图形变换共顶点旋转.习题集(2014-)

【例1】下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）．

（2013北京中考）【答案】A

【例2】在ABC

△中,AB AC

=，BACα

∠=(?

<

<

?60

0α)，将线段BC绕点B逆时针旋转6０°得到线段BD．

(1）如图1，直接写出ABD

∠的大小（用含α的式子表示）;

（2）如图２,15060

BCE ABE

∠=?∠=?

，,判断ABE

△的形状并加以证明；

(３）在（2）的条件下，连结DE,若45

DEC

∠=?,求α的值．

（2013北京中考)

【答案】(1）30

2

ABD

α

∠=?-;

(2）ABE

△是等边三角形.

证明:连结AD CD

，,

∵60

DBC BD BC

∠=?=

，，

∴BDC

△是等边三角形，60

BDC BD DC

∠=?=

，.

又∵AB AC AD AD

==

，,

∴ABD ACD

≌

△△，

∴ADB ADC

∠=∠,

∴150

ADB

∠=?,

∵60

ABE DBC

∠=∠=?,

∴ABD EBC

∠=∠，

又∵150

BD BC ADB ECB

=∠=∠=?

，,

真题链接

共顶点旋转

∴ABD EBC ≌

△△， ∴AB EB =,

∴ABE △是等边三角形．

B

C

E

D

A

（3）∵BDC ?是等边三角形， ∴60BCD ∠=?，

∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=?， 又∵45DEC ∠=?， ∴CE CD BC ==, ∴15EBC ∠=?, ∵302

EBC ABD α

∠=∠=

?-,

∴30α=?．

一、旋转的概念和性质

【例3】 下图中，不是旋转对称图形的是( ).

【答案】B

【例4】 有下列四个说法,其中正确说法的个数是( ）.

①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；

②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度; ③图形旋转时,对应点与旋转中心的距离相等;

④图形旋转时,对应线段相等,对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 A.1个 B ．2个 Ｃ．3个?Ｄ.4个

【答案】D

【例5】 如图,若正方形D ＣEF 旋转后能与正方形ABCD 重合,则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有

（ ）个．

A.1 Ｂ.2?C.3

D ．4

课堂练习

【答案】C

【解析】本题很多考生容易做错,将答案选为B ,认为只有两个旋转点,但是一定要注意CD 边的中点也是一个

旋转点，所以应该有3个旋转点．

【例6】 如图,这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木,

现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（ ）

?A ． Ｂ.? C ． ?D.

【答案】B

【解析】将所给的拼木分别尝试拼接或由拼木盘观察,直接选出拼木．Ａ、Ｃ和Ｄ旋转之后都不能与图形拼

满,B 旋转１80°后可得出与图形相同的形状，故选B.

【例7】 已知:如图,若线段C Ｄ是由线段A Ｂ经过旋转变换得到的.

求作:旋转中心Ｏ点.

【答案】分两类：(1)Ａ与Ｃ是对应点．（2)B 与C 是对应点,对(１)的作法:

首先,连结ＡＣ,作线段AC 的垂直平分线l 1；

其次，连结BD ,作线段BD 的垂直平分线l 2，与l １交于O 点,则O 点为所求． 同理可作出(２）的O ′选点．

【解析】采用旋转的作图方法和旋转的性质进行解题.

【例8】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △顶点的横、纵坐标都是整数．若将ABC △以某点

为旋转中心,顺时针旋转90?得到DEF △，则旋转中心的坐标是（ ）. A.(0,0) Ｂ．(1,0) C.(1,1)- D ．(2.5,0.5)

(2０1４西城期末)

【答案】C

【解析】旋转中心为对应顶点连线的垂直平分线,故选Ｃ．

【例9】 实验操作

(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中,ABC △的顶点的横、纵坐标都是整数,若将ABC △以点()1,1P -为旋转中心，按顺时针方向旋转90?得到DEF △，请在坐标系中画出点P 及DEF △;

【例10

【例11】下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.

A. B. C.?D ．

（2０14海淀一模）【答案】A

【例12】有五张形状、大小、质地都相同的卡片,上面分别画有下列图形：①正方形;②正三角形；③平行四边形;④等腰梯形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张，正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是( )．

A．1 5

B.

2

5

C.

3

5

D.

4

5

(2０14东城一模）【答案】B

【例13】已知：如图,四边形ＡＢCＤ与四边形EFGH成中心对称,试画出它们的对称中心,并简要说明理由.

【答案】

H

G

F

E

D

C

B

【解析】根据中心对称的性质，分别连结CＧ、BＦ,则它们的交点O为两四边形的对称中心．其理由是关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心，而ＣＧ、BF两线段不共线，所以它们的交点即为对称中心．

三、共顶点旋转之全等

【例14】如图，点C为线段AB上一点,ACM

?、CBN

?是等边三角形,D是AN中点,E是BM中点,求证:CDE

?是等边三角形．

M D

N

E

C B

A

【答案】∵ACN MCB

??

≌，∴AN BM

=，ABM ANC

∠=∠

又∵D、E分别是AN、BM的中点，

∴BCE NCD ??≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠

∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠= ∴CDE ?是等边三角形

【例15】 在等边ABC △中，AD BC ⊥于点D .

(1)如图1，请你直接写出线段AD 与BC 之间的数量关系:AD =_＿_____＿__BC ;

（２）如图2，若P 是线段BC 上一个动点(点P 不与点B 、C 重合)，连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60?,得到线段AE ,连结CE ，猜想线段AD 、CE 、PC 之间的数量关系，并证明你的结论; （3)如图3,若点P 是线段BC 延长线上一个动点，（2)中的其他条件不变，按照(2)中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出线段AD 、CE 、PC 之间的数量关系．

（20１4大兴一模）

【答案】（13

. (2)3

)AD CE PC =

+． 理由如下：∵线段AP 绕点A 逆时针旋转60?,得到线段AE ， ∴60PAE ∠=?，AP AE =， ∵等边三角形ABC , ∴60BAC ∠=?，AB AC =, ∴BAC PAC PAE PAC ∠-∠=∠-∠, ∴BAP CAE ∠=∠， 在ABP △和ACE △中 AB AC BAP CAE AP AE =??

∠=∠??=?

， ∴ABP ACE ?△△， ∴BP CE =, ∵BP PC BC +=, ∴CE PC BC +=， ∵3

AD =， ∴3

)AD CE PC =

+．

（3)如图,3

()AD CE PC =

-． 【例16】 已知:等边ABC △中，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，点M 在直线BC 上，以点M

为旋转中心，将线段MD 顺时针旋转60?至MD '，连接ED '．

(1）如图1，当点M 在点B 侧时，线段ED '与MF 的数量关系是＿______＿_＿；

（２)如图2，当点M 在BC 边上时,（1)中的结论是否依然成立?如果成立，请利用图2证明，如果不成立,请说明理由；

(3)当点M 在点C 右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断(1）中的结论是否依然成立?不必给出证明或说明理由.

