高考数学模拟复习试卷试题模拟卷19116
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1.了解指数函数模型的实际背景．
2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
5．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
6.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
7.知道对数函数是一类重要的函数模型．
8.了解指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝logax 互为反函数(a>0，且a≠1)． 【热点题型】
题型一指数式与根式的计算( 例1、计算
(1)733－3324－6319＋433
3＝________. (2)????2790.5＋0.1－2＋???
?21027－2
3－3π0＋3748＝________.
【提分秘籍】
化简指数幂的一般步骤是：有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算(即先乘方、开方)，再乘除，最后加减，负指数幂化为正指数幂的倒数；底数是负数，先确定符号；底数是小数，先要化成
分数；底数是带分数的，先要化成假分数；若是根式，应化为分数指数幂，然后再尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．
【举一反三】
若x>0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 1
2)＝________.
解析：原式＝(2x 14)2－(332)2－4x1－12＋4x －12＋12＝4x 12－33－4x 1
2＋4＝－23. 答案：－23
题型二指数函数的图象问题(
例2、若方程|ax －1|＝2a(a>0，且a≠1)有两解，则a 的取值范围是________．
解析 令f(x)＝|ax －1|，g(x)＝2a ，画出它们的图象，如图，由图可知0<2a<1，则0 2. 答案 ??? ?0，12 【提分秘籍】 y ＝ax ，y ＝|ax|，y ＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y ＝ax 与y ＝|ax|是同一函数的不同表现形式． 函数y ＝a|x|与y ＝ax 不同，前者是一个偶函数，其图象关于y 轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 已知c<0，下列不等式中成立的一个是() A ．c>2c B ．c>??? ?12c C ．2c ?12c D ．2c>??? ?12c 解析：在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝x ，y ＝????12x ，y ＝2x 的图象(如图)，显然x<0时，x<2x 即c<0时，c<2c 题型三指数函数性质的应用 例3、设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝??? ?12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．a>b>c B ．b>a>c C ．c>a>b D ．c>b>a 解析 ∵a ＝40.8＝21.6，b ＝80.46＝21.38，c ＝??? ?12－1.2＝21.2，又∵1.6>1.38>1.2，∴21.6>21.38>21.2.即a>b>c. 答案 A 【提分秘籍】 (1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3)指数型函数中参数的取值范围问题．在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时，应注意对底数a 的分类讨论． 【举一反三】 若函数f(x)＝?? ? 1 x ，x<0， ??? ?13x ，x≥0，则不等式－13≤f(x)≤1 3的解集为() A ．[－1,2)∪[3，＋∞) B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C.??? ?32，＋∞ D ．(1， 3 ]∪[3，＋∞) 答案：B 题型四对数运算 例4、(1)(3＋2)2log(3－2)5＝( ) A ．1B.12 C.14D.15 (2) ＝________. (3)若log147＝a,14b ＝5，则a ，b 表示log3528＝________. 解析 (1)原式＝(3＋2)log(3－2)5 ＝(3＋2)log(3＋2)1 5 ＝15. (2)原式＝ ＝ ＝－32 (3)∵14b ＝5，∴log145＝b ， 又log147＝a ， ∴log3528＝log1428 log1435 ＝log141427log145＋log147 ＝2－a a ＋b . 答案 (1)D (2)－3 2 (3)2－a a ＋b 【提分秘籍】对数式的化简与求值的常用思路： (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并． (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底数真数的积、商、幂再运算． 【举一反三】 lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝() A ．1B ．2 C ．3 D ．4 解析：原式＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5＋lg 2) ＝2lg 5＋2lg 2＝2. 答案：B 题型五对数函数的图象及应用 例5、(1)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是() (2)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则() A．x1x2<0 B．x1x2＝0 C．x1x2>1 D．0 (2)作出y＝10x，与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图． 显然x1<0，x2<0. 不妨设x1 则x1<－1，－1 所以10x1＝lg(－x1)， 10x2＝－lg(－x2)， 此时10x1<10x2， 即lg(－x1)<－lg(－x2)， 由此得lg(x1x2)<0， 所以0 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系． 