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复变函数与积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2

cos

sin

i e i π

ππ==+

(2) -1

解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 13i +

解：()/31322cos /3sin /3i i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：

221cos sin 2sin 2sin

cos

2sin

(sin

cos

)

2sin

cos()sin()2sin 222222

i i i i i e παα

αααπαπαα

- ???

-+=+=+?

?=-+-= ???

(5) 3z

解：()3333cos 3sin 3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +

解：()1cos1sin 1i i e ee e i +==+ (7)

11i i -+

解：

3/4

11cos 3/4sin 3/411i i

i i e

i i

πππ--==-==+++

二、计算下列数值 (1) a ib

解：

1ar 2ar 2

21ar 2

2421ar 2242 b b i ctg k i ctg k a a b

i ctg a

b i ctg a

a i

b a b e

a b e

ππ??

++ ?

+?+?=?

?-+?

(2)

解：6

226

36346323

2332

2322

i k i i i i k i e i i e

e e i

ππππππππ??

??++ ?

???????+ ?????+ ???

?=+

??====-+?

??=-?

(3) i i 解：(

)

2222i

i k k i i e e

ππππ????

+-+ ? ???

(4)

解：(

)

1/2222i

i k k i i e

ππππ????

++ ? ???

(5) cos 5α

解：由于：()()55

2cos 5i i e e ααα-+=，

而：()

()

()()

()

()()

5505

550

cos sin cos sin cos sin cos sin n n

i n n n

i n

n e i C i e

i C i α

αα

αααα

α-=--==+=

=-=

-∑

∑

所以：

()()()()

()()

()

555

354

1cos 5cos sin cos sin 2

cos sin 112

5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n

n n

n n n

n n n C i i C i i C i ααααααααα

ααααααα

--=--=??=

+-??

=++=-+∑∑

(6) sin 5α

解：由于：()()5

2sin 5i i e e ααα--=，

所以：

()()

()()()

()

55505

5550

4555

sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n

n n

n C i i i C i i i C i C i i

αααααα

ααα

ααααα

--=--=??

=--??

??=--??

++=-+∑∑

(7) cos cos 2cos n ααα+++

解：

()()221

cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e

e e e e e e e e e αααααααααααααααααα

ααααα----------??

+++=

+++++++?

???

--+--??--??

=+=??---??????

+= (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin

2sin

i i n i n in in e e e e

n n n n n ααααα

ααααααα

ααα

αα

+-+-??---++??

-??

??--++--++=

=??--??+

(8) sin sin 2sin n ααα+++

解：

()()221

sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e

e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααα

αααα---------??

+++=

+++-+++????

-----??--??

=-=??---?????

= (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos

2sin

i n in i i n in e e e e e

i i n i n n n i n αααααα

αααααααααα

αα

+--+-??--+-++-??

-??

??-++-++=

=??--??-+

1.2 复变函数

1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π

证明：(1) 在负实轴上，任取一点z a =-，则分别由水平方向和垂直方向趋近z 点有：

lim ()lim ()lim ()lim ()y y y y f z A rg a i y f z A rg a i y π

++--?→?→?→?→=-+?==-+?=-

显然函数在负实轴上不连续。

(2) 在零点，沿i z re θ

=方向趋近于零点则： 0

lim ()lim ()i z z f z Arg re θ

θ?→?→==

显然，其极限结果与路径相关，则该函数在0点无极限。

2、复平面上，圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=，这里A ，C 为实数，β为复数。证明：在平面上圆的一般方程表示为： 2

0x y ax by c ++++= 则在复平面上：11(),()2

2x z z y z z i

-，所以圆方程变形为：

02222a

b a b z z i z i z

c ????+-+++= ? ????? 若令：

,22a b C

c A

=-= 则：0Azz z z C ββ+++=

2.1 解析函数

1、试证明下列函数处处不可微：

(1) ()f z z = (2) ()f z x =

证明：

(1) 在0z ≠处，有：

()1lim

lim

z z z z z

z x y

z f z x x y y x

x i y

?→?→?→?→???+

????+???===??+??+??+?

若沿i z e θδ?=方向趋近于z 点，则： ()0

()1cos sin 1lim

lim

cos sin i i z z f z x y x y e

δθδθ

θθδ-?→?→?+=

显然，函数不可微。 (2) 在0z =处，有： 00

()lim

lim

z z z f z z

x i y

?→?→??=??+?

若沿i z e θδ?=方向趋近于0点，则： 00

()lim

lim

i z z z f z e

x i y

-?→?→??==??+?

显然，函数不可微。

2、设：

3333

2222

(,),(,),0(,)(,)0,0

x y x y

u x y v x y z x y x y u x y v x y z ?-+==≠?++?

?===?

试证明f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在原点满足C -R 条件，但不可微。

证明：首先：

(0,

0)(0,0)

(0,0)

(,)(,)(,)(,1,

u x y u x y y x

v x y v x y ??==-????==??

