第4章根轨迹分析法习题解答
第四章 根轨迹分析法
学习要点
1根轨迹的概念；
2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤；
4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。
思考与习题祥解
\
题 思考与总结下述问题。
（1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。
（2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
（4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S 复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。
根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此， 对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。
应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。
（2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S 复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。
（3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 |
考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。
绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。
正反馈系统的闭环特征方程0)()(1=-s H s G 与负反馈系统的闭环特征方程1()()0G s H s +=存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（ππk 2+）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk 20+）是0根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则， 如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角， 根轨迹出射角和入射角等等，都要变ππk 2+角度为πk 20+。
（4）由于开环零、极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向，所以增加开环零、极点将使根轨迹的形状和走向发生改变，从而使系统性能也随之发生变化。
一般地，增加合适的开环零点，可使闭环系统的根轨迹产生向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。增加开环极点时，增加了根轨迹的条数，改变了根轨迹渐近线的方向，可使闭环系统的根轨迹产生向右变化的趋势，削弱系统的稳定性和快速性。
增加开环零极点，都将改变根轨迹渐近线与实轴的交点与夹角，可能改变根轨迹在实轴上的分布。
如果系统期望主导极点在根轨迹左侧时，可通过增加开环零点（超前校正），使闭环系统的根轨迹向左弯曲，通过期望主导极点，满足系统动态要求；如果系统期望主导极点在根轨迹右侧时，可通过增加开环极点（滞后校正），使闭环系统的根轨迹向右弯曲，通过期望主导极点，满足系统动态要求。
题
,试绘制各系统的根轨迹图。
（1）
（2）)4()2()()(2++=s s K
s H s G
（3）3
)2()()(+=s K
s H s G
解： （11）起点：三个开环极点 3,4,2,0321=-=--=-=-n p p p 。
2）终点：无有限开环零点 0=m 。
3）实轴上 ]02[]4，、，（--∞- 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00
180,6003)12(18020
34
2±=-+±=-=-+-
=-k A θσ 5) 求分离点 \
155
.333
2
2845.03322 08123 0
)()()()(212''-≈--=-≈+-==++=-s s s s s A s B s B s A 解得：得：
因为实轴上的根轨迹 在
]02[]4，、，（--∞- 区间内，所以分离点为1s 。 6) 根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为: 08623=+++K s s s
造劳斯表：
K
S K S K
S S 01
230
6
8681
-
为使S 1 行为零，应有48=K
由S 2 行得辅助方程： 04862=+s 解得: 83.28j j s ±≈±= 根轨迹如图所示。
48
=48
=
*
图 题（1）根轨迹
（2
1）起点：三个开环极点 3,4,2,2321=-=--=--=-n p p p 。
2）终点：无有限开环零点 0=m 。 3）实轴上 ]4-∞-，（ 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00
180,600
3)12(1803
8
03422±=-+±=-
=-++-=-k A θσ 5) 求分离点
因为实轴上的根轨迹 在]4-∞-，（ 区间内，且-2为系统开环重极点，所以分离点为1s 。
6) 根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为: 01620823=++++K s s s
将ωj 代人s ，整理得：0)20()168(32=-++-ωωωj K 由此可得下列联立方程：
)20(0
1682
2=-=+-ωωωK
解得: 144,52=±=K ω 根轨迹如图所示。
144
=144
=
图 题（2）根轨迹
.
（3
1）起点：三个开环重极点 3,
2321=-=-=-=-n p p p 。
2）终点：无有限开环零点 0=m ，
因此，根轨迹分成3条，它们均由 -2 出发趋向无限远点。 3）实轴上 ]2-∞-，（ 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00180,600
3)12(1802
32
22±=-+±=-=-++-=-k A θσ
5) 求分离点
实轴上的分离点为-2。 ！
6) 根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为: 0812623=++++K s s s
将ωj 代人s ，整理得：0)12()86(32=-+++-ωωωj K 由此可得下列联立方程：
)12(0
862
2=-=+-ωωωK
解得: 64,32=±=K ω
可见，根轨迹与其渐近线重合。根轨迹如图所示。
64
=K 64
=K
图 题（3）根轨迹
题 已知负反馈控制系统的开环传递函数为
（1）)
4)(2()
3()()(+++=s s s K s H s G
,
（2）
)
3()()(+=
s K s H s G
（3
解：（11）起点：两个开环极点 2,4,221=-=--=-n p p 。
2）终点：有一个有限开环零点
1,3=-=-m z 。
3）实轴上 ]2,3[]4---∞-、，
（ 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
01801
2)12(1803
123
42=-+±=-=--+-
=-k A θσ
即：系统根轨迹分成两条，一条从) 0 2 (，-点出发，终止于有限开环零点) 0 3 (，-，
另一条从) 0 4 (，-点出发，沿正实轴方向趋于无限远点。根轨迹如图所示。
【
图 题（1）根轨迹
（21）起点：三个开环极点 3,4,2,0321=-=--=-=-n p p p 。
2）终点：一个有限开环零点
13=-=-m z ，。
3）实轴上 ]0 2[ ]3 4[，、，
--- 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00913)12(18023
133420±=-+±=-
=--++-
=-k A θσ
5) 求分离点 |
2463152s 0)()()()(2
3''=+++=-s s s A s B s B s A 得：
因为实轴上的分离点应该在 ] 0 2 [，- 区间内，利用凑试法可得1.11-≈s 。 根轨迹如图所示。
图 题（2）根轨迹
（31）起点：三个开环极点 3,1,1,0321=---=-+-=-=-n j p j p p 。
2）终点：一个有限开环零点
12=-=-m z ，。
3）实轴上 ]02[，- 为根轨迹区间。 ?
