对数的换底公式及其推论(含参考答案)

精心整理

对数的换底公式及其推论

一、复习引入：对数的运算法则

如果a>0，a ≠1，M>0，N>0有：

二、新授内容：

1.对数换底公式：

a

N N m m a log log log =(a>0,a ≠1，m>0,m ≠1,N>0) 2.①

②②例1∴1

12log 7log 42log 33333342++++b ab 例2计算：①3log 12.05-②2

194log 2log 3log -?解：①原式=3

155555

31log 3log 52.0===

②原式=2

45412log 452log 213log 21232=+=+?

例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643==

1?求证z

y x 1211=+；2?比较z y x 6,4,3的大小 证明1?：设k z y x ===643∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k x =，4lg lg k y =，6

lg lg k z = ∴

x 12?x 3∴x 3又：∴y 4∴例b 解法二：

由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c

x a

=log 由对数定义知：b a c x =a c x ?=∴ 解法三：

四、课堂练习：

①已知18log 9=a,b 18=5,用a,b 表示36log 45

解：∵18log 9=a ∴a =-=2log 12

18log 1818∴18log 2=1-a

∵b 18=5∴18log 5=b ∴a b a -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 ②若8log 3=p,3log 5=q,求lg5

解：∵8log 3=p ∴3log 32＝p ?p 33log 2=?p 312log 3= 1证法1则：x =∴(p a =∵0≠q 证法22．已知求证：n n a a a lg lg lg 2211λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121 ∴λ=)

lg()lg(2121n n a a a b b b ∴λ==

)lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n

灵活使用对数换底公式

灵活使用对数换底公式 对数公式（一） 证明：换底公式 a b b c c a log log log = （由脱对数→取对数引导学生证明） 证明：设x b a =log ，则b a x = 两边取c 为底的对数，得：b a x b a c c c x c log log log log =?= a b x c c log log =∴，即a b b c c a log log log = 注：公式成立的条件：1,0,0,1,0≠>>≠>c c b a a ； 1. 公式的运用： 利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法； 例题1：求32log 9log 278?的值； 分析：利用换底公式统一底数； 解法（1）：原式=9 103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg =?=? 解法（2）：原式= 9103log 3533log 227log 32log 8log 9log 222222=?=? 例题2：计算37254954log 3 1log 81log 2log ??的值 分析：先利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再求值； 解：原式=37 lg 32lg 25lg 23lg 7lg 23lg 45lg 2lg 21-=?-?? 2. 由换底公式可推出下面两个常用公式： （1）a b b a log 1log = （2）b n m b a m a n log log =

并应注意其在求值或化简中的应用： 3. 求证：z z y x y x log log log =? 分析（1）：注意到等式右边是以x 为底数的对数，故将z y log 化成以x 为底的对数； 证明：z y z y z y x x x x y x log log log log log log =?=? 分析（2）：换成常用对数 证明：（略） 注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还要能逆用换底公式，如： z x z x log lg lg =就是换底公式的逆用； 4. 已知518,9log 18==b a ，求45log 36的值（用a ，b 表示） 分析：已知对数和幂的底数都是18，所以先将需求值的对数化为与已知对数同底后再求解； 解：b a ==5log ,9log 1818 ，一定要求a -=12log 18 a b a -+=++== 22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 5. 强化练习 （1）50lg 2lg 5lg 2?+ （2）9 1log 81log 251log 532?? （3）)8log 4log 2)(log 5log 25log 125(log 125255842++++ （4）已知a =27log 12，试用a 表示16log 6； 6. 归纳小结，强化思想 1． 对数运算性质 （1）N M MN a a a log log )(log += （2）N M N M a a a log log log -= （3）N n N a n a log )(log ?= 2． 换底公式：a b b c c a log log log =

换底公式

教材： 换底公式 目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。 过程： 一、复习：对数的运算法则 导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ 二、换底公式：a N N m m a log log log = ( a > 0 , a ≠ 1 ) 证：设 log a N = x , 则 a x = N 两边取以 m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N N m m a log log log = 两个较为常用的推论： 1? 1log log =?a b b a 2? b m n b a n a m log log = （ a , b > 0且均不为1） 证：1? 1lg lg lg lg log log =?= ?b a a b a b b a 2? b m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、例一、计算：1? 3log 12.05- 2? 42 1432log 3log ? 解：1? 原式 = 153 15 5 5 553 1log 3 log 5 2.0== = 2? 原式 = 2 345412log 452log 213log 21232=+=+? 例二、已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示） 解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 12 18 log 1818 ∴log 18 2 = 1 - a