（20１４通州一模)

【答案】（１)ED MF '=;

（2)ED '与MF 的相等关系依然成立． 证明：连接DE 、DF 、DD '，

∵D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点,

∴DE BC ∥，12DE BC =,DF AC ∥，1

2

DF AC =, ∴四边形DFCE 为平行四边形. ∵ABC △是等边三角形, ∴BC AC =，60C ∠=?， ∴DE DF =，60EDF C ∠=∠=?. ∵ＭD=MD ',DMD '∠=６０o, ∴DMD '△是等边三角形，

∴60MDD '∠=?，MD DD '=, ∴MDD EDF '∠=∠． ∵MDF MDD FDD ''∠=∠-∠, ∴EDD EDF FDD ''∠=∠-∠， ∴MDF EDD '∠=∠,

∴DD E DMF '?△△(SAS)．

∴ED MF

'=．

D'

E

D

E

D

A

(3)ED'与MF的相等关系依然成立,

画出正确图形．

【例17】如图1,已知90

DAC

∠=?,ABC

△是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60?得到线段CQ,连结QB并延长交直线AD于点E．

(1)如图1,猜想=

QEP

∠_________?；

（2）如图2，3,若当DAC

∠是锐角或钝角时，其它条件不变,猜想QEP

∠的度数，选取一种情况加以证明;

(3）如图3，若135

DAC

∠=?,15

ACP

∠=?,且4

AC=,求BQ的长.

（２014东城一模)【答案】（１)60

QEP

∠=?.

（2)60

QEP

∠=?．

证明：如图,以DAC

∠是锐角为例.

∵ABC

△是等边三角形,

∴AC BC

=，60

ACB

∠=?．

又由题意可知，CP CQ

=,60

PCQ

∠=?．

∴ACP BCQ ∠=∠． ∴ACP BCQ ?△△． ∴APC Q ∠=∠． 设PC 与BQ 交于点G , ∵12∠=∠，

∴60QEP PCQ ∠=∠=?．

（3）由题意可求,30APC ∠=?,45PCB ∠=?. 又由(2)可证60QEP ∠=?.

∴可证QE 垂直平分PC ,GBC △为等腰直角三角形． ∵4AC =,

∴22GC =，26GQ =． ∴2622BQ =-．

【例18】 问题解决

如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEF 重合放置,其中90C ∠=?，30B E ∠=∠=?． （1）如图2,固定ABC △，将DEC △绕点C 旋转,当点D 恰好落在AB 边上时,设BDC △的面积为1S ，

AEC △的面积为2S ,那么1S 与2S 的数量关系是___＿______;

（2）当DEC △绕点C 旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC △和AEC △中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．

（３)如图4，60ABC ∠=?,点D 在其角平分线上，6BD CD ==,DE AB ∥交BC 于点E ,若点F 在射线

BA 上,并且DCF BDE S S =△△，请直接写出相应的BF 的长.

(2０１4通州一模)

【答案】(1）相等．

A

B

C

D

E 图4

A

B

C

D

E

N M

图3

A

C

A （D ）

B （E ）

C D E

图1 图2

B

（2)证明：∵DM 、AN 分别是BDC △和AEC △中BC 、CE 边上的高， ∴90DMC ANC ∠=∠=?． ∵90DCE ∠=?， ∴90DCN ∠=?， ∴90DCB BCN ∠+∠=?． ∵90ACB ∠=?， ∴90ACN BCN ∠+∠=?， ∴DCB ACN ∠=∠. ∵DC AC =,

∴DCM ACN ?△△(AAS)． ∴DM AN =， ∵12BCD BC

DM S S ?==△,22

ACE CE AN

S S ?==△，且CE BC =, ∴12S S =.

(3）23BF =或43BF =．

【例19】 将等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △按图1方式放置，

90A ∠=?，AD 边与AB 边重合，24AB AD ==.将ADE △绕点A 逆时针方向旋转一个角度(0180)αα?≤≤?,BD 的延长线交直线CE 于点P . （1)如图2，BD 与CE 的数量关系是_＿__＿_____,位置关系是_＿______＿＿; (２）在旋转的过程中，当AD BD ⊥时，求出CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长．

(２01４房山一模)

【答案】（1）BD CE =，BD CE ⊥,

（2）如图所示,

A

B

C

D

E

N M

∵ABC △和ADE △都是等腰三角形, ∴AB AC =，AD AE =, ∵90BAC DAE ∠=∠=?, ∴BAD CAE ∠=∠, ∴ABD ACE ?△△． ∴ABD ACE ∠=∠， ∵12∠=∠，

∴90CPB CAB ∠=∠=?， ∴BP CE ⊥．

∵AD BP ⊥,90DAE ∠=?，AD AE =， ∴四边形ADPE 为正方形， ∴2AD PE ==，

∵90ADB ∠=?,2AD =，4AB =， ∴30ABD ∠=?，

∴BD CE ==

∴2CP CE PE =-=.

(3）如图４,取BC 中点O ，连结OP 、OA . ∵90BPC BAC ∠=∠=?， ∴2OP OA OB OC ====.

在此旋转过程中（0180α??≤≤

）， 由（2）知，当60α=?时，

PBA ∠最大,且30PBA ∠=?,

此时60AOP ∠=?,

∴点

P 运动的路线是以O 为圆心，OA 长为半径的弧

AP 与弧PA 的和.

∴点P 运动的路线长为:2l =

=．

【例20】 如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB AE <）在一条直线上,正方形AEFG 以

点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中,两个正方形只有点A 重合,其它顶点均不重合，连接BE 、DG ．

（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时,求证：BE DG =； （２）当点C 在直线BE 上时，连接FC ,直接写出FCD ∠的度数；

图4

（3)如图3，如果45α=?，2AB =

,AE =求点G 到BE 的距离.

A B

C

D E F

G

图2

A B

C D E F

G

图3

G

F

E

D C

B

A 图1

(2０１4昌平一模）

【答案】（1)证明：如图２，

∵四边形ABCD 是正方形,

∴AB AD =,90BAE EAD ∠+∠=?． ∵四边形AEFG 是正方形,

∴AE AG =,90EAD DAG ∠+∠=?． ∴BAE DAG ∠=∠．

∴(SAS)ABE ADG ?△△. ∴BE DG =. (２）解:45?或135?.

图2

A B

C D E F

G

图3

G

F

E D C

B

A H

（3）解:如图3，连接GB 、GE ． 由已知45α=?，可知45BAE ∠=?． 又∵GE 为正方形AEFG 的对角线, ∴45AEG ∠=?． ∴AB GE ∥．

∵AE =∴8GE =,

1

==162

BEG AEG AEFG S S S =正方形△△．

过点B 作BH AE ⊥于点H . ∵2AB =，

∴BH AH ==

∴HE =

∴BE =设点G 到BE 的距离为h .

∴11

1622BEG S BE h h =??=?=△.

∴h =

即点G 到BE

． 【例21】 四边形ABCD 是正方形，BEF △是等腰直角三角形,90BEF ∠=?,BE EF =．连接DF ，G 为DF 的

中点，连接EG CG EC ，

，． （1）如图1，若点E 在CB 边的延长线上,直接写出EG 与GC 的位置关系及

EC

GC

的值； （2)将图１中的BEF △绕点B 顺时针旋转至图2所示位置,请问（1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程;若不成立,请说明理由.

(3）将图1中的BEF △，绕点B 顺时针旋转(090)αα?<

，AB =当E 、F 、D 三点共线时，求DF 的长及tan ABF ∠的值．

备用图

图2

图1

A

C

B

D

G

F

E

D

B

C

A

(2014西城一模

)

【答案】(1)EG GC ⊥，

EC

GC

= (２）倍长EG 至H ,连接GH 、OH 、CH 、CE ； 在EFG △与HDG △中， GF GD EGF HGD EG HG =??

∠=∠??=?

