极坐标与参数方程题型及解题方法65164
Ⅰ复习提问
1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？
2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？
答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立：
ρθρ
θy
sin x
cos =
=
3、 参数方程{
cos sin x r y r θθ
==表示什么曲线？
4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？
5、 极坐标系的定义是什么？
答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ.
ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就
确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？
Ⅱ 题型与方法归纳
1、 题型与考点（1）
{
极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化
（2）
{
参数方程与普通方程互化
参数方程与直角坐标方程互化
(3) {
利用参数方程求值域参数方程的几何意义
2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程
(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向
线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）
例1、方程2222
t t t t
x t y --?=-?
?=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
解析：注意到2t t
与2t
-互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()
()2
2
2222224t t
t t x y ---=--+=-，
即有22
4y x -=，又注意到
202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为
2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B
练习1、与普通方程210x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数）
222
sin cos ....cos 1sin x t x tgt x t x A B C D y t y tg t y t y t
===????=?????==-==????? 解析：所谓与方程210x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.
对于A 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，； 对于B 化为普通方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为210[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，.
而已知方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B.
练习2、设P 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 .
分析：注意到变量(),x y 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组
222312
2x y x y t
?+=?
+=?的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0?≥问题.
解析：令2x y t +=，对于(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t
?+=?+=?的公共解，依题意得()22
1182120y t y t -?+-=，由
()22644112120t t ?=-??-≥，
解得：t ≤≤所以2x y +
，
最小值为
（2）、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直
角坐标为(),x y ，它的极坐标为(),ρθ，则 222
cos sin x y x y
y tg x ρρθρθθ?=+=??
??==
???
或；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ. 例2、极坐标方程2
4sin
52
θ
ρ?=表示的曲线是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线的一支
D. 抛物线
分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.
解析：由2
1cos 4sin
422cos 52
2
θ
θ
ρρρρθ-?=?
=-=，化为直角坐标系方程为
25x =，化简得225
54
y x =+
.显然该方程表示抛物线，故选D.
练习1、
已知直线的极坐标方程为sin 4πρθ
?
?+=
??
?，则极点到该直线的距离是
解析：极点的直角坐标为()0,0o
，对于方程sin 4πρθρθθ???
+
==? ???
???
可得sin cos 1ρθρθ∴+=，化为直角坐标方程为10x y +-=
练习2、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为（ ）
A ．201y y +==2x 或
B ．1x =
C ．201y +==2x 或x
D ．1y =
分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.
解析：(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-==
===或，因此选C.
练习3、点M
的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）
A ．(2,)3π
B ．(2,)3π-
C ．2(2,
)3π D ．(2,2),()3
k k Z π
π+∈ 解析：2(2,2),()3
k k Z π
π+∈都是极坐标，因此选C.
（3）、参数方程与直角坐标方程互化
例题3：已知曲线1C 的参数方程为?????=+-=θ
θsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方
程为θθρsin 6cos 2+=．
（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由． 解：（1）由????
?=+-=θ
θsin 10cos 102y x 得
10)2(22=++y x
∴曲线1C 的普通方程为10)2(22=++y x ∵θθρsin 6cos 2+=
∴θρθρρsin 6cos 22+=
∵θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x
∴y x y x 6222+=+，即10)3()1(22=-+-y x ∴曲线2C 的直角坐标方程为
10)3()1(22=-+-y x
（2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1( ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=C
∴两圆相交
设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C
∴22
2
)10()2
23(
)2
(=+d ∴22=d
∴公共弦长为22
练习1、坐标系与参数方程.
已知曲线C ：θ??
?θ
+=θ
+=(sin 21cos 23y x 为参数，0≤θ<2π)， （Ⅰ）将曲线化为普通方程；
（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．
解析：（Ⅰ）023222=--+y x y x
（Ⅱ）()
θ+θ=ρsin cos 32
（4）利用参数方程求值域
例题4、在曲线1C ：?
??=+=）y x 为参数θθθ
(sin cos 1上求一点，使它到直线2C
：
12
(112
x t t y t
?
