线代习题答案(1)
线性代数习题及答案
习题一
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 341782659； (2) 987654321；
(3) n (n -1)…321； (4) 13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2. 【解】
(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;
(3) τ(n (n -1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n -1)=
(1)
2
n n -; (4) τ(13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2)=0+1+…+(n -1)+(n -1)+(n -2)+…+1+0=n (n -1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.
4. 本行列式4512312123122x x x D x x x
=的展开式中包含3x 和4
x 的项.
解： 设 123412341234
()41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ=
-∑
，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3
x 项有
(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=-
4D 展开式中含4x 项有
(1234)4(1)2210x x x x x τ-????=.
5. 用定义计算下列各行列式.
(1)
20000103000000
4； (2)12
30002030450001
. 【解】(1) D =(-1)τ
(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.
(1)
2141
3121
1232
5062
-----； (2) ab
ac ae bd cd de bf
cf ef
-------； (3)100110011001a b c d
---； (4)
12342341341241
23
. 【解】(1) 12
50623121
0123250
6
2
r r D
+---=--; (2) 111
4111111
D abcdef abcdef --==------;
210110
111(3)(1)111011001011;b c D a a b cd c c d d d d
abcd ab ad cd --?--?
=+-=+++--????=++++
32122113314214
41
210
2341023410234
1034101130113
(4)160.104120222004410
1
2301110004
r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---=
==
=-------
7. 证明下列各式.
(1) 2
2222()1
1
1
a a
b b a
a b b a b +=-；
(2)
222222222
2
2
2
22
22
(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)
(2)
(3)
(1)(2)(3)a a a a b b b b c
c c c
d d d d ++++++=++++++；
(3) 2
3
2
2
322
32
111()111a a a a b
b ab b
c ca b b c c c c =++
(4) 2000
0()
0000n n a b a b D ad bc c d c d
=
=-；
(5)
1
2
11
11
1111111
1
1n
n
i i i i n
a a a a a ==++??=+ ???+∑∏. 【证明】(1)
13
23
2
23()()()2()2001
()()()()()2()21
c c c c a b a b b a b b a b a b b a b a b b a b a b b
a b a b a b a b --+--=--+--+=
=-=-=--左端右端.
(2) 32
21
3142
41
222
2-2-2
232
2
21
446921262144692126
0214469212621
4469
2126
c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b c c c c c c
d d d d d d ---++++++++====++++++++左端右端. (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:
23232
3
23
11()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b
c
c c =
=------
从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为
2
22
1()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b c c ++---=++
但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故
2
3112
32
3
1(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得
22(1)2(1)2(1)00
000
00
(),
n n n n a
b a
b
a b
a b
D a
b
c d
c d
c d c d d
c a
d D bc D ad bc D ---=-=?-?=-
据此递推下去，可得
222(1)2(2)
112()()()()()()n n n n n n
D ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-=
=-=--=- 2().n n D ad bc ∴
=-
(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.
当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n -1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立.
按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：
112
21
12
11111011
1
11110111111101
11
1
1
1
1
.
n n n
n n n a a a a D a a a a a a D ---++++=
+
+=+
但由归纳假设
1112
1111,n n n i i D a a a a ---=??+= ???
∑
从而有
112
1121112
1111
111111.
n n n n n i i n n n
n n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===??
+=+ ?
??
?
???++== ? ?????∑∑∑∏
8. 计算下列n 阶行列式.
(1) 11111
1
n x x D x
=
(2) 1
2222
2222
2
322
2
2
n D n
=； (3)0000
00
0000
n x y x y D x y y x
=. (4)n ij D a =其中(,1,2,
,)ij a i j i j n =-= ；
(5)21000
12
1
000120000021000
12
n D =
.
