2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：选修4-4第二节 参数方程

第二节 参数方程

授课提示：对应学生用书第201页

[基础梳理]

1．曲线的参数方程

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数???x ＝f （t ），y ＝g （t ），

并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫作参变数，简称参数．

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化

(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参

数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程???x ＝f （t ），

y ＝g （t ）.

3轨迹 普通方程 参数方程

直线 y －y 0＝tan α(x －x 0)

(α≠π2，点斜式)

???x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0

＋t sin α

(t 为参数)

圆 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2

?

??x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)

椭圆 x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0) ???x ＝a cos φ，y ＝b sin φ

(φ为参数)

1．参数方程化普通方程

(1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等．

(2)常用公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1

cos 2θ. 2．直线参数方程的标准形式的应用

过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是

?????x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则 (1)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.

(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 2

2，中点M 到定点M 0的距

离|MM 0|＝|t |＝????

??

t 1＋t 22. (3)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.

[四基自测]

1．(基础点：直线与椭圆的参数方程)直线y ＝x 与曲线?

??x ＝3cos α，

y ＝3sin α(α为参数)的交

点个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 答案：C

2．(基础点：直线的参数方程)若直线的参数方程为???x ＝1＋t ，

y ＝2－3t

(t 为参数)，则直线

的斜率为________． 答案：－3

3．(易错点：消参的等价性)曲线C 的参数方程为???x ＝sin θ，

y ＝cos 2θ－1

(θ为参数)，则曲线

C 的普通方程为________． 答案：y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)

4．(基础点：椭圆的参数方程)椭圆???x ＝2cos θ，

y ＝5sin θ

(θ为参数)的离心率为________．

答案：21

5

授课提示：对应学生用书第202页

考点一 参数方程与普通方程的互化

[例] 已知直线l 的参数方程为?

??x ＝a －2t ，

y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为

?

??x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；

(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [详细分析] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，

故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |

5≤4，

解得－25≤a ≤2 5.

即实数a 的取值范围为[－25，25]．

[破题技法] 将参数方程化为普通方程的方法

将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方

法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin 2θ＋cos 2θ＝1等)． 提醒：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．

如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．

详细分析：圆的半径为1

2，

记圆心为C ? ??

??

12，0，连接CP ，

则∠PCx ＝2θ，

故x P ＝12＋1

2cos 2θ＝cos 2 θ，

y P ＝1

2sin 2θ＝sin θcos θ.

所以圆的参数方程为?????x ＝cos 2 θ，

y ＝sin θcos θ

(θ为参数)．

考点二 参数方程的应用

[例] (2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为?????x ＝1－t 2

1＋t 2，

y ＝4t

1＋t 2

(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0. (1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值． [详细分析] (1)因为－1＜1－t 2

1＋t

2

≤1， 且x 2

＋? ??

??y 22＝? ?????1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）

2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2

＋y 24＝1(x ≠－1)， l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.

(2)由(1)可设C 的参数方程为?????x ＝cos α，

y ＝2sin α

(α为参数，－π＜α＜π)．

C 上的点到l 的距离为

|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ? ??

??α－π3＋117

.

当α＝－2π

3时，4cos ? ?

?

??α－π3＋11取得最小值7，

故C 上的点到l 距离的最小值为7.

[破题技法] 1.应用直线参数方程的注意点

在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义． 2．圆和圆锥曲线参数方程的应用

有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．

(2020·广东揭阳二模)以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝a 2(a ∈R ，a 为常数)，过点P (2，1)，倾斜角为

30°的直线l 的参数方程满足x ＝2＋3

2t (t 为参数)． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；

(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点(点P 在A 、B 之间)，且|P A |·|PB |＝2，求a 和||P A |－|PB ||的值．

[详细分析] (1)由ρ2cos 2θ＝a 2得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝a 2， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2－y 2＝a 2， ∴曲线C 的普通方程为x 2－y 2＝a 2.

