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平面向量及其应用单元测试题(一)

一、多选题

1．下列说法中错误的为（）

A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

5,3??-+∞ ???

B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ??

???

不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a

D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°

2．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（）

A ．()

0a b c -?= B ．()

0a b c a +-?= C ．()0a c b a --?=

D ．2a b c ++=

3．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则

下列结论正确的是（） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ?=

D ．()

4BC a b ⊥+

4．以下关于正弦定理或其变形正确的有（） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b

C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立

D ．在ABC 中，

sin sin sin +=+a b c

A B C

5．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（） A ．a b ⊥

B ．2a b +=

C ．2a b -=

D ．,60a b =?

6．设a 为非零向量，下列有关向量

a 的描述正确的是（） A ．|

|1||

a a =

B ．

//||

a a a

C ．

a a a =

D ．

||||

a a a a ?=

7．下列命题中，正确的是（） A ．在ABC ?中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ?中，不等式sin cos A B >恒成立

C ．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC ?必是等腰直角三角形

D ．在ABC ?中，若060B =，2b ac =，则ABC ?必是等边三角形 8．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（） A ．00a ?= B ．()

()

a b c a b c ??=?? C ．0a b a b ?=?⊥

D ．(

)(

)

b b a b a a +-=?-

9．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（） A ．1a b +=

B ．a b ⊥

C ．()

4a b b +⊥

D ．1a b ?=-

10．如图，46?的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（）

A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个

B ．满足10OA OB -=B 共有3个

C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+

D ．满足1OA OB ?=的格点B 共有4个

11．已知ABC ?中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,33

B a c b π

=+=,则

=( ) A ．2

B ．3

C ．

12 D ．

12．下列说法中错误的是( )

A ．向量A

B 与CD 是共线向量,则A ，B ，

C ，

D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =

D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 13．已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同 B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反 C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模 D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同

14．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量

B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个

C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得

()11122122e e e e λμλλμ+=+

D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ== 15．下列命题中正确的是( )

A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-

B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-

C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =

D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =

二、平面向量及其应用选择题

16．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45?，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75?，则山高BC =（）

A ．500米

B ．1500米

C ．1200米

D ．1000米

17．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则

::PAB PAC PBC S S S =△△△（）

A ．1∶2∶3

B ．1∶2∶1

C ．2∶1∶1

D ．1∶1∶2

18．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()

20BC OB OC OA ?+-=，则

ABC 一定为（）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．钝角三角形

19．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，

()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01

t <<

时，夹角θ的取值范围为（）

A ．0,3π?? ???

B ．,32ππ?? ???

C ．2,23ππ??

D ．20,3π?? ??? 20．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ?的面积，满

足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ?的形状为（） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形

D ．等边三角形

21．若△ABC 中，2

sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（） A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

22．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若

2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（）

A ．5

B ．22

C ．4

D ．16

23．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，那么点P 是三角形ABC 的（） A ．重心

B ．垂心

C ．外心

D ．内心

24．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且

aGA bGB cGC ++

=.则BAC ∠等于（） A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

25．在ABC ?中，设2

2AC AB AM BC -=?，则动点M 的轨迹必通过ABC ?的（） A ．垂心

B ．内心

C ．重心

D ．外心26．题目

文件丢失！

27．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15?的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60?和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）

A ．

B ．

C ．

D ．

28．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若

()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为

A ．3)22

B ．(

C ．3(2

D ．3

29．在ABC 中，()

BC BA AC AC +?=，则ABC 的形状一定是（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．直角三角形

30．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（）

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

31．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．

B ．

π C ．

π D ．

π 32．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，

则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋1

b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

33．在ABC ?中，60A ∠=?，1b =，ABC S ?，则

2sin 2sin sin a b c

A B C

++=++（）

A B C D ．34．在ABC ?中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ?的外心，若

AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（）

A ．

B ．

C ．

D ．

35．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，c =45B =?，则sin C 的值等于（）

A ．

441

B ．

C ．

425

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．ACD 【分析】

由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】

对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，

且(时与的夹角为0)，所以且，故A 错误；对于B 解析：ACD 【分析】

由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】

对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ?+=?++

142350λλλ=+++=+>，

且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以5

λ>-

且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；

对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =?，则2

3()||||2

a a

b a a b a ?+=+?=

， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+?+=，

故2

3||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ?+<+>===

+?∣，而向量的夹角范围为[]0,180??，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】

本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.

