拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程

拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。

拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。

拉普拉斯拉斯变换的定义

一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为

L[f(t)]=F(s)=

式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。

应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法

F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。

拉普拉斯变换的基本性质

本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。

一、唯一性

定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一

一对应关系。根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，

根据，可以唯一的确定时间函数。

唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。唯一性的证明从略。

二、线性性质

若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为

和，和是两个任意常数，则有

证根据拉氏变换的定义可

根据拉氏变换的定义可得

例求的拉氏变换。

解

三、时域导数性质（微分性质）

例应用时域导数性质求的象函数。

四、时域积分性质（积分规则）

例：求单位斜坡函数及的象函数。

五、时域平移性质（延迟性质）

作业：书后习题1、2、3、4。

课后记事：

注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。

常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。

8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）

教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。

教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。

教学难点：部分公式及分解定理求待定系数法，各种运算电路图的画法，注意电压、电流的方向。

教学方法：1、板书讲述具有单根情况下如何求反变换。2、具有复根情况下如何求反变换。3、具有重根情况下如何求反变换。4、

三种情况下推导、证明及应用举例。5、元件伏安关系的复频域形式。6、练习题见备课笔记。

教学过程：每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。

拉普拉斯反变换

在应用拉氏变换分析问题时，首先要将时域中的参量变换为复频域中的参量，并求得用象函数表示的解答，然后，再对象函数形式的解答进行拉斯反变换，以求得时域中的解答。

求拉斯反变换最简单的方法是利用拉氏变换表，但一般必须进行一些数学处理，使其变为表中所列的形式。

在电路理论中，常见的响应函数的象函数往往是s的有理函数，可直接应用部分分式展开法。将F(s)化为如下形式：

式中：是被所除而得的商；是余式，其次数低

于的次数。

一、有个单实根

设的个单实根分别为，则可展开为

式中：为待定系数。

若要求，将上式两边都乘，得

令，则等式右端除外，其余各项均为零。

故

同里可求得。所以，确定待定系数的公式为

由于，所以

因为是的一个根，所以上式为型不定式，故可用洛比塔法则来确定的值

所以，确定待定系数的另一公式为

对应的原函数为

例：。

二、有共轭复根的情况

在式中，设

有一对共轭复根，记为。则在的展开式中将包含以下两项：

其中

由于实系数有理分式，故必为共轭复数。若设则

于是，对应的原函数将是

例：求的原函数。

三、有重根的情况

设有一个阶重根，其他均为单根，则的部分分式展开式为

式中系数可按前面介绍的方法确定。

为了求得系数，可将上式两端同乘以，得到

令，即可求得

为了求出，可将上式两端对求一次导数，再令，即得

以此类推，可求得

又因为，所以，当各系数确定后，即可求得

的原函数

例：求的原函数。

解有一个三重根和一个单根，所以，可

展开为

式中

所以

其相应的原函数为

广义欧姆定律的复频域形式

在讨论各元件运算电路图的基础上，现在用运算法来分析RLC 串联电路，如下图(a),其为运算电路图如(b)图。

注意：图中的电压和电流的方向。

作业：书后习题4、5、6、7、8题。

课后记事：

注意找出学生练习时的问题，及时解决。

8-4用拉普拉斯变换进行线性电路的分析（2学时）（教材第228页）

教学目的：会用拉普拉斯变换进行线性电路的分析。

教学重点：熟练掌握用拉普拉斯变换进行线性电路的分析及步骤。教学难点：跃变的问题，方向的问题，画输出曲线的问题。

教学方法：1、板书讲述用拉普拉斯变换进行线性电路的分析的步骤。2、由浅入深举例讲述如何用拉普拉斯变换进行线性电路的分析。3、应用基尔霍夫定律、节点电压法、回路法、戴维南定理求