显然：

(0,0)

, (,)(,)(,)

(,)x

u x y v x y y

u x y

y v x y ????=

????，在原点f(z)满足C-R 条件。

而在(0,0)点，f(z)的导数定义为：

'00003

33222

()

()(0)

()

()l i m l i m l i m l i m z z z

x y

x f z f z f f z f z z

x i y

i x y x y y x i y ?→?

→?→?

→?-??-?==

==??+??+???+?+?+???++??

若沿i z e θδ?=方向趋近于0点，则：

()()

4cos sin cos ()1()lim

(1)(3)cos sin 4

sin i z f z f z i i e

i θ

θθ

-?→-?=+=

++++?

显然，函数在原点的导数不存在，所以函数虽然在原点满足C-R 条件，但不可微。C-R 条件只是函数

可微的必要条件。

1.2 复变函数

1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π

证明：(1) 在负实轴上，任取一点z a =-，则分别由水平方向和垂直方向趋近z 点有：

lim ()lim ()lim ()lim ()y y y y f z A rg a i y f z A rg a i y π

++--?→?→?→?→=-+?==-+?=-

显然函数在负实轴上不连续。

(2) 在零点，沿i z re θ=方向趋近于零点则： 0

lim ()lim ()i z z f z Arg re θ

θ?→?→==

显然，其极限结果与路径相关，则该函数在0点无极限。

2、复平面上，圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=，这里A ，C 为实数，β为复数。证明：在平面上圆的一般方程表示为： 2

0x y ax by c ++++= 则在复平面上：11(),()2

2x z z y z z i

-，所以圆方程变形为：

02222a

b a b z z i z i z

c ????+-+++= ? ????? 若令：

,22a b C

c A

=-= 则：0Azz z z C ββ+++=

2.1 解析函数

1、试证明下列函数处处不可微：

(1) ()f z z = (2) ()f z x =

证明：

(1) 在0z ≠处，有：

()1lim

lim

z z z z z

z x y

z f z x x y y x

x i y

?→?→?→?→???+

????+???===

??+??+??+?

若沿i z e θδ?=方向趋近于z 点，则： ()0

()1cos sin 1lim

lim

cos sin i i z z f z x y x y e

δθδθ

θθδ-?→?→?+=

显然，函数不可微。 (2) 在0z =处，有： 00

()lim

lim

z z z f z z

x i y

?→?→??=??+?

若沿i z e θδ?=方向趋近于0点，则： 00

()lim

lim

i z z z f z e

x i y

-?→?→??==??+?

显然，函数不可微。

2、设：

3333

2222

(,),(,),0(,)(,)0,0

x y x y

u x y v x y z x y x y u x y v x y z ?-+==≠?++?

?===?

试证明f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在原点满足C -R 条件，但不可微。

证明：首先：

(0,

0)(0,0)

(0,0)

(,)

(,)(,)(,1,

u x y u x y y x

v x y v x y ??==-????==??

显然：

(0,0)

, (,)(,)(,)

(,)x

u x y v x y y

u x y

y v x y ????=

????，在原点f(z)满足C-R 条件。

而在(0,0)点，f(z)的导数定义为：

00003

33222

()()(0)

()

()l i m l i m l i m l i m z z z

x y

x f z f z f f z f z z

x i y

i x y x y y x i y ?→?

→?→?

→?-??-?==

==??+??+???+?+?+???++??

若沿i z e θδ?=方向趋近于0点，则：

()()

4cos sin cos ()1()lim

(1)(3)cos sin 4

sin i z f z f z i i e

i θ

θθ

-?→-?=+=

++++?

显然，函数在原点的导数不存在，所以函数虽然在原点满足C-R 条件，但不可微。C-R 条件只是函数

可微的必要条件。

2.2 解析函数和调和函数

1、已知复变函数的实部或虚部，写出解析函数：

(1)(,),(2)0

(2)(,)sin (3)(,),(0)0(4)(,)ln ,(1)0

x y v x y f x y

u x y e y

u x y x y xy f u x y f ρ=

=+==++===

解：(1) 2

(,)y v x y x y

则：

()

(,)(,)u x y v x y x y

??-=

??+…………….I

()

(,)(,)2u x y v x y xy

??=-

??+……………II

由I 得：2

(,)()x u x y y x y

?=-

带入(II)得：'()0y ?= 所以：2

(,)x u x y C x y

(2) (,)sin x u x y e y = 则：

(,)(,)cos x

v x y u x y e y x

??=-

=-??…………….I

(,)(,)s i n x

v x y u x y e y y x

??==?? ……………II 由I 得：(,)cos ()x v x y e y y ?=-+ 带入(II)得：'()0y ?= 所以：(,)cos x v x y e y C =-+ (3) 33(,)u x y x y xy =++

222

(,)6,

(,)6u x y x u x y y x

==??

显然：()2222

(,)6u x y x y x

y ??

+=+ ?????