对数的换底公式及其推论含答案

对数的换底公式及其推论 含答案 The pony was revised in January 2021

对数的换底公式及其推论 一、复习引入：对数的运算法则 如果a>0，a1，M>0，N>0有： 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log =(a>0,a1，m>0,m1,N>0) 证明：设a log N=x,则x a =N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴a N m m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ，log log log =??a c b c b a ②b m n b a n a m log log =（a,b>0且均不为1）

证：①lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a ②b m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例： 例1已知2log 3=a ，3log 7=b,用a,b 表示42log 56 解：因为2log 3=a ，则 2log 13=a ,又∵3log 7=b, ∴1 312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++?+==b ab ab 例2计算：①3log 12.05 -②2194log 2log 3log -?解：①原式=3 15555531log 3log 52.0=== ②原式=2 345412log 452log 213log 21232=+=+? 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== 1求证z y x 1211=+；2比较z y x 6,4,3的大小

对数的换底公式

课 题：2.1 对数的换底公式及其推论 教学目的： 1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题 2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力； 教学重点：换底公式及推论 教学难点：换底公式的证明和灵活应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：对数的运算法则 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1）证：①lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a ②m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例： 例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56

对数的换底公式及其推论(含答案)

精心整理 对数的换底公式及其推论 一、复习引入：对数的运算法则 如果a>0，a ?1，M>0，N>0有： 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log =(a>0,a ?1，m>0,m ?1,N>0) 证明 2.① ②②例1∴1 12log 7log 42log 56 log 33333342++=++==b ab 例2计算：①3log 12.05-②2 194log 2log 3log -?解：①原式=3 15555531log 3log 52.0===

②原式=2 345412log 452log 213log 21232=+=+? 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== 1?求证z y x 1211=+；2?比较z y x 6,4,3的大小 证明1?：设k z y x ===643∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k x =，4lg lg k y =，6 lg lg k z = ∴x 1+2?x 3∴x 3又：4∴y 4∴例4由对数定义可知：b c a a x +=log b c a a a ?=log a c ?= 解法二： 由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a =log 由对数定义知： b a c x =a c x ?=∴ 解法三： 四、课堂练习： ①已知18log 9=a,b 18=5,用a,b 表示36log 45

解：∵18log 9=a ∴a =-=2log 1218log 1818 ∴18log 2=1?a ∵b 18=5∴18log 5=b ∴a b a -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 ②若8log 3=p,3log 5=q,求lg5 解：∵8log 3=p ∴3log 32＝p ?p 33log 2=?p 312log 3= 又∵1证法1则：x =∴(p a =∵0≠q 证法22．已知求证：证明：由换底公式λ====n n a b a b a b lg lg lg lg lg lg 2211 由等比定理得： λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121 ∴λ=)lg()lg(2121n n a a a b b b ∴λ== )lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n

(完整版)换底公式的说课稿

3.4.2 “换底公式”说课稿 瀛湖中学李善斌 教材分析 本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式.另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用. 教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力. 学情分析： 对数是一个全新的概念，对数运算是一种类似于但又不同于实数的加减乘除运算及指数运算的全新运算.要探究并证明对数换底公式，学生是有相当难度的，但是通过前两节的学习，学生能够利用对数定义及对数的运算性质进行对数式与指数式的相互转化、对数计算，之前学生还熟知指数的运算性质.有这些已有知识作为基础，教师再设计合理的导学案，是能让学生主动参与课堂的，并能自主完成对数换底公式其性质的探究、发现、证明、应用的全过程的. 教学目标 一、知识与技能 1.掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明. 2.能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. 二、过程与方法 1.结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想. 2.通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力. 3.通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用. 三、情感态度与价值观 1.通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神. 2.在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.

对数的换底公式及其推论含参考答案

精心整理 对数的换底公式及其推论 一、复习引入：对数的运算法则 如果a>0，a ≠1，M>0，N>0有： 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log =(a>0,a ≠1，m>0,m ≠1,N>0) 2.① ②②例1∴1 12log 7log 42log 33333342++++b ab 例2计算：①3log 12.05-②2 194log 2log 3log -?解：①原式=3 155555 31log 3log 52.0=== ②原式=2 45412log 452log 213log 21232=+=+?