4）根轨迹渐近线
091
3)12(1800
132
110±=-+±==---+++-
=-k j j A θσ）（）（ 即渐近线为虚轴。 5) 根轨迹的出射角
200000111
1
0 0)4590135(180 )
(180 ==-+-=--=∑∑-==θθ?θθ故得：
由n j m
i i j l 根轨迹如图所示。
图 题（3）
题 有一个开环传递函数为)
15.0()
1()()(2++=s s s K s H s G 的负反馈系统，试绘制系
统的根轨迹。
$
解： 1）起点：三个开环极点 3,2,0321=-=-=-=-n p p p 。
2）终点：一个有限开环零点
11=-=-m z ，。
3）实轴上 ] 1 2[--， 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线
0091
3)12(18021
131-200±=-+±=-
=-++-=-k A θσ
根轨迹如图所示。
图 题根轨迹
题 已知负反馈控制系统的开环传递函数为)
4)(2)(1()()(+++=
s s s K
s H s G ，
试证明31j s +-=是该系统根轨迹上的一点，并求出相应的K 值。
解： 系统有三个开环极点，无开环有限零点。开环零极点与31j s +-=点的分布如图所示。
；
图 题 系统开环零极点分布
1） 若s 为根轨迹上的点，则必满足相角条件，即：
∵ 0000321180306090)()()(=++=+∠++∠++∠P s P s P s ∴ s 是根轨迹上的一点。 2） 求与s 相应的K 值。 根据幅值条件： 12132231))()((11321=??=+++=P s P s P s K 所以 12=K
，
设负反馈系统的开环传递函数为)
4()
6()()(++=s s s K s H s G ，试证明该系统根轨
迹为一圆形，并指出其圆心和半径。
证明: 设s 为系统根轨迹上的一点，则根据相角条件有： 0
180)4()()6 180)4()6(=++∠-+∠-++∠+==+∠-∠-+∠ωσωσωσω
σj j j j s s s s （可得令
即：01804
6=+--+σωσωσω
arctg arctg
arctg
整理得：4
18060++=-+σω
σωσωarctg
arctg arctg 利用反正切公式，可得：
41806160++=?++-
+σω
σ
ωσωσω
σω
arctg arctg
等式两端取正切：4616+=?++-
+σω
σ
ωσωσω
σω
整理得：12)6(22=++ωσ
可知，上式为一圆的方程，圆心)0 6(，-，半径为32。
：
题
试用
K 值，并求出此时闭环系统的特征根。
解： 系统的根轨迹如图所示。
当5.0=ζ时，阻尼角为0605.0arccos =，此时阻尼线与根轨迹的交点即为系统的闭环主导极点，而相应的K 值即为所求。
设主导极点为n n n n j s j s ωζζωωζζω22211 1---=-+-=， 代入特征方程得：
0)41)(21)(1(222=+-±-+-±--±-+n n n n n n j j j K ωζζωωζζωωζζω 取1s （2s 同理），并将5.0=ζ代入上式，得：
0)42321)(22321)(2321(=++-++-+-+n n n n n n j j j K ωωωωωω
整理并令实部与虚布分别为零，可求出：
—
（舍去），，
34.92 6.79
4.1-≈≈≈≈K K n n ωω
则可得到主导极点为2.17.0 2.17.021j s j s --=+-=， 代入特征方程可求解出7.43-≈s
48
=48
=9
K =，9
K =，3s
图 题 根轨迹及阻尼角图
即当5.0=ζ时，9=K ，而此时闭环系统的特征根为2.17.0 2.17.021j s j s --=+-=，，7.43-=s 。
题 1=K 时，
以T 为参变量的根轨迹。
解： 1=K 时，系统的闭环特征方程为
0)
2(1)()(12=+++=+s s T
s s H s G
即 0)2(2=+++T s s s 可得以T 为参变量时的等效开环传递函数为
s
s s T
s H s G ++=**2
32)()(
2
=T ，2
=T ， <
图 题 根轨迹
绘制以T 为参变量时系统根轨迹：
1）起点：三个开环极点 3 1 1 0321=-=--=-=-n p p p ，，，
。 2）终点：无开环有限零点 0=m 。
3）实轴上 ]0 1 [ ] 1 (，、，
--∞- 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00
180 060
3)12(18032
03110，±=-+±=-
=-++-=-k A θσ 5) 根轨迹的分离点 0143 0
)()()()(2
''=++=-s s s A s B s B s A 得：
·
解得 3
1
121-=-=s s ， 。
6) 根轨迹与虚轴的交点
以T 为参变量时，系统的闭环特征方程为: 0223=+++T s s s 将ωj 代人s ，整理得：0)()2(32=-++-ωωωj T 由此可得下列联立方程：
)1(0
22
2=-=-ωωωT
解得: 2,1=±=T ω 。
根据以上信息，可绘制根轨迹如图所示。
题 试绘制如下图所示系统以τ为参变量的根轨迹。
—
题系统结构图
解：（1
）找等效传递函数
可得以τ)
23)(s (s 6)()( 6
)2)(1( 6)()(2++=
+++=
****s
s H s G s s s s
s H s G ττ即
（2） 绘制根轨迹 、
1）起点：三个开环极点 3 3 2 2321=-=--=-=-n p j p j p ，，，。 2）终点：一个有限开环零点
10==-m z ，。
3）实轴上 ]0 3[，- 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
0091
3)12(18023
13223±=-+±=-
=--+-=-k j j A θσ
5）根轨迹的出射角
200000111
1
155 155)909052(180 )
(180 －故得：
由==-+-≈--=∑∑-==θθ?θθn j m
i i j l 根据以上信息，可绘制根轨迹如图所示。
图 题根轨迹
…
题 已知正反馈系统开环传递函数为)
2(1)()(+-=
s s s K s H s G ）
（，试绘制系统的根
轨迹。
解： 应按零度根轨迹规则，绘制系统的根轨迹。
1）起点：两个开环极点 2 2 021=-=-=-n p p ，，
。 2）终点：一个有限开环零点
11==-m z ，。
3）实轴上 ) , 1[ ]0 2[∞-、
， 为根轨迹区间。 4）根轨迹的分离点
22 0
)()()()(2
''=--=-s s s B s A s B s A 得：
解得 732.2 732.021=-=s s ，
5）根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为: 022=+-+K Ks s s .
将ωj s =代入上式，整理得：0)2()(2=-++-ωωωK j K 由此可联立方程：
)2(0
2=-=-K K ωω
解得: 2 2=±=K ，
ω 。 可以证明系统的根轨迹时以开环零点1=-z 为圆心，以开环零点到分离
点21 s s 、
的距离3为半径的圆。如图所示。
图 题根轨迹
题 正、负反馈两种根轨迹。
解： （1）正反馈系统的根轨迹。（此时应该按零度根轨迹规则绘制）
1）起点：四个开环极点 4 4 2 04321=-=--=-=-=-n p p p p ，，
。 2）终点：一个有限开环零点 11
=-=-m z ，。 3）实轴上 ) 0 [ ] 0 1[ ] 2 4 [∞---，、，、， 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线