【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n -1),得
11111[(1)]
,11
n x D x n x
=+-
将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得
1111110[(1)]
(1)(1).0
1
n n x D x n x n x x --=+-=+---
(2) 21
311
12
2
22
10
00
010100100201000
2
n r r n r r r r D n ---=
-按第二行展开222
2010
02(2)!.002
0000
2
n n =---
(3) 行列式按第一列展开后，得
1
(1)(1)(1)10000000000
000(1)0000000
(1)(1).
n n n n n n n n x y y x y x y D x
y x y x y y
x
x y
x x y y x y +-+-+=+-=?+?-?=+
-
(4)由题意，知
11121212221
2
012110122
1
3123
n n n n n nn
n a a a n a a a D n a a a n n n --=
=---- 01221111
11111111
11
111
1
1
1
1
n n ------------后一行减去前一行
自第三行起后一行减去前一行
012211221111
1
120
000200002
000000000
2
2
n n n n --------=-按第一列展开
1122000201(1)(1)
(1)(1)200
2
n n n n n n -----=---按第列展开.
(5) 210002000001000121
001210012100012000120001200000210002100021000
12
000
12
000
12
n D =
=
+
122n n D D --=-.
即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-=
由 ()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-+
+-=- 得
11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.
1
2121
2
111n n n n
a a a a a a D a a
a ++=
+
【解】各列都加到第一列，再从第一列提出1
1n
i
i a
=+
∑，得
232
32312
3
1
1111
1,1
1n n n
n i n i n
a a a a a a D a a a a a a a
=+??=++ ???
+∑ 将第一行乘（-1）后加到其余各行，得
2
311
10
1
011.0
0100
1
n
n
n
n i i i i a a a D a a ==??=+=+ ???
∑∑
10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,
,i a i n ≠=）.
11
11
123222211
22
33
22221122331
11
112
3n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n
a a a a a
b a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=
.
【解】行列式的各列提取因子1
(1,2,
,)n j a j n -=,然后应用范德蒙行列式.
3121
232
2
2
2
3121
1
2
12311
113121231
12
11111()().
n n n n n n n n n n n n n j i n n j i n i
j b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤????????= ? ? ? ????????????????? ? ? ? ???
??
??
??
??
-= ???∏
11. 已知4阶行列式
41234334415671122
D =
; 试求4142A A +与4344A A +，其中4j A 为行列式4D 的第4行第j 个元素的代数余子式. 【解】
41
424142234134
(1)(1)3912.344344567167
A A +++=-+-=+= 同理43441569.A A +=-+=- 12. 用克莱姆法则解方程组.
(1) 1231234
1234234 5,2 1, 2 2, 23 3.
x x x x x x x x x x x x x x ++=??+-+=??+-+=??++=? (2) 12123234345
4556 1,
56 0,
56 0, 560,
5 1.
x x x x x x x x x x x x x +=??++=??++=??++=?+=??
【解】方程组的系数行列式为
1
1101110
13113121110131
180;12105212110121
12301401230123
D -------=
=
===≠-----
1234511015101111211118;
36;
2211121131
2
3
03231150
11
1
5
2111211136;
18.
122112120133
01
2
3
D D D D --=
==
=---=
==
=--
故原方程组有惟一解，为
312412341,2,2, 1.D D D D
x x x x D D D D
=
=======- 12345123452)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212
,,,,.
66513335133665
D D D D D D x x x x x ===-==-=∴==-==-=
13. λ和μ为何值时，齐次方程组
1231231
230,
0,20
x x x x x x x x x λμμ++=??
++=??++=? 有非零解?
【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式
1
1
0,11121
λ
μμ= 即
(1)0.μλ-=
故0μ=或1λ=时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组
12341234
123412340,20,30,0
x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=??+++=??
+-+=??+++=? 有非零解时，a ,b 必须满足什么条件？
【解】该齐次线性方程组有非零解，a ,b 需满足
1111211
0,11311
1a a b
=- 即(a +1)2=4b .