(,)u x y 并非调和函数，所以，此题无解。

(4) (,)ln u x y ρ= 则：

(,)(,)v x y u x y y x y

x y ??=-

??+…………….I

2(,)(,)v x y u x y x y

x y

??=

??+ ……………II

由I 得：(,)atan ()x v x y y y ???

=-+ ???

带入(II)得：'()0y ?= 所以：(,)atan x v x y C y ??=-+

???

2、试证明3z 三个单值分支在割破的z 平面上任意区域上都是解析的，并求其导数。

证明：3

()f z z

，令：(),i i z re z e θθφε+=?=

则：'i z z r e θθ+?+?=，这里：'2

sin 2cos ,r r r r

εφ

εεφθ=++?≈

所以：

()

21/6

331/6

1/6

()2cos 22 2cos cos sin 33333322 2cos cos cos sin s 33333k i f z z r r e

k k r r i k k r

r θπθεεφθπθθ

πθεεφθπθθπεφ???

++ ?

??+?=++????

????=+++++++ ? ?????????

???????≈++

-+ ? ? ???????1/6

1/65/622in sin cos cos sin 33333312222 2cos cos sin sin cos 6333333333

3k k i i k k k k r

r i i r θθπθθπθπθθπθπθθ

πεφ????????????

++++ ? ? ? ? ???????????

??????????????≈++-+++++ ? ? ? ????????????????1/32/3

1/32/312222 2cos cos sin sin cos 6333333333122 2cos cos sin 63333k k k k r i i r k k r i r θπθπθθπθ

πεφθπθπεφ??????????????????≈++++-+-+?? ? ? ? ? ? ????????????????????????≈++++ ? ???????22sin cos 3333

3k k i θθπθ

π????????????-+-+??? ? ? ? ???????????? 则：

1/3

2/3

1/32/322122()()sin cos 2cos cos sin 3333363333221 cos sin 2cos 33336k k k k f z z f z r

i i r k k i ir

r θθπθ

πθπθ

πεφθπθπεφ?????????????+?-≈-+-+++

++ ? ? ? ? ??????????????

????????≈++++ ? ? ???????[]3

3 cos sin 33i z

i e

θεφφε??

????≈

所以：

()

2/3

()()()

3lim

lim

lim 1 33i i z z z i z

f z f z z f z r z

z e

θφθ

εε+?→?→?→?+?-==??=

2.1-2 Cauchy 积分 1、计算积分i i

z dz -?，积分路径(1)直线段；(2)右半单位圆周；(3)左半单位圆周。

解：22

i i i

z dz x y dz --=

(1) 若沿直线从-i 积分到i ，则：

()

110

i i

z dz i y dy i ydy ydy

ydy ydy i

---==+

(2) 若沿右半圆从-i 积分到i ，则：

() 2i i i i

z dz d e e

ππθθ

ππ

---

==?

(3) 若沿左半圆从-i 积分到i ，则：

3/2

() 2i i i i

z dz d e e

ππθθ

ππ

==?

2、当C 为单位圆周时，不用计算，试证明：

11(1)0, (2)056

dz dz z z z z ==++++?

证明：(1)

(2)(3)11 231

C C

dz dz

z z z dz z z dz dz

z z =

++++??=-

?++?

++?????

因为两个非解析点都不在积分圆周内，根据Cauchy 积分定理：2

1056

dz z z =++?

(1)

()()2

(1)

1111

211C

C C

dz dz

z z dz

z i z i dz dz i z i

z i =

++++=

+++-??

- ?

+-++???????

因为两个非解析点1,1z i i =---+都不在积分圆周内，根据Cauchy 积分定理：

022

dz z

z =++?

2.3-4 Cauchy 积分定理 1、已知函数()

1(,)1xt t e

x t t

ψ--=

-，将x 作为参数，把t 认为是复变数，试应用Cauchy 公式表为回路积分，

对回路积分进行变量代换()t z x z =-，并借以证明：

()0n

n x

t d

ψ-=?=?

解：(1) 首先，令：1(,)1z

z e e x z z

ψ--=

-，则：()

111(,)2x e

x z d i

ξξ

ψξπξ---=

根据解析函数的无限可微性有： ()

()()

!(,)21x n

n n e

x z d i

z ξξψξπξξ

--+=--?

所以：

()

()11

(,)!21x n n

n t x t n e

d t

ξψξπξξ

--+=?=

?-?

(2) 做变量替换：z x t z

，则对于积分公式来说：z x z

ξ-=

，所以：

()

(,)!21!! 22 z x z x x n

z z n n

t n

x z n x

n n n x

x t n e

z x d t

z z x z x z z n z e

n e

dz e

d i

z x x e

ξψπξξ

ππξ--??

??-- ? ?

?+=--++-?-??

????

--?

???- ? ?

????=

=--?

=??

4.2 利用留数定理计算实积分

1、确定下列函数的奇点，并计算留数， (5)2

(0)sin adx a a x

π>+?

； (6)

cos (1)12cos xdx x πεεε

<-+?