解电路。4、注意跃变的问题，方向的问题，画输出曲线的问题及应用举例。5、例题和练习题，见备课笔记。

教具：《电路》CAI课件，网络课件中的拉普拉斯变换部分，邱关源第四版教材及其他参考书。

教学过程：每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。

用拉普拉斯变换分析线性电路

对于一个线性时域动态电路来说，将其中的每一个元件用其复频域电路图表示，而不改变各元件间的联接关系，可获得该线性动态电路的复频域电路图。根据复频域电路图，便可用运算法进行分析，其一般步骤如下：

（1）根据换路前一瞬间电路的工作状态，计算电感电流和电容电压的初始植，从而确定电路的复频域模型中反映初始

状态的附加电压源的电压或附加电流源的电流。若已给

出初始值，则不必再进行计算。

（2）绘出电路的复频域电路图。

（3）应用以前介绍的各种电路分析方法，对电路的复频域电路进行分析，求出响应的象函数。

（4）对已求的象函数进行拉氏变换，求出时域响应。

下面通过几个例子来说明具体的分析方法。

例题1：所示电路中，原电路已达稳态，时开关由a倒向b。试用运算法求时的。

答案：

例题2：试求题图所示电路的零状态响应u(t)。

答案：

u(t)=

例题3：例已知如图所示电路的原始状态为

。求电路的全响应。1Ω0.1H

2Ω

0.5F

图a

解首先画出电路的运算模型，如图b所示。并按图中所示的回路方向写回路电流方程

解方程得

因为本题只求，所以不必再解出。利用部分分式展开法可得

所以

作业：书后习题9、10、11、12、13、14、题。

课后记事：

讲解要慢，要吸引学生的注意力，否则讲一遍学生没注意听，后面作题麻烦。

8-5网络函数及卷积（2学时）（教材第233页）

教学目的：网络函数的定义及应用，加冲激函数，卷积。

教学重点：熟练掌握网络函数的应用，加冲激函数时的特殊情况，卷积。

教学难点：网络函数的定义和应用，驱动点函数，转移函数。加冲激函数时的特殊情况，如何组成拉氏变换对。卷积积分的推导和应用问题。

教学方法：1、板书讲述网络函数的定义和应用（求法），驱动点函数，转移函数的概念。2、举例讲述加冲激函数时的特殊情况，如何组成拉氏变换对及应用。3、卷积积分的推导和应用。4、注意交代网络函数在自动控制中的应用及举例；加冲激函数的特殊性；卷积积分的应用公式。5、例题和练习题，见备课笔记。

教具：《电路》CAI课件，网络课件中的拉普拉斯变换部分，邱关源第四版教材及其他参考书。

教学过程：每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。

一、网络函数的定义及类型

定义：在零初始条件下，且电路的输入激励是单一的独立电压源或电流源时，电路的零状态响应r(t)的象函数R(s)与输入激励e(t)的象函数E(s)之比。网络函数用H(s)表示，即

H(s)=

按激励与响应的类型，网络函数可以具有不同的形式。

1）如果响应与激励属于同一对端子，则网络函数称为策动点函数。具体地说，电压响应的象函数与电流激励象函数之比称为策动点阻抗函数；电流响应的象函数与电压激励的象函数之比称为策动点导纳函数。所以，有两种策动点函数。

2）如果响应与激励不属于同一对端子，则网络函数称为转移函数。具体地说，如果激励为电压源，则当响应为电压时，其网络函数称为电压转移函数；当响应为电流时，其网络函数称为转移导纳函数。如果激励为电流源，则当响应为电压时，其网络函数称为转移阻抗函数；当响应为电流时，其网络函数称为电流转移函数。所以，共有四种转移函数。

例题3：题图所示电路中，已知：

试求：

（1）网络函数；

（2）作出的零、极点分布图。

答案：其它略。

网络函数一个重要性质是：当激励为单位冲激信号δ(t)时，则因为E(s)=L[δ(t)]=1，所以R(s)=H(s)有

h(t)=L-1[H(s)]= L-1[R(s)]=r(t)