∴EFG HDG △≌

△(SAS ) ∴DH EF BE ==,FEG DHG ∠=∠． ∴//EF OH

∴129034∠=∠=?-∠=∠．

∴18041801EBC HDC ∠=?-∠=?-∠=∠. 在EBC △与HDC △中

BE DH EBC HDC BC CD =??

∠=∠??=?

∴ EBC HDC △≌

△（SAS ) ∴ CE CH =，BCE DCH ∠=∠

∴90ECH DCH ECD BCE ECD BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? ∴ECH △为等腰Rt △ 又∵G 为EH 的中点 ∴EG GC ⊥

,

2EC

GC

=,故（

1）中的结论仍然成立;

（3)连接BD ,则1BD =，

∴1

cos 2

BE DBE BD ∠=

= ∴60DBE ∠=? ∴15ABE DBE ABD ∠=∠-∠=? ∴451530ABF ∠=?-?=? ∴3tan ABF ∠=

; ∴33DE BE == ∴31DF DE EF =-=-

【例22】 如图1，已知ABC △是等腰直角三角形,90BAC ∠=?,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ,使点A 、

C 分别在DG 和DE 上，连接AE ,BG .

（1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系是__________；

(2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转(0360)αα?<

①判断(1)中的结论是否仍然成立?请利用图2证明你的结论; ②若4BC DE ==,当AE 取最大值时，求AF 的值.

（２０14燕山一模)

【答案】（1)BG AE =;

(2）①成立.以下给出证明： 如图，连接AD ,

∵在Rt BAC △中,D 为斜边BC 中点, ∴AD BD =,AD BC ⊥， ∴90ADG GDB ∠+∠=?. ∵四边形EFGD 为正方形， ∴DE DG =，且90GDE ∠=?， ∴90ADG ADE ∠+∠=?， ∴BGD ADE ∠=∠． 在BDG △和ADE △中, BD AD

BDG ADE DG DE =??

∠=∠??=?

∴BDG ADE ?△△， ∴BG AE =.

B

A

C

D

E

G

F

B

A C

D

E G

F

②由①可得BG AE =，当BG 取得最大值时，AE 取得最大值． 当旋转角为270?时，BG AE =,最大值为246+=. 如图,

此时AF =.

【例23】 如图,在矩形ABCD 中， 点Ｆ在AD 延长线上，且DF = D Ｃ, M 为AB 边上一点, N 为ＭD 的中

点， 点E 在直线CF 上(点Ｅ、Ｃ不重合）.且若A Ｂ=BC , 点M 、A 不重合, B Ｎ=NE ，试探究Ｂ

Ｎ与NE 的位置关系及

BM

CE

的值, 并证明你的结论; M

N

F

E

D

C

B A

H

G

A

B

C

D E

M

N

F

【答案】如图，延长BN BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ,

交CD 于点H ．

∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AB ∥CG ．

∴ MBN DGN ∠=∠，BMN GDN ∠=∠ ∵ N 为MD 的中点， ∴ MN DN =． ∴ △BMN ≌△GDN ． ∴ MB DG =,BN GN =. ∵ BN NE =， ∴ BN NE NG ==． ∴ 90BEG ∠=． ∵ EH CE ⊥, ∴ 90CEH ∠=. ∴ BEG GEH ∠=∠． ∴ BEC GEH ∠=∠． ∵45DCF ∠=．

∴ 45CHE HCE ∠=∠=． ∴ EC EH =， 135EHG ∠=. ∵135ECD DCB HCE ∠=∠+∠=， ∴ ∠ECB =∠EHG . ∴ △ECB ≌△EHG ． ∴ EB EG =,CB HG =． ∵ BN NG =， ∴ BN ⊥NE ．

∵BM DG HG HD BC HD CD HD CH ==-=-=-==

∴CE BM =

四、共顶点旋转之相似

【例24】 如图,在ABC △中，AB AC =，且30BAC ∠=?,以AB 为腰作等腰直角三角形ABD ,以AC 为斜边作

等腰直角三角形ACE ，连接CD BE 、交于点F ,求DFB ∠的度数．

F E

D

C

B

A

【答案】方法一:如图1，平移线段EF 使得E 点与C 点重合,连接DG BG 、

、 ∴四边形CGBE 是平行四边形,BG CE AE BD AB ===，

，75BAE ∠=?,3609075GBD ABC GBC ∠=?-?-∠-∠=?,DGB BEA ≌△△,

90

DGC DGB BGC AEB BEC

∠=∠+∠=∠+∠=?，DG GC

=,DGC

△为等腰直角三角形45

DFB DCG

∠=∠=?.方法二：如图2,利用DAC BAE

△∽△相似，过程略

图1

G

F

E

D

C

B

A

图2

F

E

D

C

B

A

【例25】在ABC

△中，AC BC

=，在AED

△中，AD ED

=,点D、E分别在CA、AB上．（1）如图①,若90

ACB ADE

∠=∠=?,则CD与BE的数量关系是＿__＿__＿__;

(2)若120

ACB ADE

∠=∠=?,将AED

△绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是＿＿_＿＿＿__＿;

(3)若2(090)

ACB ADEαα

∠=∠=<

△绕点A旋转至如图③所示的位置，探究线段CD与BE 的数量关系，并加以证明（用含α的式子表示）.

（2０１4朝阳一模)【答案】（1)2

BE CD

=．

(2）3

BE CD

=.

(3）2sin

BE CD

α

=?

过点C作CH AB

⊥交AB于H.

∵CA CB

=，DA DE

=，2

ACB ADEα

∠=∠=,

∴ACB ADE

∽

△△

∴

AD AE

AC AB

=.

又∵CAB DAE

∠=∠，

∴CAD BAE ∠=∠，

∴ADC AEB ∽

△△, ∴

BE AB CD AC

=. ∵CA CB =，AH AB ⊥, ∴AH BH =，ACH BCH α∠=∠=．

∴

22sin BE AB AH

CD AC AC α=== ∴2sin BE CD α=?． 【例26】 已知：ABC △，DEF △都是等边三角形,M 是BC 与EF 的中点,连接AD ,BE ．

(1)如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系;

（2）ABC △固定不动，将图1中的DEF △绕点M 顺时针旋转α(090α??≤≤）角,如图2所示,判断(1)中的结论是否仍然成立，若成立,请加以证明；若不成立,说明理由;

(3)ABC △固定不动，将图1中的DEF △绕点M 旋转α（090α??≤≤）角,作DH BC ⊥于点H ．设BH x =，线段AB ,BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当6AB =，2DE =时，求S 关于x 的

函数关系式，并写出相应的x 的取值范围.

(２01４西城期末)

【答案】(1）

3AD

BE

=,AD BE ⊥． （2）证明：连接DM ，AM ． 在等边三角形ABC 中,M 为BC 的中点,

∴AM BC ⊥,1302BAM BAC ∠=∠=?，

3AM

BM

=． ∴90BME EMA ∠+∠=?.

同理,

3DM

EM =，90AMD EMA ∠+∠=?. ∴AM DM

BM EM =，AMD BME ∠=∠. ∴ADM BEM ∽△△．

∴

3AD DM

BE EM

==． 延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K .

