第10天 不等式与简单的线性规划
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1.了解不等式的概念和性质;
2.掌握基本不等式;
3. 会解决简单的线性规划问题. 一、选择题
1.若不等式2
162a b
x x b a
+<+
对任意(),0,a b ∈+∞恒成立,则实数x 的取值范围是 ( )
A .()2,0-
B .()(),20,-∞-+∞
C .()4,2-
D .()
(),42,-∞-+∞
2.已知(0,0)a b t a b +=>>,t 为常数,且ab 的最大值为2,则t =
( ) A .2
B .4
C .22
D .25
3.已知向量(1,2),(4,)a x b y =-=,若a b ⊥,则93x y +的最小值为
( ) A .23
B .12
C .6
D .32 4.不等式|x -1|+|y -1|≤2表示的平面区域的面积是
( )
A.2
B.4
C.6
D.8 5.图中阴影部分是下列不等式中( )表示的平面区域
A.10
236010220x y x y x y x y +->??+-?--≥??-+≤?
B.10
236010220x y x y x y x y +-?+-≥??--≥??-+ C.10236010220
x y x y x y x y +->??+-≤??--≤??-+>?
D.10236010220x y x y x y x y +-≥??+-?
--?-+≥?
6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+,则a b +的最小值为 ( )
A .8
B .6
C .4
D .2
1
3
x O
2-
1
2y
7.定义,max{,},a a b a b b a b ≥?=?
,设实数x ,y 满足约束条件2
2
x y ?≤??≤??,则
max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是
( )
A.[7,10]-
B.[8,10]-
C.[6,8]-
D.[7,8]-
8.设动点坐标(x ,y )满足(x -y +1)(x +y -4)≥0,且x ≥3,则x 2
+y 2
的最小值为
( ) A.5 B.10 C.
2
17
D.10 二、填空题
9.已知点(3,1)和点(-4,6)在直线320x y a -+=的两侧,则实数a 的取值范围是 .
10.记不等式组0,34,34,x x y x y ≥??
+≥??+≤?
所表示的平面区域为D ,若直线()1y a x =+与D 有公共点,
则a 的取值范围是______.
11.设2z x y =-+,实数,x y 满足2,1,2.x x y x y k ≤??
-≥-??+≥?
若z 的最大值是0,则实数k =_______,z 的
最小值是_______. 12.已知以下四个命题:
① 如果12,x x 是一元二次方程2
0ax bx c ++=的两个实根,且12x x <,那么不等式
20ax bx c ++<的解集为{}12x x x x <<;
② 若
1
02
x x -≤-,则(1)(2)0x x --≤; ③“若2m >,则2
20x x m -+>的解集是实数集R ”的逆否命题;
④ 若函数()f x 在(,)-∞+∞上递增,且0a b +≥,则()()()()f a f b f a f b +≥-+-. 其中为真命题的是 (填上你认为正确的序号). 三、解答题
13.已知10101x y x y y -+≥??
+-≥??≥-?
求:
(Ⅰ)z =x +2y -4的最大值; (Ⅱ)z =2y +1
x +1的范围; (III )221025
z x y y =+-+的最小值.
14.函数)(x f 对一切实数y x ,均有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立,且0)1(=f , (Ⅰ)求)0(f 的值; (Ⅱ)当1
02
x ≤≤时,()32f x x a +<+恒成立,求实数a 的取值范围.
15.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有723m ,第二种有563m .
假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一张圆桌需要用第一种木料0.183m ,第二种木料0.083m ,可获利润6元,生产一个衣柜需要用第一种木料0.093m ,第二种木料0.283m ,可获利润10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大?最大利润是多少?
16.如图,某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树, 已知角A 为120,,AB AC 的长度均大于200米,现在边界,AP AQ 处建围墙,在PQ 处围竹篱笆.
(Ⅰ)若围墙,AP AQ 总 长度为200米,如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大? (Ⅱ)已知AP 段围墙高1米,AQ 段围墙高1.5米,造价均为每平方米100元. 若建围墙用了
20000元,问如何设计可使竹篱笆用料最省?
【链接高考】已知梯形ABCD 中|AB|=2|CD|,点E 分有向线段AC 所成的比为λ(即
AE EC λ=),双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点,当4
3
32≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围。
第10天 不等式与简单的线性规划
1-8:CCCD,CCAD. 9.()7,24-;10. 1
[,4]2
;11. 4,4-;12. ② ③ ④ . 13. (1) 21. (2) 37,42??
???? . (3)92 .
14.(Ⅰ)2-;(Ⅱ)()1,+∞.
15.生产圆桌350张,衣柜100个可获得最大利润3 100元.
16.(1)当100100AP AQ ==米,米米时, 可使三角形地块APQ 的面积最大;(2)当
200800
77
AP AQ =
=米,米米时, 可使篱笆最省. 【链接高考】建立如图所示的直角坐标系xOy ,记A ()0 ,c -,C ??
?
??h c , 2,E ()00 ,y x ,
其中||2
1
AB c =
为双曲线的半焦距,h 是梯形的高.由EC AE λ=,得λ
λλλ+=+-=
11(2)2(00h
y c x ,).
设双曲线的方程为122
22=-b
y a x ,则离心率a c e =.由点C 、E 在双曲线上得
???????=??? ??+-??? ??+-=-.11124
1422
2
2
222
2
b
h e b
h e λλλλ, 得14222-=e b
h ,所以()λλ214442
+=-e , 故2
312+-
=e λ.由题设4332≤
≤λ得,43231322≤+-≤e .解得107≤≤e . 所以,双曲线的离心率的取值范围为7,10????.