新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何两直线的位置关系教案文

一、知识梳理

１．两直线的平行、垂直与其斜率的关系

条件

两直线位置关系斜率的关系

两条不重合的直线l１，l

２，斜率分别为k１，k２

平行

k１＝k２

k１与k２都不存在

垂直

k１k２＝—１

k１与k２一个为零、另一个不存在

３．三种距离

点点距点P１（x１，y１），P２（x２，y２）之间的距离

|P１P２|＝

错误!

点线距点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距

离

d＝错误!

线线距两条平行线Ax＋By＋C１＝0与Ax＋By＋C２＝

0间的距离

d＝错误!

１．会用两个充要条件

（１）两直线平行或重合的充要条件

直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与直线l２：A２x＋B２y＋C２＝0平行或重合的充要条件是A１B２—A２B １

＝0．

（２）两直线垂直的充要条件

直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与直线l２：A２x＋B２y＋C２＝0垂直的充要条件是A１A２＋B１B２＝0．２．直线系方程

（１）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0（m∈R且m≠C）．

（２）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx—Ay＋n＝0（n∈R）．

（３）过直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与l２：A２x＋B２y＋C２＝0的交点的直线系方程为A１x＋B１y ＋C１＋λ（A２x＋B２y＋C２）＝0（λ∈R），但不包括l２.

３．六种常用对称关系

（１）点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（—x，—y）．

（２）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，—y），关于y轴的对称点为（—x，y）．

（３）点（x，y）关于直线y＝x的对称点为（y，x），关于直线y＝—x的对称点为（—y，—x）．（４）点（x，y）关于直线x＝a的对称点为（２a—x，y），关于直线y＝b的对称点为（x，２b—y）．（５）点（x，y）关于点（a，b）的对称点为（２a—x，２b—y）．

（6）点（x，y）关于直线x＋y＝k的对称点为（k—y，k—x），关于直线x—y＝k的对称点为（k ＋y，x—k）．

二、习题改编

１．（必修２P１１0B组T１改编）两直线４x＋３y＝１0与２x—y＝１0的交点坐标为．答案：（４，—２）

２．（必修２P１１0B组T２改编）已知点（a，２）（a＞0）到直线l：x—y＋３＝0的距离为１，则a等于

答案：错误!—１

３．（必修２P１１４A组T５改编）已知直线l１：ax＋３y＋１＝0，l２：２x＋（a＋１）y＋１＝0互相平行，则实数a的值是．

解析：由直线l１与l２平行，可得错误!解得a＝—３．

答案：—３

一、思考辨析

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）当直线l１和l２的斜率都存在时，一定有k１＝k２?l１∥l２.（）

（２）如果两条直线l１与l２垂直，则它们的斜率之积一定等于—１．（）

（３）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．（）

（４）已知直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0，l２：A２x＋B２y＋C２＝0（A１，B１，C１，A２，B２，C２为常数），若直线l１⊥l２，则A１A２＋B１B２＝0．（）

（５）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．（）

答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√

二、易错纠偏

错误!（１）求平行线间距离忽视x，y的系数相同；

（２）判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况．

１．两条平行直线３x＋４y—１２＝0与6x＋8y＋１１＝0之间的距离为（）

Ａ．错误!Ｂ．错误!

Ｃ．7 Ｄ．错误!

解析：选Ｄ．直线３x＋４y—１２＝0可化为6x＋8y—２４＝0，所以两平行直线之间的距离为错误!＝错误!.

２．已知直线l１：ax＋y—４＝0和l２：２x＋ay＋１＝0若l１⊥l２，则a＝．

答案：0

两条直线平行与垂直（师生共研）

（一题多解）已知直线l１：ax＋２y＋6＝0和直线l２：x＋（a—１）y＋a２—１＝0．（１）当l１∥l２时，求a的值；

（２）当l１⊥l２时，求a的值．

【解】（１）法一：当a＝１时，l１：x＋２y＋6＝0，

l２：x＝0，l１不平行于l２；

当a＝0时，l１：y＝—３，l２：x—y—１＝0，l１不平行于l２；

当a≠１且a≠0时，

两直线方程可化为l１：y＝—错误!x—３，l２：y＝错误!x—（a＋１），由l１∥l２可得错误!解得a＝—１．

综上可知，a＝—１．

法二：由l１∥l２知错误!

