高中数学人教版必修奇偶性教案(系列五)

1.3.2 奇偶性

整体设计

教学分析

本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然.

值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.

三维目标

1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.

2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想.

重点难点

教学重点:函数的奇偶性及其几何意义.

教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式.

安排

1

教学过程

导入新课

思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，

我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y 轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y 轴对称的函数展开研究.

思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x 2和y=x 3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性. 推进新课 新知探究 提出问题

①如图1-3-21所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.

图1-3-21

②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？

x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)=x 2

表1

x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)=|x|

表2

③请给出偶函数的定义？ ④偶函数的图象有什么特征？

⑤函数f(x)=x 2,x ∈［1,2］是偶函数吗？ ⑥偶函数的定义域有什么特征？ ⑦观察函数f(x)=x 和f(x)=

x

1

的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？ 活动：教师从以下几点引导学生: ①观察图象的对称性.

②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数.

③利用函数的解析式来描述.

④偶函数的性质：图象关于y轴对称.

⑤函数f(x)=x2,x∈［1,2］的图象关于y轴不对称；对定义域［1,2］内x=2，f(2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数x不一定也在定义域内，即f(x)=f(x)不恒成立.

⑥偶函数的定义域中任意一个x的相反数x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.

⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质.

给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称；（4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；（5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质. 讨论结果:

①这两个函数之间的图象都关于y轴对称.

②

表1

表2

这两个函数的解析式都满足：

f(3)=f(3)

f(2)=f(2)

f(1)=f(1).

可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x ，都有f(x)=f(x).

③一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数. ④偶函数的图象关于y 轴对称. ⑤不是偶函数.

⑥偶函数的定义域关于原点轴对称.

⑦一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称. 应用示例

思路1

例1判断下列函数的奇偶性: （1）f(x)=x 4； （2）f(x)=x 5；

（3）f(x)=x

x 1； （4）f(x)=21

x

.

活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(x)=f(x)或f(x)=f(x). 解：（1）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(x)=(x)4=x 4=f(x)， 所以函数f(x)=x 4是偶函数.

（2）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(x)=(x)5=x 5=f(x), 所以函数f(x)=x 4是奇函数.

（3）函数的定义域是(∞,0)∪(0,∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(x)=x x -1=(x x

1

)=f(x)， 所以函数f(x)=x

x

1

是奇函数. （4）函数的定义域是(∞,0)∪(0,∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(x)=

)(12

x -=21x

=f(x)， 所以函数f(x)=

2

1

x 是偶函数. 点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定

义域内任意x，其相反数x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(x)=f(x)或f(x)f(x)=0,则f(x)是偶函数；

若f(x)=f(x)或f(x)f(x)=0,则f(x)是奇函数.

变式训练

2006辽宁高考，理2设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( )

A.f(x)f(x)是奇函数

B.f(x)|f(x)|是奇函数

C.f(x)f(x)是偶函数

D.f(x)f(x)是偶函数

分析:A中设F(x)=f(x)f(x),则F(x)=f(x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(x)为偶函数；

B中设F(x)=f(x)|f(x)|，F(x)=f(x)|f(x)|，此时F(x)与F(x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(x)|的奇偶性不确定；

C中设F(x)=f(x)f(x),F(x)=f(x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(x)为奇函数；

D中设F(x)=f(x)f(x)，F(x)=f(x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(x)为偶函数.

答案：D

例006上海春季高考，6已知函数f(x)是定义在(∞,∞)上的偶函数.当x∈(∞,0)时，f(x)=xx4，则当x∈(0,∞)时，f(x)=_______.

活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(x)，将在区间(0,∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(∞,0)上的自变量对应的函数值.

分析:当x∈(0,∞)时，则x<0.

又∵当x∈(∞,0)时，f(x)=xx4，

∴f(x)=(x)(x)4=xx4.

答案：xx4

点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值.

变式训练

已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x 23x ，求f(x). 解：当x=0时，f(0)=f(0)，则f(0)=0； 当x<0时，x>0，由于函数f(x)是奇函数，则 f(x)=f(x)=［(x)23x -］=x 23x ，

综上所得，f(x)=??

?