例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== 1?求证z y x 1211=+；2?比较z y x 6,4,3的大小证明1?：设k z y x ===643∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k x =，4lg lg k y =，6 lg lg k z = ∴ x 12?x 3∴x 3又：∴y 4∴例b 解法二： 由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a =log 由对数定义知： b a c x =a c x ?=∴ 解法三： 四、课堂练习： ①已知18log 9=a,b 18=5,用a,b 表示36log 45 解：∵18log 9=a ∴a =-=2log 1218log 1818∴18log 2=1-a

∵b 18=5∴18log 5=b ∴a b a -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 ②若8log 3=p,3log 5=q,求lg5 解：∵8log 3=p ∴3log 32＝p ?p 33log 2=?p 312log 3= 1证法1则：x =∴(p a =∵0≠q 证法22．已知求证：n n a a a lg lg lg 2211λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121ΛΛ∴λ=) lg()lg(2121n n a a a b b b ΛΛ ∴λ==)lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n ΛΛΛΛ

对数公式总结

1对数的概念 如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 由定义知： ①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化 式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R). 问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0? ②logaan=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较.(学生填表) 式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数 b— N—a—对数的底数 b— N—运 算 性 质am?an=am+n am÷an= (am)n= (a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1? 理由如下： ①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28 ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数 ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数 解题方法技巧 1

对数的换底公式及其推论(含答案)

对数的换底公式及其推论 一、复习引入：对数的运算法则 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N m m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log = （ a, b > 0且均不为1） 证：①lg lg lg lg log log =?= ?b a a b a b b a ②b m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例： 例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 解：因为2log 3 = a ，则2log 1 3=a , 又∵3log 7 = b, ∴1 3 12log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++?+== b ab ab

对数换底公式

换底公式四 一．课题：对数（4）——换底公式 二．教学目标：1. 要求学生会推导并掌握对数的换底公式； 2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。 三．教学重、难点：1．会推导并掌握对数的换底公式； 2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。 四．教学过程： （一）复习：对数的运算法则。 导入新课：对数的运算性质的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ （二）新课讲解： 1．换底公式：log log log m a m N N a = ( a > 0 , a 1 ；0,1m m >≠) 证明：设log a N x =，则x a N =， 两边取以m 为底的对数得：log log x m m a N =，∴log log m m x a N =， 从而得：a N x m m log log = ， ∴ a N N m m a log log log =． 说明：两个较为常用的推论： （1）log log 1a b b a ?= ； （2）log log m n a a n b b m = （a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a ； （2） lg lg log log lg lg m n n a m a b n b n b b a m a m ===． 2．例题分析： 例1．计算：（1） 0.21log 35 -； （2）4492log 3log 2log 32?+． 解：（1）原式 = 0.251log 3log 3555151553===； （2） 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+?． 例2．已知18log 9a =，185b =，求36log 45（用 a , b 表示）． 解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 12 18log 1818 ， ∴18log 21a =-， 又∵185b =，

指数函数和对数函数·换底公式·例题

指数函数和对数函数·换底公式·例题 例1-6-38log34·log48·log8m=log416，则m 为 [ ] 解 B 由已知有 [ ] A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0 C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0

解 A 由已知不等式得 故选A． [ ] 故选A．

[ ] A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2) 2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数， [ ] A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞q

C．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞n 例1-6-43 (1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____； (2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)． 但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1． 例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____． 由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得． 例1-6-45已知log1227=a，求log616的值．

例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小：

例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足 3log x a+log a x-log x y=3 (1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y； (2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解 (1)由换底公式，得 即 log a y=(log a x)2-3log a x+3 当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以 y=a r2-3t+3 (2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．

