北京四中数学必修一【知识讲解】1.3奇偶性(基础)

函数的奇偶性

编稿：丁会敏审稿：王静伟

【学习目标】

1.理解函数的奇偶性定义；

2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；

3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.

【要点梳理】

要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤

1．函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.

奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.

要点诠释：

（1）奇偶性是整体性质；

（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：

()

()()0,1(()0)

()

f x

f x f x f x

f x

-

--==≠，

f(-x)=-f(x)的等价形式为：

()

()()01(()0)

()

f x

f x f x f x

f x

-

+-==-≠

，；

（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；

（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.

2.奇偶函数的图象与性质

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

（1）求函数()

f x的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，

则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；

（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.

若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数；

若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；

若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；

若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数

要点二、判断函数奇偶性的常用方法

（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.

（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()

f x f x -=±是否成立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.

（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

（5）分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.

要点三、关于函数奇偶性的常见结论

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；

偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.

【典型例题】

类型一、判断函数的奇偶性

例1. 判断下列函数的奇偶性：

(1)()(f x x =+； (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ；

(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()f x = (5)22-(0)()(0)

x x x f x x x x ?+≥?=?+

【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．

【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；

(2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2

-4|x|+3为偶函数 ；

(3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (4)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22

≤≤?≥?∴∴∈???≠≠≠±??且

()f x ∴==

(-)-()f x f x x

∴===，∴f(x)为奇函数； (5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (6)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22

f x

g x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数. 【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”

的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.

举一反三：

【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)23()3x f x x =+； (2)()|1||1|f x x x =++-；

(3)222()1

x x f x x +=+； (4)22x 2x 1(x 0)f (x)0

(x 0)x 2x 1(x 0)?+-?

. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．

【解析】(1)()f x 的定义域是R ， 又223()3()()()33

x x f x f x x x --==-=--++，()f x ∴是奇函数． （2）()f x 的定义域是R ，

又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数．

（3）函数定义域为1x ≠-，定义域不关于原点对称，∴()f x 为非奇非偶函数．

（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x 2-2x-1=-(-x 2

+2x+1)=-f(x)

任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x)

x=0时，f(0)=-f(0) ∴x ∈R 时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.

【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】

【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则

F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)

G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)

∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例2（2）】

【变式3】设函数()f x 和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论

恒成立的是 （ ）.

A ．()f x +|g(x)|是偶函数

B ．()f x -|g(x)|是奇函数

C ．|()f x | +g(x)是偶函数

D ．|()f x |- g(x)是奇函数

【答案】A

类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

例2.已知f(x)=x 5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).

【答案】-26

【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10

∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26

法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数

∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8

∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.

【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x 5+ax 3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题(2)g 便能迎刃而解.

举一反三：

【变式1】已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3g x f x g =+-=，则(2)f 为（ ）．

【答案】6

【解析】(2)(2)93,(2)6g f f -=-+=-=-则，又()f x 为奇函数，所以(2)(2)6f f =--=．

例3.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2

()31f x x x =+-，求()f x 的解析式． 【答案】2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ?+->?==??-++

【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，

()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，

2()()()3()1f x f x x x ??∴=--=--+--??

=2

31x x -++

又奇函数()f x 在原点有定义，(0)0f ∴=． 2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ?+->?∴==??-++

【总结升华】若奇函数()f x 在0x =处有意义，则必有(0)0f =，即它的图象必过原点（0，0）．

举一反三：

【高清课堂：函数的奇偶性356732 例3】

【变式1】（1）已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求

()f x 的解析式.

（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时，2()21g x x x =

+-，求()g x 的

解析式. 【答案】（1）2

231(0)()31(0)x x x f x x x x ?+->?=?--≤??；（2）2221(0)()0021(0)x x x g x x x x x ?+->?==??-++

a -≤<- 【解析】∵f(a-1)

而|a+1|，|a|∈[0，2]

|1|||2101-212 -31 22-22-22a a a a a a a a +<+

. 【总结升华】若一个函数()f x 是偶函数，则一定有()(||)f x f x =，这样就减少了讨论的麻烦．

类型三、函数奇偶性的综合问题

例5．设a 为实数，函数f(x)=x 2

+|x-a|+1，x ∈R ，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.

【思路点拨】对a 进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。

【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a ≠0时，函数为非奇非偶函数. 当min min 1313-()|-;()|;2424

a f x a a f x a ≤=>=+时，时，当2min 11-()|122

a f x a <≤=+时，. 【解析】当a=0时，f(x)=x 2+|x|+1，此时函数为偶函数；

当a ≠0时，f(x)=x 2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.