【举一反三】 若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是() 题型六对数函数的性质及应用 例6、对于函数f(x)＝log 1 2(x2－2ax ＋3)，解答下列问题： (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)在(－∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围． 【提分秘籍】 对数函数性质的考查多与复合函数联系在一起．要注意两点： (1)要认清复合函数的构成，判断出单调性． (2)不要忽略定义域． 【举一反三】 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间． (2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解析：(1)∵f(1)＝1， ∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1， 这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0得－1 令g(x)＝－x2＋2x＋3， 则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f(x)的最小值为0， 则h(x)＝ax2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有????? a>0，3a －1a ＝1，解得a ＝1 2. 故存在实数a ＝1 2 使f(x)的最小值为0. 【高考风向标】 1.【高考新课标1，文10】已知函数12 22,1 ()log (1),1x x f x x x -?-≤=?-+>?，且()3f a =-，则(6)f a -= （ ） （A ）74- （B ）54-（C ）34-（D ）1 4 - 【答案】A 【解析】∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1 ()2 23a f a -=-=-，则121a -=-，此等式显然不成立， 当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =，∴(6)f a -=(1)f -=117 224 ---=- ，故选A. 2.【高考山东，文8】若函数21 ()2x x f x a +=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为( ) （A ）( ) (B)( ) （C ）0,1（）（D ）1,+∞（） 【答案】C 3.【高考山东，文2】设0.6 1.50.6 0.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是( ) （A ）a b c ＜＜（B ） a c b ＜＜（C ）b a c ＜＜（D ）b c a ＜＜ 【答案】C 【解析】由0.6x y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C . 4.【高考新课标1，文12】设函数()y f x =的图像与2 x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且 (2)(4)1f f -+-=，则a =( ) （A ）1-（B ）1（C ）2（D ）4 【答案】C 【解析】设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2 x a y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即 2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C. 5.【高考浙江，文9】计算：22 log 2 =，24log 3log 32+=． 【答案】1 ,332 - 【解析】122 221 log log 22 -==-；2424log 3log 3log 3log 32223333+=?==. 6.【高考四川，文12】lg0.01＋log216＝_____________. 【答案】2 【解析】lg0.01＋log216＝－2＋4＝2 7.【高考湖北，文17】a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当 a =_________时，()g a 的值最小. 【答案】222. 【解析】因为函数2()||f x x ax =-，所以分以下几种情况对其进行讨论：①当0a ≤时，函数 22()||f x x ax x ax =-=-在区间[0,1]上单调递增，所以max ()(a)1f x g a ==-；②当0222a <<时， 此时22()|()|2224a a a a f a =-?=，(1)1f a =-，而22 (2)(1)2044a a a +--=-<，所以max ()(a)1f x g a ==-； ③当2221a ≤<时，22()||f x x ax x ax =-=-+在区间(0,)2a 上递增，在(,1)2a 上递减.当2 a x =时，() f x 取得最大值2 ()24a a f =；④当2a ≥时，22()||f x x ax x ax =-=-+在区间[0,1]上递增，当1x =时，()f x 取 得最 大值(1)1 f a =-，则 2 1,222 (),2 222 4 1,2 a a a g a a a a ?-<- ? ? =-≤< ? ? -≥ ? ? 在(,222) -∞-上递减，(222,) -+∞上递增，即当222 a=-时，() g a的值最小.故应填222 -. 8.【高考上海，文8】方程2 )2 3( log )5 9( log1 2 1 2 + - = -- -x x的解为. 【答案】2 9．（·天津卷）设a＝log2π，b＝log 1 2π，c＝π－2，则() A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 【答案】C 【解析】∵a＝log2π>1，b＝log 1 2π<0，c＝ 1 π2<1， ∴b 10．（·四川卷）已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是() A．d＝ac B．a＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c 【答案】B 【解析】因为5d＝10，所以d＝log510，所以cd＝lg b·log510＝log5b＝a，故选B. 11．（·安徽卷）设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则() A．b C．