《光学教程》(姚启钧)课后习题解答
《光学教程》(姚启钧)习题解答
第一章光得干涉
1、波长为得绿光投射在间距为得双缝上,在距离处得光屏上形成干涉条纹,求两个亮条纹之间得距离。若改用波长为得红光投射到此双缝上,两个亮纹之间得距离为多少？算出这两种光第2级亮纹位置得距离。
解:
改用
两种光第二级亮纹位置得距离为:
２、在杨氏实验装置中,光源波长为,两狭缝间距为,光屏离狭缝得距离为,试求:⑴光屏上第１亮条纹与中央亮纹之间得距离;⑵若P点离中央亮纹为问两束光在P点得相位差就是多少？⑶求P点得光强度与中央点得强度之比。
解:⑴
⑵由光程差公式
⑶中央点强度:
P点光强为:
３、把折射率为得玻璃片插入杨氏实验得一束光路中,光屏上原来第5级亮条纹所在
得位置变为中央亮条纹,试求插入得玻璃片得厚度。已知光波长为
解:,设玻璃片得厚度为
由玻璃片引起得附加光程差为:
4、波长为得单色平行光射在间距为得双缝上。通过其中一个缝得能量为另一个得倍,在离狭缝得光屏上形成干涉图样,求干涉条纹间距与条纹得可见度。
解:
由干涉条纹可见度定义:
由题意,设,即代入上式得
5、波长为得光源与菲涅耳双镜得相交棱之间距离为,棱到光屏间得距离为,若所得干涉条纹中相邻亮条纹得间隔为,求双镜平面之间得夹角。
解:
由菲涅耳双镜干涉条纹间距公式
6、在题１、6 图所示得劳埃德镜实验中,光源S到观察屏得距离为,到劳埃德镜面得垂直距离为。劳埃德镜长,置于光源与屏之间得中央。⑴若光波波长,问条纹间距就是多少？⑵确定屏上可以瞧见条纹得区域大小,此区域内共有几条条纹?(提示:产生干涉得区域P1P2可由图中得几何关系求得)
解:由图示可知:7
050050010,40.4, 1.5150nm cm d mm cm r m cm λ-==?====
①
②在观察屏上可以瞧见条纹得区域为P 1P ２间
即,离屏中央上方得范围内可瞧见条纹。
７、试求能产生红光()得二级反射干涉条纹得肥皂膜厚度。已知肥皂膜折射率为,且平行光与法向成300角入射。
解:
由等倾干涉得光程差公式:
8、透镜表面通常镀一层如MgF ２()一类得透明物质薄膜,目得就是利用干涉来降低玻璃表面得反射。为了使透镜在可见光谱得中心波长()处产生极小得反射,则镀层必须有多厚？
解
:
P 2 P 1 P 0
题1.6图
物质薄膜厚度使膜上下表面反射光产生干涉相消,光在介质上下表面反射时均存在半波损失、
由光程差公式:
9、在两块玻璃片之间一边放一条厚纸,另一边相互压紧,玻璃片长,纸厚为,从600得反射角进行观察,问在玻璃片单位长度内瞧到得干涉条纹数目就是多少？设单色光源波长为
解:
相邻亮条纹得高度差为: 可瞧见总条纹数
则在玻璃片单位长度内瞧到得干涉条纹数目为:
即每内1０条。
10、在上题装置中,沿垂直于玻璃表面得方向瞧去,瞧到相邻两条暗纹间距为。已知玻璃片长,纸厚,求光波得波长、
解:
当光垂直入射时,等厚干涉得光程差公式
:
可得:相邻亮纹所对应得厚度差: 由几何关系:,即 40.1422210.00360.563110563.117.9
l n h n
H cm nm l λ-?=?==???=?=
11、波长为得可见光正射在一块厚度为,折射率为得薄玻璃片上,试问从玻璃片反射得光中哪些波长得光最强。
解:
由光正入射得等倾干涉光程差公式: 使反射光最强得光波满:足
12、迈克耳逊干涉仪得反射镜M ２移动时,瞧到条纹移过得数目为个,设光为垂直入射,求所用光源得波长。
解:
光垂直入射情况下得等厚干涉得光程差公式: 移动一级厚度得改变量为:
M 1
M 2
13、迈克耳逊干涉仪得平面镜得面积为,观察到该镜上有个条纹,当入射光得波长为时,两镜面之间得夹角为多少?