(1)当x a ≥时，21

3()()-24

f x x a =++ ①[)11

3()(-)-,2

24a f x a f a ≤-+∞=

时，函数在，上的最小值为 且1f(-)f(a).2≤ ②[)1(),2a f x a >-+∞时，函数在上单调递增， [)(),f x a ∴+∞在上的最小值为f(a)=a 2+1.

(2)当x a <时，2213()-1()24f x x x a x a =++=-++

①(]1()-,2

a f x a ≤∞时，函数在上单调递减，(]()-f x a ∴∞在，上的最小值为2()1f a a =+ ②(]1()-2a f x a >

∞时，在，上的最小值为131()()().242

f a f f a =+≤，且 综上：min min 1313-()|-;()|;2424

a f x a a f x a ≤=>=+时，时， 2min 11-()|122a f x a <≤=+时，. 举一反三：

【变式1】 判断()||||()f x x a x a a R =+--∈的奇偶性．

【答案】当0a =时，函数()f x 既是奇函数，又是偶函数；

当0a ≠时，函数()f x 是奇函数．

【解析】对a 进行分类讨论．

若0a =，则()||||0f x x x =-=．

x R ∈，∴定义域R 关于原点对称，∴函数()f x 既是奇函数，又是偶函数．

当0a ≠时，

()||||||||()f x x a x a x a x a f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函

数．

综上，当0a =时，函数()f x 既是奇函数，又是偶函数；

当0a ≠时，函数()f x 是奇函数．

例6. 已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2(1)f x -的单调递增区间．

【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。

【答案】[0，1]和（―∞，―1]

【解析】 ∵()f x 是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴()f x 在（－∞，0]上是增函数．

设u=1―x 2，则函数2(1)f x -是函数()f u 与函数u=1―x 2的复合函数．

∵当0≤x ≤1时，u 是减函数，且u ≥0，而u ≥0时，()f u 是减函数，根据复合函数的性质，可得2(1)f x -是增函数．

∵当x ≤－1时，u 是增函数，且u ≤0，而u ≤0时，()f u 是增函数，根据复合函数的性质，可得2(1)f x -是增函数．

同理可得当－1≤x ≤0或x ≥1时，2(1)f x -是减函数．

∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．

【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．

（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x 的取值范围时，必须考虑相应的u 的取值范围．本例中，x ≥1时，u 仍是减函数，但此时u ≤0，不属于()f u 的

减区间，所以不能取x≥1，这是应当特别注意的．

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C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π2的偶函数 8. 若向量()()1,1,4,3-==d AB ，且5=?AC d ，则=?BC d A. 0 B. －4 C.4 D. 4或－4 9. 若函数()?? ? ? ?<≤+=20sin 3cos πx x x x f ，则()x f 的最小值是 A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 10. 若()()m x x f ++=?ωcos 2，对任意实数t 都有()t f t f -=??? ? ?+4π，且18-=?? ? ??πf ，则实数m 的值等于 A. 1± B. 3± C. －3或1 D. －1或3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知ααcos 3sin =，则=ααcos sin _________。 12. 已知向量()()()2,1,,1,1,2-=-=-=c m b a ，若() c b a ∥+，则=m ________。 13. ??? ? ? + 6tan πα21=，316tan -=??? ? ? -πβ，则()=+βαtan _________。 14. 若函数()x x f 2 sin =，则=?? ? ??12πf _________， ，单调增区间是_________。 15. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BD BC 3= ，1||=AD ，则=?AD AC _________。 16. 定义运算b a *为：()()? ??>≤=b a b b a a b a *。例如：12*1=，则函数()x x x f cos *sin =的值域为_________。 三、解答题（本大题共3小题，共26分） 17. （本小题满分6分） 已知：如图，两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为3 2π ，点C 是以O 为圆心的劣弧AB 的中点。

2017-2018学年北京四中下学期高一年级期中考试数学试题(解析版)