解：(5)

1cos 2sin 2

21cos adx adx x a x

a adx a x

π=

+-?

令：ix

z e =，则：

()()2

211

1sin 21222 ()2211

z z z adx adz

a x

a z z iz a dz

a f z dz

z a z π

-====

+??

+-+

???

-++?

显然，()f z 存在两个一阶极点：22(21)21z a a a =+±+，只有：22(21)21z a a a =+-+ 处

于单位圆内，所以：

(21)21

R es

()lim

(21)211 41

z a a

a z a a

a f z z a a a a a →+-+=+-+=

-+++??=-

则：222

212sin 411

adx

a i a x i a a a π

π????

=--= ? ?+??++??

(6)

cos (1)12cos xdx

x πεεε

<-+?

令：ix z e =，则：：

()()()()()()()

cos 12cos 2111111 ()2221z z z z z z dz

xdx x z z iz

z dz

f z dz

z z z z z z πεε

εεεεεεεεε--=--===+=

-+??+-+?

?++=-

---++?

显然，()f z 存在三个一阶极点：1

0,,z εε

-=，只有：0,z ε= 处于单位圆内，所以：

()

()()

1R e s ()

l i m 1

z z z

f z z z εε

-→=+==-- ()()2

11R e s ()

l i m 1

z z z f z z z ε

εε

ε-→=++==--

所以：2

cos 1122112cos 211xdx i x i πεπεπεε

εεε??+?

?=-+= ? ?-+--????

2、计算下列实函数积分 (5)

x dx x ∞-∞

++?

解：(5)

x dx x ∞-∞

++?

根据定理有：2

Im 0

1112R es

k z x dx dx i

x x x x x ααπ∞∞-∞

-∞

=>+=

=+-+-+∑

而函数42

()1

f z x x =

-+存在四个一阶极点：55666

,,,i

i i z e e e

ππ=--，很显然处于上半平面内

的孤立奇点只有：566

i z e e

π=，所以：

()

R es ()lim 22123221i

i z e

z e e

f z z z i

e ππ

π-→===

??-- ???

()

556

552

R es ()lim 22123221221i

i i

z e

f z z z i

e e

e ππ

πππ

--→====-

????--- ? ??

所以：2

641212323i i x e

e dx i x i i π

πππ-∞-∞

??+ ?

=+= ?+

3计算下列实函数积分

(3)

sin 1

x x dx x ∞-∞

解：根据定理：

I m 0

s i n s i n 22R e s 1

k i m z

z x x x x z e

d x d x x x z ααπ

∞∞-∞

==+++∑

? 显然，2()1

imz

f z z =

+存在两个一阶极点：z i =±，只有：z i = 上半平面内，所以：

R e s ()l i m 2iz

z i z i ze f z z i e

→===+

所以：2

sin 121

2x x dx x e

∞-∞

3.2 幂级数

3、求下列幂级数的收敛圆

(1)1

1()k

k z i k

∞

=-∑

， (2)

ln 1

(2)k

k k

z ∞

=-∑

解：(1) 1

1/lim

lim

11/(1)

k k k k c k R c k →∞→∞

+===+

所以，其收敛圆为以i 为圆心的单位圆。

(2)

由于：()()()2

2ln ln 1ln 1lim

lim lim lim 1ln 1ln 1ln 1k k k k k

k k k k R k k k k k →∞

→∞→∞→∞????++??=====??????+++?????? l n l n

l n (1)

l n (

l i m

l i m l i m 1

(1)

k k k k k k k k c k

R c k k +

+→∞

→∞

+==

=++

所以，其收敛圆为以2为圆心的单位圆。

3.3 幂级数展开

在指定的点的邻域上把下列函数展开为Taylor 级数 (8) 2sin z 和2cos z 在00z = 解：

()

221

021

11sin (1cos 2)(112

)

(2)!

1 12

2(2)!1 12

(2)! 12

(2)!

n n

n n n

n n n n

n n n z

z z n z

n z

n ∞

=∞

-=∞

+-=∞

+-==

--=-

-∑∑∑∑

()

221

0221

11cos (1cos 2)(112

)

(2)!

1 12

(2)! 112

(2)!

n n

n n n

n n z

z z n z

n z

n ∞

=∞

-=∞

-==

+-=

-=+

-∑∑∑

4.1 留数定理

1、确定下列函数的奇点，并计算留数， (1)(1)z

e z +； (2) 2

(1)(2)z z z --，(3) 22()z

e a z +，(4) 22

()iz

a z +

解：(1) (1)z

e z +

显然1z =-为其一阶极点，则： 1

1R e s ()

l i m (

1)(1

)

z z f

z z e z e -→-=-=++= (2) 2

(1)(2)z z z --

显然1z =为其一阶极点，2z =为其二阶极点，则：

Res ()lim (1)(1)(2)1z z f z z z z z →==---=

()2

22222

R es ()lim (2)(1)(2)lim 11z z z d

f z z z z z dz z →→=??

