连续变量动态规划例子

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一、用动态规划求解以下非线性规划问题：

max u= xyz

s.t. x +2y +z ≤12

x, y, z ≥ 0

阶段：k=4

决策变量：d 1=x ，d 2=y ，d 3=z

状态变量和状态转移方程：x 1=12，x 2=x 1-d 1，x 3=x 2-d 2，x 4=x 3-d 3

决策允许集合：0≤d 1≤x 1，0≤2d 2≤x 2，0≤d 3≤x 3

即： 0≤d 1≤x 1，0≤d 2≤1/2x 2，0≤d 3≤x 3

阶段指标：v k (x k ,d k )=d k

递推方程：f k (x k )=max{v k (x k ,d k )f k+1(x k+1)}

终端条件：f 4(x 4)=1

k=4，f 4(x 4)=1

k=3

k=2

k=1

x 1=12，d 1*=1/3x 1=4，x 2=x 1-d 1=12-4=8，d 2*=1/4x 2=1/4?8=2，x 3=x 2-2d 2=8-2?2=4，d 3*=x 3=4 max u=1/54?x 13=1/54?1728=32

即x=4，y=2，z=4，max u=32。

二、用动态规划求解以下连续变量的非线性规划问题

解：

决策变量：

状态变量：

由上式得到：

状态转移方程为：

决策允许集合为：

由x 0=0，得到d 1=x 1（唯一的），由x 2≥0，得到0≤d 2≤x 2，由x 3≥0，得到0≤d 3≤x 3 注意：以上的状态转移方程为)d ,x (T x k k 1k =-而不是)d ,x (T x k k 1k =+，即递推过程不是逆向递推而是正向递推，终端条件应为：

f 0(x 0)=0

最优解为：

x 3=12，d *3=1/3x 3=4，x 2=x 3-d 3=12-4=8，d *2=1/2x 2=4，x 1=x 2-d 2=4，d *1=x 1=4 min z=1/3x 23=48