2017-2018学年北京四中下学期高一年级期中考试数学试题 一、单选题 1．某影院有40排，每排46个座位，一次新片发布会坐满了记者，会后留下了每排20号的记者进行座谈，这样的抽样方法是 A. 抽签法 B. 随机数表法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法 【答案】C 【解析】分析：根据抽样形式确定抽样方法. 详解：因为留下了每排20号的记者,等距抽样，所以抽样方法为系统抽样法， 选C. 点睛：抽签法根据签抽样，随机数表法根据数表抽样，系统抽样法是等距抽样，分层抽样法按比例抽样. 2．下列命题中，正确命题的个数是 ①有三个公共点的两个平面重合②梯形的四个顶点在同一平面内 ③三条互相平行的直线必共面④四条线段顺次首尾相接，构成平面图形 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】分析：根据平面确定的公理判断命题真假. 详解：因为有三个不共线公共点的两个平面重合，所以①错； 因为梯形有两条直线相互平行，所以梯形的四个顶点在同一平面内，②对； 因为三条互相平行的直线不一定共面，如长方体三条平行的棱就不共面，所以③错，因为四条线段顺次首尾相接可构成空间四边形，所以④错； 选B. 点睛：公理3是确定平面的公理，注意其中条件：三个不共线的点，两条平行直线，两条相交直线，一直线以及直线外一点. 3．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A. 14 B. 8π C. 12 D. 4 π 【答案】B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为 2 a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2 4a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面 积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是 221248 a a ππ? =，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 4．△ABC 中，若B ＝45°，，则A ＝ A. 15° B. 75° C. 75°或105° D. 15°或75° 【答案】D 【解析】分析：先根据正弦定理求C ，再根据三角形内角关系求A. 详解：因为，所以 所以 因此， 选D. 点睛：在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．

北京四中：高一《数学》第一学期期中考试和答案

高一数学（必修1）期中模拟卷 一、选择题：（每小题5分，共12小题，合计60分） 1、 下列几个关系中正确的是（ ） A 、0{0}∈ B 、 0{0}= C 、0{0}? D 、{0}?= 2、设:f M N →是集合M 到集合N 的映射，下列说法正确的是（ ） a 、M 中每一个元素在N 中必有输出值。 b 、N 中每一个元素在M 中必有输入值。 c 、N 中每一个元素在M 中的输入值是唯一的。 d 、N 是M 中所有元素的输出值的集合。 3、下列函数与y x =有相同图象的一个是（ ） A 、y = B 、2 x y x = C 、 log (0,a x y a a =>且1)a ≠ D 、log (0,x a y a a =>且1)a ≠ 4、集合11 {|,},{|,}2442 k k M x x k Z N x x k Z == +∈==+∈，则（ ） A 、M N = B 、M N ? C 、N M ? D 、M N =? 5、已知53()2f x x ax bx =-++且(5)17f -=，则(5)f 的值为（ ） A 、19 B 、 13 C 、 -19 D 、 -13 6、若0a <，则函数(1)1x y a =--的图象必过点（ ） A 、(0,1) B 、（0，0） C 、（0，-1） D 、（1，-1） 7、要得到函数(2)1y f x =-+的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ） a 向右平移2个单位，向下平移1个单位。 b 向左平移2个单位，向下平移1个单位。 c 向右平移2个单位，向上平移1个单位。 d 向左平移2个单位，向上平移1个单位。 8、定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（ ） A ．9 B. 14 C.18 D.21 9、已知函数()312f x ax a =+-在区间（-1，1）上存在0x ，使得0()0f x =，则（ ） A 、115a -<< B 、15a > C 、1a <-或1 5 a > D 、1a <- 10、对任意实数x 规定y 取1 4,1,(5)2 x x x -+-三个值中的最小值，则函数y （ A 、有最大值2，最小值1， B 、有最大值2，无最小值， C 、有最大值1，无最小值， D 、无最大值，无最小值。 11、如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月) 的关系:t y a =,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是2;② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ; ③ 浮萍从2 4m 蔓延到2 12m 需要经过1.5个月; t/月

北京四中10-11第一学期高一数学期中测试

北京四中2010-2011学年度第一学期期中测试高一年级 数学试卷 卷（Ⅰ） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1． 若集合{}0123A =， ，，，{}124B =，，，则集合A B =（ ） A ．{}01234， ，，， B ．{}1234，， ， C ．{}12， D ．{}0 【解析】 A {}01234A B =，，，， 2． 函数()lg(1)f x x =-的定义域是（ ） A ．(2)+∞， B ．(1)+∞， C ．[)1+∞， D ．[)2+∞， 【解析】 B 10x -> ∴1x > 3． 下列各选项的两个函数中定义域相同的是（ ） A ．2 ()f x = ，()g x = B ．()x f x x = ，()1g x = C ．()2f x x =-，()g x = D ．()f x =()0g x = 【解析】 C 对于A ，()f x 的定义域为0x >，()y x 的定义域为R 对于B ，()f x 的定义域为0x ≠，()y x 的定义域为R 对于D ，()f x 的定义域为1x =，()y x 的定义域为R 4． 下列函数中值域是(0)+∞，的是（ ） A ．2()32f x x x =++ B ．21()4 f x x x =++ C ．1 ()|| f x x = D ．1 ()12 f x x = + 【解析】 C 对于A ， 2231()32()24f x x x x =++=+-，()f x 的值域为1 [,)4 -+∞． 对于B ，2211 ()()42 f x x x x =++=+，()f x 的值域为[0,)+∞． 对于C ，()f x 的值域为 (0)+∞，． 对于D ，()f x 的值域为 R ． 5． 函数4 y x = 是（ ） A ．奇函数且在(0)-∞，上单调递增

