三角函数大题专项(含答案)
三角函数专项训练
1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．
（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；
（2）求角C和边c．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．
3．已知á，a为锐角，taná＝，cos（á+a）＝﹣．
（1）求cos2á的值；
（2）求tan（á﹣a）的值．
4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；
（2）若DC＝2，求BC．
5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）
（Ⅰ）求cos A的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值
7．设函数f（x）＝sin（ùx﹣）+sin（ùx﹣），其中0＜ù＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ù；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．
（Ⅰ）求b和sin A的值；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；
（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；
（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．
11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．
12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，e]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．
（1）求sin C的值；
（2）若a＝7，求△ABC的面积．
14．已知函数f（x）＝2sinùx cosùx+cos2ùx（ù＞0）的最小正周期为e．（1）求ù的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；
（2）若cos B＝，求cos C的值．
16．设f（x）＝2sin（e﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；
（2）已知cos A＝，求sin C的值．
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．
20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣）的值．
21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
参考答案
1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．
（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；
（2）求角C和边c．
【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：＝2R＝2，
∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，
∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，
∴2（）＝（a﹣b）?，
化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，
故a2+b2﹣c2＝ab．
解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，
∴cos C＝＝＝，
解得C＝，
∴c＝2sin C＝2?＝．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，
又b sin A＝a cos（B﹣）．
∴a sin B＝a cos（B﹣），即sin B＝cos（B﹣）＝cos B cos+sin B sin＝
cos B+，
∴tan B＝，
又B∈（0，e），∴B＝．
（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，
由余弦定理得b＝＝，由b sin A＝a cos（B﹣），得sin A＝，∵a＜c，∴cos A＝，
∴sin2A＝2sin A cos A＝，
cos2A＝2cos2A﹣1＝，
∴sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝＝．
3．已知á，a为锐角，taná＝，cos（á+a）＝﹣．
（1）求cos2á的值；
（2）求tan（á﹣a）的值．
【解答】解：（1）由，解得，
∴cos2á＝；
（2）由（1）得，sin2，则tan2á＝．
∵á，a∈（0，），∴á+a∈（0，e），
∴sin（á+a）＝＝．
则tan（á+a）＝．
∴tan（á﹣a）＝tan[2á﹣（á+a）]＝＝．
4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；
（2）若DC＝2，求BC．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，
∴cos∠ADB＝＝．
（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，
∵DC＝2，
∴BC＝
＝＝5．
5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x ＝sin（2x﹣）+，
f（x）的最小正周期为T＝＝e；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，
可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，
即有2m﹣≥，解得m≥，
则m的最小值为．
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）
（Ⅰ）求cos A的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值
【解答】（Ⅰ）解：由，得a sin B＝b sin A，
又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，
两式作比得：，∴a＝2b．
由，得，
由余弦定理，得；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A＝4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，
∴．
于是，，
故．
7．设函数f（x）＝sin（ùx﹣）+sin（ùx﹣），其中0＜ù＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ù；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ùx﹣）+sin（ùx﹣）
＝sinùx cos﹣cosùx sin﹣sin（﹣ùx）
＝sinùx﹣cosùx
＝sin（ùx﹣），
又f（）＝sin（ù﹣）＝0，
∴ù﹣＝ke，k∈Z，
解得ù＝6k+2，
又0＜ù＜3，
∴ù＝2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），
将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y ＝sin（x﹣）的图象；
再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，
∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；
当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，
∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，
∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．
（Ⅰ）求b和sin A的值；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，
故由sin B＝，可得cos B＝．
由已知及余弦定理，有＝13，
∴b＝．
由正弦定理，得sin A＝．
∴b＝，sin A＝；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，
cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．
故sin（2A+）＝＝．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；
（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝，
∴3c sin B sin A＝2a，
由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，
∵sin A≠0，
∴sin B sin C＝；
（2）∵6cos B cos C＝1，
∴cos B cos C＝，
∴cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣＝﹣，
∴cos（B+C）＝﹣，
∴cos A＝，
∵0＜A＜e，
∴A＝，
∵＝＝＝2R＝＝2，
∴sin B sin C＝?＝＝＝，
∴bc＝8，
∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，
∴b2+c2﹣bc＝9，
∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，