说明网络函数的原函数就是电路的激励响应。

二、网络函数的零点和极点

由式可知，网络函

数的分子、分母都是关于的多项式，故可展开为部分分式

的形式。

式中：为常数。因为，所以称为网

络函数的零点。而，所以称为网络函数的极点。的零点和极点或为实数或为共轭复数，且的

极点就是对应电路变量的固有频率。

三、卷积

1、卷积的定义

设有两个定义在区间的时间函数和，则下列积分式

称为和的卷积积分，简称卷积。通称用符号

表示函数和的卷积，即

1如果令则，于是有

所以

2、卷积定理

设，则卷积的拉氏变换为，即

可利用卷积定理来分析电路响应，设为外加激励的象函数，为网络函数，则网络响应为

对求反变换即得到时域响应

根据式可以写为

式中：为外加激励函数的时域形式；为网络的冲激响应。

变系数线性常微分方程的求解

变系数线性常微分方程的求解 张慧敏，数学计算机科学学院 摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数 二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。 关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法 Solving linear ordinary differential equations with variable coefficients Huimin Zhang , School of Mathematics and Computer Science Abstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation. Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.

拉斯变换解微分方程

§2-3拉普拉斯变换及其应用 时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种. 一、拉氏变换的定义 已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换 为 (2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示 为 (2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。 有时，拉氏变换还经常写为 (2-47) 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为 (2-48)上式为复变函数积 分，积分围线为由到的闭曲线。 二、常用信号的拉氏变换 系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。 (1)单位脉冲信号 理想单位脉冲信号的数学表达式为

(2-49) 且 (2-50) 所以 (2-51) 说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为， 脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。 由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因 此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分 下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。

(2)单位阶跃信号 单位阶跃信号的数学表示为 (2-52) 又经常写为 (2-53) 由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为 (2-54) 因为 阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其 积分下限规定为。 (3)单位斜坡信号 单位斜坡信号的数学表示为 (2-55) 图2-15单位斜坡信号

拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域

若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移

最新二阶变系数线性微分方程的一些解法

二阶变系数线性微分方程的一些解法

第九节 二阶变系数线性微分方程的 一些解法 常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法 §9.1 降阶法 在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。 考虑二阶线性齐次方程 22dx y d ＋p(x) dx dy ＋q(x)y ＝0 (9.1) 设已知其一个非零特解y １，作变量替换，令 y ＝uy 1 (9.2) 其中u ＝u(x)为未知函数，求导数有 dx dy ＝y 1dx du ＋u dx dy 1 求二阶导数有22dx y d ＝y 122dx u d ＋2dx du dx dy 1 ＋u 2 12dx y d 代入(9.1)式得

y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(212dx y d ＋p(x) dx dy 1 ＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3) 这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中 212dx y d ＋p(x) dx dy 1 ＋q(x)y 1≡0 故(9.3)式化为 y 122dx u d ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dx du ＝0 再作变量替换，令dx dy ＝z 得 y 1dx dz ＋(2dx dy 1 ＋p(x)y 1)z ＝0 分离变量 z 1dz ＝－[1 y 2 ＋p(x)］dx 两边积分，得其通解 z ＝21 2y C e －∫p(x)dx 其中C 2为任意常数 积分得u ＝C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ＋C 1代回原变量得(9.1) 的通解 y ＝y 1［C １＋C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ］

常用拉普拉斯变换总结

常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 000)(≥

??∞-∞-∞ ----==000d d ][t s e s e t t te t L st st st 2 01d 1s t e s st ==?∞- 6、正弦函数 00sin 0)(≥

