10.
1. 优化设计问题的求解方法:解析解法和数值近似解法。解析解法是指优化对象用数学方程(数学模型)描述,用数学解析 方法的求解方法。解析法的局限性:数学描述复杂,不便于或不可能用解析方法求解。数值解法:优化对象无法用数学 方程描述,只能通过大量的试验数据或拟合方法构造近似函数式,求其优化解;以数学原理为指导,通过试验逐步改进 得到优化解。数值解法可用于复
杂函数的优化解,也可用于没有数学解析表达式的优化问题。但不能把所有设计参数都 完全考虑并表达,只是一个近似的数学描述。数值解法的基本思路:先确定极小点所在的搜索区间,然后根据区间消去 原理不断缩小此区间,从而获得极小点的数值近似解。 2. 优化的数学模型包含的三个基本要素:设计变量、约束条件(等式约束和不等式约束)、目标函数(一般使得目标函 数达到极小值)。 3. 机械优化设计中, 两类设计方法:优化准则法和数学规划法。 k 1 k k
优化准则法:X c X (为一对角矩阵) k 1 数学规划法:X k 1 k k k
X k d ( k d 分别为适当步长某一搜索方向一一数学规划法的核心) 4. 机械优化设计问题一般是非线性规划问题, 实质上是多元非线性函数的极小化问题。 的极值问题和不等式约束优化问题的极值条件。 5. 对于二元以上的函数,方向导数为某一方向的偏导数。 重点知识点:等式约束优化问题 f |
X o *kCOS i d i 1 X i 函数沿某一方向的方向导数等于函数在该点处的梯度与这一方向单位向量的内积。 速上升方向),建议用 单位向量 表示,而梯度的模是函数变化率的最大值。 6. 梯度方向是函数值变化最快的方向 (最
7. 8. 9. 多元函数的泰勒展开。 f X f x 0 T
f X o
-X T G X o 2 f X o f X i f X 2 X , X 2 1 2 X1
X 2 2f 2f 为X 2
2
f
X 1 X 2 X 1
2
f X 2 -- 2 X 2
海赛矩阵:
x
o
2
f
~2 X
1
2
f
2
f
X l X 2
X 1 X 2
2
f
2
X 2
(对称方
阵)
极值条件是指目标函数取得极小值时极值点应满足的条件。
某点取得极值,
要条件:极值点必在驻点处取得。用函数的二阶倒数来检验驻点是否为极值点。 导数等于零时,判断开始不为零的导数阶数如果是偶次,则为极值点, 在此点函数的一阶导数为零,
极值点的必
二阶倒数大于零,取得极小值 。二阶 奇次
则为拐点。二元函数在某点取得极值的充
分条件是在该点岀的海赛矩阵正定。
极值点反映函数在某点附近的局部性质
凸集、凸函数、凸规划。 凸规划问题的任何局部最优解也就是全局最优点 中任意两点
的线段上的所有元素都包含在该集合内。 凸函数:连接凸集定义域内任意两点的线段上, 。凸集是指一个点集或一个区域内,连接其 性质:
凸集乘上某实数、两凸集相加、两凸集的交集仍是凸集。 函数值总小于或等于用任意两点函数值做线性内插所得的值。
数学表
达:f ax,
1 a x 2
f X i f X 2 0 1,若两式均去掉等号,则 f X 称作严格凸函数。凸
函数同样满足倍乘, 加法和倍乘加仍为凸函数的三条基本性质。 优化问题。
等式约束优化问题的极值条件。两种处理方法:消元法和拉格朗日乘子法。也分别称作降维法和升维法。消元法 等式约束条件的一个变量表示成另一个变量的函数。减少了变量的个数。拉格朗日乘子法是通过增加变量 约束优化问题变成无约束优化问题,增加了变量的个数。
不等式约束优化问题的极值条件。不等式约束的多元函数极值的必要条件为库恩塔克条件。库恩塔克条件:
凸规划针对目标函数和约束条件均为凸函数是的约束
:将 将等式
16.
