(0\≥

≥+==

， 8分故0=n mE ，从而0]0[=>f mE ，即0)(=x f E e a 于.. 10分七、（15分）设)(x f 在1R 上连续，)(x g 在1R 上可测，证明：))((x g f 是1R 上的可测函数。

证明：（1）)(x h 在可测的充要条件为：对1R 中任一开集G ,)(1G h -为可测集

对实值函数)(x h 来说，})(:{t x h x >与)),((1∞-t h 是一致的。 3分充分性显然 5分下证必要性，由假设知)),((1∞-t h 及)),([1∞-t h 是可测集，故对任意区间1),(R b a ?,

)),([\)),(()),((111∞∞=---b h a h b a h 为可测集。若1R G ??为开集，则 1

),(≥=k k k b a G ，

从而 1

11),()(≥--=k k k b a h G h 知)(1G h -为可测集。 12分

（2）由)(x f 在1R 上连续，所以对1R 中任一开集G ,)(1G f -为开集，所以))((11G f g --为可测集，因而))((x g f 是1R 上的可测函数。 15分

实变函数论课后答案第三章1

实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零，故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限），令()(),f x m E a x b *=?<< ，则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤，则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.

实变函数试题库(5)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（5）本科一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立）二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（）（A ）()x ?是E 上的连续函数（B ）()x ?是E 上的单调函数（C ）()x ?在E 上一定不L 可积（D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（）（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则（）（A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点，则（）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点

实变函数论课后答案第五章1

实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可

测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,

中山大学南方学院学生奖励管理规定

附件1：中山大学南方学院学生奖励管理规定第一章宗旨和适用范围第一条为了全面贯彻党的教育方针，促进学生综合素质的全面发展，培养学生的创新精神和实践能力，激励学生勤奋学习、刻苦钻研、奋发向上，成为有理想、有道德、有文化、有纪律的社会主义建设者和接班人，建设优良的校风和学风，根据《普通高等学院学生管理规定》、《高等学校学生行为准则》、《中山大学南方学院学生管理规定》中的有关规定，结合本院实际情况，特制定本规定。第二条本规定的适用对象为普通全日制在校学生。第三条学院对学生的奖励坚持精神奖励和物质奖励相结合，以精神奖励为主的原则。第四条各项奖励的评选坚持公开、公平、公正和实事求是的原则，严格按照本规定实施。第二章评奖机构第五条学院成立学生奖励评定工作领导小组，负责本规定的全院各种奖励项目的组织评定、审查以及对各个系评奖工作进行指导、监督和协调。第六条各系设立学生奖励评定工作小组，负责本系学生奖励工作的组织、领导、监督和协调工作。系学生奖励工作小组成员应包括各系主管教学工作的系领导、系秘书、学生教育管理教师等。第三章奖励项目和方式第七条学生奖励分为集体奖励和个人奖励。第八条学院设立以下集体奖励： (一) 优良学风班； (二) 优秀红旗团支部； (三) 文明宿舍奖； (四) 优秀社团奖。第九条学院设立以下个人奖励： (一) 优秀新生奖学金； (二) 优秀学生奖学金(分一、二、三等奖)； (三) 单项奖学金； (四) 优秀毕业生奖。第十条学院对获得上述奖励的集体与个人采用以下方式予以表彰： (一) 授予荣誉称号； (二) 通报表扬； (三) 寄发喜报； (四) 颁发奖章、奖状、锦旗或证书； (五) 颁发奖金或纪念品； (六) 其他。

实变函数论试题及答案

实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<，证明E 是可测集。证明：对任何正整数n ，由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ，对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时，一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。

实变函数引论参考答案曹怀信第二章

。习题2.1 1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ．解 E =?；[0,1][0,1]b E E E '===?。 2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ．解 E =?；{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明． (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是，总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是，总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =?，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而 ()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此，有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈，即 ()A B A B ?。因此，()A B A B =. 4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ．解令1111 {1,,,,,,}234A n =，则{0}A '=，()A ''=?. 5．试作一点集E ，使得b E E ?．解取E =Q ，则b E =R 。 6．证明：无聚点的点集至多是可数集．证明因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而 (,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠，从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =，则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可