00
,1201423
5
14142±=-±=-
=--+-
=-πθσk A
5) 根轨迹的分离点
68
.012.1 0 08.3 0
)1626163( 0)86()1)(16184s ( 0)()()()(4,3212
3
2223''j s s s s s s s s s s s s s s A s B s B s A ±-≈=≈=+++=++-+++=-，，求得：得：
根据实轴上系统根轨迹的分布，所以分离点为08.31=s 。 正反馈系统根轨迹如图(a) 所示。
（2）负反馈系统的根轨迹。（此时应该按常规根轨迹规则绘制）
1）起点：四个开环极点 4 4 2 04321=-=--=-=-=-n p p p p ，，
。 2）终点：一个有限开环零点 11
=-=-m z ，。 3）实轴上 ] 1 , 2[ ) 4[--∞-、
， 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00
180
,6014121803
5
14142±=-+±=-
=--+-
=-）（k A θσ 5) 根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为: 0K 86234=++++K s s s s
将ωj 代人s ，整理得：0)6()8(324=-++-ωωωωK j K 由此可得下列联立方程：
)6(0
82
24=-=-+ωωωωK K
解得: 12,2=±=K ω 负反馈系统根轨迹如图(b) 所示。
(a) 正反馈系统根轨迹(b) 负反馈系统根轨迹
图 题系统根轨迹
(完整word版)自控 根轨迹法习题及答案
1 第四章 根轨迹法习题及答案 1系统的开环传递函数为 ) 4)(2)(1()()(* +++=s s s K s H s G 试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)()(11s H s G =++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j j ππ π π -=- - - 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。将1s 代入幅值条件： 14 31231131)(* 11=++-?++-?++-= j j j K s H s G ）（ 解出 ： 12* =K ， 2 3 8*==K K 2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
2 解根轨如图解4-2所示： 3已知单位反馈系统的开环传递函数，要求： （1）确定 ) 20 )( 10 ( ) ( ) ( 2+ + + = * s s s z s K s G产生纯虚根为1j ±的z值和* K值； （2）概略绘出 )2 3 )( 2 3 )( 5.3 )(1 ( ) ( j s j s s s s K s G - + + + + + = * 的闭环根轨迹图（要求
3 确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。 解（1）闭环特征方程 020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D 有 0)30()200()(3 2 4 =-++-=* * ωωωωωK j z K j D 令实虚部分别等于零即： ?????=-=+-**0 300 200324ωωωωK z K 把1=ω代入得： 30=* K ， 199=z 。 （2）系统有五个开环极点： 23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-== ① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1- ② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15 (21)3,,555a a j j k σπππ?π--+-++--?==-???+?==±±?? ③ 分离点： 02 312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为 0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D 把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： ?????=+-==-+=*0 5.455.43 )Im(05.795.10)Re(3 52 4ωωωωωωωj K j 解得： ???==*00K ω ，???=±=*90.7102.1K ω，???-=±=*3 .1554652.6K ω（舍去） ⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为 74..923..1461359096..751804=----=p θ 由对称性得，另一起始角为 74.92，根轨迹如图解4-6所示。
第4章根轨迹分析法知识题解答
第四章根轨迹分析法 4.1 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 4.2 思考与习题祥解 题4.1 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？ （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此，对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。
根轨迹法习题和答案
第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 ) 4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G * +++= 试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件 π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0 =++-∠-++-∠)43j 1()23j 1( ππ π π -=- - - 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件： 14 3j 123j 113j 1K s H )s (G * 11=++-?++-?++-= ）（ 解出 ： 12K * = ， 2 3 8K K *== 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)b s )(4s (02)s (G ++= （2）) b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++= 解 (1) ) 4j 2s )(4j 2s () 4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++= '
