2021届内蒙古集宁一中高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析
2021届内蒙古集宁一中高三上学期期中考试
数学（文）试题
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）
1．设全集I=R，集合A={y|y=log2x，x＞2}，B={x|y=}，则( )
A．A?B B．A∪B=A C．A∩B=?D．A∩（?I B）≠?
2．若复数z满足i（z﹣3）=﹣1+3i（其中i是虚数单位）则( )
A．|z|=B．z的实部为3
C．z的虚部为i D．的共轭复数为﹣6+i
3．“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．=（2，1），?=10，|+|=5，则||=( )
A．B．C．5 D．25
5.执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
6．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )
A．B．C．D．1
7．已知函数y=sin（2x+φ）向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小正值为( ) A．B．C．D．
8．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则等于( )
A．﹣1 B．1 C．﹣D．
9．已知直线ax+by+c﹣1=0（b、c＞0）经过圆x2+y2﹣2y﹣5=0的圆心，则的最小值是( ) A．9 B．8 C．4 D．2
10．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为( )
A．B．C．D．
11．已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足
（n∈N*，且n≥2），则a81=( )
A．638 B．639 C．640 D．641
12．函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式f（lnx）＜f（1）的解集为( )
A．（0，e）B．（1，e）C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每题5分，共20分，把正确答案填在答题纸上对应横线处）
13．甲、乙两个小组各有10名学生，他们的某次数学测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一名，则这名学生来自甲小组且成绩不低于85分的概率是__________
14. 观察下列数表
1
3 5
7 9 11 13
15 17 19 21 23 25 27 29
……
设1027是该数表第m行的第n个数，则m+n=____．
15．已知函数f（x）=，g（x）=lnx，则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为__________．
16．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为__________
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）证明：PC⊥BD
（Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积．
19．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
患心肺疾病不患心肺疾病合计
男20 5 25
女10 15 25
合计30 20 50
（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？
（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；
（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式，其中n=a+b+c+d）
20．（本小题满分12分）
设数列{}n a 是等差数列，355,9,a a ==数列{}n b 的前n 项和为n S ，
122(*).n n S n N +=-∈
(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
(2)若(*),n n n c a b n N =?∈n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T ． 21．已知函数f （x ）=ax ﹣e x
（a ＞0）． （1）若
，求函数f （x ）在x=1处的切线方程；
（2）当1≤a ≤e+1时，求证：f （x ）≤x ．
请考生在第22，23题中任选一题作答，作答时写清题号，本题10分 选修4-4：坐标系与参数方程
22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程
为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的极坐标方程是，射线OM ：θ=
与圆C 的交点为O 、P ，与直
线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
选修4-5：不等式选讲
22．设函数f （x ）=|x ﹣|+|x ﹣a|，x ∈R ．
（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．
2021届内蒙古集宁一中高三上学期期中考试
数学（文）试题参考答案
一、选择题：
1～5. AAACC； 6～10. CBBAB； 11～12. CC.
二、填空题
13.1/4； 14.13 15.3； 16. 4
三、解答题
17.解答：解：（Ⅰ）∵a2=b2+c2+ab，即b2+c2﹣a2=﹣bc，
∴cosA==﹣，
则A=；
（Ⅱ）∵a=，sinA=，
∴由正弦定理==得：b=，csinA=asinC，
∴S=bcsinA=??asinC=3sinBsinC，
∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B﹣C），
当B﹣C=0，即B=C==时，S+3cosBcosC取得最大值为3．
18.解答：解：（I）连接AC交BD于O，连接PO
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O是BD的中点
∵△PBD中，PD=PB，O为BD中点，∴PO⊥BD
∵PO、AC?平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD；
（II）∵ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
∴BO=AB=1，AC==2，可得△ABC的面积为S=AC×BO=
∵△PBD中，PB=PD=BD=2，∴中线PO=BD=
因此，△PAO中AO2+PO2=6=PA2
∴PO⊥AC，结合PO⊥BD得到PO⊥平面ABCD，
得到三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC=×S△ABC×PO==1
∵E为PA中点，∴E到平面ABC的距离d=PO=
由此可得三棱锥E﹣ABC的体积V E﹣ABC=×S△ABC×d=×=
因此，三棱锥P﹣BCE的体积V P﹣EBC=V P﹣ABC﹣V E﹣ABC=．
19解答：解：（I）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为=，
∴男性应该抽取20×=4人…．
（II）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，则从6名学生任取2名的所有情况为：（A，B）、（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f）共15种情况，其中恰有1名女生情况有：（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f），共8种情况，
故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P=．…．
（III）∵K2≈8.333，且P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，
那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的
21.解答：解：（1）当时，，
，
故函数f（x）在，
即
（2）令g（a）=x﹣f（x）=﹣ax+x+e x，
只需证明g（a）≥0在1≤a≤e+1时恒成立，
一方面，g（1）=﹣x+x+e x=e x＞0①
另一方面，g（1+e）=﹣x（1+e）+x+e x=e x﹣ex，
设h（x）=e x﹣ex，则h′（x）=e x﹣e，
当x＜1时，h′（x）＜0；当x＞1时，h′（x）＞0．
∴h（x）在（﹣∞，1）单调递减；在（1，+∞）单调递增．
∴h（x）≥h（1）=e﹣e?1=0，即g（1+e）≥0②
由①②知，g（a）≥0在1≤a≤e+1时恒成立
故当1≤a≤e+1时，f（x）≤x．
22.解答：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，
∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．
设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．
∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．
∴|PQ|=2．
解答：解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，
∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，
再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，
∴a﹣≥a，或 a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．