??<+-=>+.0,,0,

0,0,3232x x x x x x x 思路2

例1判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)=x 2,x ∈［1,2］

（2）f(x)=1

2

2--x x x ；

（3）f （x ）=4

2

-x 24x -；

（4）f （x ）=1

11

12

2+++-++x x x x . 活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意x ∈R ，有

2x 1+>2x =|x|≥x ，则2x 1+x>0.则函数的定义域是R .

解：（1）因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x 2,x ∈［1,2］既不是奇函数又不是偶函数.

（2）因为它的定义域为{x|x ∈R 且x≠1}，并不关于原点对称,函数f(x)=1

22--x x x 既不是奇函

数又不是偶函数.

（3）∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x ＝±2，

即f （x ）的定义域是{－2，2}. ∵f （2）＝0，f （－2）＝0, ∴f （2）＝f （－2f （2）＝－f （2）.

∴f （－x ）＝－f （x 且f （－x ）＝f （x ）. ∴f （x ）既是奇函数也是偶函数. （4）函数的定义域是R . ∵f(x)f(x)=

1

1111

1112

22

2+++-+++

+-+--+x x x x x x x x

=

)

11)(11()1(1)1(12

2

2222++++-+--+++-+x x x x x x x x

=

)

11)(11(1

211212

2

2222++++-+-+-++---+x x x x x x x x x x

=0,

∴f （－x ）＝－f （x ）. ∴f （x ）是奇函数.

点评：本题主要考查函数的奇偶性.

定义法判断函数奇偶性的步骤是（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(x)与f(x)或f(x)是否相等；（2）当f(x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(x)＝f(x)时，此函数是奇函数；（3）当f(x)＝f(x)且f(x)＝f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；

（4）当f(x)≠f(x)且f(x)≠f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数.

判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(x)f(x)来判断f(x)=f(x)或f(x)=f(x)是否成立. 变式训练

2007河南开封一模，文10函数f(x)=x 2－2axa 在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g(x)=x

x f )

(在区间（1，∞）上一定( )

A.有最小值

B.有最大值

C.是减函数

D.是增函数 分析：函数f(x)=x 2－2axa 的对称轴是直线x=a ， 由于函数f(x)在开区间（－∞，1）上有最小值， 所以直线x=a 位于区间（－∞，1）内，即a<1.g(x)＝

x x f )(=x x

a

2， 下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，∞）上的单调性.

设1

-1x a 2)(x -2x a )=(x 1x 2)(1x a 2

x a -) =(x 1x 2)(12

1x x a -

) =(x 1x 2)

2

121x x a

x x -.

∵11>0.

又∵a<1，∴x 1x 2>a.∴x 1x 2a>0.∴g(x 1)g(x 2)<0. ∴g(x 1)

∴函数g(x)在区间（1，∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，∞）上没有最值. 答案：D

例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)=f(x 1)f(x 2)，且当x>1时f(x)>0,f(2)=1， （1）求证：f(x)是偶函数； （2）求证:f(x)在(0,∞)上是增函数； （3）试比较f(2

5-

)与f(47

)的大小.

活动：（1）转化为证明f(x)=f(x)，利用赋值法证明f(x)=f(x)；（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；（3）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f(2

5-

)和f(47

)转化为同一个单调区间上的函数值.

解：（1）令x 1=x 2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0. 令x 1=x 2=1，得f(1)=f ［1×(1)］=f(1)f(1)，∴2f(1)=0. ∴f(1)=0.∴f(x)=f(1·x)=f(1)f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函数. （2）设x 2>x 1>0，则 f(x 2)f(x 1)=f(x 1·

12x x )f(x 1)=f(x 1)f(12x x )f(x 1)=f(1

2x x

).

∵x 2>x 1>0，∴12x x >1.∴f(1

2x x

)>0，即f(x 2)f(x 1)>0. ∴f(x 2)>f(x 1).

∴f(x)在(0,∞)上是增函数.

（3）由（1）知f(x)是偶函数，则有f(25-

)＝f(25

). 由（2）知f(x)在(0,∞)上是增函数，则f(25)>f(47).∴f(2

5-)>f(47

).

点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值. 变式训练

2007中山高三期末统考，理19已知f(x)是定义在(∞,∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x 、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)xf(y). （1）求f(1)、f(1)的值；

（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由.