28 s 6s 20 )s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ (2) ) 10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 2 2++++='=)3j 1s )(3j 1s (s ) 19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40 s 14s 4s ) 4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+= Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数) b s )(4s (s 2)s (G ++= ，试绘制参数b 从零变 化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 ) 6s (s ) 4s (b )s (G ++= ' 根轨迹如图。 2s -=时4b =， ) 8s )(2s (s 216s 10s s 2)s (2 ++=++=Φ 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ) 1s 5.0)(1s 2.0(s k )s (G ++= (2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++= (3) )3s )(2s (s ) 5s (k )s (G *+++= (4) ) 1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++= 解 ⑴ ) 2s )(5s (s K 10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++= 三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(] 5,-∞-, []0,2-
自动控制原理 题库 第四章 线性系统根轨迹 习题
4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。 （1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。 （2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。 （3）1()01I D P k k s k G s s s τ?? ++ + =? ?+? ? ，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。 4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为 (31)()(21) K s G s s s += + 试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。 4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。 （1）()(0.21)(0.51)K G s s s s = ++ （2）(1)()(21) K s G s s s +=+ （3）(5)()(2)(3) K s G s s s s += ++ 4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。 （1）(2) ()(12)(12) K s G s s s j s j += +++- （2）(20) ()(1010)(1010) K s G s s s j s j +=+++-
4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为 * 2 ()()(10)(20) K s z G s s s s += ++ 试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。 4-6已知系统的开环传递函数为 * 2 2 (2)()()(49) K s G s H s s s += ++ 试概略绘出闭环根轨迹图。 4-7设反馈控制系统中 * 2 ()(2)(5) K G s s s s = ++ （1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性 （2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。 4-8试绘出下列多项式的根轨迹 （1）322320s s s Ks K ++++= （2）323(2)100s s K s K ++++= 4-9两控制系统如下图所示，试问： （1）两系统的根轨迹是否相同？如不同，指出不同之处。 （2）两系统的闭环传递函数是否相同？如不同，指出不同之处。 （3）两系统的阶跃响应是否相同？如不同，指出不同之处。 4-10设系统的开环传递函数为 12 (1)(1) ()K s T s G s s ++= （1）绘出10T =，K 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。 （2）在（1）的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比0.707ξ=的K 的值。 （3）固定K 等于（2）中得到的数值，绘制1T 从0→+∞变化时的根轨迹图。 （4）从（3）的根轨迹中，求出临界阻尼的闭环极点及相应的1T 的值。 4-11系统如下图所示，试 （1）绘制0β=的根轨迹图。 （2）绘制15K =，22K =时，β从0→+∞变化时的根轨迹图。 （3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的β的值。
第四章 根轨迹法 习题
第四章 根轨迹法 4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()() ()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02 +=++= 4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()() 2 411+-+= s s s K s G 的根轨迹。 4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()() ()1,42) 1(2 =+++= s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。 4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？ 4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。 ()()()()1,412 2=++= s H s s K s G 4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()() 5 284) 2(2 +++++= s s s s s s K s H s G 对应-∞ 4.1某系统的结构如题4-1图所示，试求单位阶跃响应的调节时间t s ，若要求t s =0.1秒，系统的反馈系数应调整为多少？ 解:(1)由系统结构图可知系统闭环传递函数为: 100 ()100()1001()()1001*G s s s G s H s s a a s Φ=== +++ 在单位阶跃函数作用下系统输出为： 12100 ()()()(100)100k k C s R s s s s a s s a =Φ= =+++ 为求系统单位阶跃响应，对C(s)进行拉斯反变换： 10 21001001001001 lim ()lim 1001001 lim (100)()lim 11 ()(100)1 ()(1) s s s a s a at k sC s s a a k s a C s s a C s as a s a c t e a →→→-→--=== +=+==- =- +=- 根据定义调节时间等于响应曲线进入5%误差带，并保持在此误差带内所需要的最短时间，且根据响应系统单位阶跃响应的函数表达式可以看出系统单位阶跃响应的稳态值为 1 a ,因此: 10010011()(1)0.950.051 ln 20 1001 =0.1ln 20=0.3s 10 s s at s at s s c t e a a e t a a t --= -=?