中山大学南方学院

中山大学南方学院中山大学南方学院中山大学南方学院是2006年经教育部批准，由中山大学与广东珠江投资集团合作创办的独立学院，是一所多学科全日制应用型本科高等学校，2016年被遴选为广东省普通本科转型试点高校。基本情况学院位于素有“北回归线上的明珠”和“广州后花园”之誉的广州市从化区，校园占地面积1000亩。经过十年的建设和发展，现已拥有完备的教学生活和文化体育设施，校园布局有致，秀丽宁静，是陶冶情操、读书治学的胜境。学院图书馆面积2.91万平方米，藏书189万册，共享中山大学图书馆电子图书165.8万册、电子期刊8300余种，还有超星移动图书馆、博看畅销期刊数据库和联图随书光盘检索平台，已初步建设成为数字化图书馆，更开创广东省高校图书馆24小时开放的管理模式，全方位满足读者需求。学科发展学院设有10个院系35个专业，形成以管理学、经济学、文学为主，工学、理学、医学、艺术学协调发展、结构合理、优势互补的学科体系。现有本科生17755人，继续教育在校生1167人。学院现有1个广东省省级实验教学示范中心，1个省级战略新兴产业特色专业项目，7个省级综合改革试点专业项目，5个校级重点专业建设项目和3个校级特色专业建设项目。并先后成立了金融市场与动能策略研究中心等14个研究中心和1个数据分析研究校级科研团队。

目前，学院承担国家级项目3项，省部级项目95项，横向项目 28项，项目经费总额达1680.7万元。自2013年起，学院教职员工共发表学术论文507篇，被SCI、SSCI、EI、TSSCI等国际权威期刊论文索引收录的应用性研究论文54篇，其中教师50篇、学生4篇，位居全国独立学院前列。学生积极参加各类专业相关比赛,荣获省部级及以上奖项近600项，在各类校外竞赛中共计获奖近700项。师资建设学院大力实施“人才强院”战略，师资主要来自中山大学教师，国内“985”、“211”高校具有硕士、博士学位研究生，以及美国、英国、法国、瑞典、日本、韩国、台湾、香港等地的优秀教师人才，同时面向全国招聘具有海外留学经验和有关行业、企业富有实践经验的高层管理人士、专业技术骨干任教师，建立了一支具有国际视野、结构合理的高素质师资队伍。学院现有教师816人，其中博士生导师12人，教育部“新世纪优秀人才支持计划”2人，广东省特支计划教学名师1人，广东省高等学校教学名师1人、南粤优秀教师3人，广东省高等学校优秀青年教师培养计划培养对象1人、中青年教师国内访问学者23人、“千百十人才培养工程”校级培养对象5人，广东省省级教学团队 1个，广东省民办教育优秀教育工作者1人，广东省民办教育优秀教师1人。学院特聘知名学者夏书章、黄天骥、陈平原等3名教授担任学术顾问，聘请巴曙松、任剑涛、张军、钟玫、谭劲松、王哲民和陈树衡等9名具有重要影响力的学者(教授)担任讲座教授。同时，学院不断完善并创新人才引进机制，从2014年起引进台湾博士52人，建立了一流的、有特色的本科教学团队及科学研究团队。人才培养学院坚持“高起点、有特色、更开放”的办学理念，坚持为地方经济建设和社会发展培养和输送综合素质高、实践能力强、具有创新精神的应用型人才的办学定位，不断深化教学改革，按照“宽口

(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案

试卷一：一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有

(0195)《实变函数论》网上作业题及答案

[0195]《实变函数论》第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集参考答案：B

[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集

C:可数集参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。参考答案：错误第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1

实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]

2011级实变函数积分理论复习题一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。（×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在

实变函数试题库(4)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（4）本科一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则（） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =

实变函数论考试试题及答案

实变函数论考试试题及答案证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<，证明E 是可测集。证明：对任何正整数n ，由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ，对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。证明因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ，且()n f x 是单调的。因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。