,几何意义:在约束极小值处,函数的负梯度一定能表示成所有起作用约束在该点
邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。
质。最速下降法的收敛速度和变量的尺度关系很大。最速下降方向的每一次搜索方向与前一次的搜索方向互相垂直, 形成“之”字形的锯齿现
象。
1
2r k ' r k
f X f X 。若某一迭代方法能使二次函
X i X i
j g j x
11.
12. 梯度的非负线性组合
一维搜索是指一元函数的极值问题。搜索区间的外推法(进退法):假设函数在搜索区间具有单谷性,使函数在搜索区间形成
“高低高”趋势来确定极小点所在的区间。分别对应搜索的起点,中间点和终点。再利用区间消去法原理比较函数值的大小以
确定极小值所在的搜索区间。
一维搜索方法。试探法:常用的一维搜索的方法是黄金分割法(
。对于含有等式约束的优化问题的拉格朗日乘子,并没有非负的要求。
0.618 法)。适用于任何单谷函数求极小值问题。黄
13.
14. 金分割法要求插入点的位置相对于区间的两端点对称。所以插入点的位置为:
插值法(函数逼近法):利用试验点的函数值建立函数近似表达式来求函数的极小点。
的方法:牛顿法
骤:计算f
(切线法)和抛物线法(二次插值法)。牛顿法迭代公式:
,若
C2
g
C3
a1 b b a
,区间缩短率为
a2 a b a
两种用二次函数逼近原来函数
则求得近似解
k
—,牛顿法的计算步
k
k 1 ;二次插值法:
P对应的极值点,对应的函数值为极小值。
无约束优化问题。常用的数值计算方法为搜索方法。基本思想:从给定的初始点,沿某一搜索方向进行搜索,确定最佳步长
使函数值沿搜索方向下降最大。
的构成问题是无约束优化方法的关键。束优化方法,如最速下降法,共轭梯度法,轮换法,单形替换法,和鲍威尔法。
最速下降法(梯度法)。从某点岀发,
各种无约束优化方法的区别在于确定其搜索方向的方法不同,所以,搜索方向
无约束优化方法可以分为两类:一类是利用目标函数的一阶或二阶导数的无约
牛顿法和变尺度法;另一类只利用目标函数值的无约束优化方法,如坐标
搜索方向去该点的负梯度方向。为了使目标函数获得最大下降值。其步长因子
去一维最佳步长: f x k 1- k - k
min f X k f X
min ,在最速下降法中,相
最速下降法迭代行进的距离缩短,收敛速度减慢。梯度反映的是函数的局部性
15. 牛顿型方法。多元函数求极值的牛顿法迭代公式:
16.数在有限次迭代内达到极小点,
牛顿型方法。
共轭方向法。
则称此迭代方法是二次收敛的。牛顿方法时二次收敛的。牛顿法和阻尼牛顿法统称为主要缺点是计算函数的二阶导数矩阵,并对该矩阵求逆。
对于二元函数,为避免锯齿现象,在第二次的迭代搜索方向上取到极小点。所必须满足的条件:
d0 T Gd10,满足条件的两个向量d0d1称之为共轭向量,或称之为对G是共轭方向。多维函数当中,共轭向
量互相正交且线性无关;n维空间互相共轭的非零向量的个数不超过n ;共轭方向法具有二次收敛性。格拉姆-斯密特向量共轭化方法:选定线性无关向量组:V V1 V n (例如他们是n个坐标轴上的单位向量)首先,取d0V o,
基于MATLAB工具箱的机械优化设计 长江大学机械工程学院机械11005班刘刚 摘要:机械优化设计是一种非常重要的现代设计方法,能从众多的设计方案中找出最佳方案,从而大大提高设计效率和质量。本文系统介绍了机械优化设计的研究内容及常规数学模型建立的方法,同时本文通过应用实例列举出了MATLAB 在工程上的应用。 关键词:机械优化设计;应用实例;MATLAB工具箱;优化目标 优化设计是20世纪60年代随计算机技术发展起来的一门新学科, 是构成和推进现代设计方法产生与发展的重要内容。机械优化设计是综合性和实用性都很强的理论和技术, 为机械设计提供了一种可靠、高效的科学设计方法, 使设计者由被动地分析、校核进入主动设计, 能节约原材料, 降低成本, 缩短设计周期, 提高设计效率和水平, 提升企业竞争力、经济效益与社会效益。国内外相关学者和科研人员对优化设计理论方法及其应用研究十分重视, 并开展了大量工作, 其基本理论和求解手段已逐渐成熟。 国内优化设计起步较晚, 但在众多学者和科研人员的不懈努力下, 机械优化设计发展迅猛, 在理论上和工程应用中都取得了很大进步和丰硕成果, 但与国外先进优化技术相比还存在一定差距, 在实际工程中发挥效益的优化设计方案或设计结果所占比例不大。计算机等辅助设备性能的提高、科技与市场的双重驱动, 使得优化技术在机械设计和制造中的应用得到了长足发展, 遗传算法、神经网络、粒子群法等智能优化方法也在优化设计中得到了成功应用。