∵过点(2，1)，倾斜角为30°的直线l 的普通方程为y ＝33(x －2)＋1，由x ＝2＋3

2t

得y ＝1＋1

2t ，

∴直线l 的参数方程为?????x ＝2＋3

2t ，

y ＝1＋t

2(t 为参数)．

(2)将?????x ＝2＋3

2t ，y ＝1＋t

2代入x 2－y 2＝a 2，得t 2＋2(2

3－1)t ＋2(3－a 2)＝0①，

依题意知Δ＝[2(23－1)]2－8(3－a 2)＞0，

则方程①的根t 1、t 2就是交点A 、B 对应的参数，t 1·t 2＝2(3－a 2)， 由参数t 的几何意义知|P A |·|PB |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1·t 2|，得|t 1·t 2|＝2， ∵点P 在A 、B 之间，∴t 1·t 2＜0， ∴t 1·t 2＝－2，即2(3－a 2)＝－2， 解得a 2＝4(满足Δ＞0)，∴a ＝±2. ∵||P A |－|PB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|，

又t 1＋t 2＝－2(23－1)，

∴||P A |－|PB ||＝43－2.

考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用

[例] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???x ＝2＋2cos φ，

y ＝2sin φ

(φ为参数)，以

原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.

(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；

(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R )，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，A ，B 均异于原点O ，且|AB |＝42，求α的值．

[详细分析] (1)由?????x ＝2＋2cos φ，

y ＝2sin φ

(φ为参数)消去参数φ可得C 1的普通方程为(x －

2)2＋y 2＝4.

∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，

由?????x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ

得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，其极坐标方程为ρ＝4cos θ，

由题意设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则|AB |＝|ρ1－ρ2|＝4|sin α－cos α|＝42????

??sin ? ?

???α－π4＝

42，

∴sin ? ?

?

??α－π4＝±1，∴α－π4＝π2＋k π(k ∈Z )．

∵0＜α＜π，∴α＝3π

4.

[破题技法] 参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略

(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．

(2020·湖南郴州二模)已知极坐标系中，点M ? ?

?

??42，π4，曲线C 的极坐标方程为ρ2

＝121＋2sin 2θ

，点N 在曲线C 上运动，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为???x ＝6＋t ，

y ＝t

(t 为参数)．

(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的参数方程； (2)求线段MN 的中点P 到直线l 的距离的最小值．

详细分析：(1)∵直线l 的参数方程为?????x ＝6＋t ，

y ＝t

(t 为参数)，

∴消去参数t 得直线l 的普通方程为x －y －6＝0.

曲线C 的极坐标方程化为ρ2＋2ρ2sin 2θ－12＝0，

∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋3y 2

－12＝0，即x 212＋y 24＝1.

∴曲线C 的参数方程为?????x ＝23cos α，

y ＝2sin α

(α为参数)．

(2)设N (23cos α，2sin α)(0≤α＜2π)，点M 的极坐标? ?

???42，π4化成直角坐标为(4，

4)，则P (3cos α＋2，sin α＋2)， ∴点P 到直线l 的距离d ＝

|3cos α－sin α－6|

2

＝??????2cos ? ?

???α＋π6－62≥22，

当cos ? ??

??α＋π6＝1时，等号成立． ∴点P 到l 的距离的最小值为2 2.

高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=

∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题

极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。

6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）

最新北师大版小学数学四年级下册《解方程(二)》教案设计

最新北师大版小学数学四年级下册《解方程（二）》教案设计 教案设计 设计说明 本节课的教学任务是使学生了解等式性质(二)，并会用这个性质解方程。由于学生在探究等式性质(一)时已经具备了一定的学习经验，因此本节课的教学设计主要突出以下两点：1．在操作实践中验证等式性质(二)。 在教学中，通过学生的亲身实践，边操作边观察边总结，使等式性质(二)顺利地生成，同时让学生对此有直观的理解，强化学习效果。 2．通过直观图理解解方程的过程。 在指导学生利用等式性质(二)解方程时，充分发挥了直观图的作用，加深学生对解方程的过程和依据的了解，提高学习效率。 课前准备 教师准备PPT课件 学生准备天平若干个贴有标签的砝码 教学过程 ⊙猜想导入