2012-2013年度中山大学南方学院

2012-2013年度中山大学南方学院优秀集体及个人名单一、中山大学南方学院红旗团支部会计系： 12会计4班 12财管3班 13财管实验班 12会计7班 13CGA1班 11财务分析师4班 12财管4班 12会计2班 12会计6班经济学与商务管理系： 11经济6班 11旅管1班 12经济3班 12旅管1班 12旅管2班 13创新班 13国贸1班 13国贸5班文学与传媒系： 11新闻A班 13新闻4班 13新闻6班 13汉语言2班13汉语言3班外国语言文学系： 12级商英8班 11级英语7班 11级英语9班 12级商英6班12级对外1班电子通信与软件工程系： 11电子1班 11电子2班 12电子1班 12通信1班13通信3班工商物流系： 13市销3班 13市销1班 13物理4班 12电商3班 12酒管1班 12工管7班 11物管理1班 11酒管3班 11工管2班公共管理系：

11人力6 11人力3 11公关3 11行管5 12人力5 11行管2 艺术设计与创意产业系： 11艺术2班 12数媒1班音乐系： 12音乐2班护理系：健康管理班二、中山大学南方学院“优秀团干”：团委：冯晓彤邓浩源刘宁盘家兴车德棠高胜利会计系：李施丽洪琳温妙君张红梅朱淑君冯远福郑惠瑜梁彤宇江斯棉许丽敏李慧曾宝华黄妍柯王桂萍刘汉东谢雪静何海榕黄建辉叶佩佩李思蕴经济学与商务管理系：李嘉欣李晓梅徐雅陈永悠李英婷张春娜谢晓洁张嘉文罗月圆欧楠楠范鹏科庄婷婷吴玉贞王梓怡陈诗颖苏婷婷谢绮璇林煜媛张珂张佳芸杨慧婷陈新星肖慧霖洪思娜朱倩雅文学与传媒系：陈秋霞陈燕璇陈奕璇黄媚李焕桃李丽珍李妍梁瀛之梁玉珊林坤丽刘思思王冬梅王瑞琪巫毓秀吴运正曾媚媚张愉

实变函数试题库及参考答案

实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上二、选择题 1．下列集合关系成立的是（） 2．若n R E ?是开集，则（） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（）三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限

4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （） 2. 可数个可测集的并是可测集. （） 3. 相等的集合是对等的. （） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （）五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题

实变函数题目整合集答案解析

实变函数试题库及参考答案本科一、题 1．设,A B 为集合，则() \A B B =A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A ≤B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是闭集 4．有限个开集的交是开集 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E ≤12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ? 是可数集，则* m E =0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈，()E x f x a ??≥??是可测集，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是可测函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +?()()f x g x + 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上可积 11．设,A B 为集合，则()\B A A ?A （用描述集合间关系的符号填写） 12．设{}211,2,A k k =-=，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数） 13．设n E ? ，如果E 中没有不属于E ，则称E 是闭集 14．任意个开集的并是开集 15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ?，则1mE ≤2mE 16．设E 中只有孤立点，则* m E =0 17．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈，()E x f x a ??

第三版实变函数论课后答案

1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ?. 证明：若() B A A B -=，则()A B A A B ?-?，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则()()B A A B A B B -?-?，又x B ?∈，若x A ∈，则 ()x B A A ∈-，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-.总有 () x B A A ∈-.故 ()B B A A ?-，从而有()B A A B -=。证毕 2. 证明c A B A B -=. 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-，所以c A B A B -?. 另一方面， c x A B ?∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-，所以 c A B A B ?-. 综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理 9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 证：若x A λλ∈∧ ∈，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧）成立知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈，这说明 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 定理4中的（4）： ()()( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 证：若 () x A B λ λλ∈∧ ∈ ，则有 'λ∈∧ ，使 ''()( )()x A B A B λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈?. 反过来，若()( )x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈则x A λλ∈∧ ∈或者x B λλ∈∧ ∈ . 不妨设x A λλ∈∧ ∈，则有'λ∈∧使'' '()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈?? . 故( )()()A B A B λλλ λλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ? . 综上所述有 ()( )( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ = . 证：( )c x A λλ∈∧ ?∈，则x A λλ∈∧ ? ，故存在'λ∈∧ ，'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ?? 从而有( )c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 反过来，若c x A λλ∈∧ ∈ ，则'λ?∈∧使'c x A λ?，故'x A λ?， x A λλ∈∧ ∴? ，从而()c x A λλ∈∧ ∈