分析：（1）利用赋值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=－1，得f(1)的值；（2）利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(x)=f(x). 解：（1）∵f(x)对任意x 、y 都有f(x·y)=yf(x)xf(y)， ∴令x=y=1时，有f(1·1)=1·f(1)1·f(1). ∴f(1)=0.

∴令x=y=－1时，有f ［(1)·(1)］=(1)·f(1)(1)·f(1). ∴f(－1)=0. （2）是奇函数.

∵f(x)对任意x 、y 都有f(x·y)=yf(x)xf(y)， ∴令y=－1,有f(x)=f(x)xf(1). 将f(1)=0代入得f(x)=f(x)， ∴函数f(x)是(∞,∞)上的奇函数. 知能训练

课本P 36练习1、2.

［补充练习］

1.2007上海春季高考，5设函数y=f(x)是奇函数.若f(2)f(1)3=f(1)f(2)3，则f(1)f(2)=_____. 分析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(2)=f(2),f(1)=f(1). ∴f(2)f(1)3=f(1)f(2)3.

∴2［f(1)f(2)］=6.∴f(1)f(2)=3. 答案：3

2.f （x ）=ax 2bx3ab 是偶函数，定义域为［a －1，2a ］，则a=_________，b=________. 分析：∵偶函数定义域关于原点对称, ∴a －12a=0.∴a=3

1

. ∴f （x ）=3

1x 2

bx1b.又∵f （x ）是偶函数，∴b=0. 答案：

3

1

0 3.2006高考，理6已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x2)=－f(x),则f(6)的值为( ) A.1 B.0 C.1 D.2 分析:f(6)=f(42)=f(4)=f()=f(2)=f(20)=f(0). 又f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0. ∴f(6)＝0.故选B. 答案：B 拓展提升

问题：基本初等函数的奇偶性.

探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得 正比例函数y=kx(k≠0)是奇函数； 反比例函数y=

x

k

(k≠0)是奇函数； 一次函数y=kxb(k≠0)，当b=0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数； 二次函数y=ax 2bxc(a≠0)，当b=0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数. 课堂小结

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称. 作业

课本P39习题1.3A组6，B组3.

设计感想

单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.

在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求.

习题详解

(课本P32页练习)

1.从生产效率与生产线上工人数量的关系看，在生产劳动力较少的情况下，随人数的增加效率随着增大，但是到了一定数量后，人数再增多效率反而降低了.这说明劳动力可能过剩，出现了怠工等现象.

2.图象如图1-3-22所示，

图1-3-22

函数的单调增区间为［8,12)，［13,18)；

函数的单调减区间为［12,13)，［18,20］.

3.函数的单调区间是［1,0),［0,2),［2,4),［4,5］.

在区间［1,0),［2,4)上是减函数；在区间［0,2),［4,5］上是增函数.

4.证明：设x1、x2∈R，且x1

f(x1)f(x2)=(2x11)(2x21)=2(x2x1).

∵x10.∴f(x1)>f(x2).

∴函数f(x)=2x1在R上是减函数.

5.如图1-3-23所示，

图1-3-23

从图象上可以发现f （－2）是函数的一个最小值. (课本P 36练习)

1.（1）对于函数f （x ）=2x 43x 2，其定义域为（－∞,∞）.

因为对定义域内的每一个x ，都有f （－x ）=2（－x ）43（－x ）2=2x 43x 2=f （x ）, 所以函数f （x ）=2x 43x 2为偶函数.

（2）对于函数f （x ）=x 3－2x ，其定义域为（－∞，∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有

f （－x ）=（－x ）3－2（－x ）=－x 32x=－（x 3－2x ）=－f （x ）, 所以函数f （x ）=x 3－2x 为奇函数.

（3）对于函数f(x)=x

x 1

2+，其定义域为（－∞，0）∪（0，∞）.

因为对定义域内的每一个x ，都有

f （－x ）=x x -+-1)(2=x

x 1

2+-=－f （x ）,

所以函数f(x)=x

x 1

2+-为奇函数.

