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第一章1.3.2函数的奇偶性

第一章1 32 函数的奇偶性

教学目的：

1.. 了解函数的奇偶性的概念。

2.掌握函数奇偶性的证明和判断的基本方法。

3.要求学生能从数和形两个角度认识函数奇偶性。

4.要求学生能用定义判断某些函数的奇偶性，并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘

制过程。

5.通过对函数奇偶性的理论以及奇偶函数图形的研究，增强学生对数学美的体验，培养

乐于求索的精神，形成科学，严谨的研究态度.

教学重点：熟练判断函数奇偶性的方法和步骤.认识奇偶函数的图像特点

教学难点：对函数奇偶性的判断和奇偶性的应用

教学过程：

一、复习引入：

1.函数增减性的概念，回忆函数增减性的判断方法和单调区间概念。

2.增函数(减函数)图像的性质。

3.最大(最小)值的概念及求最值的方法。

4.初等函数的单调性和最值。

二、讲解新课：

1、引入1:分别作出函数f(x)=x2与f(x)=x的图像，并思考函数值和图象的变化规律 .

X -3 -2 -1

0 1 2 3

f(x) =x2

9 4 1 0 1 4 9

X -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) =| x 3 2 1 0 1 2 3

观察上面两个函数图像和表格有什么共同点？

观察可知：对于f(x)二x有：f(-3)=9二f(3)

f(_2)=4= f(2)

f (-1)亠f (1)

对于函数f(x)=| x同样也有上面的结论.

2、偶函数定义：一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x,都有f ( — x)=f (x), 那么函数f (x)就叫做偶函数(even function ).

例如：函数f(x)二x?1和函数f二飞都是偶函数，他们的图像见书本P34

X2 +11

3、弓I入2:分别作出函数f (x)二x与f(x) 的图像，并思考函数值和图象的变化规律?

同样观察可知：对于有：

f(-2) = -2 = -f(2)

f(_1)一1 —f(1)

对于函数f (x) 同样也有上面的结论.

4、奇函数定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个 x,都有f ( — x)= — f (x),

JT—3—1013

用1.3-9

那么函数f (x)就叫做奇函数(odd function ).

1 1

(1)f(x)=x4(2)f(x)=x5⑶ f(x)=x —(4) f (x) 2

x x

例2 (补充)判断下列函数的奇偶性

(1)y—x2 x.〔一3,11 ；(2) 「」「—「；(3)f(x) 丨-舟

2+1 2 解：(1) ( 2)非奇非偶函数(定义域不对称) (3)奇函数f (x)+f ( — x)=0

结论：(1) 一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数，一个函数是奇函数或是偶函数叫这个函数具有奇偶性，显然函数的奇偶性是相对于函数的整个

定义或二言，而非相对于某个区间。

(2)若f (x)是奇函数或偶函数，则对于定义域D 上的任意一个X,都有—x€ D,这就是定

义域必须是关于原点对称的. 若函数的定义域不是关于原点对称的，则可判断该函数既不是

奇函数又不是偶函数.

例3. 已知函数f x既是奇函数也是偶函数，求证：f X[=0.

证明：既是奇函数也是偶函数，..1■-' = . 1 ,且m⑴, 」亠」「. ■-",即兀―

结论2: (1) f x i=0是唯一的既奇且偶函数

(2)而y = f x二a常数a 0为偶函数

(3)根据定义验证奇偶性的时候，有时为了运算上的方便，常常把验证f ( — x)= ±f (x)

— f ■ x

转化为验证 f (x) -f ( — x)=0 , 1 (f (x)非零)，f (x)+f ( — x)=0 或2f (x).

f(x)

5、奇偶函数的性质：

从前引入的例中容易得到结论1：奇函数、偶函数的图象的对称性(定理)

①奇函数的图象关于原点对称，反之，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数.

解：显然定义域关于原点对称

2 2

当 x>0 时，-x<0 f ( 夕)=x -x = -(x -x )

2 2

当 x<0 时, -x>0 f (

夕)=

-x -x = -(x +x)

???此函数为奇函数

②偶函数的图象关于 y 轴对称，反之，若一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数.

思考：(1)判断函数f (x) =x 3

- x 的奇偶性

(2)若上图是函数f (x^x 3

x 的图像的一部分,

你能根据f(x)的奇偶性画出它在 y 轴左边的图像么？

注：函数奇偶性是画函数图象和研究性质的一个重要依据，对奇(偶)函数的图象，只须画出该函数在 x> 0(x >0)时

的图象，再根据对称性就能得到

x <0的图象；由x>0(x >0)

时函数的性质；再利用对称性就能推断函数在整个定义域上的性质. 练习：P36 2

例4.判断下列函数的奇偶性：

1 ? f(X)二.X 2

-1、1 -X 2

解：定义域:

x 2 —1^0

\ >1或X 兰-1 2 二"

1 —X 2兰0

—1兰x 兰1

? ??定义域为 X = ± 1

f (-X)- ■■■. X 2

-1、1 - X 2

二 f (x)

???此函数为即奇且偶函数

且 f ( 土 1) = 0

2. (1) f x = kx b k = 0

(2) f x k R

(3) f x 二 ax 2 bx c a = 0

3. f(x)

X 2

X 「X (X < 0)

(x 0)

即: f(-x)

r 2

-(x 2

+x) 厂(x-X 2

)

g 0) (X 0)

--f (x)