即错误!?错误!?a＝—１．

（２）法一：当a＝１时，l１：x＋２y＋6＝0，l２：x＝0，l１与l２不垂直，故a＝１不符合；

当a≠１时，l１：y＝—错误!x—３，l２：y＝错误!x—（a＋１），

由l１⊥l２，得错误!·错误!＝—１?a＝错误!.

法二：因为l１⊥l２，所以A１A２＋B１B２＝0，

即a＋２（a—１）＝0，得a＝错误!.

错误!

（１）两直线平行、垂直的判断方法

若已知两直线的斜率存在．

１两直线平行?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．

２两直线垂直?两直线的斜率之积等于—１．

[提醒] 判断两条直线位置关系应注意：

〈１〉注意斜率不存在的特殊情况．

〈２〉注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

（２）由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略

在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解．

１．已知直线４x＋my—6＝0与直线５x—２y＋n＝0垂直，垂足为（t，１），则n的值为（）Ａ．7 Ｂ．9

Ｃ．１１Ｄ．—7

解析：选Ａ．由直线４x＋my—6＝0与直线５x—２y＋n＝0垂直得，２0—２m＝0，m＝１0．直线４x＋１0y—6＝0过点（t，１），所以４t＋１0—6＝0，t＝—１．点（—１，１）又在直线５x—２y ＋n＝0上，所以—５—２＋n＝0，n＝7．

２．求满足下列条件的直线方程．

（１）过点P（—１，３）且平行于直线x—２y＋３＝0；

（２）已知A（１，２），B（３，１），线段AB的垂直平分线．

解：（１）设直线方程为x—２y＋c＝0，把P（—１，３）代入直线方程得c＝7，

所以直线方程为x—２y＋7＝0．

（２）AB的中点为错误!，即错误!，

直线AB的斜率k AB＝错误!＝—错误!，

故线段AB垂直平分线的斜率k＝２，

所以其方程为y—错误!＝２（x—２），即４x—２y—５＝0．

两条直线的交点与距离问题（多维探究）

角度一两直线的交点与直线过定点

（１）对于任给的实数m，直线（m—１）x＋（２m—１）y＝m—５都通过一定点，则该定点的坐标为（）

Ａ．（9，—４）Ｂ．（—9，—４）

C．（9，４）Ｄ．（—9，４）

（２）经过两直线l１：x—２y＋４＝0和l２：x＋y—２＝0的交点P，且与直线l３：３x—４y＋５＝0垂直的直线l的方程为．

【解析】（１）（m—１）x＋（２m—１）y＝m—５即为m（x＋２y—１）＋（—x—y＋５）＝0，故此直线过直线x＋２y—１＝0和—x—y＋５＝0的交点．由错误!得定点的坐标为（9，—４）．故选Ａ．

（２）由方程组错误!得错误!即P（0，２）．因为l⊥l３，所以直线l的斜率k＝—错误!，所以直线l 的方程为y—２＝—错误!x，即４x＋３y—6＝0．

【答案】（１）A （２）４x＋３y—6＝0

角度二三种距离问题

（１）已知点P（—１，—１），A（１，0），B（0，１），则△ABP的面积为．（２）若两平行直线l１：x—２y＋m＝0（m>0）与l２：２x＋ny—6＝0之间的距离是错误!，则m ＋n＝．

【解析】（１）因为A（１，0），B（0，１），所以|AB|＝错误!，直线AB的方程为x＋y—１＝0，则点P（—１，—１）到直线AB的距离d＝错误!，所以△ABP的面积为错误!×错误!×错误!＝错误!.

（２）因为l１，l２平行，所以１×n＝２×（—２），１×（—6）≠２×m，解得n＝—４，m≠—３，所以直线l２：x—２y—３＝0．又l１，l２之间的距离是错误!，所以错误!＝错误!，得m＝２或m＝—8（舍去），所以m＋n＝—２．

【答案】（１）错误!（２）—２

错误!