∴MAD MBE ∠=∠,BGM AGK ∠=∠. ∴90GKA AMB ∠=∠=?. ∴AD BE ⊥．

(3)解:(ⅰ）当DEF △绕点M 顺时针旋转α（090α??≤≤）角时， ∵ADM BEM ∽△△, ∴

2

()3ADM BEM S AD S BE

==△△． ∴1

3

BEM ADM S S =△△

∴ABM ADM BEM DEM S

S S S S =+--△△△△ 2

3

ABM ADM DEM S S S =+-△△△

1211

33333(3)132322x =??+??--?? 33x =+.

∴33S x =+ （333x +≤≤）.

（ⅱ）当DEF △绕点M 逆时针旋转α(090α??≤≤)角时，可证ADM BEM ∽△△， ∴

21

()3BEM ADM S BM S AM ==△△． ∴1

3

BEM ADM S S =△△.

∴ABM BEM ADM DEM S S S S S =+--△△△△ 2

3

ABM ADM DEM S S S =--△△△

9213

333(3)232x =

-??-+

33x =+．

∴33S x =+(333x -≤≤）. 综上,33S x =+（3333x -+≤≤).

【例27】 已知：如图,正方形ABCD 的边长为a ,BM ,DN 分别平分正方形的两个外角,且满足45MAN ∠=?,

连结MC ，NC ,MN ．

(1）填空：与ABM △相似的三角形是△_＿_____＿__,BM DN ?=__＿______＿；（用含a 的代数式表示)

（2)求MCN ∠的度数;

（3）猜想线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论.

（12年西城期末)

【答案】解:(1)与ABM △相似的三角形是NDA △，2BM DN a ?=；

(2)由（1)ABM NDA ∽

△△可得BM AB

DA ND

=.（如图9）． ∵四边形ABCD 是正方形,

∴AB DC =,DA BC =，90ABC BCD ADC BAD ∠=∠=∠=∠=?.

∴

BM DC

BC ND

=． ∵BM ,DN 分别平分正方形ABCD 的两个外角, ∴45CBM NDC ∠=∠=?．

∴BCM DNC ∽

△△． ∴BCM DNC ∠=∠．

360270()270(180)135MCN BCD BCM DCN DNC DCN CDN ∠=?-∠-∠-∠=?-∠+∠=?-?-∠=?.

（3）线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系是222BM DN MN +=.(只猜想答案不证明不给分) 证法一：如图9,将AND △绕点A 顺时针旋转90?得到ABF △，连接MF .则ABF ADN ?△△． ∴13∠=∠，AF AN =,BF DN =，AFB AND ∠=∠. ∴122345MAF BAD MAN ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=?. ∴MAF MAN ∠=∠. 又∵AM AM =，

∴AMF AMN ?△△．

∴MF MN =.可得(1)45(3)4590MBF AFB AND ∠=∠+∠+?=∠+∠+?=?． ∴在Rt BMF △ F 中,222BM BF FM +=. ∴ 222BM DN MN +=．

证法二:连接BD ，作ME BD ∥，与DN 交于点E ．(如图10）.可知45BDC ∠=?，90BDN ∠=?. ∵ME BD ∥，

∴18090MEN BDN ∠=?-∠=?． ∵90DBM DBC CBM ∠=∠+∠=?, ∴四边形BDEM 是矩形. ∴ME BD =，BM DE =. 在Rt MEN △R 中，90MEN ∠=?,

∴222222222())()2()MN ME EN BD DN DE DN BM a DN BM =+=+-=+-=+- 2222()BM DN DN BM BM DN =?+-=+．

N

M

D

C

B

E

A

五、费马点与最值

4坐标系中的旋转变换(2016年)

1. (2016 广西河池市) 】．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（1,3）．将线段OA 绕原点O 逆时针旋转30°，得到线段OB ，则点B 的坐标是（ ） A ．(0,2) B ．(2,0) C ．（1,―3） D ．（―1,3） 答案：】． 答案A 逐步提示作AC ⊥x 轴于点C ，根据勾股定理求出OA 的长，根据正切的概念求出∠AOC 的度数，再根据旋转变换即可得解. 详细解答解：过点A 作AC ⊥x 轴于点C . ∵点A 的坐标为（1,3），∴OC ＝1，AC ＝3．∴OA ＝12＋ (3)2＝2. ∵tan ∠AOC ＝AC OC ＝3,∴∠AOC ＝60°. ∴将线段OA 绕原点O 逆时针旋转30°得到线段OB 时，点B 恰好在y 轴上. ∴点B 的坐标是(0,2) . 故选择A. 解后反思本题通过作垂线，将点的坐标转化为线段的长度，应用勾股定理求斜边的长，应用特殊角的三角函数值求出特殊角的度数，再根据旋转的方向和角度确定所求点的位置，最后写出其坐标. 关键词 图形旋转的特征、特殊角三角函数值的运用、点的坐标 20160926210454015732 4 坐标系中的旋转变换 选择题 基础知识 2016/9/26 2. (2016 广西贺州市) 】．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A ′B ′，那么A （﹣2，5）的对应点A ′的坐标是（ ）

A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2） 答案：】． 考点坐标与图形变化-旋转． 分析由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论． 解答解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′， ∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°， ∴AO=A′O． 作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′， ∴∠ACO=∠A′C′O=90°． ∵∠COC′=90°， ∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′， ∴∠AOC=∠A′OC′． 在△ACO和△A′C′O中， ， ∴△ACO≌△A′C′O（AAS）， ∴AC=A′C′，CO=C′O． ∵A（﹣2，5）， ∴AC=2，CO=5， ∴A′C′=2，OC′=5， ∴A′（5，2）． 故选：B．

图形变换共顶点旋转.习题集(2014-2015)

【例1】 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）． （2013北京中考） 【答案】A 【例2】 在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（?<

∴ADB ADC ∠=∠， ∴150ADB ∠=?， ∵60ABE DBC ∠=∠=?， ∴ABD EBC ∠=∠， 又∵150BD BC ADB ECB =∠=∠=?，， ∴ABD EBC ≌ △△， ∴AB EB =， ∴ABE △是等边三角形． B C E D A （3）∵BDC ?是等边三角形， ∴60BCD ∠=?， ∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=?， 又∵45DEC ∠=?， ∴CE CD BC ==， ∴15EBC ∠=?， ∵302 EBC ABD α ∠=∠=?-， ∴30α=?． 一、旋转的概念和性质 【例3】 下图中，不是旋转对称图形的是（ ）． 【答案】B 【例4】 有下列四个说法，其中正确说法的个数是（ ）． 课堂练习

小学六年级数学图形的变换训练一

小升初数学之图形的变换 一．填空题（共1小题） 1．（1）由①图到②图是向_________平移_________格． （2）由①图到③图是向_________平移_________格． （3）把②图向左平移3格，画出平移后的图形． （4）把③图向上平移2格，画出平移后的图形． 二．解答题（共13小题） 2．（2008?南靖县）（1）0A为对称轴，画出图形另一半，成为图形1． （2）将画好的整个图形向右平移4格，再画出来． （3）将图形1绕O点顺时针旋转90°，并画出来． 3．（2007?惠山区）①画出下面三个图形中轴对称图形的对称轴． ②将梯形围绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形． ③将平行四边形先向右平移5格，再向下平移2格，画出平移后的图形．

4．（2009?兴国县模拟）（1）以0A为对称轴，画出图形另一半，成为图形A． （2）将画好的图形A向右平移4格，得到图形B． （3）将图形A绕O点顺时针旋转90°，得到图形C． 5．图形A向右平移5格得到图形B，图形B向下平移2格得到图形C，请在图中画出图形B和图形C． 6．图中，图形A是如何变换得到图形B？ 7．请画出先向右平移8格，再向下平移2格后得到的图形．