用拉普拉斯变换方法解微分方程

2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。 有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么求取微分方程的拉氏变换式就更为方便，只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的 dt d ，2 s 代替 2 2dt d ，…就可得到。 应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下： （1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为复变量s 的代数方程（称为变换方程） （2）求解变换方程，得出系统输出变量的象函数表达式。 （3）将输出的象函数表达式展开成部分分式（部分分式展开法参见附录二）。 （4）对部分分式进行拉氏反变换（可查拉氏变换表），即得微分方程的全解。 举例说明 【例2-7】 设RC 网络如图2-24所示，在开关K 闭合之前，电容C 上有初始电压 )0(c u 。试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压c u （网络输出）。 解 开关K 瞬时闭合，相当于网络有阶跃电压0)(u t u c =·)(1t 输入。故网络微分方程为 ?? ? ??=+=?idt C u u Ri u c c r 1 消去中间变量i ，得网络微分方程为 )(t u u dt du RC r c c =+ （2-44） 对上式进行拉氏变换，得变换方程 )()()0()(s U s U RCu s RCsU r c c c =+- 将输入阶跃电压的拉氏变换式s u s U r 0)(= 代入上式，并整理得电容端电压的拉氏变换式

拉斯变换表

附录A 拉普拉斯变换及反变换 419

420

421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

变系数_非线性微分方程的求解

变系数/非线性微分方程的求解：Example1: van der Pol equation Rewrite the van der Pol equation (second-order) The resulting system of first-order ODEs is 见：vdp_solve.m及vdp.mdl vdp_solve.m vdp.mdl

Example2: 2 with x(0) = 4 x (0)=0 5(5)5sin()5 +-+= x t x t x 见：exam2_solve.m及exam2.mdl exam2_solve.m exam2.mdl

Example3: ODEs 函数实现及封装说明[以一阶微分方程为例] 510 w i t h (0)4 dx x x dt +==- 引言： 一步Euler 法求解[相当于Taylor 展开略去高阶项]： 11()k k k k k k k k k k k x x x Ax bu t x x t x x t Ax bu ++-==+??=+??=+??+ 补充说明1：对于任意方程/方程组可化为如下一阶形式[方程组]： x Ax Bu =+ 或者(,)(,)M t x x f t x = 补充说明2：ODEs 的解法不同之处在于 1、时间步长的选取（及导数的求解？）：有无误差控制 变步长； 2、积分方法：选用哪几个时间状态信息。 见：my_ode_rough.m[直接求解] / test_my_ode.m[按Matlab/ODEs 方式封装] my_ode_rough.m

用拉普拉斯变换方法解微分方程

拉普拉斯变换是解常系数线性微分方程中经常采用的一种较简便的方法.其基本思想是,先通过拉普拉斯变换将已知方程化成代数方程,求出代数方程的解,再通过逆拉普拉斯变换,得到所求数值问题的解. 一拉普拉斯变换的概念 定义设函数f(t)的定义域为[0,+∞),若广义积分∫0+∞f(t)e-pt dt对于p在某一范围内的值收敛,则此积分就确定了一个参数为p的函数,记作F(p),即F(p)=∫0+∞f(t)e-pt dt函数F(p)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为f(t)的象函数),表示为F(p)=L[f(t)]. 若F(p)是f(t)的拉氏变换,则称f(t)为F(p)的拉氏逆变换(或F(p)的象原函数),记作L-1[F(p)]. 例1 求指数函数f(t)=e at(t≥0,a是常数)的拉氏变换. 解根据定义,有L[e at]=∫0+∞e at e-pt dt=∫0+∞e-(p-a)t dt 这个积分在p＞a时收敛,所以有 L[e at]=∫0+∞e-(p-a)t dt=1/(p-a) (p＞a) (1) 例2 求一次函数f(t)=at(t≥0,a是常数)的拉氏变换. 解L[at]=∫0+∞ate-pt dt=-a/p∫0+∞td(e-pt) =-[at/p e-pt]0+∞+a/p∫0+∞e-pt dt 根据罗必达法则,有 lim t0+∞(-at/p e-pt)=-lim t0+∞at/pe pt=-lim t0+∞a/p2 e pt 上述极限当p＞0时收敛于0,所以有lim t0+∞(-at/pe-pt)=0 因此L[at]=a/p∫0+∞e-pt dt