师：谁能说出我们学过的等式性质？ [学生回顾上节课学习的内容，并汇报：等式两边同时加上(或减去)同一个数，等式仍然成立] 引导学生猜想：等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，等式是否仍然成立呢？思考并在小组内交流自己的想法，然后汇报。 设计意图：学生已经学过了等式两边都加上(或减去)同一个数，等式仍然成立的性质。上课伊始，先复习所学知识，并由此进行合理猜想，再自然地引入新课，直奔主题。 ⊙动手验证，探究规律 师：大家的猜想对不对呢？我们来验证一下。 1．(课件演示，学生操作)天平左侧的砝码重x克，右侧放5克的砝码，这时天平的指针指向正中央，说明了什么？你知道左侧的砝码重多少克吗？怎样用等式表示？(说明天平平衡，左侧的砝码重5克，x＝5) 2．如果左侧再加上2个x克的砝码，右侧再加上2个5克的砝码，这时天平的指针指向正中央，说明了什么？你能写出一个等式吗？(说明天平平衡，3x＝3×5) 3．如果左侧有2个x克的砝码，右侧有2个10克的砝码，这时天平的指针指向正中央，说明了什么？你能写出一

高考数学重点题型：参数取值题型与分析

高考数学重点题型：参数取值题型与分析 （Ⅰ）参数取值问题的探讨 一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围 为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范 围。 分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范 围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。 解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5 要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转 化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2 上式等价于 ?? ? ??->-≥-≥-2)2(450 450 2a a a a 或???≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin2x,故

若把sinx 换元成t,则 可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。 另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即 a+1-2sin2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1], 整理得2t2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。 设f(t)= 2t2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1, ∴ f(x)在[-1，1]内单调递减。 ∴ 只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同) 例2．已知函数f(x)在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k ，使不等式 f(k -sinx)≥f(k2-sin2x)对一切实数x 恒成立？并说明理由。 分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k -sinx ≤k2-sin2x ≤1对于任意x ∈R 恒成 立，这又等价于 ? ????----≥+-----+≤)2()21(sin 41)1(sin 12222x k k x k 对于任意x ∈R 恒成立。 不等式（1）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即-1≤k ≤1----------(3) 不等式（2）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k2-k+41 ≥[(sinx -21)2]max=49 ,

高中数学直线参数方程测试题

三直线的参数方程 （课前部分） 编写者: 【学习目标】 理解直线的参数式方程以及明确它的形式特征，明确参数t 的几何意思。 【学习重点】 直线的参数式方程以及参数t 的几何意义。 【学习难点】 理解直线的参数方程中t 的几何意义. 【学法指导】通过探究直线上两点间的距离及利用向量的有关知识，让学生积极、主动地参与观察，分析、进而得出直线的参数式方程，培养了学生运用类比法的数学思想方法解决问题 通过本节课的学习，不仅要让学生学会知识，更重要的是由学会变为会学，让学生在探究活动中，自主探究知识，逐步掌握自主获得知识的学习方法。 【复习回顾】 1 、我们知道经过平面内的定点M0（x0,y 0）及斜率k 应用直线方程的点斜式就可以写出直线方程，那么你认为有几种办法能确定斜率k 值呢？ 2 、直线方程的方向向量如何确定？平面向量的共线定理是什么？ 3 、数轴上两点对应的数分别为t1,t 2 ,则两点间的距离是什么？ 【自主学习】 大家都知道，当我们把平面向量中所有的单位向量的起点放在坐标原点，那么他们的终点的轨迹是以坐标原点为圆心的单位圆。那么你能写出一个倾斜角为α的直线的一个方向单位向量吗？ 已知直线上定点M 0，M 是直线上的任意一点，当M 移动时，M0M 发生了哪些变化？与直线L 的单位方向向量e 之间什么关系？ 设直线l的倾斜角为，定点M 0、动点M 的坐标 分别为M0（x0,y0）、M （x,y） 如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标？ 通过对上面的问题的分析，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？又应当怎样选择参数呢？请同学们自己动手推导一下直线的参数方程的标准式，对比教材P35 的推导过程. 请同学们进一步思考直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？每一个量的几何意义又是什么？形式上有什么要求？ 根据直线的参数方程的公式请大家写出经过点M0（－2,3），倾斜角为30°的直线L 的参数方程？ 通过这个方程请大家求出：（1）当t=1 时对应的点P1的坐标。（2）当t= -1 时对应的点P2的坐标。（3）当t=0 时对应的点P3的坐标。（4）求出直线L 上与点M0相距为 2 的点的坐标。 画图找到这些点，做好标注！ 有人说t>0 时，t 表示向量M 0M 的长度，你同意吗？t<0 时又如何呢？通过对以上的分析你能总结出参数t 的几何意义吗？如有困难参看教材P36例 1 的上面部分。 由于直线的倾斜角α [0 ，），所以这个方向单位向量很特别，方向如何？请同学们自己动手 画出图形，写出这个向量e 的坐标。 当你竭尽全力，时间自会主持公道1