8．按要求画一画． （1）在方格子中画出图①绕O点顺时针方向旋转90°后的图形．（2）画出将图②向右平移7格，再向上平移3格后的图形．（3）画出图③的另一半，使它成为轴对称图形． 9．按要求画图． （1）将图形A向上平移5格，再向右平移7格，得到图形B．（2）以横虚线为对称轴，画出和图形A对称的图形． （3）以竖虚线为对称轴，画出和图形C对称的图形． 10．先画出图形： （1）向下平移3小格后的图形 （2）再画出图形①绕顶点A逆时针旋转90度后的图形③．

平面直角坐标系下的图形变换

平面直角坐标系下的图形变换 王建华 图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力，一般难度较大。 在平面直角坐标系中，探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的 关系，是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势，这类试题设计灵活 平移: 上下平移横坐标不变,纵坐标改变 左右平移横坐标改变,纵坐标不变 对称: 关于x轴对称横坐标不变,纵坐标改变 关于y轴对称横坐标不变,纵坐标不变 关于中心对称横坐标、纵坐标都互为相反数 旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状 旋转角旋转半径弧长公式L=nπR／180 一、平移 例1，如图1，已知△ABC的位置，画出将ABC向右平移5个单位长度后所得的ABC，并写出三角形各顶点的坐标，平移后与平移前对应点的坐标有什么变化？ 解析：△ABC的三个顶点的坐标是：A(-2，5)、B(-4，3)、C(-1，2)． 向右平移5个单位长度后，得到的△A′B′C′对应的顶点的坐标是：A′(3，5，、B′(1，3）、C′(4，2）． 比较对应顶点的坐标可以得到：沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有变化，而横坐标都增加了5个单位长度． 友情提示：如果将△ABC沿y轴向下平移5个单位，三角形各顶点的横坐标都不变，而纵坐标都减少5个单位．(请你画画看)．例2. 如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______。 析解：由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴)3,3(B经过相同的平移后可得)4,7(/B 反思：①根据平移的坐标变化规律： ★左右平移时：向左平移h个单位) , ( ) , (b h a b a- → 向右平移h个单位) , ( ) , (b h a b a+ → ★上下平移时：向上平移h个单位) , ( ) , (h b a b a+ → 向下平移h个单位) , ( ) , (h b a b a- → 二、旋转 例3.如图2，已知△ABC，画出△ABC关于坐标原点 0旋转180°后所得△A′B′C′，并写出三角形各顶点的 坐标，旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化？ 解析：△ABC三个顶点的坐标分别是： A(-2，4)，B(-4，2)，C(-1，1)． △A′B′C′三个顶点的坐标分别是： 图2 图1 B/ 图 2 图1

第三章《图形的平移与旋转》专题复习(含答案)

第三章《图形的平移与旋转》专题专练 专题一 图形的平移概念 重点知识回顾 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移. 注意：（1）平移过程中，对应线段可能在一条直线上. （2）平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上. 2.平移的两个基本要素： “平移的方向”和“平移的距离”.图形的平移是由它的移动方向和移动距离决定的.当图形平移的方向没有指明时，就需要认真观察图形的形状和位置的变化特征，根据平移的性质先确定平移的方向，再确定对应点、对应线段和对应角. 3.图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出平移性质的依据. 典型例题剖析 例1 生活中有很多平移的例子，下列物体的运动是平移的是（ ） A.水中小鱼的游动 B.天空中划过的流星的运动 C.出膛的子弹沿水平直线的运动 D.小华在跳高时的运动 分析：正确判断物体是否为平移运动关键是理解和掌握平移的概念和特征.看物体是否在同一个平面内运动，是否沿某个方向平行移动一定的距离，而“水中小鱼的游动”、“天空中划过的流星的运动”、“小华在跳高时的运动”显然不符合平移的概念，只有“出膛的子弹沿水平直线的运动”才是平移运动. 点悟：识别平移现象的关键是抓住平移的特征：物体必须在平面内运动，在曲面上运动物体一定不是平移，平移是直线的运动，平移只与物体的位置有关，与速度无关，平移只关注物体的位置变化. 例2 （2008年福建省泉州市）在图1的方格纸中，ABC △向右平移 格后得到111A B C △． 分析：因为△A 1B 1C 1是△ABC 平移后得到的图形，所以点A 1与点 A 、 B 1与B 、 C 1与C 分别是对应点，故只需随便数一数一对对应点之间的格数，即为平移 图1

初三数学旋转坐标与图形变换

图形的旋转 坐标与图形变换 1、（2018武汉模拟）在平面直角坐标系中， 将点P （4，-3）绕原点旋转90度得到1P ，则1P 的坐标为________ [解析]：分顺时针和逆时针两种情况旋转，1P 的坐标为（-3，-4）或（3，4） 2、（2018洪泽县模拟）已知点P 的坐标为（1，1），若将点P 绕着原点逆时针旋转45度，得到1P ，则1P 的坐标为________ [解析]：1P 的坐标为（-1，1） 3、（2018杜丹江二模）如图，平面直角坐标系中，等边OAB ?边长为2，点B 在第一象限内，AB//x 轴，若将OAB ?绕点O 旋转120度，再关于y 轴对称后得到O B A 11?，由点1A 的坐标为________ [解析]：分顺时针和逆时针两种情况旋转，),3,1(1 --A 或),0,2(1A 4、（2018杜丹江三模）等边ABC ?如图放置，A （1，1），B （3，1），等边三角形的中心是点D ，若将点D 绕点A 旋转90度后得到点、D ，则、D 的坐标是________ [解析]：)331,2(+ D 顺时针旋转得到)0,331(+、D ，逆时针旋转得到)2,331(-、D

5、（2018杜丹江）如图，ABC ?三个顶点的坐标分别是A （1，-1），B （2，-2），C （4，-1），将ABC ?绕着原点O 旋转75度，得到111C B A ?，则点1B 的坐标为________ [解析]：由点B （2，-2），则OB=2，且OB 与x 轴、y 轴夹角为45度，当点B 绕原点逆时针旋转75度后，与x 轴正向夹角为30度，则点1B 到x 轴y 轴距离分别为6,2，则点)2,6(1B ，同理，当点B 绕原点顺时针旋转时，可得)6,2(1--B 6、（2018邵阳期末）如图，已知A （2，1），现将A 点绕原点O 逆时针旋转90度得到1A ，则1A 的坐标是________ [解析]：)2,1(1-A 7、（2018沙坪坝区期末）如图，平面直角坐标系中，已知点B （-3，2），若将ABO ?绕点O 沿顺时针方向旋转90度得到O B A 11?，则点B 的对应点1B 的坐标是________ [解析]：)3,2(1B