=-[a/p2e-pt]0+∞=a/p2(p＞0) (2) 例3 求正弦函数f(t)=sinωt(t≥0)的拉氏变换. 解L[sinωt]=∫0+∞sinωte-pt dt =[-1/(p2+ω2) e-pt(psinωt+ωcosωt]0+∞ =ω/(p2+ω2) (p＞0) (3) 用同样的方法可求得 L[cosωt]=p/(p2+ω2) (p＞0) (4) 二拉普拉斯变换的基本性质 三拉普拉斯变换的逆变换 四拉普拉斯变换的应用 2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。 有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么求

一阶线性微分方程组

第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。

(整理)常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义

二阶变系数线性微分方程的一些解法

第九节 二阶变系数线性微分方程 的一些解法 常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法 §9.1 降阶法 在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。 考虑二阶线性齐次方程 22dx y d ＋p(x) dx dy ＋q(x)y ＝0 (9.1) 设已知其一个非零特解y １，作变量替换，令 y ＝uy 1 (9.2) 其中u ＝u(x)为未知函数，求导数有 dx dy ＝y 1dx du ＋u dx dy 1 求二阶导数有22dx y d ＝y 122dx u d ＋2dx du dx dy 1＋u 21 2dx y d 代入(9.1)式得

y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(21 2dx y d ＋p(x) dx dy 1＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3) 这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中 21 2dx y d ＋p(x) dx dy 1＋q(x)y 1≡0 故(9.3)式化为 y 122dx u d ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dx du ＝0 再作变量替换，令dx dy ＝z 得 y 1dx dz ＋(2dx dy 1 ＋p(x)y 1)z ＝0 分离变量 z 1 dz ＝－[1y 2＋p(x)］dx 两边积分，得其通解 z ＝21 2y C e －∫p(x)dx 其中C 2为任意常数 积分得u ＝C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ＋C 1代回原变量得(9.1) 的通解 y ＝y 1［C １＋C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ］

4_3拉普拉斯变换解微分方程

變換解微分方程 題過程: 分方程 題 02///=--y y y …..(*) 0)0(,1)0(/==y y 式等號兩邊做拉普拉斯變換 L {=--}2///y y y L }0{ 性性質，得 L {}//y - L {}/y -2 L {0}=y 2L {)}(t y -s y sy --)0()0(/L 2)0()}({-+f t y L 0)}({=t y 始條件，得L )}({t y 之代數方程 2s L )}({t y s -L 2)}({-t y L 1)}({-=s t y --------- (a) 數方程(a)，得 簡 單 L 1-L ODE L {})()(s t y 之代數方程或低階ODE )(t y L {})()(s t y

L )}({t y 21 2---=s s s 上式兩邊做反拉普拉斯變換，得 =) L -1 {L {)(t y }}= L -1 ??????---212s s s ??? ??++??? ??-11322131s s 及L {} at e = a s -1 ， 解為 =)t 31 L -1 ??????-21s + 32 L -1 ??????+11s 31= +t e 2 32 t e - 題t y y 2sin //=+ , …..(**) 1)0(,2)0(/==y y *)式等號兩邊做拉普拉斯變換 L {} =+y y // L {}t 2sin 換的微分性質以及L 22}{sin a s a at += ，得 L {}y +--)0()0(/y sy L 42 }{2+=s y 入初始條件，得L )}({t y 之代數方程 )1+L {}y 42122+=--s s --------- (b) 代數方程(b)，得 {}y ??? ??+-??? ??+++=+++++=4132113512)4)(1(6822222223s s s s s s s s s 在上式兩邊做反拉普拉斯變換，得初始值問題的解為 t t t 2sin 31sin 35cos 2-+ (由 L 22}{sin a s a at += ，L 22}{cos a s s at += )

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020

§13拉普拉斯变换 重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点： 1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 预习知识： 积分变换 §13－1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为 式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中c为正的有限常数。 注意： 1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即： 它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。 2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如 i(t),u(t)。 3）象函数F(s)存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 1)单位阶跃函数的象函数