（4）对于函数f(x)=x 21，其定义域为（－∞，∞）. 因为对定义域内的每一个x ，都有 f （－x ）=(x)21=x 21=f （x ）, 所以函数f(x)=x 21为偶函数.

2.f(x)的图象如图1-3-24所示，g(x)的图象如图1325所示.

图1-3-24 图1325

(课本P 39习题1.3)

A 组

1.（1）函数的单调区间是(∞,25］,(25,∞).函数y=f(x)在区间(∞,25］上是减函数，在区间(2

5,∞)上是增函数.

（2）函数的单调区间是(∞,0］,(0,∞).函数y=f(x)在区间(0,∞)上是减函数，在区间(∞,0］上是增函数. 图略.

2.（1）设0

f(x 1)f(x 2)=(x 121)(x1)=x 12x=(x 1x 2)(x 1x 2). ∵0f(x 2).

∴函数f(x)在(∞,0)上是减函数. （2）设0

)(121x -)=21x

11x -=212

1x x x x -.

∵00. ∴f(x 1)

∴函数f(x)在(∞,0)上是增函数.

3.设x 1、x 2是（－∞，∞）上任意两个实数，且x 1＜x 2. 则y 1－y 2=（mx 1b ）－（mx 2b ） =m （x 1－x 2）. ∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0.

当m ＜0时，∴y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2.

∴此时一次函数y=mxb （m ＜0）在（－∞，∞）上是减函数. 同理可证一次函数y=mxb （m ＞0）在（－∞,∞）上是增函数. 综上所得，当m ＜0时，一次函数y=mxb 是减函数； 当m ＞0时，一次函数y=mxb 是增函数.

4.心率关于时间的一个可能的图象，如图1-3-26所示，

图1-3-26

5.y=50

2

x -162x2100=501-(x 28100x)2100=501-(x4050)2307 050.

由二次函数的知识,可得当月租金为4 050元时，租赁的月收入最大，最大收益为307 050元. 6.图略，函数f(x)的解析式为?

?

?<-≥+.0),1(,

0),1(x x x x x x

B 组

1.（1）函数f(x)在(∞,1)上为减函数，在［1,∞)上为增函数；函数g(x)在［2,4］上为增函数. （2）函数f(x)的最小值为－1，函数g(x)的最小值为0.

2.设矩形熊猫居室的宽为x m ，面积为y m 2，则长为2330x -m ，那么y=x 2

330x

- =

21(30x3x 2)=23-(x5)22

75

. 所以当x=5时，y 有最大值

2

75

, 即宽x 为5 m 时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，最大面积是2

75m 2

. 3.函数f(x)在(∞,0)上是增函数. 证明：设x 1x 2>0.

∵函数f(x)在(0,∞)上是减函数，∴f(x 1)

1.（1）A={－3，3}；（2）B={1，2}；（3）C={1，2}.

2.（1）线段AB 的垂直平分线；

（2）以定点O 为原心，以3 cm 为半径的圆. 3.属于集合的点是△ABC 的外接圆圆心.

4.A={－1,1}，

（1）若a=0，则B=?，满足B ?A ； （2）若a=－1，则B={－1}，满足B ?A ； （3）若a=1，则B={1}，满足B ?A. 综上所述，实数a 的值为0,1,1. 5.A ∩B={（x,y ）｜??

?=+=0y 3x 0y -2x }={（x,y ）|???==0

y 0

x }={（0,0）}

A∩C={（x,y ）|?

?

?==3y -2x 0

y -2x }=?；

B∩C={（x,y ）｜???==+3y -2x 0y 3x }={（x,y ）｜???

????

-==59

5

3y x }={（53,59-）}

（A∩B ）∪（B∩C ）={(0,0),(

53,5

9

-)}. 6.(1)要使函数有意义,必须|x|2≥0,即x≤2或x≥2,所以函数的定义域为{x|x≤2或x≥2} （2）要使函数有意义，必须??

?≥+≥-,05,02x x 即???-≥≥,

5,

2x x 得x≥2.

所以函数的定义域为{x ｜x≥2}； （3）要使函数有意义，必须??

?≠-≥-,

05||,

04x x 即x≥4，且x≠5.