c 【答案】B 【解析】因为2>a ＝log37>1，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1<1，所以c 12．（·福建卷）若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是() AB CD 【答案】B 13．（·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则() A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 【答案】D 【解析】因为0 3<0， c ＝log 1213>log 121 2＝1，所以c>a>b. 14．（·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝???? ?ex －1，x ＜1，x 13，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是________． 【答案】(－∞，8] 【解析】当x<1时，由ex －1≤2，得x<1；当x≥1时，由x 1 3≤2，解得1≤x≤8，综合可知x 的取值范围为x≤8. 15．（·山东卷）已知实数x ，y 满足ax A ．x3>y3 B ．sin x>sin y C ．ln(x2＋1)>ln(y2＋1) D.1x2＋1>1y2＋1 【答案】A 【解析】因为ax ＜ay(0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以x3>y3恒成立．故选A. 16．（·陕西卷）下列函数中，满足“f (x ＋y)＝ f(x)f(y)”的单调递增函数是() A ．f(x)＝x3 B ．f(x)＝3x C ．f(x)＝x 12 D ．f(x)＝????12x 【答案】B 【解析】由于f(x ＋y)＝f(x)f(y)，故排除选项A ，C.又f(x)＝??? ?12x 为单调递减函数，所以排除选项D. 18．（·陕西卷）已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________． 【答案】10 【解析】4a ＝2，即22a ＝2，可得a ＝12，所以lg x ＝12，所以x ＝101 2＝10. 19．（·四川卷）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P(x ，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是() A ．[5，2 5 ] B ．[10，2 5 ] C ．[10，4 5 ] D ．[25，4 5 ] 【答案】B 20．（·天津卷） 函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________． 【答案】(－∞，0) 【解析】函数f(x)＝lg x2的单调递减区间需满足x2>0且y ＝x2单调递减，故x ∈(－∞，0)． 21．（·安徽卷） ??? ?1681－ 3 4＋log354＋log345 ＝________. 【答案】278 【解析】原式＝???? ??????234－34＋log3????54×45＝????23－3＝278. 22．（·浙江卷） 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x ＞0)，g(x)＝logax 的图像可能是( ) A B C D 【答案】D 【解析】只有选项D 符合，此时0 23．（·福建卷） 若函数y ＝logax(a>0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( ) A B C D 【答案】B 【解析】由函数y ＝logax 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝??? ?13x ，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x)3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log3(－x)，其函数图像不正确，故选B. 24．（·广东卷） 等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________． 【答案】5 【解析】在等比数列中，a1a5＝a2a4＝a23＝4.因为an>0，所以a3＝2，所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a53＝25，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5. 25．（·辽宁卷） 已知a ＝2－13，b ＝log213，c ＝log 1213，则() A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 【答案】D 【解析】因为0log 121 2＝1，所以c>a>b. 26．（·山东卷） 已知函数y ＝loga(x ＋c)(a ，c 为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( ) 图1-1 A ．a>1，x>1 B ．a>1，0 C ．0 D ．0 【答案】D 【解析】由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a ＜1.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝logax 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1. 27．（·四川卷） 已知b ＞0，log5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝acB ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c 【答案】B 【解析】因为5d ＝10，所以d ＝log510，所以cd ＝lg b·log510＝log5b ＝a ，故选B. 28．（·重庆卷） 若log4(3a ＋4b)＝log2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3 【答案】D 【高考押题】 1．函数y ＝a|x|(a>1)的图像是() 解析y ＝a|x|＝????? ax x≥0，a －x x ＜0. 当x≥0时，与指数函数y ＝ax(a>1)的图像相同；当x<0时，y ＝a －x 与 y ＝ax 的图像关于y 轴对称，由此判断B 正确． 答案B 2．