(完整版)北师大版2017小学五年级(下册)数学列方程应用题

列方程解应用题 一、课本习题 1、共有1428个网球，每5个装一筒，装完后还剩3个，一共装了多少筒？ 2、故宫的面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积多少万平方米？ 3、宁夏的同心县是一个“干渴”的地区，年平均蒸发量是2325mm，比年平均降水量的8倍还多109mm，同心县的年平均降水量多少毫米？ 4、猎豹是世界上跑得最快的动物，能达到每小时110km，比大象的2倍还多30km。大象最快能达到每小时多少千米？ 5、世界上最大的洲是亚洲，面积是4400万平方千米，比大洋洲面积的4倍还多812万平方千米。大洋洲的面积是多少万平方千米？ 6、大楼高29.2米，一楼准备开商店，层高4米，上面9层是住宅。住宅每层高多少米？ 7、太阳系的九大行星中，离太阳最近的是水星。地球绕太阳一周是365天，比水星绕太阳一周所用时间的4倍还多13天，水星绕太阳一周是多少天？ 8、地球的表面积为5.1亿平方千米，其中，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。地球上的海洋面积和陆地面积分别是多少亿平方千米？ 9、6个易拉缺罐，9个饮料瓶，每个的价钱都一样，一共是1.5元。每个多少钱？

10、两个相邻自然数的和是97，这两个自然分别是多少？ 11、鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有48条。鸡和兔各有多少只？ 12、妈妈今年的年龄儿子的3倍，妈妈比儿子大24岁。儿子和妈妈今年分别是多少岁？ 13、我买了两套丛书，单价分别是：<<科学家>>2.5元/本，<<发明家>>3元/本，两套丛书的本数相同，共花了22元。每套丛书多少本？ 14、一幅油画的长是宽的2倍，我做画框用了1.8m木条。这幅画的长、宽、面积分别是多少？ 15、小红家到小明家距离是560米，小明和小红在校门口分手，7分钟后他们同时到家，小明平均每分钟走45m，小红平均每分钟走多少米？ 16、小明的玻璃球是小刚的2倍，小明给小刚3颗，他俩就一样多了。他们两个人分别有多少颗玻璃球？ 17、一个数的3倍加上这个数的2倍等于1.5，求这个数。 18、一个数乘0.75等于6个2.4相加的和，这个数是多少？ 19、甲、乙两地的公路长285千米，客、货两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，经过3小时两车相遇。已知客车每小时行45千米，货车每小时行多少千米？ 20、张老师第一次到体育用品商店买了24套运动服，第二次又买了同样的运动服30套，第二次比第一次多付了510元。每套运动服多少元？

最新高考数学解题技巧-极坐标与参数方程

2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即

北师大版小学数学四年级简易方程习题

解方程分层练习题 一．补充完整下面各题 ⑴．加数＋加数＝（）一个加数＝（）－另一个加数 ⑵．被减数－减数＝（）被减数＝（）＋减数 减数=被减数－( ） ⑶．因数×因数＝（）一个因数＝（）÷另一个因数 ⑷．被除数÷除数＝（）被除数＝（）×除数 除数=被除数÷（） 二．填空 (1)使方程左右两边相等的( )叫做方程的解。 (2)求方程的解的过程叫做( )。 (3)比χ多5的数是10。列方程为( ) (4)8与χ的和是56。方程为( ) (5)比χ少1.06的数是21.5。列方程为( )。三．解方程： χ＋3.2＝4.6 1.6χ＝6.4 χ÷7＝0.3 χ÷3＝2.1 2χ＋5＝4015×3＋6χ＝168 5χ＋1.5＝4.568 8.2= ÷ x6.5 x 75 .1 .6= -