15. 求三次多项式230123()f x a a x a x a x =+++，使得
(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====
【解】根据题意，得
0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.
f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=
这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于
012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=
故得01237,0,5,2a a a a ===-= 于是所求的多项式为
23()752f x x x =-+
16. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为
ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)
按题设有
11223
30,0,0,
ax by c ax by c ax by c ++=??
++=??++=? 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为
11223
31101
x y x y x y = 上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。 二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1
x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（ ） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 （每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1， 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2
线性代数试题及答案.
线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k
二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???
线性代数模试题试题库(带答案)
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα 线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ； ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。 2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ，则1A -= 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷 2009年6月22日 1、 设?? ??? ?? ?? ???-=* 8030010000100001A ,则A ＝ 、 2、 A 为n 阶方阵,T AA =E 且=+ 二、单项选择题(共6小题,每小题3分,满分18分) 1、设D n为n阶行列式,则D n＝0的必要条件就是[ ]、 (A) D n中有两行元素对应成比例; (B) D n中各行元素之与为零; (C) D n中有一行元素全为零; (D)以D n为系数行列式的齐次线性方程组有非零解. 2.若向量组α,β,γ线性无关,α,β,σ线性相关,则[ ]、 (A)α必可由β,γ,σ线性表示; (B) β必可由α,γ,σ线性表示; (C)σ必可由β,γ,α线性表示; (D)γ必可由β,α,σ线性表示、 ３.设3阶方阵A有特征值0,－1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P＝(P1,P2,P3),则P－1AP＝[ ]、 (A) 100 010 000 ?? ?? - ?? ?? ?? ; (B) 000 010 001 ?? ?? - ?? ?? ?? ; (C) 000 010 001 ?? ?? ?? ?? ?? － ; (D) 100 000 001 ?? ?? ?? ?? ?? － . ４.设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的就是[ ]、 (A)α1,α2,α3 - α1; (B)α1,α1+α2,α1+α3; (C)α1+α2,α2+α3,α3+α1; (D)α1-α2,α2-α3,α3-α1、 ５.若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0,则A的秩Ｒ(A) =[ ]、 (A) 1; (B)2; (C)3; (D) 4. ６.实二次型f＝x T Ax为正定的充分必要条件就是[ ]、 (A) A的特征值全大于零; (B) A的负惯性指数为零; (C) |A| > 0 ; (D) R(A) = n、 三、解答题(共5小题,每道题8分,满分40分) 苏州大学《线性代数》课程（第八卷）答案 共3页 院系 专业 一、填空题：（30%） 1、 3 )(a b - 2、 AB C =-1 3、 0=A 4、 ()()A r b A r =, 5、 )()(B r A r ≤ 6、 ??? ? ? ??=101020001X 7、 1=t 8、8-=A 9、 ()T A 4,4, 2--=β 10、 ()0,21=αα 二、（8%）解：=+++++++++33333322222 211111 1232323a c c b b a a c c b b a a c c b b a 3 3333322222 2111111262626a c c b c a a c c b c a a c c b c a ++-++-++- ==++-++-++-3 33 33 22222 11111 272727a c c b c a c c b c a c c b c m a b c a b c a b c 773 3 3 2221 11=- (8%) 三、（10%）解：I BA BA A 82-=* 1 1)2(8)]2([8--*-=-=I A A A I A B （5%） ???? ? ? ??-=--4121 41 ) 2(1 I A A （3%） ??? ? ? ??-=242B （2%） 四、（6%）解：令()321,, βββ=B 则())3,2,1( 00, , 321==?==j A A A A AB j ββββ 因0≠B ，所以存在一个j β是0=x A T 的一个非零解 （3%） 0=?A ?30217-=?=+t t （3%） 五、（10%）解： 线性代数期末试卷及参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。 （A ）001010100?????????? (B)100000010?? ?? ?? ???? (C) 100020001????????? ?(D) 100012001????-?????? 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+ 3．设A 为n 阶方阵，且2 50A A E +-=。则1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1() 3A E + 4．设A 为n m ?矩阵，则有（ ）。 （A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解； （B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量； （C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。 5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则 （） （A ）A 与B 相似（B ）A B ≠，但|A-B |=0 （C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B| 二、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分) 1．A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。（） 2．A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则 111)(---=A B AB 。