(完整word版)图形变换共顶点旋转.知识精讲(2014-2015).doc

共顶点旋转中考大纲 中考内容 A 了解图形的旋转，理解对应点 到旋转中心的距离相等、对应图形的旋转 点与旋转中心连线所成的角彼 此相等的性质；会识别中心对 称图形 中考要求 B C 能按要求作出简单平面图形旋转后的图能运用旋转的形，能依据旋转前、后的图形，指出旋知识解决简单转中心和旋转角问题 知识网络图 定义：绕定点旋转一定的角度 概念与性质 性质：旋转前后两个图形全等 中心对称：旋转 180 能重合 等边三角形 旋转 等腰三角形 共顶点旋转 等腰直角三角形 正方形 费马点与最值 知识精讲 一、旋转 1、定义 把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P ' ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图． P Q O P' Q' 【注意】 1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． 2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质 （ 1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形） （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形） 3、作图的重要条件 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件 （1）旋转中心 （2）旋转方向及旋转角度． 4、作图的基本步骤 具体步骤分以下几步 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点． 二、中心对称 1、中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转 180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图） A D O B C 【注意】 1、图形成中心对称是旋转角为定角（180）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系． 2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 2、中心对称的性质 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等． 如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称． 3、中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图） A D O B C

图形变换共顶点旋转.知识精讲(2014-2015)

中考内容 中考要求 A B C 图形的旋转 了解图形的旋转，理解对应点 到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识解决简单问题 180???? ?? ?????? ?? ?? ?? ?? ??? ???定义：绕定点旋转一定的角度概念与性质性质：旋转前后两个图形全等中心对称：旋转能重合等边三角形旋转等腰三角形共顶点旋转等腰直角三角形正方形费马点与最值 一、旋转 1、定义 把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图． Q' P' Q P O 【注意】1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． 2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质 （1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角） 共顶点旋转 中考大纲 知识精讲 知识网络图

（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形） （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形） 3、作图的重要条件 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件 （1）旋转中心 （2）旋转方向及旋转角度． 4、作图的基本步骤 具体步骤分以下几步 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点． 二、中心对称 1、中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180?，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图） A D O C B 【注意】1、图形成中心对称是旋转角为定角（180?）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系． 2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 2、中心对称的性质 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等． 如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称． 3、中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180?，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图） A D O C B

图形旋转与点的坐标问题——专题复习

教学设计 图形旋转与点的坐标问题——专题复习 （一）学情分析 对于九年级的学生，虽然有了一定的知识储备，但是学生基础高低参差不齐，两极分化已经比较明显了，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对图形的变换有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。这样要因材施教，使他们在各自原有的基础上不断发展进步。 （二）教法学法 我将结合学案，采用探究发现、合作交流等学习方法。教学中加强对旋转性质的认识，通过变式训练进行深入研究，在学生的积极思考努力下，自主参与知识的发生、发展、发现的过程，使学生掌握知识，培养思维能力。 （三）教学目标 图形的变换包括平移、轴对称、旋转、位似、投影等，本节课还是主要探究“图形旋转与坐标”。 1、掌握图形旋转的性质，能利用含30度角的直角三角形的三边关系、一次函数、相似三角形的判定与性质等解决问题。 2、在直角坐标系中，把握好图形变换后点的坐标的变化。 3、灵活运用不同的方式求值，体会数形结合思想. （四）教学重点、教学难点：重点是在直角坐标系中，把握好图形变换后点的坐标的变化。 难点是灵活运用不同的方式求值。 （五）教学过程 一、温故辅新 1.如图1：在平面直角坐标系中若点A′的坐标为（3，7），点A的坐标为（0，4），则A、A′两点间的距离为（）。 图3

（小结：要求A 、A ′两点间的距离，需构造以AA ′为斜边的直角三角形，利用勾股定理即可求解） 2.已知直线m ： 33 35-=x y ，若m 与x 轴交于点P, 则点P 的坐标为( )。 （小结：令y=0，即可求出点P 的坐标)。 如图2：已知Rt △AB Ｏ中∠Ｏ=90°OA=4，OB=3，把△AB Ｏ绕点B 逆时针旋转，得△A ′B Ｏ′，点A ， Ｏ旋转后的对应点为A,Ｏ′，记旋转角为α．若α=90°，则AA ′的长＝（ ）。 ( 小结：要求 AA ′的长，需根据旋转性质得到∠ABA ′=90°，利用勾股定理即可求解 ) 4.如图3: 已知△CH Ｏ′中，OP ∥H Ｏ′，且H Ｏ′=233 ，OH=2 9， OC = 3 ， 求 OP 长? ( 小结：要求 op 的长，需根据相似三角形的性质得到） 5.如图4：在直线l 同侧有Ａ、Ｂ两点，在l 上找一点Ｃ使ＡＣ＋ＢＣ最短？请在图中画出Ｃ点的位置？ 图4 ( 小结：最短路径问题，需根据轴对称性质将同侧问题转化为异侧问题利用两点之间线段最短求解。） 5.如图５: 在平面直角坐标系中，Ｏ为原点，点A （4，0），点B （0，3），把△AB Ｏ绕点B 逆时针旋转， 得△A ′B Ｏ′，点A ，Ｏ旋转后的对应点为A ，Ｏ′，记旋转角为α．若α=120°， （1）则∠Ｏ′B Ｏ的度数为（ ）； （2）点Ｏ′到y 轴的距离等于（ ）； （3）点Ｏ′到x 轴的距离等于（ ）； ( 小结：要求 点Ｏ′的坐标，需求出点Ｏ′到y 轴的距离及点Ｏ′到x 轴的距离) （4）（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边ＯA 上 的一点P 旋转后的对应点为P ′， ①存在点P 使得Ｏ′P+BP ′取得最小值，简要说明点P 的位置（不用求出点P 的坐标）； ② 当Ｏ′P+BP ′取得最小值时，求出点P 的坐标 ； ③ 当Ｏ′P+BP ′取得最小值时，求出点P ′的坐标。 ( 小结：要求 点P ′的坐标，①需先判断出Ｏ′P+BP ′取得最小值时点P ′的位置，根据BP ′=BP ，将其 转化为判断Ｏ′P+BP 的最小值，想到最短路径问题得到点P 的位置，即可确定点P ′的位置② 要求出点P 的坐标 需要求直线Ｏ′P 的解析式令y=0，即可求出点P 的坐标同时可得OP 的长度。)③ 要求出点P ′的坐 标，利用Ｏ′P ′=OP ，通过构造直角三角形，即可求解。）

坐标系的变化与图形变换

坐标系的变化与图形变换 private void Form1_Paint(object sender, PaintEventArgs e) { Graphics g = e.Graphics; g.FillRectangle(Brushes.White, this.ClientRectangle); g.DrawRectangle(Pens.Black, 10, 10, 50, 50); g.DrawEllipse(Pens.Black,10,10,10,10); g.ScaleTransform(2.0f, 3.0f); g.DrawRectangle(Pens.Black, 10, 10, 50, 50); g.DrawEllipse(Pens.Black, 10, 10, 10, 10); g.ScaleTransform(0.5f, 0.3333333f); g.DrawRectangle(Pens.Red, 20, 30, 100, 150); g.DrawEllipse(Pens.Red, 20, 30, 20, 30); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { Graphics g = this.CreateGraphics(); g.FillRectangle(Brushes.White, this.ClientRectangle); Font f = new Font("Times New Roman", 24); g.DrawString("Traslation",f,Brushes.Black,0,0); g.TranslateTransform(150, 75); g.DrawString("Traslation", f, Brushes.Black, 0, 0); } private void button2_Click(object sender, EventArgs e) { Graphics g = this.CreateGraphics(); g.FillRectangle(Brushes.White, this.ClientRectangle); for (int i = 1; i <= 5; ++i) { g.DrawRectangle(Pens.Black, 10, 10, 30, 50); g.TranslateTransform(2, 10); } }