所以函数的定义域为{x ｜x≥4，且x≠5}. 7.（1）f （a ）1=111++-a a =1

2

+a （2）f （a1）=

)

1(1)

1(1+++-a a =a a +-2.

8.（1）∵f （－x ）=22)(1)(1x x ---+=2

2

11x x -+，∴f （－x ）=f （x ）.

（2）∵f （x 1）=22

)1(1)1(1x x -+=2

2

1111x x -+=2

22211x x x x -+=1122-+x x =2

211x x -+-,∴f （x 1）=－f （x ）.

9.二次函数f(x)的对称轴是直线x=8k ，则有8k ≤5或8

k

≥20.解得k≤40或k≥160，即实数k 的取值范围是(∞,40］∪［160,∞). 10.（1）函数y=x 2是偶函数； （2）它的图象关于y 轴对称；

（3）函数在（0，∞）上是减函数； （4）函数在（－∞，0）上是增函数.

B 组

1.同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人.

提示：由题意知有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，所以15814=37，知共有37人次参加比赛.

由已知共有28名同学参赛，且没有人同时参加三项，而37－28=9， 知共有9名同学参加两项比赛.

已知同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，因此同时参加田径和球类的有3人；又已知有15人参加游泳比赛，因此只参加游泳一项的有9人. 2.实数a 的取值范围为{a ｜a≥0}. 3.∵（A ∪B ）=（

A ）∩（

B ）={1，3}，A∩（

B ）={2，4}，

∴

B={1,2,3,4}.∴B={5,6,7,8,9}.

4.f （1）=1×（14）=5 f （－3）=－3×（－3－4）=21 f （a1）=?

?

?-<++-≥++.1),3)(1(,1),5)(1(a a a a a a

5.证明：（1）f )2

(

21x x +=a·221x

x + b

=

22221b ab b ax x +++=2

1（ax 1b ）21（ax 2b ）=21

［f （x 1）f （x 2）

］， ∴f （

221x x +）=21

［f （x 1）f （x 2）］. （2）g （221x x +）=（221x x +）2a·2

2

1x x + b

=

21（21x ax 1b ）21（2

2x ax 2b ）－41（x 1－x 2）2 =21［g （x 1）g （x 2）］－41（x 1－x 2）2, ∵－4

1

（x 1－x 2）2≤0,

∴g （221x x +）≤2

1［g （x 1）g （x 2）］.

6.（1）奇函数f （x ）在［－b,－a ］上是减函数； （2）偶函数g （x ）在［－b,－a ］上是减函数.

7.若全月纳税所得额为500元，则应交纳税款为500×5%＝25（元）.此时月工资为800＋500＝1 300（元）；若全月纳税所得额为2000元，则应交纳税款为500×5%＋1500×10%＝175（元）.此时月工资为800＋500＋1500＝2800（元）.由于此人交纳税款为26.78元，则此人的工资在区间（1300，2800）内，所以他当月的工资、薪金所得是800＋500＋1

.025

78.26-≈1317.8（元）.

高中数学必修五全套教案(非常好的)

（第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系

北师大版高中数学必修五教学案

数列 1．1数列的概念 预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？数列的项指什么？ (2)数列的一般表示形式是什么？ (3)按项数的多少，数列可分为哪两类？ (4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项． [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置． (2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． (3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项． 2．数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．

3．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法． [小试身手] 1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋1 2，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋ 12中，依次得到0,1,0,1. 3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1 D ．4n 解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴? ???? x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15. [典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列；

高中数学必修五全部学案

【高二数学学案】 §1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理 一、1、基础知识 设?ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是?ABC 的外接圆半径。 （1）正弦定理： = = =2R 。 （2）正弦定理的三种变形形式： ①==b A R a ,sin 2 ，c= 。 ②== B R a A sin ,2sin ，=C sin 。 ③=c b a :: 。 （3）三角形中常见结论： ①A+B+C= 。②a B sin ，则有（ ） A 、a b D 、a ，b 的大小无法确定 （2）在ABC ?中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ） A 、4 B 、24 C 、34 D 、54 （3）已知ABC ?的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ?是 三角形。 二、例题 例1、根据下列条件，解ABC ?： （1）已知 30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知B=30°，2=b ，c=2，求C 、A 、a ； （3）已知b=6，c=9，B=45°，求C 、A 、a 。 例2、在ABC ?中，C B C B A cos cos sin sin sin ++= ，试判断ABC ?的形状。