2．ABC

作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解

解析：ABC 【分析】

作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】如下图所示：

对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，

a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()

0a b c DB AC ∴-?=?=，A 选项正确；

对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()

00a b c a a +-?=?=，B 选项正确；

对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则

()0a c b a --?=，C 选项正确；

对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.

3．ABD 【分析】 A.

根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据，，利用数量积运算判断.

A. 因为是边长

解析：ABD 【分析】

A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；

B.根据2AB a =，

2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1

a AB

b BC =

=，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ?=-，利用数量积运算判断. 【详解】

A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；

B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；

C. 因为1,2a AB b BC =

=，所以11

22cos120122

a b BC AB ?=?=????=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ?=-，所以()()

444440BC a b b a b a b b ?+=?+=?+=-+=，所以()

4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

4．ACD 【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中

解析：ACD 【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R C

R B C

+=+＝左边，故该选项正确.

【详解】

对于A ，由正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；

对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2

，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；

对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ?a ＞b ?A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；

对于D ，由正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C

R B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

5．AC 【分析】

由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】

，且,平方得，即，可得，故A 正确；，可得，故B 错误；，可得，故C 正确；由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】

解析：AC 【分析】

由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】

1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-?=，即0a b ?=，可得a b ⊥，故A

正确；

()2

22a b

a b a b +=++?=，可得2a b +=，故B 错误；

()

22a b a b a b -=+-?=，可得2a b -=，故C 正确；

由0a b ?=可得,90a b =?，故D 错误; 故选：AC 【点睛】

本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.

6．ABD 【分析】

首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】

表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确，，所以D 正确. 故选：ABD

解析：ABD 【分析】

首先理解a

表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项.

【详解】

a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以

=正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，a

a a

=不正确，

cos 0a a a

a a a a a a a

?==?=，所以D 正确. 故选：ABD 【点睛】

本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解

a a

表示与向量a 同方向的单位向量.

7．ABD 【分析】

对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得

解析：ABD 【分析】

对于选项A 在ABC ?中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >?>?>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ?中，由

A B π

->，可得

sin sin()cos 2

A B B π

>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ?中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或

222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ?中，利用余弦定理可得：

2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =?，即可得到ABC ?的形状，即

可判断出正误. 【详解】

对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确；对于B ，在锐角ABC ?中，A ，(0,

B π

∈，

A B π

，∴

A B π

->，

sin sin()cos 2

A B B π

∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；

对于C ，在ABC ?中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：

sin cos sin cos A A B B =， sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，

22A B ∴=或222A B π=-，

A B

∴=或2

A B π

+=， ABC ?∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.

对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，

可得2

()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===?，故正确.

故选：ABD . 【点睛】

本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.

8．AB 【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】

对于A 选项，，A 选项错误；

对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，

解析：AB 【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】

对于A 选项，00a ?=，A 选项错误；

对于B 选项，()

a b c ??表示与c 共线的向量，()

a b c ??表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；

对于C 选项，0a b a b ?=?⊥，C 选项正确；

对于D 选项，(

)()

22a b a b a b a b +?-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】

本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

9．CD 【分析】

分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】

分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确；由，所以，故A 错误；由，所以，故C 正确. 故选：CD 【点睛】

解析：CD 【分析】

分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120?，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】

分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120?.

由12cos12010a b ??=??=-≠，故B 错误，D 正确；

由()

21243a b

a a

b b +=+?+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；

由()()2

144440a b b a b b

+?=?+=?-+=，所以()

4a b b +⊥，故C 正确.