??=---=-=-????-???

(3) 22

()z

a z +

显然z ia =±为其一阶极点，则：

Res ()lim ()()2ia

z ia

f z z ia e

a z ia →==-+=

Res ()lim ()()2ia

z ia

f z z ia e

a z ia

-→-=-=++=-

(4) 22()iz e a z +

显然z ia =±为其一阶极点，则：

Res ()lim ()()2a

z ia

f z z ia e

a z ia

-→==-+=

Res ()lim ()()2a

z ia

f z z ia e

a z ia

→-=-=++=-

2、计算回路积分， (1)

()()

11l

z +-?

，l 为22220x y x y +--=

(3)

z z e dz =?

解：(1) 首先l 的围线方程为：()()22

112x y -+-=

而被积函数存在三个孤立奇点,1z i =±，在围线内有两个孤立奇点：,1z i =

()()

()

11Res ()lim

1121z i

z i

z i f z z

z i i →=-==

+--

()()

(1)

1R es ()lim

11z z d

z f z dz z z →=-==-

所以：()()

112(

11l

i z

z ππ=-

+-?

(2) 可以看出来，被积函数存在唯一孤立奇点0z =，且为本性奇点，对被积函数做Laurant 展开：

n e

n z

∞

∑

可以看出：10c -=，显然：2

0z z e dz ==?

4.2 利用留数定理计算实积分

1、确定下列函数的奇点，并计算留数， (5)2

(0)sin adx a a x

π>+?

； (6)

cos (1)12cos xdx x πεεε

<-+?

解：(5)

1cos 2sin 2

21cos adx adx x a x

a adx a x

π=

+-?

令：ix z e =，则：

()()2

211

1sin 21222 ()2211

z z z adx adz

a x

a z z iz

a dz

a f z dz

z a z π

-====

+??

+-+ ???

-++?

显然，()f z 存在两个一阶极点：22(21)21z a a a =+±+，只有：22(21)21z a a a =+-+ 处

于单位圆内，所以：

(21)21

R es

()lim

(21)211 41

z a a

a z a a

a f z z a a a a a →+-+=+-+=

-+++??=-

则：222

212sin 411

adx

a i a x i a a a π

π????

=--= ? ?+??++??

(6)

cos (1)12cos xdx

x πεεε

<-+?

令：ix z e =，则：：

()()()()()()()

cos 12cos 2111111 ()2221z z z z z z dz

xdx x z z iz

z dz

f z dz

z z z z z z πεε

εεεεεεεεε--=--===+=

-+??+-+?

?++=-

---++?

显然，()f z 存在三个一阶极点：1

0,,z εε

-=，只有：0,z ε= 处于单位圆内，所以：

()

()()

1R e s ()

l i m 1

z z z

f z z z εε

-→=+==-- ()()2

11R e s ()

l i m 1

z z z f z z z ε

εε

ε-→=++==--

所以：2

cos 1122112cos 211xdx i x i πεπεπεε

εεε??+?

?=-+= ? ?-+--????

2、计算下列实函数积分

(5)

x dx x ∞-∞

++?

解：(5)

x dx x ∞-∞

++?

根据定理有：2

Im 0

1112R es

k z x dx dx i

x x x x x ααπ∞∞-∞

-∞

=>+=

=+-+-+∑

而函数42

()1

f z x x =

-+存在四个一阶极点：55666

,,,i

i i z e e e

e π

ππ=--，很显然处于上半平面内

的孤立奇点只有：566

i z e e

π=，所以：

()

R es ()lim 22123221i

i z e

z e e

f z z z i

e ππ

π-→====

??-- ???

()

556

552

R es ()lim 22123221221i

i i

z e

f z z z i

e e

e ππ

πππ

--→====-

????--- ? ??

所以：2

641212323i i x e

e dx i x i i π

πππ-∞-∞

??+ ?

=+= ?+

3计算下列实函数积分

(3)

sin 1

x x dx x ∞-∞

解：根据定理：

I m 0

s i n s i n 22R e s 1

k i m z

z x x x x z e

d x d x x x z ααπ

∞∞-∞

==+++∑

? 显然，2()1

imz

f z z =

+存在两个一阶极点：z i =±，只有：z i = 上半平面内，所以：

R e s ()l i m 2iz

z i z i ze f z z i e

→===+

所以：2

sin 121

2x x dx x e

∞-∞

(完整版)复变函数与积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解： 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解：6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-?