=?== 因为题中，所以 (2)若要求t s =0.1秒,则有: 1 ln 20=0.1 100=0.3s t a a = ? 即:若要求调节时间缩小为0.1秒,则需将反馈环节的反馈系数调整为0.3。 4.2已知二阶系统的阶跃响应曲线如题4.2图所示，该系统为单位负反馈系统，试确定其开环传递函数。 解：根据系统阶跃响应曲线可以看出： 峰值时间=0.1s p t ，超调量 1.3-1 %= 100%30%1 σ?=； 根据课本中对典型二阶系统222 ()2n n n s s s ωζωωΦ=++暂态性能指标的推导计算可知： %p t e σ-= =结合本题已知阶跃响应曲线可知： 0.1(1)%30% (2) p t e σ-= === 由式(2)可知： 0.3ln 0.30.3832 cot =0.3832 =arccot 0.3832=69.0332=cos =0.3578 e ζ?ζ?ζ?-=?-=?= =即： 将ζ带入式(1)中可得： 0.1 p n t ω= = 回顾题意对于典型二阶系统其闭环传递函数为222 ()2n n n s s s ωζωωΦ=++，且系统为单位负反馈系统，所以系统开环传递函数和闭环传递函数之间满足如下关系： 2222 2 22 2 2211 ()()121211211131.8851 ===224.0753n n n n n n n n n G s s s s G s s G s s G G s s s s ωζωζωωωζωωωζωΦ==Φ==+++++++++，因为：所以：， 1． 自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是____________，另一个是__________分量。 2． 函数f(t)=t e 63-的拉氏变换式是________________________________。 3． 积分环节的传递函数表达式为G （s ）=_________________________。 4． 在斜坡函数的输入作用下，___________型系统的稳态误差为零。 四、控制系统结构图如图2所示。 （1）希望系统所有特征根位于s 平面上s ＝－2的左侧区域，且ξ不小于0.5。试画出特征根在s 平面上的分布范围（用阴影线表示）。 （2）当特征根处在阴影线范围内时，试求,K T 的取值范围。 （20分） 五、已知系统的结构图如图3所示。若()21()r t t =?时，试求 （1）当0f K =时，求系统的响应()c t ，超调量%σ及调节时间s t 。 （2）当0f K ≠时，若要使超调量%σ＝20％，试求f K 应为多大？并求出此时的调节时间s t 的值。 （3）比较上述两种情况，说明内反馈f K s 的作用是什么？ （20分） 图3 六、系统结构图如图4所示。当输入信号()1()r t t =，干扰信号()1()n t t =时，求系统总 的稳态误差e ss 。 （15分） 图4 1、 根轨迹是指_____________系统特征方程式的根在s 平面上变化的轨迹。 2、 线性系统稳定的充分必要条件是闭环传递函数的极点均严格位于s______________半平面 3、在二阶系统中引入比例-微分控制会使系统的阻尼系数________________。 9、已知单位反馈系统的开环传递函数 50 ( ) (0.11)(5) G s s s s = ++ ，则在斜坡信号作用下的稳态误差为_________。 3、某控制系统的方框图如图所示，试求(16分) (1)该系统的开环传递函数) (s G k 、闭环传递函数 ) ( ) ( s R s C 和误差传递函数 ) ( ) ( s R s E 。 (2)若保证阻尼比0.7 ξ=和单位斜坡函数的稳态误差为0.25 ss e=，求系统参数K和τ。(3) 计算超调量和调节时间。 1、已知单位反馈系统的开环传递函数为 * ()() (2)(3) K G s H s s s s ，试绘制闭环系统的根轨迹，并判断使系统稳定的* K范围。 R(s)C(s) - 2 K s N(s) 1 K 5．图4 6．在二阶系统中引入测速反馈控制会使系统的开环增益________________。 7．已知单位反馈系统的开环传递函数 100 () (0.11)(5) G s s s = ++ ，则在斜坡信号作用下的稳态误差为________________。 8．闭环系统的稳定性只决定于闭环系统的________________。 第四章 根轨迹分析法 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 思考与习题祥解 \ 题 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S 复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此， 对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S 复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 | 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。 绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。 正反馈系统的闭环特征方程0)()(1=-s H s G 与负反馈系统的闭环特征方程1()()0G s H s +=存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（ππk 2+）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk 20+）是0根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则， 如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角， 根轨迹出射角和入射角等等，都要变ππk 2+角度为πk 20+。 习题 4.1 已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A) A *(2)(1)K s s s -+ B *(1)(5)K s s s -+ C *2(31)K s s s -+ D *(1)(2) K s s s -- 4.2 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A) A 闭环零点和极点 B 开环零点 C 闭环极点 D 阶跃响应 4.3 己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 * ()()(6)(3)K G s H s s s s = ++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)； (2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。 解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。 系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。 实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为 ()()36 33a σ-+-==-，() (0) 321 (1)3 (2)3 a k k k k π ?