故选：CD 【点睛】

本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

10．BCD 【分析】

根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】

解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，

以为原点建立平面直角坐标系，，设，若，所以

解析：BCD 【分析】

根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】

解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错，以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=，

所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．

若1OA OB ?=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．故选：BCD ．

【点睛】

本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．

11．AC 【分析】

将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵， ∴①，

由余弦定理可得，②，联立①②，可得，即，解得或. 故选：AC. 【点睛】

本题考查余弦定理的应

解析：AC 【分析】

将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】

∵,3

B a c π

+=，

∴2

()23a c a c ac b +=++=①，由余弦定理可得，2

22cos

a c ac

b π

+-=②，

联立①②，可得222520a ac c -+=，

即2

2520a a c c ????-+= ? ?????

，解得

c =或12a c =. 故选：AC. 【点睛】

本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.

12．AD 【分析】

利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】

向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误；零向量与任一向量共线，故B

解析：AD 【分析】

利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】

向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误；

零向量与任一向量共线，故B 正确；若,a b b c ==，则a c =，故C 正确；温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误. 故选：AD 【点睛】

本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.

13．ABD 【分析】

根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】

如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有. 当同向时

解析：ABD 【分析】

根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】

如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+. 当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-. 当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-

故选：ABD 【点睛】

本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.

14．AD 【分析】

根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】

由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的. 对于B,由平面向量基本

解析：AD 【分析】

根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为

0时，λ有无数个,故不正确. 【详解】

由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的.

对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】

本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.

15．ABD 【详解】

解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．

对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故正确．对于：若，当时，无法得到，故不正确．对

解析：ABD 【详解】

解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：

()m a b ma mb -=-，故A 正确．

对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．

对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确．对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】

本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．

二、平面向量及其应用选择题

16．D 【分析】

作出图形，过点S 作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，依题意可求得SE 在BDS ?中利用正弦定理可求BD 的长，从而可得山顶高BC ．【详解】

解：依题意，过S 点作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，

30SAE ∠=?，1000AS =米，sin30500CD SE AS ∴==?=米，

依题意，在Rt HAS ?中，453015HAS ∠=?-?=?，sin15HS AS ∴=?，在Rt BHS ?中，30HBS ∠=?，22000sin15BS HS ∴==?，在Rt BSD ?中，

sin75BD BS =?2000sin15sin75=??2000sin15cos15=??1000sin30=??500=米， 1000BC BD CD ∴=+=米，

故选：D ．【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题． 17．B 【分析】

延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。【详解】

延长PB 至D ，使得2PD PB =，于是有0PA PD PC ++=，即点P 是ADC 的重心，依据重心的性质，有PAD PAC PDC S S S ==△△△.由B 是PD 的中点，得

::1:2:1PAB PAC PBC S S S =△△△.

故选：B 【点睛】

本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。另外本题是奔驰定理直接推导得出。 18．C 【分析】

由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()

0BC AB AC ?+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答

【详解】

由题意，()()

2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，所以()

0BC AB AC ?+=，

取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ?=，即BC AD ⊥，故AB AC =，ABC 是等腰三角形. 故选：C.

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 19．C 【解析】【分析】

根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，

()()2

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出

012cos 54cos t θθ

+，再由01

05t <<，可求得夹角θ的取值范围.

【详解】因为2cos OA OB θ?=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，

()()22

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，

∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ

+，又01

05t <<，则

12cos 1054cos 5

θθ+<

<+，得1

cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，

所以223ππθ<<，

故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 20．D 【分析】

先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】

因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin 0B A -=，所以A B =，又因为2B A C B π=+=-，所以3

B π

=，

所以3

A B π

==，所以ABC 是等边三角形.

故选：D. 【点睛】

本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 21．A 【分析】

已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】

ABC ?中，sin()sin A B C +=，

∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，

整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，

cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），

0A π<<

90A ∴=?，

则此三角形形状为直角三角形．

故选：A 【点睛】

此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 22．C 【分析】

根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4

A π

=,再根据面积公式可求得6(2bc =,

再代入余弦定理求解即可. 【详解】

ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,

又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,

∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,

∴4

A π

.∵1sin 1)24

ABC

bc A ===-,

∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得2

()22cos a b c bc bc A =+--,

∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++?-=,可得4b c +=.

