辽宁省实验中学2019--2020学年度上学期期中阶段测试
辽宁省实验中学2019——2020学年度上学期期中阶段测试
高二数学试卷
考试时间：120分钟 试题满分：150分
一、单项选择题（每题只有一个正确选项，将正确选项涂在答题卡相应位置，每题正确得5分，错误不得分，共10题，满分50分） 1.数列1,3,7,15，……的通项可以是（ ） A 、 12-n
B 、12-n
C 、12-n
D 、12+-n n
2、点()3,2A -，()3,2B ，直线10ax y --=与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．41
32
a -
≤≤ B ．1a ≥或1a ≤-
C ．11a -≤≤
D ．43a ≥
或1
2
a ≤ 3．若直线1:260l ax y ++=与直线2
2:(1)10l x a y a +-+-=平行，则a =（ ）
A ．2或－1
B ．－1
C ．2
D ．
23
4．以双曲线2
2
13
y x -=右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（）
A ．22
(2)3x y ++= B ．22
(2)9x y ++= C ．2
2
(2)3x y -+=
D ．2
2
(2)9x y -+=
5．若圆2
2240+-++=x y x y m 截直线30x y --=所得弦长为6，则实数m 的值为 A ．1-
B ．2-
C ．4-
D ．31-
6．若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0，则m ＝( )
A ．7
B ．
172
C ．14
D ．17
7．已知椭圆22
134
x y C +=：的上焦点为F ，直线10x y +-=和10x y ++=与椭圆分别相交
于点A 、B 、C 、D ，则AF BF CF DF +++=（） A ．23
B ．8
C ．4
D ．43
8．数列{}n a ，{}n b 满足1
1111,2,n n n n
b a b a a n N b +++==-==∈，则数列{}
n
a b 的前n 项和为
（ ） A ．1
4(41)3
n -- B ．
4(41)3
n
- C ．1
1(4
1)3
n -- D ．1(41)3
n
-
9．美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学,素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步，某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，切面圆柱体中原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱得到的截面图形是有一个底角为60度的直角梯形，则该椭圆的离心率为( ) A ．
12 B ．2
C ．
3
D ．13
10．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点
()3,3A --，31,22
B ?? ???
，则AP PQ QB ++的最小值为（）． A ．1302
B ．32
132
+
C ．13
D ．32
二、多项选择题（每题至少有两个正确选项，将所有正确选项涂在答题卡相应位置，每题5分，全部正确得5分，选项不全得2分，若有错误选项得0分，共2题，满分10分） 11.已知数列}{n a 为等差数列，11=a ，且842,,a a a 是一个等比数列中的相邻三项，记
)10(，≠=q q a b n a n n ，则}{n b 的前n 项和可以是（ ）
A 、n
B 、nq
C 、2
1)1(q q nq nq q n n n ---++
D 、
2
112)1(q q nq nq q n n n ---++++
12.在平面直角坐标系中，有两个圆21221)2(:r y x C =++和2
22
22)2(:r y x C =+-，其中
21,r r 为正常数，满足4||42121>-<+r r r r 或，一个动圆P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨
迹方程可以是（ ） A 、两个椭圆
B 、两个双曲线
C 、一个双曲线和一条直线
D 、一个椭圆和一个双曲线
三、填空题（将正确答案填在答题卡相应位置，每题5分，共20分）
13．实轴长为12,离心率为2,焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为________________
14．在数列{}n a 中，11a =，25a =，()
*
21n n n a a a n N ++=-∈，则2020a =______．
15．已知直线1:350l x y +-=，2:310l kx y -+=．若1l ，2l 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k =________．
16．已知数列{}n a 中，11a =，1(2,)n n a a n n n N +
--=≥∈，设
12321111...n n n n n
b a a a a +++=
++++，若对任意的正整数n ，当1,2]m ∈（时，不等式21
3
n m mt b -+>恒成立，则实数t 的取值范围是______．
四、解答题（将解题步骤，必要的文字说明和计算结果写在答题卡相应位置，共70分） 17.（本题共10分）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1
1
n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18．（本题共12分）如图，DP y ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且
3DM DP
=.当点P 在圆
221x y +=上运动时，
（1）求点M 的轨迹方程.
（2）过点1
(1,)3
Q 作直线l 与点M 的轨迹相交于A 、B 两点，使点Q 被弦AB 平分，求直线l 的方程．
19．（本题共12分）黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自于河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色， 黄河的水源来自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流经黄土高原，又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊.在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线，设黄河和洮河在汛期的水流量均为20003m /s ，黄河水的含沙量为32kg /m ，洮河水的含沙量为320kg /m ，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在1秒内交换31000m 的水量，即从洮河流入黄河31000m 的水混合后，又从黄河流入31000m 的水到洮河再混合. （1）求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量；
（2）从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于30.01kg /m ?（不考虑泥沙沉淀）
20．（本题共12分）已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为别为1F 、2F ，且过点
2
(1,
)2
和23(
,)22. （1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，点A 为椭圆上一位于x 轴上方的动点，2AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ，求ABC ?面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC 的方程．
21．（本题共12分）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点1F ，2F ，M 是椭圆
上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且12
MF F ?