ππ ?=?+?===???-=? 求分离点方程为 111036 d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。显然分离点位于实轴上 []3,0-间，故取2 1.268d =-。 求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为 32*()9180D s s s s K =+++= 令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有 [][]2* 3 Re (j )(j )190 Im (j )(j )1180 G H K G H ωωωωωωω?+=-+=??+=-+=?? 解之得 *00K ω=??=? 、*162 K ω?=±??=?? 显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第 三个闭环极点可由根之和法则求得 1233036λλλλ--=++=+ 解之得39λ=-。即当*162K =时，闭环系统的3 个特征根分别为1λ= 、 2λ=-39λ=-。系统根轨迹如图4.1所示。 第4章 根轨迹法 在时域分析中已经看到，控制系统的性能取决于系统的闭环传递函数，因此，可以根据系统闭环传递函数的零、极点研究控制系统性能。但对于高阶系统，采用解析法求取系统的闭环特征方程根（闭环极点）通常是比较困难的，且当系统某一参数（如开环增益）发生变化时，又需要重新计算，这就给系统分析带来很大的不便。1948年，伊万思根据反馈系统中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，这种方法称为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。 本章介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的法则，广义根轨迹的绘制以及应用根轨迹分析控制系统性能等方面的内容。 4.1 根轨迹法的基本概念 本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，并由此给出根轨迹的相角条件和幅值条件。 4.1.1 根轨迹的基本概念 根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益* K ）从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在s 平面上移动的轨迹。根轨迹增益* K 是首1形式开环传递函数对应的系数。 在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。 控制系统如图4-1所示。其开环传递函数为 ) 2()15.0()(*+=+=s s K s s K s G 根轨迹增益K K 2* =。闭环传递函数为 * 2* 2)()()(K s s K s R s C s ++==Φ 闭环特征方程为 02*2=++K s s 特征根为： *111K -+-=λ, *211K ---=λ 当系统参数*K （或K ）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见表4-1。 表4-1 **K K 1λ 2λ 0 0 0 -2 0.5 0.25 -0.3 -1.7 1 0.5 -1 -1 2 1 -1+j -1-j 5 2.5 -1+j2 -1-j2 M M M M ∞ ∞ -1+j ∞ -1-j ∞ 利用计算结果在s 平面上描点并用平滑曲线将其连接，便得到K （或* K ）从零变化到无穷大时闭环极点在s 平面上移动的轨迹，即根轨迹，如图4-2所示。图中，根轨迹用粗实线表示，箭头表示K （或* K ）增大时两条根轨迹移动的方向。 根轨迹图直观地表示了参数K （或* K ）变化时，闭环极点变化的情况，全面地描述了参数 K 对闭环极点分布的影响。 4.1.2 根轨迹与系统性能 依据根轨迹图（见图4-2），就能分析系统性能随参数（如* K ）变化的规律。 1．稳定性 开环增益从零变到无穷大时，图4-2所示的根轨迹全部落在左半s 平面，因此，当K >0时，图4-1所示系统是稳定的；如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s 平面，则在相应K 值下系统是不稳定的；根轨迹与虚轴交点处的K 值，就是临界开环增益。 图4-2 系统根轨迹图 四根轨迹分析法 2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。 题2-4-1图 【解】： 题2-4-1解图 2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下： <1） <2） <3 ） <4 ） 试绘制由 变化的闭环根轨迹图。 【解】：<1）系统有三个开环极点 。 ① ，有三条根轨迹，均趋于无穷远。 ② 实轴上的根轨迹在区 间。 ③ 渐近线 ④ 分离点。 方法一 由 得 不在根轨迹上，舍去。分离点为。 分离点处K 值为 方法二 特征方程为： 重合点处特征方程： 令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。 ⑤ 根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为 方法一令，得 方法二将特征方程列劳斯表为 令行等于0，得。代入行，得辅助方程 ⑥ 系统根轨迹如题2-4-2<1）解图所示。 ① 根轨迹方程 点，开环极点 开环零Array。 ② 实轴上的根轨迹区间。 ③ 分离会合点 方法一 均在根轨迹上， 为分离点， 为会合点。 方法二 系统特征方程： 重合点处特征方程： 联立求解重合点坐标： ④ 可以证明复平面上的根轨迹是以 为圆心，以 为半径 的圆<教材已证明）。根轨迹如题2-4-1<2）解图所示。b5E2RGbCAP <3） ① 开环零点 开环极点 。 ② 实轴上的根轨迹区间为 ③ 分离点 题2-4-2<3）解图 为分离点， 不在根轨迹上，舍去。 分离点K值 ④ 出射角 ⑤ 复平面上的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-1<3）解图所示。 <4） ①四个极 点。 ②渐近线 ③实轴上的根轨迹区间为。 ④分离点 得，均为分离点，。 分离角正好与渐近线重合。 ⑤出射角 【教材习题及解答】 4-1 【答】所谓根轨迹，是指系统开环传递函数的某一参量从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s 平面上变化而形成的轨迹。 根轨迹反映了闭环系统特征根在s 平面上的位置以及变化情况，所以应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 4-2【答】运用相角条件可以确定s 平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点所对应的参数值。 4-3【答】考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和零度根轨迹等。 绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式的等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。 