已知函数f(x)＝? ?? ?? log3x ，x>0 2x x≤0，则f(9)＋f(0)＝() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析f(9)＝log39＝2，f(0)＝20＝1， ∴f(9)＋f(0)＝3. 答案D 3．不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x －a 2恒过定点，则这个定点的坐标是 ()． A.? ???1，－12 B. ????1，12 C.??? ?－1，－12 D.??? ?－1，12 解析 y ＝(a －1)2x －a 2＝a ??? ?2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a －1)2x －a 2恒过定点 ? ???－1，－12. 答案 C 4．定义运算：a*b ＝? ???? a ，a≤ b ，b ，a>b ，如1*2=1,则函数f(x) =2x*2x 的值域为()． A ．R B ．(0，＋∞) C ．(0,1] D ．[1，＋∞) 解析 f(x)＝2x*2－x ＝? ???? 2x ，x≤0， 2－x ，x>0，∴f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数， ∴0 答案 C 5．若a>1，b>0，且ab ＋a －b ＝22，则ab －a －b 的值为() A. 6 B ．2或－2 C ．－2 D ．2 解析(ab ＋a －b)2＝8?a2b ＋a －2b ＝6， ∴(ab －a －b)2＝a2b ＋a －2b －2＝4. 又ab>a －b(a>1，b>0)，∴ab －a －b ＝2. 6．若函数f(x)＝(k －1)ax －a －x(a>0且a≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x ＋k)的图象是下图中的 ()． 解析 函数f(x)＝(k －1)ax －a －x 为奇函数，则f(0)＝0，即(k －1)a0－a0＝0，解得k ＝2，所以f(x)＝ax －a －x ，又f(x)＝ax －a －x 为减函数，故0 答案 A 7．已知实数a ＝log45，b ＝??? ?120，c ＝log30.4，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．b D ．c 解析由题知，a ＝log45>1，b ＝??? ?120＝1，c ＝log30.4<0，故c 8．设f(x)＝lg(2 1－x ＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x 的取值范围是()． A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴a ＝－1. ∴f(x)＝lg x ＋11－x ，由f(x)＜0得，0＜x ＋1 1－x ＜1， ∴－1＜x ＜0. 答案 A 9．若函数y ＝loga(x2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是()． A ．0 D ．a≥2 解析 因为y ＝x2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a2 4，故要使函数y ＝loga(x2－ax ＋1)有最小值，则a>1，且4－a2 4>0，得1 10．若函数f(x)＝loga(x2－ax ＋3)(a>0且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x1 2时，f(x1)－f(x2)>0，则实数a 的取值范围为 ()． A ．(0,1)∪(1,3) B ．(1,3) C ．(0,1)∪(1,23) D ．(1,23) 解析 “对任意的x1，x2，当x1 2时，f(x1)－f(x2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f(x)有意义”．事实上由于g(x)＝x2－ax ＋3在x≤a 2时递减，从而????? a>1，g ????a 2>0.由此得a 的取值范围为 (1,23)．故选D. 答案 D 11．已知函数f(x)＝2x －1 2x ＋1. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求证f(x )在R 上为增函数． 12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a ，b 为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)． (1)求f(x)； (2)若不等式(1a )x ＋(1 b )x －m≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围． 解析(1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax ，得 ? ???? 6＝ab ，24＝b·a3. 结合a>0且a≠1，解得? ???? a ＝2， b ＝3. ∴f(x)＝3·2x. (2)要使(12)x ＋(1 3)x≥m 在(－∞，1]上恒成立， 只需保证函数y ＝(12)x ＋(1 3)x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可． ∵函数y ＝(12)x ＋(1 3)x 在(－∞，1]上为减函数， ∴当x ＝1时，y ＝(12)x ＋(13)x 有最小值5 6. ∴只需m≤5 6即可． ∴m 的取值范围(－∞，5 6] 13．已知函数f(x)＝??? ?13ax2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a 的值． 解析(1)当a ＝－1时，f(x)＝??? ?13－x2－4x ＋3， 令t ＝－x2－4x ＋3， 由于t(x)在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝??? ?13t 在R 上单调递减， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f(x)的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)． (2)令h(x)＝ax2－4x ＋3，f(x)＝??? ?13h(x)， 由于f(x)有最大值3， 所以h(x)应有最小值－1， 因此必有???? ? a>0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1. 即当f(x)有最大值3时，a 的值等于1. 14．已知定义在R 上的函数f(x)＝2x －1 2|x|.