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分式知识点总结及复习

分式知识点总结及章末复习知识点一：分式的定义

一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B

A 叫

做分式，A 为分子，B 为分母。知识点二：与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =）

③分式值为0：分子为0且分母不为0（??

?≠=0

B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>0

0B A 或??

?<<0

0B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>0

0B A 或??

?><0

0B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）经典例题

1、代数式1

是（） A .单项式 B .多项式 C .分式 D .整式 2、在2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24

x y -中，分式的个数为（） A .1 B .2 C .3 D .4

3、总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果便宜1元，比乙种糖果贵0.5元，设乙种糖果每千克x 元，因此，甲种糖果每千克元，总价9元的甲种糖果的质量为千克.

4、当a 是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（）

A .

1a a + B .21a a + C .211a a ++ D .21

a a +- 5、当1x =时，分式①11x x +-，②122x x --，③211x x --，④31

x +中，有意义的是（）

A .①③④

B .③④

C .②④

D .④

6、当1a =-时，分式

a a +-（）A .等于0 B .等于1 C .等于－1 D .无意义 7、使分式8483x x +-的值为0，则x 等于（） A .38 B .1

- C .83 D .12

8、若分式221

x x x -+-的值为0，则x 的值是（） A .1或－1 B .1 C .－1 D .－2

9、当x 时，分式11x x +-的值为正数. 10、当x 时，分式1

x x +-的值为负数. 11、当x = 时，分式1

x x +-的值为1.

12、分式1

111x

++有意义的条件是（） A .0x ≠ B .1x ≠-且0x ≠ C .2x ≠-且0x ≠ D .1x ≠-且2x ≠-

13、如果分式

x x --的值为1，则x 的值为（） A .0x ≥ B .3x > C .0x ≥且3x ≠ D .3x ≠

14、下列命题中，正确的有（） ①A 、B 为两个整式，则式子

A B 叫分式； ②m 为任何实数时，分式13

m m -+有意义； ③分式

x -有意义的条件是4x ≠； ④整式和分式统称为有理数. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个

15、在分式222

x ax

x x ++-中a 为常数，当x 为何值时，该分式有意义？当x 为何值时，该分式的值为0？

知识点三：分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：

C B C ??=A B A ，C

B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

B A B B --

=--=--=A

A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件

B ≠0。经典例题 1、把分式

a b

+的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值（） A .不变 B .扩大2倍 C .缩小2倍 D .扩大4倍 2、下列各式正确的是（）

A .11a x a b x b ++=++

B .22y y x x =

C .n na

m ma

=，（0a ≠） D .n n a m m a -=-

3、下列各式的变式不正确的是（）

A .

2233y y -=- B .66y y x x

-=- C .3344x x y y =-- D .8833x x y y --=- 4、在括号内填上适当的数或式子： ①

5()412a xy axy =；②2111()a a +=-；③()2m

n n

=-；④2

26(2)()3(2)n n m m +=+. 5、不改变分式的值，把分式

0.010.20.5x y

x y

-+的分子与分母中的系数化为整数.

知识点四：分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。知识点四：最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。经典例题

1、约分：①222________20ab a b =；②229________69x x x -=-+；③322

18________12a bc ab c =-；④2

()________4()

p q q p -=-. 2、下列化简结果正确的是（）

A .222222x y y x z z -=-+

B .220()()a b a b a b -=-+-

C .63

233x y x

x y

= D .231m m a a a +-= 3、下列各式与分式

a b

--的值相等的是（） A .a a b --- B .a a b + C .a b a - D .a

b a

4、化简2293m m m --的结果是（）A 、3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、m

-3

知识点五：分式的通分

① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的

通分。

② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。经典例题

1、分式

23c a b ，44a b c -，252b ac

的最简公分母是（） A .12abc B .12abc - C .24224a b c D .242

12a b c 2、通分：①222,,693x y z ab a bc abc -； ②2216

211

a a a a -++-.

知识点六分式的四则运算与分式的乘方 ① 分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

b c

a d c

b a ??=

? 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为c

c ??=?=÷b d

a d

b a d

c b a

② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n

b a b a =??