图形变换—旋转综合题(含答案)-

图形变换—旋转综合题 1.如图，在△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转。 （1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明。 （2）如图1,设AF=x，四边形CEDF的面积为y.求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围. （3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E,连结AE与CD延长线交于H,如图2，求DH的长。

2.如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，如图1，使它的斜边与BC交于点E，一条直角边与CD交于点F（E、F不与B、D重合），AE、AF分别与BD交于P、Q两点. （1）求证：△ABP∽△ACF，且相似比为1∶2； （2）请再在图1中（不再添线和加注字母）找出两对相似比为1∶2的非直角三角形的相似三角形；（直接写出） （3），如图2当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连结ON,若ON=8,求MQ的长。

3.如图，操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与边DC或射线DC相交于点Q。 ①当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； ②当点Q在边CD运动上时，设四边形PBCQ的面积为S时，试用含有x的代数式表示S： ③当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。

图形变换(图形的平移旋转与轴对称)

一、选择题 1. （2015江苏徐州，6，3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A.直角三角形 B.正三角形 C.平行四边形 D.正六边形 【答案】B 【解析】：A.直角三角形不是轴对称图形也不是中心对称图形；B.正三角形只是轴对称图形；C.平行四边形只是中心 对称图形； D.正六边形是轴对称图形也是中心对称图形.故选B 2. （2015省市，3，分）一张菱形纸片按图1-1、图1-2一次对折，再按图1-3打出1个圆形小孔． 展铺平后的图案是（ ） 【答案】C 【解析】解：打孔时，小孔距离铅垂对角线近，水平对角线远，且由折纸知道是对称的，因此C 选项正确，故选C ． 3. （2015河北省，15，2分）如图7，点A 、B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的 中点，对于下列各值： ①线段MN 的长； ②△PAB 的周长； ③△PMN 的面积； ④直线MN ，AB 之间的距离； ⑤∠APB 的大小． 其中会随点P 的移动而变化的是（ ） A ．②③ B ．②⑤ C ．①③④ D ．④⑤ 【答案】B 【解析】解：①线段MN 是△PAB 的中位线，所以MN 的长度是AB 的一半；②点P 移动过程中，PA 、PB 的长度都 会发生变化，因此△PAB 的周长也会发生改变；③△PMN 的面积始终是△PAB 的14 ，不会发生变化；④MN 与AB 之间的距离始终等于△PAB 的高的一半，不会变化；⑤∠APB 会发生变化，故会发生变化的有②⑤，故选B ． 4. （2015山东省莱芜市，6，3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 A ． B ．D ． 【答案】D 【解析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义即可知 5. （2015湖南省邵阳市，10题，3分）如图（七），在矩形ABCD 中，已知AB =4，BC =3，矩形在直线l 上绕其右下 角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ） A. 2015π B. 3019.5π C. 3018π D. 3024π 图（七） 【答案】D 【解析】旋转4次是一个循环，其中前三次旋转，第四次是绕A 点旋转，点A 不移动距离，每一个循环，所转过的弧 长之和是 904905903180180180πππ???++= 9012180 π?= 6π，2015=4×503＋3，因此 连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是503×6π＋6π=3024π，答案选择D. 6（2015四川省雅安市，4，3分）下列大写英文字母既可以看成是轴对称图形又可以看成是中心对称图形的是（ ） l 图7

中考数学试题分类解析 专题 图形的旋转变换

20XX 年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题） 专题54：图形的旋转变换 一、选择题 1. （2012天津市3分）将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转900，所得图形一定与原图形重合的是【 】 （A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）正方形 【答案】D 。 【考点】旋转对称图形 【分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形。故选D 。 2. （2012广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】 A ．π B ．3 C ．33+4π D ．113+12π 【答案】D 。 【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。 【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA 1、 BCD 和△ACD 计算即可： 在△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =2， ∴BC =12 AB =1，∠B =90°－∠BAC =60°。∴22AC AB BC 3=-=。 ∴ABC 13S BC AC 2?= ??=。 设点B 扫过的路线与AB 的交点为D ，连接CD ， ∵BC =DC ，∴△BCD 是等边三角形。∴BD =CD =1。 ∴点D 是AB 的中点。

∴ACD ABC 1133S S 22?? ==?=S 。 ∴1ACD ACA BCD ABC S S S ??=++扇形扇形的面扫过积 22903 601333113 3604612πππππ????=++=++=+（） 故选D 。 3. （2012广东汕头4分）如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A ′B ′C ′．若∠A =40°．∠B ′=110°，则∠BCA ′的度数是【 】 A ．110° B ．80° C ．40° D ．30° 【答案】B 。 【考点】旋转的性质，三角形内角和定理。 【分析】根据旋转的性质可得：∠A ′=∠A ，∠A ′CB ′=∠ACB ， ∵∠A =40°，∴∠A ′=40°。 ∵∠B ′=110°，∴∠A ′CB ′=180°﹣110°﹣40°=30°。∴∠ACB =30°。 ∵将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A ′B ′C ′，∴∠ACA ′=50°， ∴∠BCA ′=30°+50°=80°，故选B 。 4. （2012江苏苏州3分）如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ＇OB ＇，若 ∠AOB =15°，则∠AOB ＇的度数是【 】 B A ＇ A B ＇ A .25° B .30° C .35° D . 40° 【答案】B 。 【考点】旋转的性质。 【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，从而得出答案：

第3章 图形的平移与旋转 课题 平移与坐标变化

课题平移与坐标变化 【学习目标】 1．探究横向(或纵向)平移一次，其坐标变化的规律，认识图形变换与坐标之间的内在联系． 2．探究平移中既有横向又有纵向时坐标的变化特点． 【学习重点】 平移时点的坐标变化规律． 【学习难点】 利用点的平移坐标变化规律进行作图． 行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么． 行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知 识．情景导入生成问题 旧知回顾： 1．什么叫平移？ 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移不改变图形的形状和大小． 2．平移的性质有哪些？ 答：(1)平移前后的两个图形形状、大小一样；(2)经过平移，对应点所连线段平行；对应线段平行且相等；对应角相等． 知识链接：关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标相反．关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标相反． 方法指导：熟练掌握平移的规律是解题的关键，上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减；左右平移，纵坐标不变，横坐标右加左减． 学习笔记： 行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．

学习笔记： 检测可当堂完成． 自学互研生成能力 知识模块沿x 轴(或y轴)方向平移的坐标变化 【自主探究】 阅读教材P68－69的内容，回答下列问题： 在平面直角坐标系中，把一个图形沿x轴(或y轴)方向平移，其坐标变化的规律是什么？ 答：在平面直角坐标系内，把一个图形沿x轴向右(或向左)平移k(k>0)个单位长度，就是把原图形对应点的横坐标分别加k(或减k)，纵坐标保持不变；把一个图形沿y轴向上(或向下)平移k(k>0)个单位长度，就把原图形对应点的纵坐标分别加k(或减k)，横坐标保持不变． 范例1：(大连中考)在平面直角坐标系中，将点P(3，2)向右平移2个单位长度，所得的点的坐标是(D) A．(1，2)B．(3，0)C．(3，4)D．(5，2) 仿例1： 如图，在平面直角坐标系中，将点M(2，1)向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为(A) A．(2，－1) B．(2，3) C．(0，1) D．(4，1) 仿例2：在平面直角坐标系中，将点(4，6)先向左平移6个单位长度，再将得到的点的坐标关于x轴对称，得到的点位于(C) A．x轴上B．y轴上C．第三象限D．第四象限 仿例3：点P(1，－2)到点P′(1，3)是向上平移了5个单位长度． 仿例4：将点M(－1，－5)向右平移3个单位长度得到点N，则点N所处的象限是第四象限． 归纳：平移中点的变化规律是：横坐标向右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 范例2：(湘潭中考)如图，在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上． (1)B点关于y轴的对称点的坐标为(－3，2)； (2)将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1； (3)在(2)的条件下，A1的坐标为(－2，3)． 仿例： 如图，△AOC是一个直角三角形，C(0，3)，A(－2，0)，把△AOC沿AC边平移，使A点平移到C点，△AOC变换为△CED，则点D，点E的坐标分别为(2，6)，(2，3)．按照这个规律再平移△CED，使C点平移到D 点，D点平移到G点，得到△DFG，则点G、点F的坐标分别是(4，9)，(4，6)． 归纳：根据平移前后两个对应点的坐标变化情况，找出平移的方向和单位长度．一个图形依次沿x轴方向，y 轴方向平移后所得图形，可以看作是由原来的图形经过一次平移得到．