∴b+c＝
∴周长a+b+c＝3+．
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；
（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．
【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，
∴sin B＝4（1﹣cos B），
∵sin2B+cos2B＝1，
∴16（1﹣cos B）2+cos2B＝1，
∴16（1﹣cos B）2+cos2B﹣1＝0，
∴16（cos B﹣1）2+（cos B﹣1）（cos B+1）＝0，
∴（17cos B﹣15）（cos B﹣1）＝0，
∴cos B＝；
（2）由（1）可知sin B＝，
∵S△ABC＝ac?sin B＝2，
∴ac＝，
∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣2××
＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，
∴b＝2．
11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x，
＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，
＝cos2x+sin2x，
＝sin（2x+），
∴T＝＝e，
∴f（x）的最小正周期为e，
（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，
∴2x+∈[﹣，]，
∴﹣≤sin（2x+）≤1，
∴f（x）≥﹣
12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，e]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
【解答】解：（1）∵＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），∥，
∴﹣cos x＝3sin x，
当cos x＝0时，sin x＝1，不合题意，
当cos x≠0时，tan x＝﹣，
∵x∈[0，e]，
∴x＝，
（2）f（x）＝＝3cos x﹣sin x＝2（cos x﹣sin x）＝2cos（x+），∵x∈[0，e]，
∴x+∈[，]，
∴﹣1≤cos（x+）≤，
当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，
当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．
13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．
（1）求sin C的值；
（2）若a＝7，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝a，
由正弦定理可得sin C＝sin A＝×＝，
（2）a＝7，则c＝3，
∴C＜A，
∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cos C＝，
∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，∴S△ABC＝ac sin B＝×7×3×＝6．
14．已知函数f（x）＝2sinùx cosùx+cos2ùx（ù＞0）的最小正周期为e．（1）求ù的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【解答】解：f（x）＝2sinùx cosùx+cos2ùx，
＝sin2ùx+cos2ùx，
＝，
由于函数的最小正周期为e，
则：T＝，
解得：ù＝1．
（2）由（1）得：函数f（x）＝，
令（k∈Z），
解得：（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．
（1）证明：A＝2B；
（2）若cos B＝，求cos C的值．
【解答】（1）证明：∵b+c＝2a cos B，
∴sin B+sin C＝2sin A cos B，
∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，
∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，e），
∴0＜A﹣B＜e，∴B＝A﹣B，或B＝e﹣（A﹣B），化为A＝2B，或A＝e（舍去）．∴A＝2B．
（II）解：cos B＝，∴sin B＝＝．
cos A＝cos2B＝2cos2B﹣1＝，sin A＝＝．
∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝+×＝．16．设f（x）＝2sin（e﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（e﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2 ＝2sin2x﹣1+sin2x ＝2?﹣1+sin2x
＝sin2x﹣cos2x+﹣1＝2sin（2x﹣）+﹣1，
令2ke﹣≤2x﹣≤2ke+，求得ke﹣≤x≤ke+，
可得函数的增区间为[ke﹣，ke+]，k∈Z．
（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y ＝2sin（x﹣）+﹣1的图象；
再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin x+﹣1的图象，∴g（）＝2sin+﹣1＝．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．
（1）求B；
（2）已知cos A＝，求sin C的值．
【解答】解：（1）∵a sin2B＝b sin A，
∴2sin A sin B cos B＝sin B sin A，
∴cos B＝，∴B＝．
（2）∵cos A＝，∴sin A＝，
∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2a cos B，
∴sin B+sin C＝2sin A cos B，
∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B
∴sin B+sin A cos B+cos A sin B＝2sin A cos B
∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）
∵A，B是三角形中的角，
∴B＝A﹣B，
∴A＝2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，
∴bc sin A＝，
∴2bc sin A＝a2，
∴2sin B sin C＝sin A＝sin2B，
∴sin C＝cos B，
∴B+C＝90°，或C＝B+90°，
∴A＝90°或A＝45°．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+＝，
∴由正弦定理得：，
∴＝，
∵sin（A+B）＝sin C．
∴整理可得：sin A sin B＝sin C，
（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝．
sin A＝，＝
+＝＝1，＝，
tan B＝4．
20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣）的值．
【解答】解：（1）∵△ABC中，cos B＝，B∈（0，e），
∴sin B＝，
∵，
∴AB＝＝5；
（2）cos A═﹣cos（e﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝﹣．∵A为三角形的内角，
∴sin A＝，
∴cos（A﹣）＝cos A+sin A＝．
21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．
【解答】解：（1）∵f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
∴x≠ke+，即函数的定义域为{x|x≠ke+，k∈Z}，
则f（x）＝4tan x cos x?（cos x+sin x）﹣
＝4sin x（cos x+sin x）﹣
＝2sin x cos x+2sin2x﹣
＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣
＝sin2x﹣cos2x
＝2sin（2x﹣），
则函数的周期T＝；
（2）由2ke﹣＜2x﹣＜2ke+，k∈Z，
得ke﹣＜x＜ke+，k∈Z，即函数的增区间为（ke﹣，ke+），k∈Z，
当k＝0时，增区间为（﹣，），k∈Z，
∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，
由2ke+＜2x﹣＜2ke+，k∈Z，
得ke+＜x＜ke+，k∈Z，即函数的减区间为（ke+，ke+），k∈Z，当k＝﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，
∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），
即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜e，∴sin C≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，
整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，
即2cos C sin（e﹣（A+B））＝sin C
2cos C sin C＝sin C
∴cos C＝，
∴C＝；
（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab?，
∴（a+b）2﹣3ab＝7，
∵S＝ab sin C＝ab＝，
∴ab＝6，
∴（a+b）2﹣18＝7，
∴a+b＝5，
∴△ABC的周长为5+．