经典例题

1、下列运算正确的是（） A .62x x x = B .0x y x y +=+ C .1x y x y -+=-- D .a x a b x b

+=+

2、下列各式的计算结果错误的是（） A .

b n y bnx a m x amy ?÷= B .b n y bmy

a m x anx

?÷= C .b n y bmx a m x any ÷÷= D .()b n y bmx a m x any ÷?= 3、计算： ①3921()______243a a b

b b a

÷÷?=；②22222

21_______()a b a ab b a b ab ab b a --+÷?=+- 4、计算：①232()______3a b c -= ； ②232()()()______b a c

a c b

--÷?=. 5、下列运算正确的是（）

A .3

3328()39x x y y

-=- B .242622224()()x y x x x y x y y y ÷=?= C .211x x x ÷?= D .22(

)(1)1x x x x ?-=- 6、计算：①2223(

)[()]______a b b a

--?-=； ②222

2()()______3y x x y -?-=. 7、计算：23231

()()()________344

x y xy y x -?÷-=.8、化简3232()()()________x y xz yz z y x ?-?-=.

9、当2006x =，2005y =-，则代数式442222

2x y y x

x xy y x y --?

-++的值为（） A .1 B .－1 C .4011 D .－4011 10、先化简，再求值：2322322432()[]()1(1)(1)2x x x x x x x x x x x --+÷?++-+++，其中1

x =-

11、已知27x y =，求分式22

322x xy y x xy y

-+++的值.

12、计算：22

2008420084

200820082200848

+?++?-?-. 13、已知

0345

x y z

==≠，那么223x y x y z -+-的值为（） A .12 B .2 C .12- D .－2

14、已知230,3260,0x y z x y z xyz -+=--=≠，求222

222

2x y z x y z +++-的值.

③ 分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为

a c

b ±=

±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

ad d c ±=

±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。 ④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误

或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。知识点六整数指数幂

① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样

适用。即 ★n

m n

a +=?a ★()

mn n

a a = ★()n n n

b b a a = ★n m n m a a -=÷a （0≠a ）

★n n b a b a =??

? ??n ★n a 1=-n

a （0≠a ） ★10=a （0≠a ）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）

其中m ，n 均为整数。

科学记数法

若一个数x 是0

10a ?（10a 1<≤，即a 的整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如0.000000125=-7

101.25?

若一个数x 是x>10的数则可以表示为n

10a ?（10a 1<≤，即a 的整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000=8

101.2?

经典例题

1、计算：①

1________11x x x -=--；②2221_______2ab a b

+=. 2、化简221

x x x ---的结果是（） A .12x + B .12x - C .2324x x -- D .2324x x +-

3、化简2

()

a b a b a a b -

--的结果是（）A .a b a + B .a b a - C .b a a - D .a b + 4、计算： ①3333x x x x -+-+-； ②212211933a a a

+--+-； ③2111

111x x x ++-+-.

5、计算24()22a a a a a a

--?-+的结果是（） A .－4 B .4 C .2a D .24a + 6、化简

()x x x x

-÷-的结果是（） A .11x + B .1 C .11x - D .－1

7个0

9个数字

7、计算：①2114()22x x x x --?-+； ②22214()244x x x x x x x x

+---÷--+；

③11x x x -?-；④2

11(1)(1)11

x x x +---+； ⑤

22213211143x x x x x x x +++-?+-++.

8、设,A x y B x y =+=-，则

A B A B

+--

-+等于（） A .22x y xy - B .222x y xy - C .22x y xy + D .22

2x y xy

9、若2

210a a +-=，求22214

()2442

a a a a a a a a ----÷

++++的值.

10、已知269a a -+与1b -互为相反数，求()()a b a b b a

-÷+的值.

11、已知,a b 为实数，且1ab =，设11a b M a b =+++，1111

N a b =+++，你能比较 ,M N 的大小吗？

12、阅读命题：计算：

111

.(1)(1)(2)(2)(3)

x x x x x x +++++++

解：原式＝

111111

11223x x x x x x -+-+-+++++＝113.3(3)

x x x x -

=++