目前, 优化设计已成为航空航天、汽车制造等很多行业生产过程的一个必须且至关重要的环节。 一、机械优化设计研究内容概述 机械优化设计是一种现代、科学的设计方法, 集思考、绘图、计算、实验于一体, 其结果不仅“可行”, 而且“最优”。该“最优”是相对的, 随着科技的发展以及设计条件的改变, 最优标准也将发生变化。优化设计反映了人们对客观世界认识的深化, 要求人们根据事物的客观规律, 在一定的物质基和技术条件下充分发挥人的主观能动性, 得出最优的设计方案。 优化设计的思想是最优设计, 利用数学手段建立满足设计要求优化模型; 方法是优化方法, 使方案参数沿着方案更好的方向自动调整, 以从众多可行设计方案中选出最优方案; 手段是计算机, 计算机运算速度极快, 能够从大量方案中选出“最优方案“。尽管建模时需作适当简化, 可能使结果不一定完全可行或实际最优, 但其基于客观规律和数据, 又不需要太多费用, 因此具有经验类比或试验手段无可比拟的优点, 如果再辅之以适当经验和试验, 就能得到一个较圆满的优化设计结果。 传统设计也追求最优结果, 通常在调查分析基础上, 根据设计要求和实践
机械优化设计综述与应用 苟晓明 (重庆理工大学重庆汽车学院,重庆市400054) 摘要:机械优化设计是一门实践性很强的综合性学科,在现代机械设计中占有非常重要的地位,其应用价值十分高,是非常有发展潜力的研究方向。文章对机械优化设计的基本理论,基本研究思路、优化设计方法、软件的应用情况以及应用中可能遇到的问题等分别进行了简述,分析了优化设计应用的发展趋势。并应用Matlab优化工具箱对产品进行了优化设计应用实例分析。 关键词:机械优化设计;优化方法;蜗杆传动;Matlab Summary of Mechanical Optimal Design and Application GOU Xiao Ming (Chongqing University of Technology, Chongqing Automobile Institute,Chongqing,400054,Chain) Abstract: Mechanical optimal design is a very practical comprehensive discipline, it plays a very important role in modern mechanical design. Its value is very high, and is very promising research direction. This article summarized the basic theory of optimal design, research ideas, optimal design method, the application of software and possible problems in use the software. Analyze the application and trends of optimization methods. And use Matlab optimization toolbox to analyze the optimal design of products. Key words:mechanical optimal design; optimization method;worm transmission; Matlab 0 引言 优化设计是20世纪60年代发展起来的,以数学规划理论为基础,根据最优化的原理和方法,应用计算机技术,寻求最优设计参数的一种新方法,为工程设计提供了一种重要的科学设计方法。优化设计首先需根据工程需要将实际问题转化成数学模型,然后选择合理的优化方法,通过计算机求得最优解。能使设计周期大大缩短,提高计算精度、设计效率和设计质量。因此优化设计是现代设计理论和方法的一个重要领域,它已广泛应用于各个工业部门,已成为设计方法的一个重要发展趋势。 1 优化设计基本概念 机械优化设计就是在满足给定的载荷、环境条件、产品的形态、几何尺寸关系或其它约束条件下,以机械系统的功能、强度和经济性等为优化对象,选取设计变量,建立目标函数和约束条件, 利用数值优化计算方法使目标函数获得最优设计方案一 种现代设计方法]3 1[ 。进行最优化设计时,首先必须将实际问题加以数学描述,形成一组由数学表达式组成的数学模型,然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序,在计算机上运算求解,得到一组由数学表达式组成的最优设计参数。