故选：C 【点睛】

本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 23．B 【分析】

先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】

由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则()()()

0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ?-=?-=?-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 24．D 【分析】

由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入

平面向量基本定理练习题

平面向量基本定理及坐标表示强化训练姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB =3a, CD =－5a ,且||||AD BC = ,则四边形ABCD 是（） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =1 3 CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是（） A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0，则11 x y +的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2π),则α+β= * 11．已知a =(1,2) ,b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为

平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元检测题学校学号成绩一、选择题（每小题5分，共60分） 1.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且AB a =，AD b =，则BE =（） A． 1 2 b a +B．1 2 b a - C． 1 2 a b +D．1 2 a b - 2.下列命题中，假命题为（） A．若0 a b -=，则a b = B．若0 a b ?=，则0 a =或0 b = C．若k∈R，k0 a =，则0 k=或0 a = D．若a，b都是单位向量，则a b ?≤1恒成立 3.设i，j是互相垂直的单位向量，向量13 () a m i j =+-，1 () b i m j =+-，()() a b a b +⊥-，则实数m为（） A．2 -B．2 Ｃ． 1 2 -Ｄ．不存在 4.已知非零向量a b ⊥，则下列各式正确的是（）A．a b a b +=-B．a b a b +=+ ... . .

... . . C ．a b a b -=- D ．a b +=a b - 5. 在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC a =，CA b =，AB c =，则a b b c c a ?+?+?的值为（） A ． 32 B ．32 - C ．0 D ．3 6. 在△OAB 中，OA =（2cos α，2sin α）， OB =（5cos β，5sin β），若5OA OB ?=-，则S △OAB （） A B ． 2 C ．5 D ． 52 7. 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则四边形ABCD 的形状是（） A ．长方形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．梯形 8. 把函数23cos y x =+的图象沿向量a 平移后得到函数的图象，则向量是（） A ．（ 33 ,π-） B ．（ 36 ,π） C ．（ 312 ,π-） D ．（312 ,π- ） 9. 若点1F 、2F 为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的点，当△12 F PF 的面积为1时，的值为（） A ．0 B ．1 C ．3 D ．6 2sin()y x π =-6 a 2214 x y +=1 2 PF PF ?

平面向量及其应用单元测试题doc

一、多选题 1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（） A ．() 0a b c -?= B ．() 0a b c a +-?= C ．()0a c b a --?= D ．2a b c ++= 2．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且 02 C << π ，4b =，则以下说法正确的是（） A ．3 C π = B ．若72 c = ，则1cos 7B = C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形 D ．若ABC 的面积是3，则该三角形外接圆半径为4 3．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（） A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b C ．2m +n =4 D ．mn 的最大值为2 4．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．32 OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 5．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（） A ．10,45,70b A C ==?=? B ．45,48,60b c B ===?

(完整版)平面向量经典测试题

平面向量测试题新泰一中闫辉一．选择题（5分×10=50分） 1.下列命题中正确的是( ) A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C.若a ，b 满足|a |>|b |且a 与b 同向，则a >b D.对于任意向量a 、b ,必有|a +b |≤|a |+|b | 2.下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,21 ( 3.如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（） ①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅②

4.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3) 若点C (x , y )满足OC u u u r =αOA u u u r +βOB u u u r ，其中α,β∈R 且α+β=1，则x , y 所满足的关系式为（） A ．3x +2y -11=0 B ．(x -1)2+(y -2)2=5 C ．2x -y =0 D ．x +2y -5=0 5.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 6.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（） A.x=-1 B.x=3 C.x=2 9 D.x=51 7.设四边形ABCD 中，有=21 ，且||=||，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 8.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A ．(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 9．三角形ABC ，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( )

平面向量测试题,高考经典试题,附详细答案

平面向量高考经典试题一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ?+?=______；答案：3 2 ； 4、（天津理10）设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、（山东理11）在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2 AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 6、（全国2 理5）在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ， CD =CB CA λ+3 1 ,则= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、（全国2理12）设F 为抛物线y 2 =4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若 ++=0，则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若

