线代答案
第四章 向量组的线性相关性
1．设 ,
求 及 .
解
2．设 其中 ,
, ,求
解 由 整理得
3．举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组 是线性无关的,则 可由 线性表示.
(2)若有不全为0的数 使
成立,则 线性相关, 亦线性相关.
(3)若只有当 全为0时,等式
才成立,则 线性无关, 亦线性相关.
(4)若 线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数,
使
同时成立.
解 (1)设
满足 线性相关,但 不能由 线性表示.
(2)有不全为零的数 使
原式可化为
取
其中 为单位向量,则上式成立,而
, 均线性相关
(3)由 (仅当 )
线性无关
取
取 为线性无关组
满足以上条件,但不能说是 线性无关的.
(4)
与题设矛盾.
4．设 ,证明向量组 线性相关.
证明 设有 使得
则
(1)若 线性相关,则存在不全为零的数 ,
; ; ; ;
由 不全为零,知 不全为零,即 线性相关.
(2)若 线性无关,则
由 知此齐次方程存在非零解
则 线性相关.
综合得证.
5．设 ,且向量组
线性无关,证明向量组 线性无关.
证明:设 则
因向量组 线性无关,故
因为 故方程组只有零解
则 所以 线性无关
6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:
(1) ; (2) .
解 (1)
所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
7．求下列向量的秩,并求一个最大无关组:
(1) , , ;
(2) , , .
解 (1) 线性相关.
由
秩为2,一组最大线性无关组为 .
(2)
秩为2,最大线性无关组为 .
8．设 是一组 维向量,已知 维单位坐标向量 能由它们线性表示,证明 线性无关.
证明 维单位向量 线性无关
不妨设:
所以
两边取行列式，得
由
即 维向量组 的秩的为
故 线性无关.
9．设 是一组 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一 维向量都可由它们线性表示。
证明 设 为一组单位向量，对于任意 维向量 则有 即任一 维向量都可由单位向量线性表示。
线性无关，且 能由单位向量线性空间表示，即
故
两边取行列式，得
由
令 则
由
即 都能由 线性表示，因为任一 维向量能由单位向量线性表示，故任一 维向量都可以由 线性表示。
已知任一 维向量都可由 线性表示，则单位向量组： 可由 线性表示，由8题知 线性空间无关。
10．设向量组 : 的秩为 ,向量组 : 的秩
向量组 : 的秩 ,证明
证明 设 最大线性无关组分别为 ,设 分别与
等价,设它们分别含有的向量个数(秩)分别为 ,易知 均可由 线性表示,则秩( ) 秩( ),秩( ) 秩( )即
设 与 中向量共同构成向量组 ,则 均可由 线性表示,即 可由 线性表示,则 可由
线性表示
所以秩( ) 秩( ), 为 阶矩阵所以秩( ) 即
11．证明 .
证明 设
且 行向量组的最大无关组分别为
显然,存在矩阵 ,使得
,
因此
12．设向量组 能由向量组 线性表示为
，
其中 为 距阵，且 组线性无关。证明 组线性无关的充分必要条件是距阵 的秩 .
证明: 若 组线性无关
令 则有
有定理知
由 组: 线性无关知
又知 为 阶矩阵则
又知向量组 : 能由向量组 : 线性表示,则
综上所述知 即
若
令 ,其中 为实数
则有
又知 则
由于 线性无关,即
即 （1）
由于 则(1)式等价于下列方程组:
由于
所以方程组只有零解 .所以 线性无关,证毕.
13．设
问 是不是向量空间？为什么？
证明 集合 成为向量空间只需满足条件：
若 ，则
若 ，则
是向量空间，因为：
且
故
故
不是向量空间，因为：
故
故当 时，
14．试证:由 所生成的向量空间就是 .
证明 设
于是 故线性无关.由于 均为三维,且秩为3,
所以 为此三维空间的一组基,故由 所生成的向量空间就是 .
15．由 所生成的向量空间记作 ,由 所生成的向量空间记作 ,试证 .
证明 设
任取 中一向量,可写成 ,
要证 ,从而得
由 得
上式中,把 看成已知数,把 看成未知数
有唯一解
同理可证: ( )
故
16．验证 为 的一个基,并把 用这个基线性表示.
解 由于
即矩阵 的秩为3
故 线性无关，则为 的一个基.
设 则
故
设 则
故线性表示为
17．求下列齐次线性方程组的基础解系:
(1) (2)
(3) .
解
(1)
所以原方程等价于
取 得
取 得
因此基础解系为
(2)
所以原方程等价于
取 得
取 得
因此基础解系为
(3)原方程组即为
取 得
取 得
取 得
所以基础解系为
18．设 ,求一个 矩阵 ,使 ,且 .
解 由于 ,所以可设 则由
可得
,解此非齐次线性方程组可得唯一解
故所求矩阵
19．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为
.
解 显然原方程的通解为
,( )
即 消去 得
此即所求的线性方程组
20．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知 是它的三各解向量。且
，
求该方程组的通解。
解 由于矩阵的秩为3， ，一维。故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于 均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得
为其基础解系向量，故此方程的通解：
21．设 都是 阶方阵，且 ，证明 。
证明 设 的秩为 ， 的秩为 ，则由 知， 的每一列向量都是以 为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。
(1) 当 时,该齐次线性方程
组只有零解,故此时 ,
， ， 结论成立。
(2)当 时,该齐次方程组的基础解系中含有 个向量,从而 的列向量组的秩 ,即 ,此时 ,结论成立。
综上, 。
22．设 阶矩阵 满足 , 为 阶单位矩阵,证明
(提示:利用题11及题21的结论)
证明:
所以由(21)所证可知
又
由(11)题所证可知
由此
23．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：
(1) (2)
解 (1)
(2)
24．设 是非齐次线性方程组 的一个解, 是对应的齐次方程的一个基础解系,证明:
(1) 线性无关;
(2) 线性无关。
证明 (1)反证法,假设 线性相关,则存在着不全为0的数 使得下式成立:
(1)
其中, 否则, 线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。
由于 为特解， 为基础解系，故得
而由(1)式可得
故 ，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得
产生矛盾,假设不成立, 故 线性无关.
(2)反证法,假使 线性相关.
则存在着不全为零的数 使得下式成立:
（2）
即
1)若 ,由于 是线性无关的一组基础解系,故 ,由(2)式得 此时
与假设矛盾.
2)若 由题(1)知, 线性无关,故 与假设矛盾,
综上,假设不成立,原命题得证。
25．设 是非齐次线性方程组 的 个解， 为实数，满足 。证明
也是它的解。
证明 由于 是非齐次线性方程组 的 个解。
故有
而
即 （ ）
从而 也是方程的解。
26．设非齐次线性方程组 的系数矩阵的秩为 ， 是它的 个线性无关的解(由题24知它确有 个线性无关的解)。试证它的任一解可表示为
（其中 ）.
证明 设 为 的任一解。
由题设知： 线性无关且均为 的解。
取 ，则它的均为 的解。
用反证法证： 线性无关。
反设它们线性相关，则存在不全为零的数：
使得
即
亦即
由 线性无关知
矛盾，故假设不对。
线性无关，为 的一组基。
由于 均为 的解，所以 为的 解 可由
线性表出。
令 则
,证毕。