=-???
?=-??为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。 解：直线C 2化成普通方程是x+y-22-1=0
D
A
F
E
O
B
C
设所求的点为P （1+cos θ,sin θ) 则C 到直线C 2的距离d=
2
|
122sin cos 1|-+++θθ
=|sin(θ+
4
π
)+2| 当234ππ
θ=+时，即θ=4
5π
时，d 取最小值1
此时，点P 的坐标是（1-22，-2
2
）
练习1、在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=（θ∈R ）的圆心为(,)P x y ，求2x y -的取值范
解：由题设得4c o s ,
3s i n x y θθ=??
=?（θ为参数，θ∈R ） 于是.
28c o s 3s i 73c o s ()x y θθθ?-=-+，
所以
2x y -
练习2、已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线L 的参数方程是??
???
=+-=,
542
53t
y t x （t 为参数）．
（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求MN 的最大值.
解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为：
θρρsin 22=
又 θρθρρsin ,cos ,222===
+y x y x .
所以，曲线C 的直角坐标方程为：
0222=-+y y x .
（2）将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得：)2(3
4
--=x y 令 0=y 得 2=x 即M 点的坐标为)0,2(
又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为)1,0(，半径1=r ，
则5=MC
∴15+=
+≤r MC MN
（5）直线参数方程中的参数的几何意义
例5、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=，
①写出直线l 的参数方程;
②设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.
解 （1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ?=+????=+??
，即1112x y t
?=????=+??．
（2
）把直线1112
x y t ?=+????=+??代入422=+y x ，
得2221
(1)(1)4,1)202
t t t +
++=+-=，122t t =-， 则点P 到,A B 两点的距离之积为2．
练习1、求直线415
315x t y t
?
=+????=--??
（为参数t
）被曲线)4πρθ=+所截的弦长.
解：将方程415315x t y t ?
=+???
?=--??
，)4
π
ρθ=+
分别化为普通方程：
3410x y ++=，220,x y x y +-+=
17
.
105
d =11圆心C （，－＝，弦长＝22
（6）、参数方程与极坐标的简单应用
参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.
例6、已知ABC ?的三个顶点的极坐标分别为55623A B C πππ??
????
- ? ? ?????
?
?
，，，，，,判
断三角形ABC 的三角形的形状，并计算其面积.
分析：判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.
解析：如图，对于55366
AOB BOC AOC πππ
∠=∠=∠=
，，，
又5,OA OB OC ===
222
2cos AC OA OC OA OC AOC
=+-??
∠(
2
25525cos
6
π
=+-?? 133=
，AC ∴
，BC =同理，，AC BC ∴=，ABC ∴?为等腰三角形，5AB OA OB ===又，所以
AB 边上的高
h =
=
, 152ABC S ?∴==
练习1、如图，点A 在直线x=5上移动，等腰△OPA 的顶角∠OPA 为120°（O ，P ，A 按顺时针方向排列），求点P 的轨迹方程.
解析：取O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线5x =的极坐标方程为cos 5ρθ=，设A （0ρ，0θ），P (),ρθ，因点A 在直线cos 5ρθ=上，00cos 51ρθ∴=<> OPA ?为等腰三角形，且0120OPA OP OA ρρ∠=?==，而，，以及30
POA ∠=?
00302ρθθ∴=-?<>，且，把<2>
代入<1>，得点
P 的轨迹的极坐标方程为：()cos 305θ-?=.
Ⅲ趁热打铁
1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）
A ．1
21
2x t y t -?=???=?
B ．sin 1sin x t y t =???=??
C ．cos 1cos x t y t =???=??
D ．tan 1tan x t y t =???=?? 解析：D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制
2．曲线25()12x t
t y t
=-+??
=-?为参数与坐标轴的交点是（ ）
A ．21(0,)(,0)5
2
、
B ．11(0,)(,0)5
2
、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9
、 解析：B 当0x =时，25t =
，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1
(0,)5
； B
A
O x C
y P A
O x
当0y =时，12t =
，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1(,0)2
3．直线12()2x t
t y t
=+??