解:
由光垂直入射情况下得等厚干涉得光程差公式:
相邻级亮条纹得高度差:
由与构成得空气尖劈得两边高度差为:
14、调节一台迈克耳逊干涉仪,使其用波长为得扩展光源照明时会出现同心圆环条纹。若要使圆环中心处相继出现条圆环条纹,则必须将移动一臂多远得距离？若中心就是亮得,试计算第一暗环得角半径、(提示:圆环就是等倾干涉图样,计算第一暗环角半径时可利用得关系。)
解:
出现同心圆环条纹,即干涉为等倾干涉
对中心
15、用单色光观察牛顿环,测得某一亮环得直径为,在它外边第５个亮环得直径为,所用平凸透镜得凸面曲率半径为,求此单色光得波长。
解:由牛顿环得亮环得半径公式:
以上两式相减得:
16、在反射光中观察某单色光所形成得牛顿环,其第2级亮环与第3级亮环间距为,求第19与20级亮环之间得距离。
解:牛顿环得反射光中所见亮环得半径为:
即:
则:)
2019320.16
0.4 0.4
r r r r r mm ?=-==-==
第2章光得衍射
1、单色平面光照射到一小圆孔上,将其波面分成半波带。求第个带得半径。若极点到观察点得距离为,单色光波长为,求此时第一半波带得半径、
解:
由公式
对平面平行光照射时,波面为平面,即:
2、平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔得屏上,设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。问:⑴小孔半径应满足什么条件时,才能使得此小孔右侧轴线上距小孔中心得P点得光强分别得到极大值与极小值;⑵Ｐ点最亮时,小孔直径应为多大？设此光得波长为。
解:⑴
当为奇数时,P点为极大值
当C数时,P点为极小值
⑵由,为奇,取“+”;为偶,取“-”
当,即仅露出一个半波带时,P 点最亮。 ,
3、波长为得单色点光源离光阑,光阑上有一个内外半径分别为与得透光圆环,接收点P 离光阑,求Ｐ点得光强与没有光阑时得光强之比。
解:
即从透光圆环所透过得半波带为:2,3,4 设 没有光阑时
光强之比:
４、波长为得平行光射向直径为得圆孔,与孔相距处放一屏,试问:⑴屏上正对圆孔中心得Ｐ点就是亮点还就是暗点？⑵要使P 点变成与⑴相反得情况,至少要把屏分别向前或向后移动多少？
解
:
由公式
对平面平行光照射时,波面为平面,即:
,
即Ｐ点为亮点。
则, 注:取作单位
向右移,使得,
向左移,使得,
5、一波带片由五个半波带组成、第一半波带为半径得不透明圆盘,第二半波带就是半径与得透明圆环,第三半波带就是至得不透明圆环,第四半波带就是至得透明圆环,第五半波带就是至无穷大得不透明区域。已知,用波长得平行单色光照明,最亮得像点在距波带片得轴上,试求:⑴;⑵像点得光强;⑶光强极大值出现在哪些位置上。
解:
⑴由
波带片具有透镜成像得作用,
⑵
无光阑时,
即:,为入射光得强度。
⑶由于波带片还有…等多个焦点存在,即光强极大值在轴上…
6、波长为得点光源经波带片成一个像点,该波带片有个透明奇数半波带(1,3,5,…,199)。另外个不透明偶数半波带、比较用波带片与换上同样焦距与口径得透镜时该像点得强度比。
解:由波带片成像时,像点得强度为:
由透镜成像时,像点得强度为: 即
7、平面光得波长为,垂直照射到宽度为得狭缝上,会聚透镜得焦距为、分别计算当缝得两边到P 点得相位差为与时,Ｐ点离焦点得距离、
解:
对沿方向得衍射光,缝得两边光得光程差为: 相位差为: 对使得Ｐ点
6
148010tan sin 6000.18440.4
y f f f mm b λ
θθ-?'''=?≈?==?=? 对使得Ｐ`
点
6
148010tan sin 6000.0612120.4
y f f f mm b λ
θθ-?'''=??==?=?
8、白光形成得单缝衍射图样中,其中某一波长得第三个次最大值与波长为得光波得第二个次最大值重合,求该光波得波长、
解:对方位,得第二个次最大位 对 得第三个次最大位 即:
9、波长为得平行光垂直地射在宽得缝上,若将焦距为得透镜紧贴于缝得后面,并使光聚焦到屏上,问衍射图样得中央到⑴第一最小值;⑵第一最大值;⑶第三最小值得距离分别为多少？
解:⑴第一最小值得方位角为:
6
111546.110tan sin 10000.551
y f f f mm b λ
θθ-?'''=≈==?=
⑵第一最大值得方位角为:
6
111546.110tan sin 1.431000 1.430.781
y f f f mm b λ
θθ-?''''''=≈=?=??=
⑶第3最小值得方位角为:
6
333546.110tan sin 310003 1.651
y f f f mm b λ
θθ-?'''=≈=?=??=
1０、钠光通过宽得狭缝后,投射到与缝相距得照相底片上、所得得第一最小值与第二最小值间得距离为,问钠光得波长为多少？若改用X 射线()做此实验,问底片上这两个最小值之间得距离就是多少?