几何图形旋转变换

几何图形旋转变换 1.已知：在ABC ?中，AC BC >，动点D 绕ABC ?的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ． （1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明） ． （2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明． 图2 图3 图1 A D

2、已知：在四边形ABCD中，A D∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上， 且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系。 （1）如图1，若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为______________; （2）如图2，若AB=BC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明； （3）如图3，若AB=KBC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

L 3．如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且A C B C =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =． （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系； （2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交 AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足 图1 的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长 线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所 猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立， 图2 给出证明；若不成立，请说明理由． L

图形变换共顶点旋转.习题集(2014-)

【例1】下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）． （2013北京中考）【答案】A 【例2】在ABC △中,AB AC =，BACα ∠=(? < < ?60 0α)，将线段BC绕点B逆时针旋转6０°得到线段BD． (1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）; （2）如图２,15060 BCE ABE ∠=?∠=? ，,判断ABE △的形状并加以证明； (３）在（2）的条件下，连结DE,若45 DEC ∠=?,求α的值． （2013北京中考) 【答案】(1）30 2 ABD α ∠=?-; (2）ABE △是等边三角形. 证明:连结AD CD ，, ∵60 DBC BD BC ∠=?= ，， ∴BDC △是等边三角形，60 BDC BD DC ∠=?= ，. 又∵AB AC AD AD == ，, ∴ABD ACD ≌ △△， ∴ADB ADC ∠=∠, ∴150 ADB ∠=?, ∵60 ABE DBC ∠=∠=?, ∴ABD EBC ∠=∠， 又∵150 BD BC ADB ECB =∠=∠=? ，, 真题链接 共顶点旋转

∴ABD EBC ≌ △△， ∴AB EB =, ∴ABE △是等边三角形． B C E D A （3）∵BDC ?是等边三角形， ∴60BCD ∠=?， ∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=?， 又∵45DEC ∠=?， ∴CE CD BC ==, ∴15EBC ∠=?, ∵302 EBC ABD α ∠=∠= ?-, ∴30α=?． 一、旋转的概念和性质 【例3】 下图中，不是旋转对称图形的是( ). 【答案】B 【例4】 有下列四个说法,其中正确说法的个数是( ）. ①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心； ②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度; ③图形旋转时,对应点与旋转中心的距离相等; ④图形旋转时,对应线段相等,对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化 A.1个 B ．2个 Ｃ．3个?Ｄ.4个 【答案】D 【例5】 如图,若正方形D ＣEF 旋转后能与正方形ABCD 重合,则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有 （ ）个． A.1 Ｂ.2?C.3 D ．4 课堂练习

4坐标系中的旋转变换(2017年)

1. (2017 山西省太原市) 如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （0，4），B （-1，1），C （-2， 2）．将△ABC 向右平移4个单位，得到A B C '''?，点A 、B 、C 的对应点分别为,,A B C '''，再将A B C '''?绕点B '顺时针旋转90，得到A B C ''''''?，点,,A B C '''的对应点分别为,,A B C ''''''，则点A ''的坐标为 ． 答案： 答案（6，0）． 考点：平移的性质；旋转的性质；综合题． 20171012112653390308 4 坐标系中的旋转变换 填空题 基础知识 2017-10-12 2. (2017 湖北省仙桃潜江天门江汉油田) 2017湖北天门，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为A (﹣1，1)，B (0，﹣2)，C (1，0)．点P (0，2)绕点A 旋转180°得到点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得到点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3，点P 3绕点A 旋转180°得到点P 4，……，按此作法进行下去，则点P 2017的坐标为 ．

答案：思路分析根据旋转可得：P1(﹣2，0)，P2(2，﹣4)，P3(0，4)，P3(0，4)，P4(﹣2，﹣2)，P5(2，﹣2)，P6(0，2)，故6个循环，2017÷6＝336…1，故P2017(﹣2，0)． 标准答案（﹣2，0）， 点评本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟记旋转变换性质，掌握网格结构准确找出对应点的位置，弄清坐标的变化规律是解本题的关键，再利用规律解决问题． 20171012080137015698 4 坐标系中的旋转变换填空题基础知识2017-10-12 3. (2017 福建省龙岩市) 如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A B''和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（）

专题46 以正方形为基础的图形的旋转变换问题(解析版)

专题46 以正方形为基础的图形的旋转变换问题 【例题精讲】 根据图形回答问题： （1）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作等边三角形，试回答△ACE可看作哪个三角形怎么样旋转得到．（不用说明理由） （2）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作正方形，连接DG，M为DG中点，连接EM并延长交FG于N，连接FM，猜测FM和EM的关系，并说明理由． （3）在（2）的基础上将正方形CBGF绕C点旋转，其它条件不变，猜测FM和EM的关系，并说明理由． 解：（1）将△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到△DCB，所以可得△ACE可以由△DCB以C点为轴逆时针旋转60度得到．

（2）FM△ME ，FM=ME ，连接GN 和DE ， 在△DME 和△GMN 中，MDE MHG DME GMN DM MG ∠∠∠∠?? ??? ＝＝＝， △△DME△△GMN （AAS ），△DM=MN ，DE=NG ，△FN=FG -NG=FG -DE=FC -EC=FE ， △△NFE 是等腰直角三角形， △FM△ME ，并且FM=ME （等腰三角形中线就是垂线，直角三角形中线等于斜边的一半） （3）延长EM 至N 点，使EM=MN ，连接NG 、EF 、FN ．（EC 与DM 的交点标为P ，FC 与DM 交点标为Q ） 在△DME 和△GMN 中，EM MN DME GMN DM MG ? ∠?? ∠??＝＝＝，△△DME△△GMN ．△DE=NG ， △EDM=△NGM ， △EC=NG ，△△ECF=180°-△CPQ -△CQP=180°-△DPE -△FQG=180°-（90°-△MDE ）-（90°-△FGM ）=△EDM+△FGM ，△△NGM+△FGM=△NGF ，△△ECF=△NGF ，△EC=DE=NG ， 在△ECF 和△NGF 中，FC FG ECF NGF EC NG ? ∠?? ∠??＝＝＝，△△ECF△△NGF ，△EF=NF ，△EFC=△NFG ， △△EMN=△EFC+△CFN=△NFG+△CFN=△CFG=90°，△△EFN 是等腰直角三角形，△FM△EM ，并且FM=EM 。 【针对训练】