正反馈系统的闭环特征方程1－G (s )H (s )=0与负反馈系统的闭环特征方程1+G (s )H (s )=0存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（+2k ）是180°根轨迹，正反馈系统的相角条件（0+2k ）是0°根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则，如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角，根轨迹出射角与入射角等，都要变+2k 角度为0+2k 。 4-4【答】由于开环零极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向，所以增加开环零极点将使根轨迹的形状和走向发生改变，从而使系统性能也随之发生变化。 一般来说，增加合适的开环零点，可使闭环系统的根轨迹产生向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。增加开环极点时，增加了根轨迹的条数，改变了根轨迹渐近线的方向，可使闭环系统的根轨迹产生向右变化的趋势，削弱系统的稳定性和快速性。 增加开环零极点，都将改变根轨迹渐近线与实轴的交点与夹角，可能改变根轨迹在实轴上的分布。 4-5 【解】(1) 将1j 3s =-+()()180G s H s ∠=-o ，满足根轨迹的相角条件，故1j 3s =-+ 当点1j 3s =-+在根轨迹上时，有()()1G s H s =。即 124K s s s *=+?+?+ 于是，可得12K *=。 (2) 系统的特征方程为()(1)(2)(4)0D s s s s K *=++++=，由劳斯表 第四章 根轨迹法 一、填空选择题（每题2分） 1、根轨迹起于开环 点，终于开环 点。 2、根轨迹对称于s 平面 轴。 3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 在s 平面上运动后形成的轨迹。 4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1 ) 2()(++= s s K s G ，若此时闭环极点为 －1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 。 5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 平面，则系统一定稳定。 6、系统的开环传函为G(s)H(s)= ) 4(3 +s s K ，则实轴上的根轨迹范围是（ ）。 A.[-∞, -4] B.[-4, 0] C.[0, 4] D.[4, ∞] 根轨迹填空题答案 1、根轨迹起于开环 极 点，终于开环 零 点。 2、根轨迹对称于s 平面的 实 轴。 3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 特征方程的根 或 系统闭环极点 在s 平面上运动后形成的轨迹。 4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1 ) 2()(++= s s K s G ，若此时系统的闭环 极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 1 。 5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 左半 平面，则系统一定稳定。 6、B 二、综合计算题及参考答案 a1、（8分）设系统结构图与开环零、极点分布图如下图所示，试绘制其概略根轨迹。 解： 8’(按规则分解) a2、（12分）已知某系统开环零、极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 c b a d 解：每项三分 c b a d b1、（10分）单位负反馈控制系统的开环传递函数为 1 5.0) 15.0()(2+++= s s s K s G 试绘制闭环系统的根轨迹。并求分离点或会合点。 解：G(s)的零、极点标准形式为 ) 1)(1() 2()(j s j s s K s G -++++= 因此该系统的开环零点为（－2，0）、开环极点为（－1，j ±），因此该系统有两条根轨迹分支，并且起于两个开环极点，终于开环零点（－2，0）和无限零点。它们在实轴上有一个会合点d ，系统的特征方程如下： 0)(1=+s G 所以有，2222+++-=s s s K ，于是由0=ds dK 可解得： d ＝－3.414, d ＝－0.586，显然应取d ＝－3.414。 4’ 因此其根轨迹如下图所示： 第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 ) 4)(2)(1()()(* +++= s s s K s H s G 试证明点311j s +?=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益* K 和开环增益K 。 解 若点在根轨迹上，则点应满足相角条件1s 1s π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。 对于31j s +?=，由相角条件 =∠)()(11s H s G =++?∠?++?∠?++?∠?)431()231()131(0j j j ππ π π ?=? ? ? 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +?=在根轨迹上。将代入幅值条件： 1s 14 31231131)(* 11=++??++??++?= j j j K s H s G ）（ 解出 ： 12* =K ， 2 38*==K K 4-2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。 1 （ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-22图 开环零、极点分布图 解 根轨如图解4-2所示： 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ) 15.0)(12.0()(++= s s s K s G ⑵ ) 3)(2() 5()(*+++=s s s s K s G ⑶ ) 12() 1()(++= s s s K s G 2 解 ⑴ ) 2)(5(10)15.0)(12.0()(++=++= s s s K s s s K s G 系统有三个开环极点：,01=p 22?=p ,53?=p ① 实轴上的根轨迹： , (]5,?∞?[0,2?]② 渐近线： ??? ????±=+=?=??=πππ?σ,33)12(3 73520k a a ③ 分离点： 02 1511=++++d d d 解之得：，(舍去)。 88.01?=d 7863.32?d ④ 与虚轴的交点：特征方程为 010107)(2 3 =+++=k s s s s D 令 ???=+?==+?=0 10)](Im[0 107)](Re[3 2ωωωωωj D k j D 解得?? ?==7 10 k ω 与虚轴的交点（0，j 10±）。 根轨迹如图解4-3(a)所示。 ⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： [], 3,5??[]0,2? ② 渐近线： ??? ??? ?±=+==????=22)12(02 )5(320ππ?σk a a ③ 分离点： 5 1 31211+= ++++d d d d 用试探法可得 886.0?=d 。根轨迹如图解4-3(b) 3 1、已知单位反馈系统的开环传递函数) 1s 5.0)(1s 2.0(s k )s (G ++= ，试概略绘出系统根轨迹。 