常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极

1、变系数线性微分方程的求解

本科毕业论文 题目：变系数线性微分方程的求解问题院（部）：理学院 专业：信息与计算科学 班级：信计081 姓名：张倩 学号：2008121191 指导教师：庞常词 完成日期：2012年6月1日

目录 摘要 (Ⅱ) ABSTRACT (Ⅲ) 1前言 1.1微分方程的发展和应用 (1) 1.2二阶变系数线性常微分方程的重要性 (2) 1.3本文的研究内容及意义 (2) 2二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 2.1基本概念 (3) 2.2二阶变系数线性微分方程的求解定理 (3) 2.3二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 (5) 3 微分方程的恰当方程解法 3.1恰当方程的概念 (8) 3.2恰当微分方程解法 (10) 4 微分方程的积分因子解法 4.1积分因子的概念 (14) 4.2积分因子解法 (14) 5二阶变系数微分方程可积的条件 结论 (22) 谢辞 (23) 参考文献 (24)

摘要 微分方程在数学理论中占有重要位置，在科学研究、工程技术中有着广泛的应用。在微分方程理论中，一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究，它们总是可解的，但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。 如果能够确定某一类型的二阶变系数线性微分方程的积分因子或恰当方程，则该二阶变系数线性微分方程就可以求解，问题在于如何确定积分因子和恰当方程及该类方程在何种情况下可积。 本文通过对微分方程的理论研究，用不同的方法探讨这类问题，扩展了变系数线性微分方程的可积类型，借助积分因子和恰当方程的方法求解方程。 关键词：变系数；二阶微分方程；积分因子；恰当因子

S olve For Varied Coefficient Second Order Liner Differential Equation ABSTRACT Second order liner homogeneous differential equation plays an important role in mathematics theory, and use extensively in science research and technology. In differential equation theory, some special differential equation’s solve ways have already been researched. So they can be seemed as could be solved sort of equation. But varied coefficient equation, however, this solve for this sort of equation is hard. If we can make integrating factor or exact equation of some types of second order liner different equation, and this types of second order liner different equation can be solved. The problem is how to make integrating factor and exact equation, and this type equation can be integral in which condition. This article utilizes different ways to research this problem in different equation theories, which expand could be solved type of varied coefficient second order liner differential equation. By integrating factor and exact equation make varied coefficient second order liner differential equation. Key Words: varied coefficient; second order liner differential equation; integrating factor; exact equation

拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程

拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。 拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。 拉普拉斯拉斯变换的定义 一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为 L[f(t)]=F(s)= 式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。 应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法 F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。 拉普拉斯变换的基本性质 本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。 一、唯一性 定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一 一对应关系。根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之， 根据，可以唯一的确定时间函数。 唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。唯一性的证明从略。 二、线性性质 若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为 和，和是两个任意常数，则有

证根据拉氏变换的定义可 根据拉氏变换的定义可得 例求的拉氏变换。 解 三、时域导数性质（微分性质） 例应用时域导数性质求的象函数。

四、时域积分性质（积分规则） 例：求单位斜坡函数及的象函数。

五、时域平移性质（延迟性质） 作业：书后习题1、2、3、4。 课后记事： 注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。 常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。 8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页） 教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。 教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。 教学难点：部分公式及分解定理求待定系数法，各种运算电路图的画法，注意电压、电流的方向。 教学方法：1、板书讲述具有单根情况下如何求反变换。2、具有复根情况下如何求反变换。3、具有重根情况下如何求反变换。4、

第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)

第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌 握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵 1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λ λλλ ---= =-

的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵 A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ 这时 12 1 00 n T AT λλλ-????? ?=?????? 方程组(3.20)变为 11122 200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ?????????????? ????????= ???????????????? ?????? (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=???????? 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ???????????? ????==???????????????? 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ?? ????==?????? (1,2,,)i n =