对数换底公式讲解

一、新课引入： 已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log 65=? 像log 65这样的对数值是不能直接从常用对数表中查出的。能不能将以5为底的对数，换成以10为底的对数呢？这就要学习对数换底公式。什么是对数换底公式？怎样用我们所掌握的知识来得到它呢？又如何运用它呢？这就是本节课要解决的问题。 二、新课讲解： 公式： b N N a a b log log log = 证明：设N log x b =，则N b x =，两边取以a 为底的对数，得 x N log b log a a =b log N log x a a =?,即b log N log N log a a b =。 1、 成立前提：b>0且b ≠1,a>0,且a ≠1 2、 公式应用：对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具。一般常换成以10为底。 3、 自然对数 lnN=log N e e=2.71828 三、巩固新课： 例1、求证：1：1a log b log b a =? 2： b log m n b log a n a m = 例2、求下列各式的值。 （1）、log 98?log 3227 （2）、（log 43+log 83）?(log 32+log 92) (3)、log 49?log 32 (4)、log 48?log 39 (5)、（log 2125+log 425+log 85）?(log 52+log 254+log 1258) 例3、若log 1227=a,试用a 表示log 616. 解：法一、换成以2为底的对数。 法二、换成以3为底的对数。 法三、换成以10为底的对数。 练习：已知log 189=a,18b =5,求log 3645。

对数的换底公式及其推论

课 题：2.7.3 对数的换底公式及其推论 教学目的： 1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力； 教学重点：换底公式及推论 教学难点：换底公式的证明和灵活应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：对数的运算法则 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 证：①lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a

②m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例： 例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 解：因为2log 3 = a ，则 2log 13=a , 又∵3log 7 = b, ∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++?+== b ab ab 例2计算：①3log 12.05- ② 421 9432log 2log 3log -? 解：①原式 = 3 155555 31log 3log 52.0=== ②原式 = 2 45412log 452log 213log 21232=+=+? 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== 1? 求证 z y x 1211=+ ； 2? 比较z y x 6,4,3的大小 证明1?：设k z y x ===643 ∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k x = ， 4lg lg k y =， 6 lg lg k z = ∴z k k k k k y x 1lg 6lg lg 22lg 23lg 2lg 24lg 3lg 2lg 24lg lg 3lg 211==+=+=+=+ 2? k y x lg )4 lg 43lg 3(43-=-04lg 3lg 8164 lg lg lg 4lg 3lg 81lg 64lg <=-=k k ∴y x 43<

对数的换底公式

第21课时 2.3.2 对数的换底公式 【学习目标】 能够运用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明. 【老师有话说】 本课的重点是换底公式的应用；难点是换底公式的灵活运用.利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（3）换底公式的正用与逆用. 【自学指导】 结合实例探究换底公式，并通过换底公式的应用，体会化归与转化的数学思想. 【温故而知新】 1. 同伴相互回忆对数的运算性质 2.已知23 ,,a m a n ==则2log log a a m n +=______________ 【自主学习、合作交流】 一、创设情境： 思考：已知4771.03lg ,3010.02lg ==，如何求3log 2的值； 二．探索新知 对数换底公式： a N N c c a log log log = （1,0,0,1,0≠>>≠>c c N a a ） 合作探究1：证明换底公式。 合作探究2： log a b ·log b c =_________ log a b ·log b a =___________ 三．数学运用 1．求值（1）32log 9log 278?； （2）421 9432log 2log 3log -? 2．已知 2log 3 = a ，73=b , 用 a , b 表示42log 56 3．设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== ，求证 z y x 1211=+. 【我还有什么问题没弄明白？】 在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方,请向同伴、大组长、老师提出. 【总结提升】

角函数公式大全及其推导方法

三角函数公式大全及其推导 1. 三角函数的定义 由此，我们定义： 如Figure I, 在ΔABC 中 sin ( ) cos () tan ()1 1 cot ()tan 11 sec ()cos 11 csc ()sin b c a c b a a b b a c a a c c b b c θθθθθθθθθθθθθθθ ∠=∠= ∠= ∠= ==∠= ==∠= ==对边 的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边 邻边的余切值：对边斜边的正割值：邻边斜边的余割值：对边 备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表 A c b θ Figure I

示时，不能省略。在本文中，我们只研究sin 、cos 、tan 。 2. 额外的定义 222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ=== 3. 简便计算公式 22sin cos cos(90)cos sin sin(90) 111 tan tan tan(90) sin cos 1b A c c A b b a a A b θθθθθθθθ= ==-∠===-∠==== -∠+=o o o 证明： 222 22 22222901sin sin 1sin cos 1 ABC ABC a b c a b c c B A θθ?∠=∴+=∴+=∴+=∴+=o Q 在中, 证完

222 222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos cos b b c a a c θθθ θθθθθθ === +=+= 4. 任意三角形的面积公式 如Figure II , C a b h Figure II