(完整版)《平面向量》测试题及答案

《平面向量》测试题一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。

重点中学平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．向量a =（1，－2），向量a 与b 共线，且|b |=4|a |．则b =（） A ．（－4，8） B ．（－4，8）或（4，－8） C ．（4，－8） D ．（8，4）或（4，8） 2．已知a=（2，1），b =（x ，1），且a ＋b 与2a －b 平行，则x 等于（） A ．10 B ．－10 C ．2 D ．－2 3．已知向量a 和b 满足|a |=1，|b |=2，a ⊥（a －b ）．则a 与b 的夹角为（） A ．30o B ．45o C ．75o D ．135o 4．设e 1、e 2是两个不共线向量，若向量 a =3e 1＋5e 2与向量b =m e 1－3e 2共线，则m 的值等于（） A ．－ 53 B ．－ 95 C ．－ 35 D ．－ 59 5．设□ABCD 的对角线交于点O ，AD → =（3，7），AB → =（－2，1），OB → =（） A ．（－52 ，－3） B ．（52 ，3） C ．（1，8） D ．（1 2 ，4） 6．设a 、b 为两个非零向量，且a ·b =0，那么下列四个等式①|a |=|b |；②|a ＋b |=|a －b |； ③a ·（b ＋a ）=0；④（a ＋b ）2=a 2＋b 2．其中正确等式个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．下列命题正确的是（） A ．若→ a ∥→ b ，且→ b ∥→ c ，则→ a ∥→ c B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 C ．向量AB 的长度与向量BA 的长度相等 D ．若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线 8．a =），（21-，b =），（1-1，c =），（2-3用a 、b 作基底可将c 表示为c =p a ＋q b ，则实数p 、q 的值为（） A ．p =4 q =1 B ． p =1 q =4 C ． p =0 q =4 D ． p =1 q =0 9．设平面上四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（DB → ＋DC → －2DA → ）·（AB → －AC → ）=0．则ΔABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 10．设()()2211,,,y x b y x a ==定义一种向量积()()().,,,21212211y y x x y x y x b a =?=?已知 ,0,3,21,2?? ? ??=??? ??=πn m 点()y x P ,在x y sin =的图象上运动，点Q 在()x f y =的图象上运动，且满足 ()，为坐标原点其中O n OP m OQ +?=则()x f y =的最大值A 及最小正周期T 分别为（） A ．π，2 B ．， 2π4 C ．,21π4 D ．π，2 1 二、填空题：每小题5分，共25分． 11．已知()2,1,10==b a ，且b a //，则a 的坐标为_______ 12．已知向量a 、b 满足 a =b =1，b a 23-=3，则 b a +3 = 13．已知向量a =（ 2 ，－ 2 ），b =（ 3 ，1）那么（a ＋b ）·（a －b ）的值是． 14．若a =（2，3），b =（－4，7），a ＋c =0，则c 在b 方向上的投影为． 15．若对n 个向量 a 1，a 2，a 3，…，a n ，存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1 a 1＋k 2a 2 ＋…＋k n a n =0成立，则称a 1，a 2，…，a n 为“线性相关”．依此规定，能使a 1=（1，0），a 2=（1，－1），a 3=（2，2）“线性相关”的实数k 1，k 2，k 3 依次可以取．三、解答题 16．（本题满分13分）已知向量a =(sin 2x ，cos 2x)，b =(sin 2x ，1), )(x f )=8a ·b ．（1）求)(x f 的最小正周期、最大值和最小值．（2）函数y=)(x f 的图象能否经过平移后，得到函数y=sin4x 的图象，若能，求出平移向量m ；若不能，则说明理由．

平面向量单元测试题

2016-2017第二学期第七章单元测试题班级__________ 座位_________ 姓名_________ 成绩_____________ 一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列说法错误的是（） A. 零向量与任一非零向量平行 B. 零向量与单位向量的模不相等 C. 平行向量方向相同 D. 平行向量一定是共线向量 2.下列四式不能化简为的是（） A.( )+ B.( )+( ) C. + - D. - + 3．已知 =（3，4）， =（5，12），与则夹角的余弦为（） A. 65 63 B.65 C. 513 D. 13 4.已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么∣ +3 ∣=( ) A. 7 B. 10 C. 13 D.4 5.点P （-2,6）关于点M(1，2)的对称点C 的坐标为（） A.(0，-2 ) B.(0，10) C.(4，-2) D.(-4，2) 6.设，为不共线向量， = , =-4 - , =-5 -3 ,则下列关系式中正确的是（） A. B. C. D. 7.与向量a=（-5,4）平行的向量是（） A.(-5K,4K) B.( k 5-，k 4 -) C.(-10，2) D.(5K,4K) 8. 线段AB 的中点为C ，若AB =BC l ，则l =（） A 2、 B -2、 C 2或-2、 D -2或 1 2 、 9.与向量（2,3）垂直的向量是（） A.(-2，3 ) B.(-2，-3) C.(-3，2 ) D.(2，-3) 10.已知点M （3.-3），N （8，y ），且∣ ∣=13，则y 的值为（）