(3) i i 解：( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解：( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解：由于：()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=，而： ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以： ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解：由于：()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=，所以： ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：

(02199)复变函数与积分变换A

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（） A ．1+i B ．1-i C ．-1+i D ．-1-i 2．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（） A ． i B ．-i C ．1 D ．-1 3．方程232= -+i z 所代表的曲线是（） A ．中心为i 32-，半径为2的圆周 B ．中心为i 32+-，半径为2的圆周 C ．中心为i 32+-，半径为2的圆周 D ．中心为i 32-，半径为2的圆周 4．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数为（） A ． 2 B ．i 31+ C ．i -3 D ．i +3 5．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即非充分也非必要条件 6．设2 2)(y i x z f ?+=，则=+')1(i f （） A ． 2 B ．2 i C ．1 + i D ．2 + 2 i 7．设C 为正向圆周|z|=2，则 ()dz z z c ?-2 1cos （） A ．1sin - B ．sin1 C ．1sin 2i ?-π D ．1sin 2i ?π 8．设c 是t i z )1(+=，t 从1到2线段，则=? zdz c arg （） A ． 4π B ．4πi C ．4 π (1+ i ) D ．1 + i 9．幂级数∑ ∞ =+-1 n 22z )1n (n )2(在点z=41 处（） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．不绝对收敛 10．幂级数n n z n ??? ??∑∞ =22sin 1 π的收敛半径R = （）得分评卷人复查人

复变函数与积分变换试题B==2015

海南大学2015-2016学年度第1学期试卷科目：《复变函数与积分变换》试题(B 卷) 学院：专业班级：姓名：学号：成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写）阅卷教师：年月日考试说明：本课程为闭卷考试。一、判断题(每题1分，共5分) （说明：对的，打上“√”号；错的，打上“×”号。）（）1、扩充复平面与复球面上的点一一对应。（）2、如果()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 处必可导。（）3、如果，则z =0。（）4、z =0是的一级极点。（）5、如果在区域D 内处处为零，则()f z 在D 内为一常数。二、填空题(每题3分，共15分) 1、。 2、设f(z)=z cos z ，则。 )('z f =)0()2016(f 0=z e =?dz z z 2 0sin )1 sin()(z z f =

3、的收敛半径= 。 4、如果0z 是函数f(z)在有限复平面内的可去奇点，则Res [f(z), 0z ]= 。 5、。三、计算题(共20分) （注意：要有运算步骤。） 1、将下列复数化为三角表示式和指数表示式： 2、求 3、求).31(i Ln - 4、求函数?????≥<≤<≤=.3, 0,31, 2,10,1)(t t t t f 的Laplace 变换. 四、解答题（共60分） 1、计算积分 dz z z z z C ?++-) 4(2)1(sin ）（，其中C 为正向圆周：|z|=3. （10分） 2、利用留数定理计算其中C 为正向圆周：|z|=2. （10分） 3、解微分方程其中，f (t )为已知函数。 (10分) 4、设函数 (1)把函数 f(z) 在内展开成洛朗级数。（10分） (2)求积分（5分） 5、如果函数f(z)=u+iv 在区域D 内解析，且arg f (z )在D 内是一个常数， =?+∞∞ dt )(-t δn n n z i ∑∞ =+0)43(.522 i i i -+. )33(31i ++∞<<||1z . )(3||dz z f z ?=,1 )/1sin()(-=z z z z f ).()()(4 4 t f t y t y dt d =+?+-C dz z z z ，) 1()1(34

复变函数与积分变换公式

复变函数复习提纲（一）复数的概念 1.复数的概念：z = X ? iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i. 中的幅角。 3）arg Z与arctan~y之间的关系如下: X y 当X 0, arg Z= arctan 丄； X y y -0,arg Z= arctan 二 ! X y y ：： O,arg Z= arctan -二 J X 4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。 5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。 (二)复数的运算 1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2i y1- y2 2.乘除法： 1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U 狂h[N×2 一y$2 i x2% x1y2 ；乙_ X1+ i y_ (x1 十 i 和X—i y_ XX y*y y x；。X Z2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X22 2)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则 Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也； 3.乘幕与方根 1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。 2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小 2.复数的表示

2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则（三）复变函数 1?复变函数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 ?复初等函数 1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数： LnZ=In z+i （argz + 2kιι）（k=0,±1,±2八）（多值函数）；主值：In Z = Inz+iargz 。（单值函数） ?1 LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Inz Z 注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna （a = 0）； Z b = e bLnZ （Zn 0）注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。 Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz 注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同） Z ■ Z Z ■ Z ,,,, e -e e +e 4) 双曲函数 ShZ ,chz = 2 2 ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数 1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。 2 ?解析函数的概念 1 f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n -------- I n n (k =0,12…n -1)(有n 个相异的值) 4）三角函数: iz -iz e -e Sin Z = 2i iz JZ . e +e , sin z , ,cos z ,tgz ,ctgz 2 cos z cosz Sin Z

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解

?复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ）一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是（ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1）；二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ） y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ．（A ） 23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（ C ）（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；

(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110<-

【免费下载】复变函数与积分变换A答案

命题方式：独立命题佛山科学技术学院2010—2011学年第1学期《复变函数与积分变换》课程期末考试试题A答案专业、班级：机械工程与自动化1、2、3班姓名：学号：题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得分

