第三章连续系统的频域分析
习题三
31证明题图囂所示矩形函数/址）与冷“尬帆为整数｝在区间（0.2^ ）上正応 J 1
/W
P
-7T r
卷也J
3.2设了①的正交展开式为
/0 =養恥
是iiE 明f ⑴和护o ”6呵￡ ｝是11对应关系E
[1 (「1)＜于＜2
0其他 II
试问函数组 苗⑦務②焉②爲②｝在（山4）区间上是否为正交函数值，是否为归一 牝正交函數组，是否为完备正交画数爼「并用它们的线t 删合精确的表示题團玄2所示函数 “）
9
/(i)
題要1 3 2
M4证明下列函数集在匕心*— 匡间上是正交函数集右肯任意一个正实数? \
叫丿
（1）｛ cos^ivof, sinMw e f | M - 0,±1,±2^.,,）；
⑵｛*叫1沪蚣…｝h
3.5试求题因3.3所示信号的三角形傅立叶级数展开式，并画出频谙因。
1/w
A A
n
1,n[ 1 ,
：J72?T t
KS 3.3
3.6试求题图34所示周期信号的指数形傅立叶级数系鹽，并画出它的幅度谙。
3?己知剛函数前四分之一的周期的波形女廳图？.5所示.根据下列各恬况的要求，画出/(/)在一个周期(0*T)的波形?
(1)/(f)是偶函数'只含有偶次谐波：
(2)/(f)是偶函数，只含有奇次谐波；
(3)/(f)是偶函数，含有偶次和奇次谐波；
(4)/(f)是奇函数，只含有偶次谐波；
(5)/(f)是奇函数，只含有奇次谐波；
(6)/(f)是奇函数，含有偶次和奇次谐波.
3.8设是满足以下两个条件的周期函数：条件1 ： /(0 = -/(~0 ;
条件2：/a± j)= -/(o ?
试证明/(◎中只含有奇次谐波的正弦分星。
3.9设周期信号/(f)的指城傅立叶级数系数为尺，试证明缪的指数形傅立叶级数系
at
数为感(式中叫=亨).
3.10设有一周期信号/O) ＞其奇波频率为w。= X ,且/(f)的指数形傅立叶级数为
这里，丘“；阿|"/4 ；|^|=1/2 ; |^|= 1/3 o
试写出的三角形傅立叶级数表达式?
3.L1求题图3.6所示信号的傅立叶变换?
题图3.6
3.12求题图？.7所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅立叶变换。
题图3.7
3.13试用/（f ）的傅立叶变换刃0W ）表示如下函数的傅立叶变换：
(1WM ；
(2)( 一 2"(f); (3)(f ?2”(?2f);
(4) f 如； dt
(5)a-o/a-Oo 3.14试分别利用下列几种方法证明：
P0（f ）］匸加（w ）+ 丄
（1） 利用单边指数函数取极
限；
（2） 利用符号函数；
（3） 利用矩形脉冲取极限；
（4） 利用积分性质。
3.15利用傅立叶变换证明如下等式
:
⑵匚 aw U)
（C
） ⑷ sin aw ,
----- dw =
(3)八2也)哄)； (4)鬼滋)啓2 (块
3.16己知题图3.8所示信号/(f)的频谙函数为耳(丹)=R(w) + M(w) ?式啊? s
X(w)均为w 的实函数,试求力(0的频谙函数码0讣).
井)
51 1 (?)
題图3 8
3.17据傅立叶变换的定义及性质，利用三种以上的方法计算题图3.9所示各信号的傅立叶变 换-
题图3.9 /(f) ?
1 严) A A
o
% W -MT 0 0 % w 严3) 浮3) \
* T
\呗》 叫
、
3.10 3.19试求下列信号的频谱函数：a
,* sin f ? sin 2Z
,、
(1) —p --------- ； (2)g2Kf)?cos5f,卩
COSlOffT
2
H 1
J 亍n T "T u
r T
3.20求下列函数的溥立叶反变换：
(4)別叫
(叨。
3.21 已知/(f) */>) = Q - ，求信号/(f)。
3.22已知一系统由两个相同的子系统级联构成，子系统的冲激。嘔为
辿)=询=2
激励信号为f (f)?试证明系统的响应/(f) = -/(f) O
?.2?设/⑦的傅立叶珈为F (丹)，且
片3) = 0 岡2 %
试在恳2 W E条件下化简你：
3,z4试求题国3.4所示各周期信号的频谙函数。
3.25按如下时间关系，用傅立叶变换法证獅样定理:
Lr(fH r(0]*^)=/(0
3.；6对下列信号求奈奎斯特间隔和速率：
(l)Sa(100t); ⑵弘pOO f)；
⑶ 5^(1000 + 弘(500; (4)^(1001) + 弘(of) ■
3.27已知一线瑕E时变系统的方程为
牌+ 4皱忖卄绝+伙) df2df八丿dt
八丿
求其系统函数H(jw)和冲激响应.
3.28已知:
/⑴=2cos990 ?竺* ；h⑴= 2cosl000M^^ ftt ftt 试用傅立叶变换法求/⑴祕⑴。
3.29如鱷,.3.11所示系统，其中:
?几、r sin/ sin 2t
沟2。)= 2兀??----
nt rd
试求整个系统的沖激响应城f)。
y(￡—| %(f) |—y f(t)
题国3. 11