对数的换底公式、对数函数

对数的换底公式 复习 如果 a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0 有： log ()log log log log log log log ()a a a a a a n a a MN M N M M N N M n M n R =+=-=∈ log log ()m n a a n M M n R m = ∈ 新课 试证明与理解： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a ＞0,a ≠1，m ＞0,m ≠ 1,N ＞0) 2．两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log = （ a , b ＞0且均不为1） 例1、（1）27log 9，（2）81log 43，（3）625log 34 5， 例2、已知2log 3 =a ， 3log 7 =b,用a ,b 表示42log 56 例3、计算：①0.21log 3 5- ② 4 2 1 9432log 2log 3log -? 例4、设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643==，求证 z y x 1211=+

练习 ①已知18log 9=a ,b 18=5,用a ,b 表示36log 45 ②若8log 3=p,3log 5 =q, 求lg5 作业 1. 计算：4 21 938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++ 2．若 2log log 8log 4log 4843=??m ，求m 3．求值：12log 2210 33)2(lg 20log 5lg -++? 4．求值：2 lg 2) 32(3 log 10)347(log 22 ++ -++

对数函数及其性质,对数的公式互化,详尽的讲解

§2.2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算 1．对数的概念 一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log 381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x ＝N ?x ＝log a N ，从而得对数恒等式：a log a N ＝N . (2)“log ”同“＋”“×”“ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面． (3)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则 利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度． (1)基本公式 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和． ②log a M N ＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除 数的对数减去除数的对数． ③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数． (2)对数的运算性质注意点 ①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)． ②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a M N ＝ log a M log a N ，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式 在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底 公式：log b N ＝log c N log c b (b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)． 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数， 得x log c b ＝log c N .所以x ＝log c N log c b ，即log b N ＝log c N log c b . 换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用． 由换底公式可推出下面两个常用公式： (1)log b N ＝1 log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)； (2)log bn N m ＝m n log b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R )

对数换底公式讲解

[教学目的]使学生理解对数换底公式的意义，掌握其推导方法，初步学会它在对数式恒等变形中的 应用。 [教学重点]对数换底公式的应用 [教学难点]对数换底公式的推导 一、新课引入： 已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log 65=? 像log 65这样的对数值是不能直接从常用对数表中查出的。能不能将以5为底的对数，换成以10为底的对数呢？这就要学习对数换底公式。什么是对数换底公式？怎样用我们所掌握的知识来得到它呢？又如何运用它呢？这就是本节课要解决的问题。 二、新课讲解： 公式： b N N a a b log log log = 证明：设N log x b =，则N b x =，两边取以a 为底的对数，得 x N log b log a a =b log N log x a a =?,即b log N log N log a a b =。 1、 成立前提：b>0且b ≠1,a>0,且a ≠1 2、 公式应用：对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具。一般常换成以10为底。 3、 自然对数 lnN=log N e e=2.71828 三、巩固新课： 例1、求证：1：1a log b log b a =? 2： b log m n b log a n a m = 例2、求下列各式的值。 （1）、log 98?log 3227 （2）、（log 43+log 83）?(log 32+log 92) (3)、log 49?log 32 (4)、log 48?log 39 (5)、（log 2125+log 425+log 85）?(log 52+log 254+log 1258) 例3、若log 1227=a,试用a 表示log 616. 解：法一、换成以2为底的对数。

对数的换底公式及其推论含答案修订版

对数的换底公式及其推论含答案修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-

对数的换底公式及其推论 一、复习引入：对数的运算法则 如果a>0，a?1，M>0，N>0有： 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log =(a>0,a?1，m>0,m?1,N>0) 证明：设a log N=x,则x a =N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴a N m m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ，log log log =??a c b c b a ②b m n b a n a m log log =（a,b>0且均不为1）

证：①lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a ②b m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例： 例1已知2log 3=a ，3log 7=b,用a,b 表示42log 56 解：因为2log 3=a ，则 2log 13=a ,又∵3log 7=b, ∴1 312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++?+==b ab ab 例2计算：①3log 12.05- ②2194log 2log 3log -?解：①原式=3 15555531log 3log 52.0=== ②原式=2 345412log 452log 213log 21232=+=+? 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== 1?求证z y x 1211=+；2?比较z y x 6,4,3的大小