三、练习 1、在ABC ?中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ?是等腰三角形或直角三角形。 2、在ABC ?中，5:3:1::=c b a ，求 C B A sin sin sin 2-的值。 四、课后练习 1、在ABC ?中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos = B 、A c C b sin sin = C 、B bc C ab sin sin = D 、A c C a sin sin = 2、在ABC ?中， 120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ） A 、 35 B 、53 C 、73 D 、7 5 3、在ABC ?中，已知 60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ） A 、24 B 、34 C 、64 D 、3 32 4、在ABC ?中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ） A 、45°或135° B 、135° C 、45° D 、以上答案都不对 5、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）

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2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数；

高中数学必修五-不等关系与不等式-教案

第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系； 2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容； 3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程. 二、教学重点： 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点： 使用不等式（组）正确表示出不等关系. 四、教学过程： （一）导入课题 现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.

提问： 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于). 2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述） 引入知识点： 1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”，其含义是指“或者a >b ，或者a =b ”，等价于“a 不小于b ，即若a >b 或a =b 之中有一个正确，则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. （1）如果a b -是正数，那么a b >；如果a b -等于零，那么a b =；如果a b -是负数，那么a b <.反之也成立，就是（a b ->0?a >b ；a b -=0?a =b ；a b -<0?a

高中数学必修五导学案 解三角形答案

必修五解三角形测试题答案 一、选择题：共8小题，每小题5分，共计40分 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．______________14/5___________ 10．_2___ 11． __________2_ 12．_______ 90_______ 13． ___________ 120 14．__不用做___）），（），（（321_____ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.解:(1)在ABC ?中,由 cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及 2a =,c =可得sin C = 由2 2 2 2 2cos 20a b c bc A b b =+-?+-=,因为0b >,故解得1b =. 所以sin 1C b = = (2)由cos 4A =- sin 4 A =, 得2 3cos 22cos 14A A =-=- ,sin 2sin cos A A A == 所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -+ =-= 16.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=, sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =, 再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列.

(II)若1,2a c ==,则2 2b ac ==,∴2223 cos 24 a c b B a c +-==, sin C == , ∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B = =??=. 17. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π?= ?= (II)2 2 2 2 2 2 2cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?==+?= 在Rt ABD ?中,AD = == 18. 【解析】 解:(1)证明:由 sin( )sin()44 b C c B a π π +-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44 B C C B A ππ +-+=, 即sin )sin )B C C C B B -+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4 B C π << 所以2 B C π -= (2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ= =,又,4 A a π ==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8 a B a C b c A A ππ = ===, 所以三角形ABC 的面积 151 sin sin cos 2888842 bc A πππππ===== 19.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6 x ωλ=-+.

最新人教版高中数学必修二_全册教案

按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？ 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ 6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。 7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。 10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？ 5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？ 四、巩固深化 练习：课本P7 练习1、2（1）（2） 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业

人教版高中数学必修五教案1

第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理： 2.正弦定理的证明： （1）向量法证明 （2）平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和另一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点： （1） （2） （3） 知识点3 解三角形

1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题： 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点： （1） （2） （3） （4） 知识点2 余弦定理的的证明 证法1： 证法2： 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题： （1）已知三边求三角； （2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角。 例1（山东高考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC=73. (1) 求C cos ； (2) 若 =2 5 ,且a+b=9，求c.

1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 （1）仰角和俯角： （2）方位角： 知识点2 解三角形应用题的一般思路 （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，如仰角、俯角、视角、方位角等，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）合理选择正弦定理和余弦定理求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 （1）首先要准备皮尺、测角仪器，然后选定测量的现场（或模拟现场），再收集测量数据，最后解决问题，完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据，整理信息。 （2）实习作业中的选取问题，一般有：○1距离问题，如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离，或两个不可到达点之间的距离；②高度问题，如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。