6 5 ? + 4.2 x x37 7.0= - 2.1 2.1= -x5.9 4= 5.2 （x8.0 ?） 6.0 ÷x + + 6.3= 3.0 8.0 8.4 4= 2.1= -x x8.4 四．解下列方程（要求写出检验过程） 13＋χ＝28.5 2.4χ＝26.4 五．列方程解答： ⑴．χ减去43，差是28，求χ。 ⑵．χ与5的积是125，求χ。 ⑶．χ的3.3倍减去1.2与4的积，差是11.4，求χ. 六．在下面○里填上“＞”、“＜”或“=”。 ⑴．当χ＝2.5时，4χ○10 10χ○10 ⑵．当χ＝4时，6.2＋χ○11 54 ○100÷χ

七．根据题意列方程，再解出来。 ⑴．在（）里填上适当的数，使每个方程的解都是χ=10。 χ＋（）＝91 χ－（）＝8.9 （）χ＝5.1 ⑵．设一条路全长χ米，已经修了600米，还剩下1000米没修，这条路全长多少米？ ⑶．运送29.5吨煤，先用一辆载重6吨的汽车运2次，剩下的用一辆载重为χ吨的小货车运送5次才运完，求小货车的载重量？ 八、走进生活，解决问题：（用方程解下列各题） 1、粮仓里的大米运走18吨后又运来22.5吨，现在粮仓里一共有大米40.5吨。粮仓里原来 有大米多少吨？ 2、图书室科技书的本数比文艺书的3倍少75本，科技书有495本。文艺书有多少本？ 3、小东买6本笔记本，付给营业员16元，找回1.6元。每本笔记本是多少元？ 4、小强爷爷的年龄是小强的6倍，小强比爷爷少60岁，小强今年多少岁？ 5、李明到书店买了4本连环画和3本故事书，一共付了29.7元，连环画每本4.8 元，故事书每本多少元？

高中数学全参数方程知识点大全

高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.

高中数学极坐标与参数方程试题精选(8套)选修4-4

极坐标与参数方程单元练习3 一．选择题（每题5分共60分） 1．设椭圆的参数方程为()πθθ θ ≤≤?? ?==0sin cos b y a x ，()1 1 ,y x M ，()2 2 ,y x N 是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为2 1 ,θθ且21 x x <，则 A ．21 θθ < B ．21θθ> C ．21θθ≥ D ．21θθ≤ 2.直线：3x-4y-9=0与圆：?? ?==θ θ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1，5)且倾斜角为3 π的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A.???????-=+=t y t x 235211 B. ???????+=-=t y t x 235211 C. ???????-=-=t y t x 235211 D. ??? ????+=+=t y t x 235211 4.参数方程????? -=+ =2 1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线

5．若动点(x ,y )在曲线1422 2=+b y x (b >0)上变化，则 x 22y 的最大值为 (A) ?????≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B) ?????≥<<+)2(2) 20(442 b b b b ；(C) 442+b (D) 2b 。 6．实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ） A 、2 7 B 、4 C 、2 9 D 、5 7．曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是 A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 8． 已知动园： ),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的 轨迹是 A 、直线 B 、圆 C 、抛物线的一部分 D 、椭圆