两种距离的求解思路

（１）点到直线的距离的求法

可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．

（２）两平行直线间的距离的求法

１利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；

２利用两平行线间的距离公式（利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式）．

１．与直线l１：３x＋２y—6＝0和直线l２：6x＋４y—３＝0等距离的直线方程是．

解析：l２：6x＋４y—３＝0化为３x＋２y—错误!＝0，

所以l１与l２平行，设与l１，l２等距离的直线l的方程为３x＋２y＋c＝0，

则|c＋6|＝|c＋错误!|，

解得c＝—错误!，

所以l的方程为１２x＋8y—１５＝0．

答案：１２x＋8y—１５＝0

２．l１，l２是分别经过A（１，１），B（0，—１）两点的两条平行直线，当l１，l２间的距离最大时，

直线l１的方程是．

解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又k AB＝错误!＝２，所以两条平行直线的斜率为k＝—错误!，所以直线l１的方程是y—１＝—错误!（x—１），即x＋２y—３＝0．

答案：x＋２y—３＝0

对称问题（典例迁移）

已知直线l：２x—３y＋１＝0，点A（—１，—２）．求：

（１）点A关于直线l的对称点A′的坐标；

（２）直线m：３x—２y—6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．

【解】（１）设A′（x，y），由已知得

错误!

解得错误!所以A′错误!.

（２）在直线m上取一点，如M（２，0），

则M（２，0）关于直线l的对称点M′必在直线m′上．

设M′（a，b），则

错误!

解得M′错误!.

设直线m与直线l的交点为N，

则由错误!得N（４，３）．

又因为m′经过点N（４，３），

所以由两点式得直线m′的方程为9x—４6y＋１0２＝0．

【迁移探究】（变问法）在本例条件下，求直线l关于点A（—１，—２）对称的直线l′的方程．解：设P（x，y）为l′上任意一点，则P（x，y）关于点A（—１，—２）的对称点为P′（—２—x，—４—y），

因为P′在直线l上，

所以２（—２—x）—３（—４—y）＋１＝0，

即２x—３y—9＝0．

错误!

１．与直线３x—４y＋５＝0关于x轴对称的直线方程为．

解析：设A（x，y）为所求直线上的任意一点，

则A′（x，—y）在直线３x—４y＋５＝0上，即３x—４（—y）＋５＝0，故所求直线方程为３x＋４y＋５＝0．

答案：３x＋４y＋５＝0

２．已知点A（１，３）关于直线y＝kx＋b对称的点是B（—２，１），则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是．

解析：由题意得线段AB的中点错误!在直线y＝kx＋b上，故错误!解得k＝—错误!，b＝错误!，所以直线方程为y＝—错误!x＋错误!.令y＝0，即—错误!x＋错误!＝0，解得x＝错误!，故直线y＝kx＋b 在x轴上的截距为错误!.

答案：错误!

思想方法系列１３妙用直线系求直线方程

一、平行直线系

由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．

求与直线３x＋４y＋１＝0平行且过点（１，２）的直线l的方程．

【解】依题意，设所求直线方程为３x＋４y＋C１＝0（C１≠１），因为直线过点（１，２），

所以３×１＋４×２＋C１＝0，

解得C１＝—１１．

因此，所求直线方程为３x＋４y—１１＝0．

错误!

先设与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C１＝0（C１≠C），再由其他条件求C１.

二、垂直直线系

由于直线A１x＋B１y＋C１＝0与A２x＋B２y＋C２＝0垂直的充要条件为A１A２＋B１B２＝0，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解．

求经过A（２，１），且与直线２x＋y—１0＝0垂直的直线l的方程．

【解】因为所求直线与直线２x＋y—１0＝0垂直，所以设该直线方程为x—２y＋C１＝0，又直线过点（２，１），所以有２—２×１＋C１＝0，解得C１＝0，所以所求直线方程为x—２y＝0．错误!

先设与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx—Ay＋C１＝0，再由其他条件求出C１.

三、过直线交点的直线系

求经过直线l１：３x＋２y—１＝0和l２：５x＋２y＋１＝0的交点，且垂直于直线l３：３x—５y＋6＝0的直线l的方程．

【解】法一：将直线l１，l２的方程联立，得错误!

解得错误!即直线l１，l２的交点为（—１，２）．

由题意得直线l３的斜率为错误!，

又直线l⊥l３，所以直线l的斜率为—错误!，

则直线l的方程是y—２＝—错误!（x＋１），

即５x＋３y—１＝0．

法二：由于l⊥l３，所以可设直线l的方程是５x＋３y＋C＝0，将直线l１，l２的方程联立，得错误!