1)题目一：下面正确的是（）B A B C D 1122122212||||z z z z z z z z =+1122||||||z z z z =112221||||z z z i z z z =+111||z i z =+2)题目二：函数的可导性为（ C ）2()||f z z =A 处处可导 B 处处不可导 C 在z=0处可导 D 无法确定3)题目三：如果在区域D 内，则F (z )是f (z )的（A ）。'()()F z f z =A 原函数 B 反函数 C 像函数 D 原像函数4)题目四：设在简单正向曲线C 及其所围的区域D 内出处解析且,()f z 0z D ∈那么与积分相关的概念是：（B ）01()2c f z dz i z z π-?A 留数 B 柯西公式 C 线积分 D 泰勒级数5)题目五：是级数的：（ 01()()n n n S z c z z ∞==-∑000()...()...k c k c c z z c z z +-++-+C ）A 和 B 部分函数 C 和函数 D 调和函数6)题目六：0是的：(C) sin z z -A 孤立奇点 B 本性奇点 C 零点 D 原点7)题目七：级数：（C ）0 cos 2n n in ∞=∑A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 既不收敛又不发散、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

复变函数与积分变换复旦大学出版社习题六答案

习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？（1）Im()0, (1i)z w z >=+；解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 00, 00. Im(w )>0. 若w =u +i v , 则 2 2 2 2 ,u v y x u v u v = = ++ 因为0 + 故i w z = 将Re(z )>0, 00,Im(w )>0, 12 12 w > (以（12 ,0）为圆心、12 为半径的圆) 3. 求w =z 2在z =i 处的伸缩率和旋转角，问w =z 2将经过点z =i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w 平面上哪一个方向？并作图.

复变函数与积分变换课后习题答案详解

… 复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社） / ——课后习题答案

习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解：设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈，则z x x ==．

复变函数与积分变换公式

复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

复变函数与积分变换期末试题附有答案完整版

复变函数与积分变换期末试题附有答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．231i - 2.)1(i Ln +-的主值是（）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （），则0d )(=?C z z f ．（A ） 23-z ；（B ）2 )1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ； 3．如果级数∑∞=1n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．

４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；（C ）如果0)(=?C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、 ),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）． (A) 的可去奇点；为z 1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2 222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 ,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

复变函数与积分变换A综合练习二

复变函数综合测试题（二）一、填空题 1、设b a z a z =++?||||，其中b a ,为正常数，则点z 的轨迹曲线是______。 2、设6 cos 6 sin π π i z ??=，则z 的三角表示式为__________________。 3、若函数()f z 在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内_________。 4、设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，则)(z f 在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分_______)(=∫dz z f C 。 5、若z 0是()f z 的m 阶零点且m >1，则z 0是)('z f 的______零点。 6、函数2 11 )(z z f += 的幂级数展开式为__________。7、函数)6(sin 6)(633?+=z z z z f 的零点0=z 的阶数为______。8、设a 为函数) () ()(z z z f ψ?= 的一阶极点，且0)(,0)(,0)(≠′=≠a a a ψψ?，则_________ __________)(Re ==z f s a z 9、设1 ()sin f z z = ，则)(z f 的定义域为__________。10、设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，00iv u A +=，000iy x z +=，则A z f z z =→)(lim 0 的充要条件是___________________________。二、选择题 1、函数()f z z =在z 平面上（） A．不连续B．连续且可导C．连续但处处不可导D．以上答案都不对 2、下列点集哪些是区域（） A．Im Re(1) z i >+B．0arg 4 z π <≤ C．1Im 2 z <

复变函数与积分变换公式

复变函数与积分变换公式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数与积分变换重要知识点归纳 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

复变函数与积分变换b卷

1．若z 为非零复数，则22z z -与2zz 的关系是( ). A 222z z zz -≥ B 222z z zz -≤ C 222z z zz -= D 不能比较大小 2下列式子不恒成立的是( ). A =z e z e B ()z Ln Lnz = C z z sin sin = D ()()z p z p = ,((p(z)为多项式) 3．设:1C z =为正向，则2sin C z dz z ?=( ). A 2i π- B 0 C 2i π D 4i π 4．若幂级数0n n n c z ∞=∑在12z i =+处发散，那么该级数在22z i =+处的敛散性为 ( ). A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 不能确定 5．设0z =为函数 4sin z z 的m 阶极点，那么m =( ). A 5 B 4 C 3 D 2 .(每题4分,共20分) 6. 不等式222z z --+=所表示的是___________________(填曲线类型). 7. z e 以____________为周期. 8. 设(),()2444i i i f f i '==+，则4 4()4lim i z f z i z i →--=__________. 9. 设C 为正向圆周3z =，则C z z dz z +? =_______. 10．把角形区域0arg 4z π<< 映射成圆域4ω<的映射可写为_____________________. .(每小题10分，共60分) 11.判别级数1n n i n ∞=∑的收敛性.

z≤在复数范围内不成立. 12. 叙述最大模定理，并用该定理说明cos1 13.讨论函数3322 =-+的连续性、可导性与解析性. f z x y x y i ()2

西南交大《复变函数与积分变换B》(A卷)(结)