最新北师大版小学数学方程教案

《方程》教案 教学内容：北师大版小学数学四年级下册第七单元《方程》 教学目标： 1.知识与能力：在丰富的问题情境中感受到生活中存在着大量的等量关系，学会用方程表示简单情境中的等量关系。 2.过程与方法：使学生在自主探究，合作交流等数学活动中，养成认真观察、思考、分析、归纳的习惯，感悟代数思想，体会方程的概念；体验解决问题策略的多样性，发展创新能力。 3.情感态度价值观：培养学生初步的代数思想，获得数学是可以运用他们自己的经验去发现和再创造的积极的情感体验。 教学重点：理解方程的含义。 教学难点：能正确地找出题目的等量关系，列出方程。 教学准备:课件作业纸 教学过程 一、创设情景，导入新课 师：同学们，上课之前我们来玩一个猜谜语的游戏，好不好？（课件出示：一个小矮个，身上挑副担，如果挑不平，头偏心不甘。）你猜到了是什么？ 生：天平。 课件出示一架天平。 师：你真厉害。对，天平我们在科学课上经常要用到它。关于天平你都知道些什么？

生1：天平用来称物体的重量。 师：说得真好，还有吗？ 生2：天平的左面放物体，右面放砝码。 生3：当天平两边物体的质量一样时，天平就平衡了。 师：对。当天平指针指向中间时，表示两边物体质量相等，天平就平衡了。 1、课件出示：两个苹果和一个菠萝。 师：那我们试试看。假如我要把两个苹果和一个菠萝分别放在天平的左盘和右盘，天平怎么了？ 生：天平平衡了。 师：对，天平平衡了。这说明什么呀？ 生：两个苹果的质量＝一个菠萝的质量。 师：两个苹果的质与和一个菠萝的质量是（相等的），可以用一个什么符号来连接（等号） 师：这时候天平平衡，可以用等号来连接。 2、师：如果现在告诉你左盘每个苹果重300克，右盘的一个菠萝重600克（课件出示）这样的两个苹果和一个菠萝，你能用一个数学式子来表示左盘和右盘这种相等的关系吗？ 生：300+300=600；300×2=600（师：写成300+300=600可以吗？） 师两个式子都准备好，根据学生的回答，贴在黑板上。 师：说得不错！300+300表示什么？（天平左边两个苹果的质量），600表示什么？（天平右边一个菠萝的质量），为什么可以用等号来连接？

高考数学参数方程大题

高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A 的极坐标为)6 ,2(π ，直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π，圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=． （1）写出直线l 参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点，求AC AB .的值． 【答案】（1）直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；（2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??（α为参数），以直角坐标系原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （2）若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ，求直线被曲线C 截得的弦长． 【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+（2 3、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数），若以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）() 422 2 =+-y x ，052=+-y x （2 ）

北师大版小学数学四年级下册认识方程测试题

小学数学四年级下册第七单元测试题 班级姓名评分 一、填一填。（20分） 1．一双筷子有2根，2双筷子有4根，3双筷子有（）根，n双筷子有( )根。 2. 一天早晨的温度是x摄氏度，中午比早晨高8摄氏度，中午的温度是( )摄氏度。 3.一本练习本的价钱是a元，买b本应付( )元。 4.食堂原计划每月烧煤a吨，实际节约b吨，实际每月烧煤( )吨。 5.爸爸比小东大28岁，当小东a岁时，爸爸是( )岁。 6.牧场里有黄牛x只，奶牛的头数比黄牛的3倍少5头，奶牛有（）头，两种牛共有( )头。 7.小红买了2支钢笔，每支x元，付出20元，应找回( )元。 8. 一个正方形的边长是a,周长是（），面积是（）。 9. 一个商店运来自行车300辆，总价是a元，单价是（）元。 10. 已知x÷2=8，那么2x=（）。 11. 当x=10时，3x+（）=47。 12. 张师傅a小时教工了m零件，加工一个零件需要要（）天。 13. 甲数比乙数大6，乙数是m，甲数是（）。 14. 解方程x+8=16的第一步x=16-8的根据是（） 15. 王老师买20千克花生油，吃了a天，还剩b千克，平均每天吃了（）千克。 16. 用字母表示乘法分配律是（）。 17. 梯形的上底用a表示，下底用b表示，高用h表示，那么梯形的面积公式可以表示为s=( )。 二、判断题。（5分） 1．一个数的平方等于这个数的2倍。（） 2．a×10省略乘号可写成10a。（） 3．含有未知数的式子叫方程。（） 4．方程的解不是解方程。（） 5．方程2x+3=7的解是x=2。（） 三、选择题。（4分） 1．下列各式中是方程的是（） A．3X+6 B. 18+14 = 32 C. 4X+6<18 D. 5X=0 2.甲数是m，乙数比甲数多8，乙数是（） A．m－8 B. m×8 C. 8m D. m+8 3.方程3x+14×2=46的解是（） A．X=18 B.X=46 C.X=6 D.X=6 4．一个数的8倍加上6等于30，求这个数，列方程是（） A．X?8+6=30 B. 8X+6=30 C.8X－6=30 D.X=（30－6）÷8 四、解方程。（20分） 4x+12=60 m+2m=96 8x-x=147 6y-4=44 x-120=62 x÷0.4=2.28x-7.5+1.5=42 8x÷5=52.64. 2x+5.3x=76 7.9×2-1.5x=5.3