解得错误!即直线l１，l２的交点为（—１，２），

则点（—１，２）在直线l上，所以５×（—１）＋３×２＋C＝0，解得C＝—１，

所以直线l的方程为５x＋３y—１＝0．

法三：设直线l的方程为３x＋２y—１＋λ（５x＋２y＋１）＝0，

整理得（３＋５λ）x＋（２＋２λ）y＋（—１＋λ）＝0．

由于l⊥l３，所以３（３＋５λ）—５（２＋２λ）＝0，解得λ＝错误!，

所以直线l的方程为５x＋３y—１＝0．

错误!

本题中的解法二、解法三均是利用直线系设出直线l的方程，而解法三是利用相交直线系设出方程，避免了求直线l１与l２的交点坐标，方便简捷，是最优解法．

直线l１：x＋y—４＝0与l２：x—y＋２＝0的交点为P，直线l：２x—y—１＝0．（１）过P与l平行的直线方程为；

（２）过P与l垂直的直线方程为．

解析：由错误!得错误!

所以l１与l２的交点为（１，３）．

（１）设直线方程为２x—y＋c＝0，

则２—３＋c＝0，

所以c＝１，

所以所求直线方程为２x—y＋１＝0．

（２）设与直线２x—y—１＝0垂直的直线方程为x＋２y＋c＝0，则１＋２×３＋c＝0，

所以c＝—7，

所以所求直线方程为x＋２y—7＝0．

答案：（１）２x—y＋１＝0 （２）x＋２y—7＝0

[基础题组练]

１．已知直线ax＋２y＋２＝0与３x—y—２＝0平行，则系数a＝（）

Ａ．—３Ｂ．—6

C．—错误!Ｄ．错误!

解析：选Ｂ．由直线ax＋２y＋２＝0与直线３x—y—２＝0平行知，—错误!＝３，a＝—6．

２．已知点A（５，—１），B（m，m），C（２，３），若△ABC为直角三角形且AC边最长，则整数m的值为（）

Ａ．４Ｂ．３

Ｃ．２Ｄ．１

解析：选Ｄ．由题意得∠B＝90°，

即AB⊥BC，k AB·k BC＝—１，

所以错误!·错误!＝—１．

解得m＝１或m＝错误!，故整数m的值为１，故选Ｄ．

３．（２0２0·安庆模拟）若直线l１：x＋３y＋m＝0（m>0）与直线l２：２x＋6y—３＝0的距离为错误!，则m＝（）

Ａ．7 Ｂ．错误!

C．１４Ｄ．１7

解析：选Ｂ．直线l１：x＋３y＋m＝0（m>0），即２x＋6y＋２m＝0，因为它与直线l２：２x＋6y—３＝0的距离为错误!，所以错误!＝错误!，求得m＝错误!.

４．已知点P（４，a）到直线４x—３y—１＝0的距离不大于３，则a的取值范围是（）

Ａ．[—１0，１0] Ｂ．[—１0，５]

Ｃ．[—５，５] Ｄ．[0，１0]

解析：选Ｄ．由题意得，点P到直线的距离为

错误!＝错误!.

又错误!≤３，

即|１５—３a|≤１５，

解得0≤a≤１0，所以a的取值范围是[0，１0]．

５．已知坐标原点关于直线l１：x—y＋１＝0的对称点为A，设直线l２经过点A，则当点B（２，—１）到直线l２的距离最大时，直线l２的方程为（）

Ａ．２x＋３y＋５＝0 Ｂ．３x—２y＋５＝0

Ｃ．３x＋２y＋５＝0 Ｄ．２x—３y＋５＝0

解析：选Ｂ．设A（x0，y0），依题意可得错误!解得错误!即A（—１，１）．设点B（２，—１）到直线l２的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l２垂直于直线AB，又错误!＝错误!，所以直线l

的方程为y—１＝错误!（x＋１），即３x—２y＋５＝0．

２

6．过两直线l１：x—３y＋４＝0和l２：２x＋y＋５＝0的交点和原点的直线方程为．解析：过两直线交点的直线系方程为x—３y＋４＋λ（２x＋y＋５）＝0，代入原点坐标，求得λ＝—错误!，故所求直线方程为x—３y＋４—错误!（２x＋y＋５）＝0，即３x＋１9y＝0．答案：３x＋１9y＝0

7．已知点A（３，２）和B（—１，４）到直线ax＋y＋１＝0的距离相等，则a的值为．解析：由点到直线的距离公式可得错误!＝错误!，解得a＝错误!或a＝—４．

答案：错误!或—４

8．已知点A（１，３），B（５，—２），在x轴上有一点P，若|AP|—|BP|最大，则P点坐标为．解析：作出A点关于x轴的对称点A′（１，—３），则A′B所在直线方程为x—４y—１３＝0．令y ＝0得x＝１３，所以点P的坐标为（１３，0）．