平面向量经典练习题(含答案)

高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题 1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。 2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。 3、已知点A（1，2），B（2，1），若→ AP=（3，4），则 → BP= 。 4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。 5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。 6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。 7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。 8、在△ABC中，D为AB边上一点，→ AD = 1 2 → DB， → CD = 2 3 → CA + m → CB，则 m= 。 9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。 10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD 上，且→ AP= 2 → PD，则点C的坐标是（）。二、选择题 1、设向量→ OA=（6，2），→ OB=（-2，4），向量→ OC垂直于向量→ OB，向量 → BC平行于 →OA，若→ OD + → OA= → OC，则 → OD坐标=（）。 A、（11，6） B、（22，12） C、（28，14） D、（14，7） 2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（） A、（4 , 2） B、（3，1） C、（2，1） D、（1，0） 3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。 A、90° B、60° C、30° D、0° 4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）

高中平面向量测试题及答案

一、选择题 1．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 2．已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB → ⊥a ，则实数k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－1 7 4．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC → 分别为a 、b ，则AH → ＝( ) a －45b a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b 5．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 6．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．是定值6 C ．最小值为2 D ．与P 的位置有关 7．设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 8.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 9．设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足????? x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最大值时，点B 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数 10．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC → ＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1·λ2＋1＝0 D ．λ1λ2－1＝0 11．如图，在矩形OACB 中， E 和 F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF → 其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )

平面向量测试题_高考经典试题_附详细答案

平面向量高考经典试题海口一中高中部黄兴吉同学辅导内部资料一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，则a r 与b r A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向解．已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，30300a b ?=-+=r r ，则a r 与b r 垂直，选A 。 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得： 2(3,)(1,)303n n n n ?-=-+=?=±， 2=a 。 3、（广东文4理10）若向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹角为60°，则a a a b ?+?r r r r =______；答案：3 2 ；解析：1311122 a a a b ?+?=+??=r r r r ， 4、（天津理10）设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2 m b m α=+r 其中,,m λα为实数.若2,a b =r r 则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 【答案】A 【分析】由22 (2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2 m b m α=+r 2,a b =r r 可得 2222cos 2sin m m λλαα+=??-=+?，设k m λ =代入方程组可得222 22cos 2sin km m k m m αα+=??-=+?消去m 化简得2 2 22cos 2sin 22k k k αα??-=+ ? --?? ，再化简得