高考数学参数方程所有经典类型

高考数学参数方程所有经典类型（必刷题） 1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为1222 x t y ?=+????=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝6 π，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：cos sin θθ=??=? x y （θ为参数），将1C 上的所有 和2倍后得到曲线2C ．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：sin )4ρθθ+=． （1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程； （2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值． 4．在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为

x 3cos y sin ααα ?=??=??（为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π ，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 5．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ? ?- ??? ，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）求直线OM 的极坐标方程． 6．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 （为参数），（为参数）． （1）化 的方程为普通方程； （2）若上的点P 对应的参数为为上的动点，求中点到直线 （为参数）距离的最小值．

高考数学专题—参数方程

高考数学专题——参数方程 一、基本知识要求 1．参数方程和普通方程的互化 (1通过消去参数，从参数方程得到普通方程． (2)寻找变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，令x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变 数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ????x ＝f （t ）， y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的 互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程形式 直线参数方程：{x =x 0+t cos α y =y 0+t sin α （t 为参数） 圆的参数方程：{x =x 0+acos θ y =y 0+asin θ （θ为参数且0≤θ<2π） 椭圆的参数方程：{x =m cos t y =n sin t (t 为参数且0≤t <2π) 抛物线的参数方程：{x =2pt 2 y =2pt （t 为参数） 二、常考题型要求 常考题型：共4种大题型（包含参数方程与普通方程转化问题、求距离问题、 直线参数方程t 的几何意义、与动点有关的取值范围和最值问题） 1、参数方程与普通方程互化问题：（1）参数方程中可通过代入法、加减法、平方法等直接消去参数时，则直接消参；（2）参数方程中参数为角时，则通过构造sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数。 例1、【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程] 已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为 C 1：（θ为参数），C 2：（t 为参数）．

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程； 【解析】（1）的普通方程为． 由的参数方程得，，所以． 故的普通方程为． 例2、【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为＝（＞0），过 点的直线的参数方程为（t为参数），直线与曲线C相交 于A，B两点． （Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程； 【答案】（Ⅰ）， 【解析】（Ⅰ）根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线的普通方程为． 得,由韦达定理有．解之得：或（舍去） 试题解析：（Ⅰ）由得, ∴曲线的直角坐标方程为． 直线的普通方程为． 例3、【2020·山西省太原五中高三其他（理）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的

北师大版小学数学公式概念大全

长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 正方形的边长=周长÷4 长方形的面积=长×宽 长方形的长=面积÷宽 长方形的宽=面积÷长 正方形的面积=边长×边长 平行四边形的面积=底×高 平行四边形的底=面积÷高 平行四边形的高=面积÷底 三角形的面积=底×高÷2 三角形的底=面积×2÷高 三角形的高=面积×2÷底 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 圆的直径=半径×2=周长÷3.14 圆的半径=直径÷2 =周长÷3.14÷2 圆的周长=3.14×直径=2×3.14×半径 圆的面积=3.14×半径×半径 长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高= 底面积×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长= 底面积×高 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高 圆柱的底面积=体积÷高 圆柱的高=体积÷底面积 圆锥的体积=底面积×高÷3 圆锥的底面积=体积×3÷高 圆锥的高=体积×3÷底面积 平均数=总数÷个数 总数=平均数×个数 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 单价×数量＝总价 数量＝总价÷单价 单价＝总价÷数量 现价＝原价×打折对应的分数 原价＝现价÷打折对应的分数 总路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝总路程÷速度和 速度和＝总路程÷相遇时间 利息＝本金×利率×时间 比例尺=图上距离÷实际距离 实际距离=图上距离÷比例尺 图上距离=实际距离×比例尺 单位转换，大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。长度单位有厘米、分米、米，长度单位的进率是10。面积单位有平方厘米、平方分米、平方米，面积单位的进率是100。体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，体积单位的进率是1000。 比例尺知识经常要把千米和厘米转换，千米和厘米转换5个0的关系。 商不变规律：被除数和除数同时乘（或除以）相同的倍数，商不变。含有未知数的等式叫方程式。 分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。

