2015年山东省高考理科数学试题

2015年高考山东省理科数学

一、

填空题

1. 已知集合}{

2

430A x x x =-+<，}{

24B x x =<<，则A B ?=

A. ()1,3

B. ()1,4

C. ()2,3

D. ()2,4 2. 若复数z 满足

1z

i i

=-，其中i 是虚数单位，则z = A. 1i - B. 1i + C. 1i -- D. 1i -+

3. 要得到函数sin(4)3

y x π

=-

的图象，只需将函数sin 4y x =的图象

A. 向左平移

12π个单位 B. 向右平移12π

个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3

π

个单位

4. 已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD =

A. 232a -

B. 2

34

a - C. 234a D. 232a

5. 不等式152x x ---<的解集是

A. (),4-∞

B. (),1-∞

C. ()1,4

D. ()1,5

6. 已知满足,x y 约束条件020x y x y y -≥??

+≤??≥?

，若z ax y =+的最大值为4，则a =

A. 3

B. 2

C. 2-

D. 3- 7. 在梯形ABCD 中，2

ABC π

∠=

，AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线

旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A.

23π B. 43π C. 53

π D. 2π 8. 已知某批零件的误差（单位：毫米）服从正态分布2

(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为

（附若随机变量ξ服从正态分布2

(,)N μσ，则00()68.26P μσζμσ-<<+=，

00(22)95.44P μσζμσ-<<+=，）

A. 004.56

B. 0013.59

C. 0027.18

D. 0031.74

9. 一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22

(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率

为

A. 5

335--或 B. 3223--或 C. 5445--或 D. 4334

--或 10.设函数

31,1,

()2, 1.

x

x x f x x -

A. 2,13??????

B. []0,1

C. 2,3??

+∞????

D. [)1,+∞ 二、填空题

11. 观察下列各式：

00

14C =； 011

334C C +=；

0122

5554C C C ++=； 01233

77774C C C C +++=；

照此规律，当*

n N ∈时

0121

21212121

n n n n n C C C C -----+++

+=12. 若“0,

,tan 4x x m π??

?∈≤????

”是真命题，则实数m 的最小值是

_________

13. 执行右边的程序框图，输出的T 的值为________ 14. 已知函数

()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则_____a b +=

15. 平面直角坐标系xOy 中，双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b

-=>>的渐近线与抛物线2

2:2(0)

C x py p +>交于点,,.O A B 若OAB ?的垂心为2C 焦点，则1C 的离心率为______

三、解答题

16. 设2

()sin cos cos ()4

f x x x x π

=-+

（1）求()f x 的单调区间

（2）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()02

A f =，1a =，求ABC ?面积的最大值 17．如图，在三棱台DEF ABC -中，2A

B DE =，,G H 分别为,A

C BC 的中点 （1）求证：B

D FGH 平面

（2）若⊥CF 平面ABC ，AB ⊥BC ，CF DE =，

45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成的

角（锐角）的

大小

18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233n n S =+

（1）求{}n a 的通项公式

A

（2）若数列{}n b 满足3log 2n n a b =，求{}n b 的前n 项和n T

19. 设n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）

在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分

（1） 写出所有个位数字是5的“三位递增数”

（2） 若甲参加活动，求甲得分X 的分布列与数学期望EX

20. 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

的离心率为2，左、右焦点分别是12,F F .

以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上

（1）求椭圆C 的方程

（2）设椭圆22

22:144x y E a b

+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 与,A B 两点，

射线PO 交椭圆E 与点Q

（i ）求

OQ

OP

的值

（ii ）求ABQ ?面积的最大值

21. 设函数2

()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈ （1）讨论()f x 函数级值点的个数，并说明理由 （2）若0,()0x f x ?>≥成立，求a 的取值范围