《立体几何初步》测试题和答案
《立体几何初步》测试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）
1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分又不必要条件 2. 若a ∥b ，A c b =?，则c a ,的位置关系是（ ）
A.异面直线
B.相交直线
C.平行直线
D.相交直线或异面直线
3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ）
A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．顶角为30°的等腰三角形
D ．其他等腰三角形
4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）
A 48
B 64
C 96
D 192
5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8
个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
6. 已知正方体外接球的体积是32
3π，那么正方体的棱长等于 （ ）
A 22 B
233 C 42
3
D 433
7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n
B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m
8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与 GH 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°
9. 已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） .2 C
10. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A.α内有无穷多条直线与β平行；
B.直线a αβ线a α?,直线b β?,且a βαα的任何直线都与β平行
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 直观图（如右图）中，四边形O ′A ′B ′C ′为 菱形且边长为2cm ，则在xoy 坐标中四边形ABCD 为 _ ____，面积为______cm 2．
12. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿长方体
的表面爬到C 1点的最短距离是 ．
13. 已知直线b ααββ
14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿
15. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=?90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形
16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：（1）AC ⊥BD ； （2）△ACD 是等边三角形
（3）AB 与平面BCD 所成的角为60°；（4）AB 与CD 所成的角为60°。 其中正确结论的序号为＿＿＿＿
三、解答题（本大题共4小题，共60分）
A F D
B G
E 1B
H 1C
1D
1
A
A B
C P D'C'
B'
A'O'
Y'X'
P
E
D
C B
A
17.（10分）如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC
18.（10分）在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1所成角的余弦值 。.
19. （12分）在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，
AB=2
1
DC ，中点为PD E .
(1)求证：AE ∥平面PBC ； (2)求证：AE ⊥平面PDC.
20. （14分）如图，P 为ABC ?所在平面外一点，⊥PA 平面
ABC ，?=∠90ABC ，PB AE ⊥于E ，PC AF ⊥于F 求证：（1）⊥BC 平面PAB ；
P
A B C
F
E
P
C
A
（2）⊥AE 平面PBC ； （3）⊥PC 平面AEF ．
21. （14分）已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，
∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且
(01).AE AF
AC AD λλ==<< （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD
《立体几何初步》测试题参考答案
F
E
D
B
A
C
1-5 DDABB 6-10 DCBCD
11. 矩形 8 12. 2
5
13. 平行或在平面内；
14. 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a
22,1
22
a
a r r r r r r
=====内切球内切球外接球外接球内切球外接球
，，：
15. 4 16. （1）（2）（4）
17. 证明：过A作AD⊥PB于D，由平面PAB⊥平面PBC ，得AD⊥平面PBC，故
AD⊥BC，
又BC⊥PA，故BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB
18. 连接D
A
1
，D
BA
C
B
D
A
1
1
1
,
//∠
∴
Θ为异面直线B
A
1
与C
B
1
所成的角.
连接BD，在△DB
A
1
中，2
4
,5
1
1
=
=
=BD
D
A
B
A，
则
D
A
B
A
BD
D
A
B
A
D
BA
1
1
2
2
1
2
1
12
cos
?
?
-
+
=
∠
25
9
5
5
2
32
25
25
=
?
?
-
+
=.
19.(1)证明:取PC的中点M,连接EM,则EM∥CD，EM=
2
1
DC,所以有EM∥AB且EM=AB,则四边形ABME是平行四边形.所以AE∥BM,因为AE不在平面PBC内,所以AE∥平面PBC.
(2) 因为AB⊥平面PBC，AB∥CD,所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM.由(1)得,BM⊥PC,所以BM⊥平面PDC，又AE∥BM,所以AE⊥平面PDC.
20.证明:(1)∵⊥
PA平面ABC，∴BC
PA⊥，∵?
=
∠90
ABC，∴BC
AB⊥，又A
AB
PA=
I∴⊥
BC平面PAB.
(2)∵⊥
BC平面PAB且?
AE平面PAB，∴AE
BC⊥，又∵AE
PB⊥，且B
PB
BC=
I，∴⊥
AE平面PBC.
(3)∵⊥
AE平面PBC，∴PC
AE⊥，又∵PC
AF⊥，且A
AF
AE=
I，∴⊥
PC 平面AEF．
21. 证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.
又),1
0(<
<
=
=λ
λ
AD
AF
AC
AE
Θ
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，
∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===
οAB BD
,722=+=∴BC AB AC 由AB 2
=AE ·AC 得,7
6,7
6==∴=AC
AE AE λ
故当7
6
=
λ时，平面BEF ⊥平面ACD.