=+?为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）
A ．
125 B
C
D
解析：B
11221x x t y t y ?
=+?=+??
???
=+??=+??
，把直线122x t y t =+??=+?代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=
1212
5
t t -===
12t -=
4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t ?=?=?
为参数上， 则PF 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：C 抛物线为24y x =，准线为1x =-，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4
5．已知曲线2
2()2x pt t p y pt ?=?=?为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，
120t t +=且，那么MN =_______________。
解析：14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴。即x 轴，121222MN p t t p t =-=
6．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθ
θθθ
=+??
=-?为参数，则此圆的半径为_______________。
解析： 由3sin 4cos 4sin 3cos x y θθθθ
=+??=-?得22
25x y += 故半径为5
7．分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 2
1()sin 2
t t t t x e e y e e θθ--?=+????=-??化为普通方程：
（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数； 解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且； 当0t ≠时，cos ,sin 11()()2
2
t t
t t x y e e e e θθ--=
=
+-
而2
2
sin
cos 1θθ+=，即
2
2
22111()()4
4
t
t t
t x y e e e e --+
=+-
（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2
t
t x e e -=±
+，即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2
t t
y e e -=±-，即0x =；
当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t t t t x e e y e e θθ--?+=????-=??，即222cos sin 222cos sin t
t x y e x y
e θθθθ-?=+????=-??
得222222(
)()cos sin cos sin t
t
x y x y e e
θθθθ
-?=+- 即22
2
21cos sin x y θθ
-=。
8
．过点(
2
P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求PM PN ?的值及相应的α的值
解：设直线为cos ()sin x t t y t αα?=
???=?
为参数，代入曲线并整理得
223(1sin ))02
t t αα+++
= 则122321sin PM PN t t α
?==+
所以当2
sin 1α=时，即2
π
α=
，PM PN ?的最小值为
34，此时2
πα= 9．参数方程cos (sin cos )
()sin (sin cos )
x y θθθθθθθ=+??
=+?为参数表示什么曲线？
解：显然tan y x θ=，则22
222
111,cos cos 1y y x x
θθ
+==+ 2
222112tan cos sin cos sin 2cos cos 221tan x θθθθθθθθ=+=
+=?++ 即222222
22
2
1
11,(1)12
111y y y y x x x x y y y x x x
x x
+=?
+=+=++++ 得21y y
x x x
+=+，即220x y x y +--= Ⅳ 温故强化
1．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ
θθθ=??
=+?
为参数上的点是（ ）
A
．1
(,2
B ．31
(,)42
-
C
． D
． 解析：B 转化为普通方程：2
1y x =+，当34x =-时，12
y =
2．将参数方程2
2
2sin ()sin x y θ
θθ
?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 解析：C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈ 3. 若A
，B
，则|AB|=___________，
___________。（其中O 是极
点）
解析：在极坐标系中画出点A 、B ，易得
4．直线122
()112
x t t y t ?=-???
?=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________
解析： 直线为10x y +-=
，圆心到直线的距离d =
=
，弦长的一半为2
=
5. 直线
（t 为参数）上任一点P 到
的距离为__________
解析：所求距离为2|t|（把直线的参数方程化为标准形式） 6.
的轨迹方程为____________。 解析：设
由重心坐标公式，得：
消参，得点G 的轨迹方程为
7. 若方程
解析：将方程两边同乘以，化为：
8. 求椭圆
解析：（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
9．在椭圆
22
11612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。
解析：设椭圆的参数方程为4cos x y θ
θ
=???=??
，d =
3)33
θ
θθθ=
-=+- 当cos()13
π
θ+=
时，min 5
d =
，此时所求点为(2,3)-。
10．
求直线11:()5x t
l t y =+???=-??为参数
和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P
与(1,5)Q -的距离。
解析：将15x t
y =+???=-+??
代入0x y --=
得t =，
得(1P +，而(1,5)Q -
，得PQ ==