高一数学《平面向量》单元测试.docx

高一数学《平面向量》单元测试姓名 : 班级 : 一、选择题 (共 8 小题 ,每题 5 分 ) 1. 下列命题正确的是（） A ．单位向量都相等 B ．任一向量与它的相反向量不相等 C ．平行向量不一定是共线向量 D ．模为 0 的向量与任意向量共线 2．已知向量 a ＝（ 3,4）， b ＝（ sin α， cos α），且 a ∥ b ，则 tan α等于（） A ． 3 B ． 3 C ． 4 D ． 4 4 4 3 3 3．在以下关于向量的命题中，不正确的是（） A ．若向量 a=(x ， y)，向量 b=(－ y ， x)(x 、 y ≠ 0)，则 a ⊥ b B ．四边形 ABCD 是菱形的充要条件是 AB = DC ，且 | AB |=| AD | C ．点 G 是△ ABC 的重心，则 GA + GB + CG =0 D ．△ ABC 中， AB 和 CA 的夹角等于 180°－ A 4．设 P （ 3， 6）， Q （ 5， 2）， R 的纵坐标为 9，且 P 、 Q 、 R 三点共线，则 R 点的横坐标为（） A ． 9 B ． 6 C ． 9 D ． 6 r r r r r r r r r ) 5．若 | a | 1,| b | 2, c a b ，且 c a ，则向量 a 与 b 的夹角为 ( A ． 30° B ．60° C ．120° D ． 150° 6．在△ ABC 中， A ＞B 是 sinA ＞ sinB 成立的什么条件（） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 7．若将函数 y sin 2x 的图象按向量 a 平移后得到函数 y sin( 2x ) -1 的图象 ,则向量 a 可以是： 4 （） A ． ( , 1) B ． ( ,1) C ． ( ,1) D ． ( , 1) 8 8 4 4 8．在△ ABC 中，已知 | AB | 4,| AC | 1, S ABC 3,则 AB AC 的值为（） A ．－ 2 B ． 2 C ．± 4 D ．± 2 二、填空题 (共 4 小题 ,每题 5 分 ) 9．已知向量 a 、 b 的模分别为 3，4，则｜ a - b ｜的取值范围为． r r r r r 10．已知 e 为一单位向量， a 与 e 之间的夹角是 120O ,而 a 在 e 方向上的投影为－ 2，则 r a . 11．设 e 1、e 2 是两个单位向量，它们的夹角是 60 ，则 (2e 1 e 2 ) ( 3e 1 2e 2 ) 12．在 ?ABC 中， a =5， b= 3,C= 1200 ,则 sin A 三、解答题 (共 40 分 ) 13．设 e 1 ,e 2 是两个垂直的单位向量，且 a ( 2e 1 e 2 ) ,b e 1 e 2 (1)若 a ∥ b ，求的值； (2) 若 a b ，求的值 .（ 12 分）

平面向量及其应用单元测试题百度文库

一、多选题 1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 2．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3 π ，a ＝7，则以下判断正确的是（） A ．△ABC 的外接圆面积是493 π ； B ．b cos C ＋c cos B ＝7； C ．b ＋c 可能等于16； D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是 3．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．32 OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 4．下列结论正确的是（） A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ?=?，则a ⊥（-b c ） B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为 12 b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 5．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、 c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（） A ． B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解 C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解 D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解 6．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 ()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（） A ．sin :sin :sin 4:5:6A B C = B ．AB C ?是钝角三角形

(完整版)高中数学平面向量测试题及答案

平面向量测试题一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（）（A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（）（A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（）（A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝－5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是（）（A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （）（A ）向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。（B ）向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。（C ）向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。（D ）向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（）（A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ） 1± （D ）任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（）（A ）（－14，16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4）

平面向量及其应用单元测试题含答案doc

一、多选题 1．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且 02 C << π ，4b =，则以下说法正确的是（） A ．3 C π = B ．若72 c = ，则1cos 7B = C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形 D ．若ABC 的面积是4 2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知 cos cos 2B b C a c =-， ABC S = △b = ） A ．1cos 2 B = B ．cos 2 B = C ．a c += D ．a c +=3．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=， 2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（） A ．//P B CQ B ．2133 BP BA BC = + C ．0PA PC ?< D ．2S = 4．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3 2 OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 5．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB += D ．0PA PB PC ++= 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<

平面向量单元测试题及答案第七章

平面向量单元测试题2 一，选择题：（5分×8=40分） 1，下列说法中错误的是（） A ．零向量没有方向 B ．零向量与任何向量平行 C ．零向量的长度为零 D ．零向量的方向是任意的 2，下列命题正确的是（） A. 若→a 、→b 都是单位向量，则 →a ＝→ b B . 若AB =D C , 则A 、B 、C 、 D 四点构成平行四边形 C. 若两向量→ a 、→ b 相等，则它们是始点、终点都相同的向量 D. AB 与BA 是两平行向量 3，下列命题正确的是（） A 、若→ a ∥→ b ，且→ b ∥→ c ，则→ a ∥→ c 。 B 、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。 C 、向量AB 的长度与向量BA 的长度相等 , D 、若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。 4，已知向量(),1m =a ，则 m = （） A ．1 C. 1± D. 5，若→ a =（1x ，1y ），→ b =（2x ，2y ），，且→ a ∥→ b ，则有（） A ，1x 2y +2 x 1y =0， B ， 1x 2y ―2x 1y =0， C ，1x 2x +1y 2y =0， D ， 1x 2x ―1y 2y =0， 6，若→ a =（1x ，1y ），→ b =（2x ，2y ），，且→ a ⊥→ b ，则有（） A ，1x 2y +2 x 1y =0， B ， 1x 2y ―2x 1y =0， C ，1x 2x +1y 2y =0， D ， 1x 2x ―1y 2y =0， 7，在ABC ?，则ABC ?一定是（） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 8，已知向量,,a b c 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥，则a b 与的夹角等于（） A ．0 120 B 0 60 C 0 30 D 90o