答案：（１３，0）

9．已知两直线l１：ax—by＋４＝0和l２：（a—１）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．（１）l１⊥l２，且直线l１过点（—３，—１）；

（２）l１∥l２，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

解：（１）因为l１⊥l２，所以a（a—１）—b＝0．

又因为直线l１过点（—３，—１），

所以—３a＋b＋４＝0．

故a＝２，b＝２．

（２）因为直线l２的斜率存在，l１∥l２，

所以直线l１的斜率存在．所以错误!＝１—a.１

又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，

所以l１，l２在y轴上的截距互为相反数，即错误!＝b.２

联立１２可得a＝２，b＝—２或a＝错误!，b＝２．

１0．已知△ABC的顶点A（５，１），AB边上的中线CM所在直线的方程为２x—y—５＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x—２y—５＝0，求直线BC的方程．

解：依题意知k AC＝—２，A（５，１），

所以直线AC的方程为２x＋y—１１＝0，

联立直线AC和直线CM的方程，得错误!

所以C（４，３）．

设B（x0，y0），AB的中点M为错误!，

代入２x—y—５＝0，得２x0—y0—１＝0，

所以错误!所以B（—１，—３），所以k BC＝错误!，所以BC的方程为y—３＝错误!（x—４），即6x—５y—9＝0．

[综合题组练]

１．已知直线l１：x—y—１＝0，动直线l２：（k＋１）x＋ky＋k＝0（k∈R），则下列结论中正确的是（）

１存在k，使得l２的倾斜角为90°

２对任意的k，l１与l２都有公共点

３对任意的k，l１与l２都不重合

４对任意的k，l１与l２都不垂直

Ａ．１２４Ｂ．１３

Ｃ．１２３Ｄ．２４

解析：选Ａ．对于动直线l２：（k＋１）x＋ky＋k＝0（k∈R），当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故１正确；由方程组错误!可得（２k＋１）x＝0，对任意的k，此方程有解，可得l１与l２有交点，故２正确；因为当k＝—错误!时，错误!＝错误!＝错误!成立，此时l１与l２重合，故３错误；

由于直线l１：x—y—１＝0的斜率为１，动直线l２的斜率为错误!＝—１—错误!≠—１，故对任意的k，l１与l２都不垂直，故４正确．

２．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx—y—m＋３＝0交于点P（x，

y），则|PA|·|PB|的最大值是．

解析：易知定点A（0，0），B（１，３），且无论m取何值，两直线垂直．

所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|２＋|PB|２＝|AB|２＝１0（P在以AB为直径的圆上）．

所以|PA|·|PB|≤错误!（|PA|２＋|PB|２）＝５．

当且仅当|PA|＝|PB|＝错误!时等号成立．

答案：５

３．已知直线l：x—y＋３＝0．

（１）求点A（２，１）关于直线l：x—y＋３＝0的对称点A′；

（２）求直线l１：x—２y—6＝0关于直线l的对称直线l２的方程．

解：（１）设点A′（x′，y′），

由题知错误!解得错误!

所以A′（—２，５）．

（２）在直线l１上取一点，如M（6，0），则M（6，0）关于直线l的对称点M′必在l２上．设对称点为M′（a，b），则错误!解得M′（—３，9）．设l１与l的交点为N，则由错误!得N（—１２，—9）．又因为l２经过点N（—１２，—9），所以直线l２的方程为

y—9＝错误!（x＋３），即２x—y＋１５＝0．

４．已知方程（２＋λ）x—（１＋λ）y—２（３＋２λ）＝0与点P（—２，２）．

（１）证明对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；

（２）证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于４错误!.

解：（１）显然２＋λ与—（１＋λ）不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．因为方程可变形为２x—y—6＋λ（x—y—４）＝0，

所以错误!解得错误!

故直线经过的定点为M（２，—２）．

（２）证明：过点P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，

此时对应的直线方程是y＋２＝x—２，即x—y—４＝0．

但直线系方程唯独不能表示直线x—y—４＝0，

所以M与Q不可能重合，即|PM|＝４错误!，

所以|PQ|<４错误!，故所证成立．