的周长为422+． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线)0(:≠+=k m kx y l 是圆O ：22
4
3
x y +=的切线，l 与椭圆C 交与不同的两点Q ，
R ，证明：QOR ∠的大小为定值．
22．（本题共12分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球 A 是指该球的球心点 A ．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为 1 的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
(1) 如图，设母球 A 的位置为 (0， 0)，目标球 B 的位置为 (4， 0)，要使目标球 B 向
C(8， -4) 处运动，求母球 A 球心运动的直线方程；
(2)如图，若母球 A 的位置为 (0， -2)，目标球 B 的位置为 (4， 0)，能否让母球 A 击打目标 B 球后，使目标 B 球向 (8，－4) 处运动?
(3)若 A 的位置为 (0，a ) 时，使得母球 A 击打目标球 B 时，目标球 B(4， 0) 运动方向可以碰到目标球 C(8，2
11
-
)，求 a 的最小值（只需要写出结果即可）
19-20上中 高二数学答案
1-5 CBBCC 6-10 BBDCB 11 BD 12 ABC
13 1108362
2=-y x 14 1- 15 1k =± 16 1t ≤
17【答案】（Ⅰ）由题设可知83241=?=?a a a a ， 又941=+a a ，
可解的???==8141a a 或???==184
1a a （舍去）
由3
14q a a =得公比2=q ， 故1112--==n n n q a a .
（Ⅱ）122
1211)1(1-=--=--=
n n
n n q q a S 又11111
11
n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-=
==-
所以n n b b b T +++= (21)
1
1132211111...1111++-=????
??-++???? ??-+???? ??-=n n n
S S S S S S S S
1
2
111
--
=+n .
18【答案】（1）2
21(0)9
x y x +=≠（2）320x y +-=
（１）设),(y x M ，则),3(y x P ，因为点P 在圆上，所以19
22
=+y x ，即为点M 的轨迹方程。
（２）设AB 方程为),(),,(,31
)1(2211y x B y x A x k y +-=，则有3
2,22121=
+=+y y x x 。 将A ，B 两点代入到椭圆方程则有192121=+y x ，19
2
22
2=+y x ，两式相减得
0)(92121=+++k y y x x ，所以解得3
1
-=k ，整理得直线方程为023=-+y x 19【答案】（1）在第二个观测点时，洮河流入黄河1000m3的水混合后，黄河的含沙量为
3/83000
1000
2020002m kg =?+?，又从黄河流入1000m3的水到洮河再混合后，洮河的含沙量
为
3/142000
1000
2010008m kg =?+? （2）设在第n 个观测点时黄河的含沙量为n a ，洮河的含沙量为n b ，由题意有20,211==b a ，
且323000200010001n n n n n b a a b a +=+=
+，3220001000100011n
n n n n b a a b b +=+=++
所以)(3111n n n n a b a b -=-++，1811=-a b ，所以1
)3
1(18-?=-n n n a b ，根据题意，有
01.0)3
1
(181-n ，解得7>n ，所以从第8个观测点开始
20【答案】（1）2
212
x y +=；（2
（1）将两点代入椭圆方程，有?????=+=+1
43211
2112222b a
b a 解得???==1222b a ，
所以椭圆的标准方程为12
22
=+y x
（2）因为A 在x 轴上方，可知AF2斜率不为0，故可以设AF2的方程为x=ty+1，
012)2(1
1
2
222=-++??????+==+ty y t ty x y x
得??
???+-=+-=+11122
21221t y y t t y y ，所以2)1(22||1||22212++=-+=t t y y t AB 设原点到直线AF2的距离为d ，则2
11t d +=
，
所以
2
1112
22)1(22||21222
2
22≤++
+=++=???==??t t t t d AB S S OAB
ABC 在t=0时取到等号成立，此时AB 为x=1，所以)2
2,1(),22,1(),22,
1(---C B A
所以ＢＣ的方程为2
2-
=y 21【答案】（1）由椭圆的定义可知周长为22422+=+c a ，焦点在圆上，所以c b =，解
得2,2===c b a ，所以椭圆方程为22142
x y +=，
（2）由直线与圆相切有
3
3
21||2
=
+k m ，即44322+=k m ， 0424)21(124
22222
=-+++??????=++=m kmx x k y x
m kx y ， ???
????+-=+-=+22122212142142k km x x k m x x ，22
22121214))((k k m m kx m kx y y +-=++=∴，0124
432222121=+--=+=?∴k k m y y x x OQ OP
2
π
=
∠∴ROQ 为定值
22【答案】
（1）点B （4,0）与点C （8，－4）的直线方程为：x ＋y －4＝0，
依题意，知A ，B 两球碰撞时，球A 的球心在直线x ＋y －4＝0上，且在第一象限， 此时｜AB ｜＝2，设A ，B 两球碰撞时球A 的球心坐标为（a ，b ），
则有：40
20,0a b a b +-=?=>>??
，解得：4a =
b =
即：A ，B 两球碰撞时球A 的球心坐标为'A
（4
）， 所以，母球A
运动的直线方程为：1
7
y x x =
=
（2）记M （0，-2），因为)22,24(+-=MP ，)42,24(---=CP ，所以
0228>-=?CP MP ，故角MPC 为锐角。同理可知角PMC 也为锐角。
故点（4,0）在直线MP 上的投影在线段MP 上，该点到（4,0）的距离小于2，故球A 经过该点之前就会与球B 碰撞，故不可能让母球A 击打目标球B 球后，使目标球B 向（8，-4）运动
（3）-2