平面向量基础练习题

平面向量基础练习 1）在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+ ，则四边形ABCD 的形状一定是 ( ) (A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形 2）如果a ，b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（） (A) a =b (B) 1?a b = (C) 22≠a b (D) =a b 3）AB BC AD +-= （） A 、A D B 、CD C 、 D B D 、DC 4）已知正方形ABCD 的边长为 1，A B = a ，BC = b ，AC = c ，则++a b c 等于 ( ) (A) 0 (B) 3 (D) 5）下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =- ，(4,6)b = B 、(1,2)a =- ，(7,14)b = C 、(2,3) a = ， (3,2) b = D 、 (3,2) a =- ， (6,4) b =- 6）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（-3，4），则第4个顶点的坐标不可能是（） (A)（12，5） (B)（-2，9） (C) （3，7） (D) （-4，-1）7）点),0(m A )0(≠m ，按向量a 平移后的对应点的坐标是 ) 0,(m ，则向量a 是（） A 、),(m m - B 、),(m m - C 、),(m m -- D 、),(m m 8）已知(6,0)a = ，(5,5)b =- ，则a 与b 的夹角为 A 、045 B 、0 60 C 、0 135 D 、0 120 9）已知)2,3(-M ，)0,1(-N ，则线段MN 的中点P 的坐标是________。 10）已知向量a (1,5)=，b (3,2)=-，则向量a 在b 方向上的投影为． 11）已知3a = ，4b = ，a 与b 的夹角为4 3π ， (3)(2)a b a b -?+ =__________. 12）已知3=a ，4=b ，且向量a ，b 不共线，若向量+a k b 与向量-a k b 互相垂直，则实数k 的值为．平面向量基础练习 1）在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+ ，则四边形ABCD 的形状一定是 ( ) (A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形 2）如果a ，b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（） (A) a =b (B) 1?a b = (C) 22≠a b (D) =a b 3）AB BC AD +-= （） A 、A D B 、CD C 、 D B D 、DC 4）已知正方形ABCD 的边长为 1，A B = a ，BC = b ，AC = c ，则++a b c 等于 ( ) (A) 0 (B) 3 (D) 5）下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =- ，(4,6)b = B 、(1,2)a =- ，(7,14)b = C 、(2,3) a = ， (3,2) b = D 、 (3,2) a =- ， (6,4) b =- 6）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（-3，4），则第4个顶点的坐标不可能是（） (A)（12，5） (B)（-2，9） (C) （3，7） (D) （-4，-1）7）点),0(m A )0(≠m ，按向量a 平移后的对应点的坐标是 ) 0,(m ，则向量a 是（） A 、),(m m - B 、),(m m - C 、),(m m -- D 、),(m m 8）已知(6,0)a = ，(5,5)b =- ，则a 与b 的夹角为 A 、045 B 、0 60 C 、0 135 D 、0 120 9）已知)2,3(-M ，)0,1(-N ，则线段MN 的中点P 的坐标是________。 10）已知向量a (1,5)=，b (3,2)=-，则向量a 在b 方向上的投影为． 11）已知3a = ，4b = ，a 与b 的夹角为4 3π ， (3)(2)a b a b -?+ =__________. 12）已知3=a ，4=b ，且向量a ，b 不共线，若向量+a k b 与向量-a k b 互相垂直，则实数k 的值为．

平面向量及其应用单元测试题(一)

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