极坐标与参数方程经典练习题含答案详解

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ =-+?? =?的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与???==θ θ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7．与参数方程为()21x t t y t ?=?? =-??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14y x += B ．221(01)4 y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤

北师大版小学五年级解方程

一、解方程 3X+5X=48 14X-8X=12 6×5+2X=4 90-20X=10 10X×（5+1）=60 24X=100-X 2X-52-4X =12 2X =11-9X 55X =60+25X 82÷2X=20 二、列方程解应用题 1、小张买苹果用去7．4元，比买2千克橘子多用0．6元，每千克橘子多少元? 2、饲养场共养4800只鸡，母鸡只数比公鸡只数的1．5倍还多300只，公鸡、母鸡各养了多少只? 3、两根电线同样长短，将第一根剪去2米后，第二根长是第一根的1.8倍，原来两根电线各长多少米? 4、哥哥和弟弟的年龄相加为35岁，哥哥比弟弟大3岁，哥哥和弟弟各多少岁? 三、巩固练习（只列式，不计算） 1、服装厂有工人156人，其中女工人数是男工人数的3倍，求男、女工各有多少人？ 2、3、甲有书的本数是乙有书的本数的3倍，甲、乙两人平均每人有82本书，求甲、乙两人各有书多少本。 4、一批香蕉，卖掉140千克后，原来香蕉的质量正好是剩下香蕉的5倍，这批香蕉共有多少千克? 5、甲、乙两个粮仓存粮数相等，从甲仓运出130吨、从乙仓运出230吨后，甲粮仓剩粮是乙粮仓剩粮的3倍，原来每个粮仓各存粮多少吨? 6、一把直尺和一把小刀共1．9元，4把直尺和6把小刀共9元，每把直尺和每把小刀各多少元? 7、一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，时速为1500千米，回来时逆风，时速为1200千米。这架飞机最多飞出多少千米就需往回飞？ 8、师徒俩加工同一种零件，徒弟每小时加工12个，工作了3小时后，师傅开始工作，6小时后，两人加工的零件同样多，师傅每小时加工多少个零件． 9、买2．5千克苹果和2千克橘子共用去13．6元，已知每千克苹果比每千克橘子贵2．2元，这两种水果的单价各是每千克多少元?

新课标高考数学极坐标与参数方程分类汇编

2011-2017新课标《坐标系与参数方程》分类汇编 1. 【2011年新课标】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y α α =?? =+?（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足OP → =2OM → ，P 点的轨迹为曲线C 2. （1）求C 2的方程； （2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异 于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |. 【答案】 （1）设P (x , y )，则由条件知(,)22x y M . 由于M 点在C 1上，所以2cos 222sin 2 x y αα ?=????=+??， 即4cos 44sin x y α α =??=+?，从而C 2的参数方程为4cos 44sin x y αα=??=+?（α为参数）. （2）曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3 π θ= 与C 1的交点A 的极径为14sin 3 π ρ=，射线3 πθ= 与C 2的交点B 的极径 为28sin 3 π ρ=. 所以21||||AB ρρ-== 2. 【2012年新课标】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??? ???==，以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为 (2,)3 π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围. 【答案】 （1）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ . 所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为 、( 、(1,- 、1)-. （2） 设()2cos ,3sin P ?? ，则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ??+++=-+