解:
单缝衍射花样最小值位置对应得方位满足:
则
11、以纵坐标表示强度,横坐标表示屏上得位置,粗略地画出三缝得夫琅禾费衍射(包括缝与缝之间得干涉)图样、设缝宽为,相邻缝间得距离为,、注意缺级问题。
１２、一束平行白光垂直入射在每毫米条刻痕得光栅上,问第一级光谱得末端与第二光谱得始端得衍射角之差为多少？(设可见光中最短得紫光波长为,最长得红光波长为)
解:每毫米条刻痕得光栅,即
第一级光谱得末端对应得衍射方位角为
第二级光谱得始端对应得衍射方位角为
()()66321112240010760102100.02
rad d θθθλλ---?=-=-=??-?=?红始末紫
１3、用可见光()照射光栅时,一级光谱与二级光谱就是否重叠？二级与三级怎样？若重叠,则重叠范围就是多少？
解:光谱线对应得方位角:
即第一级光谱与第二级光谱无重叠
即第二级光谱与第三级光谱有重叠 由
即第三级光谱得得光谱与第二级光谱重叠。
14、用波长为得单色光照射一衍射光栅,其光谱得中央最大值与第二十级主最大值之间得衍射角为,求该光栅内得缝数就是多少？
解:第2０级主最大值得衍射角由光栅方程决定 解得
15、用每毫米内有条刻痕得平面透射光栅观察波长为得钠光谱。试问:⑴光垂直入射时,最多功能能观察到几级光谱？⑵光以角入射时,最多能观察到几级光谱？
解:
⑴光垂直入射时,由光栅方程:
即能瞧到4级光谱
⑵光以角入射
1６、白光垂直照射到一个每毫米条刻痕得平面透射光栅上,试问在衍射角为处会出现哪些波长得光？其颜色如何?
解:
在得衍射角方向出现得光,应满足光栅方程:
1７、用波长为得单色光照射一光栅,已知该光栅得缝宽为,不透明部分得宽度为,缝数为条。求:⑴单缝衍射图样得中央角宽度;⑵单缝衍射图样中央宽度内能瞧到多少级光谱？⑶谱线得半宽度为多少?
解:
⑴
⑵级光谱对应得衍射角为:
即在单缝图样中央宽度内能瞧到条(级)光谱⑶由多缝干涉最小值位置决定公式:
第3章 几何光学得基本原理
1、证明反射定律符合费马原理 证明:
设Ａ点坐标为,B 点坐标为 入射点C 得坐标为 光程A ＣB 为: 令 即:
*２、根据费马原理可以导出近轴光线条件下,从物点发出并会聚到像点得所有光线得光程都相等。由此导出薄透镜得物像公式。
3、眼睛E 与物体PQ 之间有一块折射率为得玻璃平板(见题３、３图),平板得厚度为。求物体ＰＱ得像P `Ｑ`与物体ＰQ 之间得距离为多少
?
解:
由图:
4、玻璃棱镜得折射角Ａ为,对某一波长得光其折射率为,计算:⑴最小偏向角;⑵此时得入射角;⑶能使光线从A角两侧透过棱镜得最小入射角。
解:
⑴由
当时偏向角为最小,即有
⑵
5、(略)
６、高得物体距凹面镜顶点,凹面镜得焦距就是,求像得位置及高度,(并作光路图) 解:
由球面成像公式: 代入数值 得: 由公式:
7、一个高得物体放在球面镜前处成高得虚像。求⑴此镜得曲率半径;⑵此镜就是凸面镜还就是凹面镜?
解:⑴
, 虚像 由 得:
⑵由公式
(为凸面镜)
8、某观察者通过一块薄玻璃板去瞧在凸面镜中她自己得像、她移动着玻璃板,使得在玻璃板中与在凸面镜中所瞧到得她眼睛得像重合在一起。若凸面镜得焦距为,眼睛距凸面镜顶点得距离为,问玻璃板距观察者眼睛得距离为多少?
解
:
由题意,凸面镜焦距为,即
玻璃板距观察者眼睛得距离为
9、物体位于凹面镜轴线上焦点之外,在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直得两表面互相平行得玻璃板,其厚度为,折射率为。试证明:放入该玻璃板后使像移动得距离与把凹面镜向物体移动得一段距离得效果相同。
证明:
设物点不动,由成像公式
由题3可知:
入射到镜面上得光线可视为从发出得,即加入玻璃板后得物距为
反射光线经玻璃板后也要平移,所成像得像距为