利用优化设计,可进一步改善和提高产品的性能;在满足各种设计条件下减少产品或工程结构重量,从而节省产品成本消耗、降低工程造价;可以进一步提高产品或工程设计效率。因此,优化设计是直接提高产品设计性能、降低产品成本的有效设计方法。优化设计可给企业带来直接的经济效益,从而提高企业产品的竞争能力。 优化设计的目标是使设计对象最优,而优化设计的手段是计算机及优化计算软件。优化计算软件是以优化计算方法为基础而形成的应用程序系统。因此,优化设计还可以被理解为采用计算程序的从设计空间搜索最佳设计方案的现代设计手段。优化设计与常规设计相比具有借助计算机为工具的明显特征。优化设计中优化计算方法的数学基础包括线性规划、非线性规划、动态规划、几何规划等内容的数学规划理论。 优化设计一般包含如下主要内容:①将设计中的实际物理模型抽象为数学模型。确定设计过程中主要的设计目标和设计条件,在此基础上构造评价设计方案的目标函数和约束条件等。②数学模型的求解。根据数学模型的性质,选择合适的优化方法,并利用计算机进行数学模型的求解,得到优化设计方案。 任何机械设计问题,总是要求满足一定的工作条件、载荷和工艺等方面要求,并在强度、刚度、
第一题 考察温度对烧碱产品得率的影响,选了四种不同温度进行试验,在同一温度下进行了5次试验(三数据见下表)。希望在显着性水平为。 1.SSE的公式 2.SSA的公式 3.将表格粘贴进Excel,然后进行数据分析,勾选标于第一行,显示在下面 P=,远小于,所以是显着的 “方差分析” “响应C1C2C3C4” “选单因素未重叠” 4.打开Minitab,复制表格, “统计” 点击“比较”勾选第一个,确定 结果:工作表3 单因子方差分析:60度,65度,70度,75度 来源自由度SSMSFP 因子误差合计 S==%R-Sq(调整)=% 平均值(基于合并标准差)的单组95%置信区间 水平N平均值标准差------+---------+---------+---------+--- 60度度度度合并标准差= Tukey95%同时置信区间 所有配对比较 单组置信水平=% 60度减自: 下限中心上限------+---------+---------+---------+--- 65度度度度减自: 下限中心上限------+---------+---------+---------+--- 70度度度减自: 下限中心上限------+---------+---------+---------+--- 75度获得结果,区间相交包含的不明显,反之明显 第二题 为研究线路板焊点拉拔力与烘烤温度、烘烤时间和焊剂量之间关系。从生产过程中收集20批数据,见下表: 1.将表格粘贴进Minitab,然后“统计”“回归”“回归”“响应,变量”“图形,四 合一” 2.P小于,显着 4.残差分析 第三题 钢片在镀锌前需要用酸洗方法除锈, 为提高除锈效率,缩短酸洗时间,需 要寻找好的工艺参数。现在试验中考 察如下因子与水平:
燕山大学机械优化设计论文 专业:12机械工程 班级:工学部1班 学号: 姓名: 2012年12月05日
摘 要: 机械优化设计是将最优化原理和计算技术应用于设计领域,为工程设计提供一种重要的科学设计方法。机械优化设计包括建立优化设计问题的数学模型和选择恰当的优化方法与程序两方面的内容。由于机械优化设计是应用数学方法寻求机械设计的最优方案,所以首先要根据实际的机械设计问题建立相应的数学模型,即用数学形式来描述实际设计问题。在建立数学模型时,需要用专业知识确定设计的限制条件和所追求的目标,确立各设计变量之间的相互关系等。机械优化设计问题的数学模型可以是解析式,实验数据或经验公式。虽然它们给出的形式不同,但都是反应设计变量之间的数量关系的。MATLAB 是目前国际上最流行的科学与工程计算的软件工具, 它具有强大的数值分析、矩阵运算、信号处理、图形显示、模拟仿真和最优化设计等功能。本文用MATLAB 来解决机械设计中的几个常见的问题。 关键词:MATLAB ;优化;机械设计;软件 1 引 言 近年来发展起来的计算机辅助设计,在引入优化设计方法后,使得在设计过程中既能够不断选择设计参数并评选出最优设计方案,又可以加快设计速度,缩短设计周期。在科学技术发展要求机械产品更新日益缩短的今天,把优化设计方法与计算机辅助设计结合起来,使设计过程完全自动化,已成为设计方法的一个重要趋势。 2 采用MATLAB 软件进行优化设计 2.1.问题描述: 求3682+-=t t f 的最优解 2.1.1规划模型的建立: 目标函数 36102+-=t t f 约束条件 无约束 2.1.2对应的程序: clc clear syms t f=t^2-10*t+36; x1=0; h=2; f1=subs(f,x1);