中山大学南方学院ppt模板

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篇二：中山大学南方学院优秀个人简历院校：中山大学南方学院专业：×××专业学历：本科姓名：杜宗飞……………………….………………………………………………………………… 一份菜鸟也修改的简历模板手机： e–mail：地址：唯图设计因为专业，所以精美。为您的求职锦上添花，word自荐信版欢迎下载。尊敬的领导：您好！今天我怀着对人生事业的追求，怀着激动的心情向您毛遂自荐，希望您在百忙之中给予我片刻的关注。我是中山大学南方学院×专业的20xx届毕业生。中山大学南方学院四年的熏陶，让我形成了严谨求学的态度、稳重踏实的作风；同时激烈的竞争让我敢于不断挑战自己，形成了积极向上的人生态度和生活理想。在大学四年里，我积极参加中山大学南方学院×专业学科相关的竞赛，并获得过多次奖项。在各学科竞赛中我养成了求真务实、努力拼搏的精神，并在实践中，加强自己的创

新能力和实际操作动手能力。在中山大学南方学院就读期间，刻苦进取，兢兢业业，每个学期成绩能名列前茅。特别是在中山大学南方学院×专业必修课都力求达到90分以上。在平时，自学一些关于中山大学南方学院*本专业相关知识，并在实践中锻炼自己。在工作上，我担任中山大学南方学院*01班班级班长、学习委员、中山大学南方学院*协会部长等职务，从中锻炼自己的社会工作能力。我的座右铭是“我相信执着不一定能感动上苍，但坚持一定能创出奇迹”！中山大学南方学院求学的艰辛磨砺出我坚韧的品质，不断的努力造就我扎实的知识，传统的熏陶塑造我朴实的作风，青春的朝气赋予我满怀的激情。手捧菲薄求职之书，心怀自信诚挚之念，期待贵单位给我一个机会，我会倍加珍惜。下页是我的个人履历表，期待面谈。希望贵单位能够接纳我，让我有机会成为你们大家庭当中的一员，我将尽我最大的努力为贵单位发挥应有的水平与才能。此致敬礼！自荐人：×××20xx年11月12日 1 毕业综合测评成绩

实变函数论与泛函分析曹广福1到5章课后答案

第一章习题参考解答 3．等式)()(C B A C B A --=?-成立的的充要条件是什么？解：若)()(C B A C B A --=?-，则 A C B A C B A C ?--=?-?)()(. 即，A C ?. 反过来, 假设A C ?, 因为B C B ?-. 所以, )(C B A B A --?-. 故, C B A ?-)(?)(C B A --. 最后证，C B A C B A ?-?--)()( 事实上，)(C B A x --∈?, 则A x ∈且C B x -?。若C x ∈，则C B A x ?-∈)(；若C x ?，则B x ?，故C B A B A x ?-?-∈)(. 从而,C B A C B A ?-?--)()(. A A C B A C B A C =?-?--=?-?)()(. 即 A C ?. 反过来，若A C ?，则因为B C B ?-所以)(C B A B A --?- 又因为A C ?，所以)(C B A C --?故 )()(C B A C B A --??- 另一方面，A x C B A x ∈?--∈?)(且C B x -?，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ?因为C B x -?，所以B x ?故B A x -∈. 则 C B A x ?-∈)(. 从而 C B A C B A ?-?--)()( 于是，)()(C B A C B A --=?- 4．对于集合A ，定义A 的特征函数为????∈=A x A x x A ,0,1)(χ，假设 n A A A ,,,21是一集列，证明：（i ）)(inf lim )(inf lim x x n n A n n A χχ= （ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n A n n A χχ= 证明：（i ）)(inf lim n n m N n n n A A x ≥∈??=∈?，N ∈?0n ，0n m ≥?时，m A x ∈. 所以1)(=x m A χ，所以1)(inf =≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A n m N b A n χχ