解： ) 2s )(5s (s K 10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++= ++= 三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(] 5,-∞-, []0,2- ② 渐近线： ??? ????ππ±=π+=?-=--=σ,33)1k 2(3 73520a a ③ 分离点： 02 d 15d 1d 1=++++ 解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。 ④ 与虚轴的交点： 特征方程为 0k 10s 10s 7s )s (D 23=+++= 令 ???=ω+ω-=ω=+ω-=ω010)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[3 2 解得???==ω7 k 10 与虚轴的交点（0，j 10±）。 根轨迹如图所示。 2、已知单位反馈系统的开环传递函数) 1s 2(s ) 1s (k )s (G ++= ，试概略绘出系统根轨迹。 解： ) 2 1s (s 2) 1s (K ) 1s 2(s )1s (K )s (G ++= ++= 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点： 1 d 1 5.0d 1d 1+= ++ 解之得：707.1d ,293.0d -=-=。 根轨迹如图所示。 3、已知单位反馈系统的开环传递函数) 3s )(2s (s ) 5s (k )s (G *+++=，试概略绘出系统根轨迹。 解： ① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2- ② 渐近线： ??? ????±=+==----=22)12(02 )5(320ππ?σk a a ③ 分离点： 5 1 31211+= ++++d d d d 用试探法可得 886.0-=d 。 根轨迹如图所示。 4、已知单位反馈系统的开环传递函数) 1s (s ) 2s )(1s (*k )s (G -++=，试概略绘出系统根轨迹。 解： ① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2] ②分离点： 2 d 1 1d 11d 1d 1++ +=-+ 求解得：37.1d 37.0d 21-==， 根轨迹如图所示。 5、系统的开环传递函数为 ) 4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G * +++= 试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件 π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0 =++-∠-++-∠)43j 1()23j 1( ππ π π -=- - - 6 3 2 根轨迹典型习题 1、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s 5.0)(1s 2.0(s k )s (G ++=，试概略绘出系统根轨迹。 解： )2s )(5s (s K 10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++= 三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]5,-∞-, []0,2- ② 渐近线： ??? ????ππ±=π+=?-=--=σ,33)1k 2(373520a a ③ 分离点： 02 d 15d 1d 1=++++ 解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。 ④ 与虚轴的交点： 特征方程为 0k 10s 10s 7s )s (D 23=+++= 令 ???=ω+ω-=ω=+ω-=ω0 10)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[32 解得???==ω7 k 10 与虚轴的交点（0，j 10±）。 根轨迹如图所示。 2、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s 2(s )1s (k )s (G ++=，试概略绘出系统根轨迹。 解： )2 1s (s 2)1s (K )1s 2(s )1s (K )s (G ++=++= 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点： 1 d 15.0d 1d 1+=++ 解之得：707.1d ,293.0d -=-=。 根轨迹如图所示。 3、已知单位反馈系统的开环传递函数) 3s )(2s (s )5s (k )s (G *+++=，试概略绘出系统根轨迹。 解： ① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2- ② 渐近线： ??? ????±=+==----=22)12(02)5(320π π?σk a a ③ 分离点： 5131211+=++++d d d d 用试探法可得 886.0-=d 。 根轨迹如图所示。 4、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++=，试概略绘出系统根轨迹。 解： ① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2] ②分离点：2 d 11d 11d 1d 1+++=-+ 求解得：37.1d 37.0d 21-==， 根轨迹如图所示。 5、系统的开环传递函数为 4．6 利用Matlab绘制系统的根轨迹 本章前面的内容介绍了控制系统根轨迹的绘制以及利用系统大致的根轨迹图分析系统性能的方法，若要由根轨迹获得系统在某一特定参数下准确的性能指标或者准确的闭环极点，需要依据幅值条件精确地作图。如果利用MATLAB工具箱中函数，则可方便、准确地作出根轨迹图，并利用图对系统进行分析。 MATLAB工具箱中，求系统根轨迹的几个常用函数有rlocus, rlocfind, sgrid，下面通过具体的例子来说明这些函数的应用。 例4-13 控制系统的开环传递函数为 绘制系统的根轨迹图。 解利用函数rlocus函数可直接作出系统的根轨迹图，程序如下： % example4-13 % num=[1,5]; dun=[1,6,11,6,0]; rlocus(num,dun) 执行该程序后，可得到如图4-20所示的根轨迹。 图4-20 例4-13题根轨迹图 利用函数rolcus可画出系统的根轨迹图后，可用rlocfind函数在根轨迹上 选择任意极点，得到相应的开环增益和其它闭环极点。 例4-14 控制系统的开环传递函数为 绘制系统的根轨迹图，并确定根轨迹的分离点及相应的开环增益。 解将开环传递函数写为 Matlab程序如下： % example4-14 % num=[1]; den=[0.0002,0.03,1,0]; rlocus(num,den) title(‘Root Locus’) [k,p]=rlocfind(num,den) 程序执行过程中，先绘出系统的根轨迹，并在图形窗口中出现十字光标，提示用户在根轨迹上选择一点，这时，将十字光标移到所选择的地方，可得到该处对应的系统开环增益及其它闭环极点。此例中，将十字光标移至根轨迹的分离点处，可得到 k = 9.6115 p = -107.7277 -21.9341 -20.3383 若光标能准确定位在分离点处，则应有两个重极点，即相等。程序执行后，得到的根轨迹图如图4-21所示。 图4-21 例4-14 系统的根轨迹(整理)MATLAB的根轨迹分析法及重点习题.
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