浅析机械优化设计方法基本理论 【摘要】在机械优化设计的实践中,机械优化设计是一种非常重要的现代设计方法,能从众多的设计方案中找出最佳方案,从而大大提高设计的效率和质量。每一种优化方法都是针对某一种问题而产生的,都有各自的特点和各自的应用领城。在综合大量文献的基础上,总结机械优化设计的特点,着重分析常用的机械优化设计方法,包括无约束优化设计方法、约束优化设计方法、基因遗传算方法等并提出评判的主 要性能指标。 【关键词】机械;优化设计;方法特点;评价指标 一、机械优化概述 机械优化设计是适应生产现代化要求发展起来的一门科学,它包括机械优化设计、机械零部件优化设计、机械结构参数和形状的优化设计等诸多内容。该领域的研究和应用进展非常迅速,并且取得了可观的经济效益,在科技发达国家已将优化设计列为科技人员的基本职业训练项目。随着科技的发展,现代化机械优化设计方法主要以数学规划为核心,以计算机为工具,向着多变量、多目标、高效率、高精度方向发展。]1[ 优化设计方法的分类优化设计的类别很多,从不同的角度出发,可以做出各种不同的分类。按目标函数的多少,可分为单目标优化设计方法和多目标优化设计方法按维数,可分为一维优化设计方法和多维优化设计方法按约束情况,可分为无约束优化设计方法和约束优化设计方法按寻优途径,可分为数值法、解析法、图解法、实验法和情况研究法按优化设计问题能否用数学模型表达,可分为能用数学模型表达的优化设计问题其寻优途径为数学方法,如数学规划法、最优控制法等。 1.1 设计变量 设计变量是指在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数,在优化过程中,这些参数就是自变量,一旦设计变量全部确定,设计方案也就完全确定了。设计变量的数目确定优化设计的维数,设计变量数目越多,设计空间的维数越大。优化设计工作越复杂,同时效益也越显著,因此在选择设计变量时。必须兼顾优化效果的显著性和优化过程的复杂性。
.. 第一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ? ??? ,海赛矩阵 为2442-?? ? ?-?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映,因此对它最基本的要能用 来评价设计的优劣,,同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题,的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化,这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定,此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向,因此最速下降法又称为 梯度法,其收 敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题,这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射,扩,收缩,压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12.在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束, ,另外应当尽量减少不必要的约束 。 13.目标函数是n 维变量的函数,它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来,为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况,常采用 目标函数等值面 的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1 k k k k X X d α+=+ ,其核心是 建立搜索方向, 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。 16.机械优化设计的一般过程中, 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步,它是取得正确结果的前提。