()sin 15 2010 1 2z z e z i =+? A ）0 （ B ）班级学号姓名

5. 级数1(1)11n n n a i n n ∞ =??-? ?++?? ??????? ∑（其中a 为实常数）【 A 】（A ）发散（B ）收敛性与a 的取值有关（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 6.0z =是函数21 cos z z z -的【 B 】（A ）可去奇点（B ）一级极点（C ）二级极点（D ）本性奇点 7. 1011Re ,0z e s z ?? -=????【 C 】直接展开成洛朗级数找出对应的负一次项（A ）0 （B ） 199! （C ）1100! （D ）1 101! 8. 函数2,1 ()0,1 t f t t ?≤?=?>?? 的傅里叶变换等于【 D 】（A ） 2cos ω ω （B ） 2sin ω ω （C ） 4cos ω ω （D ） 4sin ω ω 9. 若函数()f t 的拉普拉斯变换[]()()L f t F s =存在，则下列等式中正确的是【 C 】（A ）[]11 2()()2 L F s f t -= （B ）[]1()()L sF s tf t -= （C ）01 ()()t L f t dt F s s ??=???? ? （D ）[]()sin()()L f t at F s a =-（其中a 为常数） 10.函数11,0()0,0t f t t >?=?? （C ）0,11,1t t t ≤-??+>-? （D ）0,11,101,0 t t t t ≤-?? +-<≤??>? 二、填空题(每题3分,共15分) 11．函数2()()(2)f z x y i x y =-++在其可导点处的导数值等于 2i + ； 12．设函数() 22 23 ()f z d z ζζζζ=+=-?（其中圆周2ζ=取逆时针方向），则(0)f '= 4i π ；

复变函数与积分变换学习笔记

第二章解析函数一、复变函数的导数及微分 1、导数的定义 2、可导与连续 3、求导法则实变函数的求导法则可以不加更改地推广到复变函数中来 4、微分的概念与一元实变函数的微分概念完全一致二、解析函数的概念 1、解析函数的定义如果函数f（z）在z0及z0的邻域内处处可导，那么称f（z）在z0解析。如果函数f（z）在区域D内每一点解析，则称f（z）在区域D内解析。或称f（z）是区域D 内的一个解析函数（全纯函数或正则函数） 2、奇点的定义如果函数f（z）在z0不解析，那么称z0为f（z）的奇点。根据定义可知，函数在区域内解析和区域内可导是等价的。但是，函数在一点处解析和一点处可导是不等价的，即在一点处可导，不一定在该点处解析。函数在一点处解析比在该点处可导的要求高得多。定理（1）在区域D内解析的两个函数f（z）和g（z）的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D内解析。（2）设函数h=g（z）在z平面上的区域D内解析，函数w=f（h）在h平面上的区域G内解析。如果对于D内的每个点z，函数g（z）的对应值h都属于G，那么复合函数w=f|g（z）|在D内解析。根据定理可知：（1）所有多项式在复平面内是处处解析的。（2）任何一个有理分式函数P（z）/Q（z）在不含分母为零的点的区域内是解析的，使分母为零的点是它的奇点。注意：复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上是完全一样的，它们的求导公式与求导法则也一样，然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关，这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多。第二节、函数解析的充要条件一、主要定理定理一：设函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）定义在区域D内，则f（z）在D内一点z=x+yi 可导的充要条件是：u（x，y）与v（x，y）在点（x，y）可微，并在该点满足柯西-黎曼方程：=，=。根据定理一，可得函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在点z=x+yi处的导数公式：f＇（z）=+=+。定理二：函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在其定义域D内解析的充要条件是：u（x，y）与v（x，y）在D内可微，并满足柯西-黎曼方程。

上海海事大学复变函数与积分变换A卷完整版

上海海事大学复变函数与积分变换A卷 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

上海海事大学试卷 2013—2014学年第一学期期末考试《复变函数与积分变换》（A 卷）班级学号姓名总分一、填空题（共10题，每空3分，共30分）请将正确答案写在题目后面的横线上 1．复平面中1Rez 2=所表示的平面曲线为___________. 2．方程e 10z --=的解z=________________________________. 3． -1的三次根是_____________________________________________. 4． 3223()33,f z x x yi xy y i z x yi =+--=+其中，则()f z '=______________________. 5． 2124z dz z z ==++?________________. 6． z i e dz π --=?________________. 7．设C 为正向圆周|ζ|=2，c sin 3(z)d -z f π ζζ= ? ，其中|z|<2，则(1)f '=_______________. 8．设100i)(1z +=，则Imz ＝___________________________. 9．已知函数[()](),[()]f t F tf t ω==则F F _________. 10.若12120,0;0,0; ()()()()=1,0,,0,t t t f t f t f t f t t e t -<

复变函数与积分变换习题答案

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(02199)复变函数与积分变换A

复变函数与积分变换试题B==2015

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复变函数与积分变换 复旦大学出版社 习题六答案

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