2017年最新高中数学必修5全册导学案及章节检测含答案

2016-2017学年高中数学必修五 全册导学案及章节检测 目 录 1．1.1 正弦定理(一) ............................................................................................................. 1 1.1.1 正弦定理(二) ................................................................................................................ 5 1．1.2 余弦定理(一) ............................................................................................................. 9 1．1.2 余弦定理(二) ........................................................................................................... 13 1.2 应用举例(一) ................................................................................................................. 18 1.2 应用举例(二) ................................................................................................................. 24 第一章 解三角形章末复习课 ............................................................................................... 30 第一章 解三角形章末检测（A ） ........................................................................................ 35 第一章 解三角形章末检测（B ） ........................................................................................ 42 2.1 数列的概念与简单表示法(一) ................................................................................... 50 2.1 数列的概念与简单表示法(二) ................................................................................... 54 2.2 等差数列(一) ............................................................................................................... 59 2.2 等差数列(二) ............................................................................................................... 63 2.3 等差数列的前n 项和(一) ........................................................................................... 67 2.4 等比数列(一) ............................................................................................................... 76 2.4 等比数列(二) ............................................................................................................... 80 2.5 等比数列的前n 项和(二) ........................................................................................... 88 数列复习课检测试题 ............................................................................................................. 93 数列习题课（1）检测试题 ................................................................................................... 98 数列习题课（2）新人教A 版必修5 .................................................................................. 102 数列章末检测（A ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 106 数列章末检测（B ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 112 第二章 数 列 章末检测(B) 答案 ............................................................................. 115 3.1 不等关系与不等式 ...................................................................................................... 120 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ................................................................................... 125 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ................................................................................... 130 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ......................................................................... 134 3．3.2 简单的线性规划问题(一) . (140) 3．3.2 简单的线性规划问题(二) (146) 3.4 ≤a ＋b 2(二) (157) 第三章 不等式复习课 ......................................................................................................... 161 第三章 不等式章末检测（A ） .......................................................................................... 167 第三章 不等式章末检测（B ） (174)

高中数学必修五全套教案

第一章解三角形 章节总体设计 （一）要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知

高中数学必修五北师大版 余弦定理(一)学案

1.2 余弦定理(一) 课时目标 1.熟记余弦定理及其推论； 2.能够初步运用余弦定理解斜三角形． 1．余弦定理 三角形任何一边的________等于其他两边________的和减去这两边与它们的________的余弦的积的________．即a 2＝________________，b 2＝________________，c 2＝____. 2．余弦定理的推论 cos A ＝________________；cos B ＝______________；cos C ＝________________. 3．在△ABC 中： (1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝________； (2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝________； (3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝________. 一、选择题 1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A . 3 B ．3 C . 5 D ．5 2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A .π3 B .π6 C .π4 D .π12 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B . 2 C ．2 D ．4 4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A .14 B .34 C .24 D .23 5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 6．在△ABC 中，已知面积S ＝14 (a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( ) A ．135° B ．45° C ．60° D ．120° 二、填空题 7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a>0，b>0)，则最大角为________． 10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3 ，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.

新人教版高中数学必修一全套教案

第一章集合与函数概念 §1．1集合 1.1.1集合的含义与表示（第一课时） 教学目标：1.理解集合的含义。 2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。 教学重点：集合含义 教学难点：集合含义的理解 教学方法：尝试指导法 教学过程： 引入问题 （I）提出问题 问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？ 问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？ 讨论问题：按小组讨论。 归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。 复习问题 x-< 问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式73的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。（II）讲授新课 1．集合含义 通过以上实例，指出： （1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。 （2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？ 2. 集合元素的三个特征

由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征： （1） 确定性： 设A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则a 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） “中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P 周围的点”一般不构成集合 元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) 若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A ，记作a ∈A ； 若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32?A.(请学生填充)。 （2） 互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素。 说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)2 =0的解集表示为{1,-2 },而不是{ 1,1,-2 } （3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列，调换. 。 3.常见数集的专用符号 （III ）课堂练习 （IV ）课时小结 1.集合的含义； 2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可用于判定集合的关系。

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课题: §1．1．1正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A c =， sin b B c =，又sin 1c C c == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

人教版高中数学必修5全册导学案

§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． CB 及∠B ，使边AC 绕着 顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ） ． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它 的边和角的过程叫作解三角形． ※ 典型例题 例1. 在ABC ?中， 已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．