（） 线性代数试题（附答案） 一、填空题（每题2分，共20分） 1.行列式0 005002304324321= 。 2.若齐次线性方程组?? ? ??=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为 。 3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。 4.A 为n n ?阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。 5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且 32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。 7.设=?? ?? ? ?????---=??????????)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。 8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--?A A 。 9.二次型x x x x x x f 2 32 22 132123),,(--=的正惯性指数为 。 10.矩阵?? ?? ? ?????1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是 。 二、单项选择（每小题2分，共12分） 1.矩阵()==≠≠???? ? ???????=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2. 齐次线性方程组???=--=++-020 23214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ） A 、-1 B 、-2 C 、0 D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（ ） A 、B=E B 、A=E C 、A=B D 、AB=BA 5.已知=?? ?? ? ?????==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（ ） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或2 6.下列矩阵中与矩阵合同的是??? ? ???? ? ?-50 00210 002 （ ） A 、??????????---200020001 B 、?? ??? ?????-500020003 C 、?? ?? ??????--100010001 D ????? ?????100020002 三、计算题（每小题9分，共63分） 1．计算行列式),2,1,0(00000 022 11 210n i a a c a c a c b b b a i n n n ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中 A卷 2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案 （32学时必修） 专业班级 姓名 学号 开课系室应用数学系 考试日期 2016年1月15日 注意事项： 1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共7页。 说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵； )(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵. 一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若 6个题目都做，按照前面5个题目给分） 1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】. 2.设1 3 5 2 4 1312010131 1--= D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子 式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】. 3．设102020103B ?? ? = ? ?-?? ，A 为34?矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】. 4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】. 5．设A 是3阶实的对称矩阵，????? ??-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，??? ? ? ??-=m m 11β是线 性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】. 6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式 =+-|2|1E B 【 -8 】. 二、选择题（共5个小题，每小题3分） 1. 设A 为3阶矩阵，且2 1||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】. (A) 2-； (B) 2 1 -； (C) 1-； (D) 2. 2. 矩阵110120001?? ? ? ??? 的逆矩阵为【 A 】． (A) 210110001-?? ?- ? ???； (B) 210110001?? ? ? ???； (C) 110120001-?? ? - ? ? ??； 110110001?? ? ? ??? . 线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020. 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） 《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠； () B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同； 江西财经大学 11－12第一学期期末考试试卷 试卷代码：12063A 考试时间 110分钟 授课课时：48 课程名称：Linear Algebra （主干课程） 适用对象：2010级国际学院 1. Filling in t he Blanks (3’×6=18’) (1) If ????????????=30 00320023404321A , then det (adj(A ))= . (2) If ????????????-=212 313 1211 1143 21A , then =+++44434241A A A A . (3)If ??????????--=1110161011A , and ???? ??????-=150401821B , then =T AB . (4) Let A be (4×4) matrix, and -1,2,3,6 are the eigenvalues of A . Then the eigenvalues of A -1 are . (5) Let ???? ??????-=??????????-=222,104βα. Then the tripe products )(βαα??= . (6) If ???? ??????--=11334221t A and B is a nonzero matrix, AB =0, then t = . 2. There are four choices in each question, but only one is correct. You should choose the correct one into the blank. (3’×6=18’) (1) Let A and B are (3×3) invertible matrices, then ( ) is not always correct. (A) T T T A B AB =)( (B) 111)(---=A B AB (C) T T A A )()(11--= (D) 222)(A B AB = (2) Let A and B be (n ×n ) matrices, then ( ) (A) AB =0?A =0 or B =0 (B) AB ≠0?A ≠0 and B ≠0 (C) AB =0?|A|=0 or |B|=0 (D) AB ≠0?|A|≠0 and |B|≠0线性代数期末考试试题
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