北京四中2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷

北京四中2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷 卷（Ⅰ）满分100分，卷（Ⅱ）满分50分，共150分 考试时间120分钟 卷（Ⅰ） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 若0a <、0b >，则下列不等式中正确的是（ ） A. a b > B. 22a b < C. < D. 11 a b < 2. 直线10x y ++=的倾斜角、在y 轴上的截距分别是（ ） A. 45°、1 B. 45°、—l C. 135°、1 D. 135°、—1 3. 等比数列{}n a 中，11 9a =，59a =，则3a =（ ） A. 1 B. 3 C. ±1 D. ±3 4. 直线经过坐标为（1，0）的点，且与直线220x y --=平行，该直线的方程是（ ） A. 210x y -+= B. 210x y --= C. 210x y +-= D. 220x y +-= 5. 函数1 ()(2)2f x x x x =+>-在x a =取最小值，则a =（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 1+6. 在△ABC 中，sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则△ABC 的最大角等于（ ） A. 56π B. 34π C. 23π D. 3π 7. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21 n a n n =+，则10S =（ ） A. 1 B. 11 12 C. 10 11 D. 9 10 8. 在△ABC 中，45B =?，b =c =A =（ ） A. 15° B. 75° C. 75°或105° D. 15°或75° 9. 数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，若58k a <<，则k =（ ） A. 6 B. 7 C.8 D.9

最新北京四中届九年级数学总复习专练：《圆》全章复习与巩固—巩固练习(基础

北京四中届九年级数学总复习专练：《圆》全章复习与巩固—巩固练习（基 础）

《圆》全章复习与巩固—巩固练习（基础） 【巩固练习】 一、选择题 1.对于下列命题： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中，正确的有( )． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题正确的是( )． A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦 3．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧长为( ). A.米 B.米 C.米 D.米 4．已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于2，则两圆位置关系是( )． A．外离 B．外切 C．相切 D．内含 5．如图所示，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于E、F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为( )． A．12 B．10 C．4 D．15

第3题图第5题图第6题图第7题图 6．如图所示，方格纸上一圆经过(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为( )． A．(2，-1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1) 7．如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于( )． A．55° B．90° C．110° D．120° 8．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是( )．A．60° B．90° C．120° D．180° 二、填空题 9．如图所示，△ABC内接于⊙O，要使过点A的直线EF与⊙O相切于A点，则图中的角应满足的条件 是________________(只填一个即可).

2020-2021年北京四中高一(上)期中物理含答案

2020北京四中高一（上）期中 物理 一、单项选择题（本大题共8分，每小题3分，共24分。） 1、关于力，下列说法中正确的是 A．只有相互接触的物体间才能产生力的作用 B．重心是物体所受重力的等效作用点，重心一定在物体上 C．弹力是接触力，两个互相接触的物体一定会产生弹力 D．静止的物体也可以受到滑动摩擦力 2、ab为一圆周的直径，一物体先由a点沿圆周运动到b点，再由b点沿另一半圆周回到a点。在这两个运动的过 程中，物体的 A．位移和路程都相同B．位移和路程都不相同 C．位移相同，路程不相同D．位移不相同，路程相同 3、下列“画阴影”的物体受力分析正确的是 4、两个共点力作用于一个物体上，力的方向可以任意调节，其中一个力为20N，另一个力是F，它们的合力是 50N。则F的大小不可能的是 A．20N B．30N C．40N D．50N 5、中国飞人刘翔在第十一届全运会男子110米栏的比赛中，以13秒34的成绩如愿摘金，完美实现了王者归来， 关于比赛的下列说法中正确的是 A．刘翔在110米中点的速度一定等于8.2m/s B．刘翔在13秒34的中间时刻的速度一定等于8.2m/s

C．刘翔在110米终点的速度一定等于8.2m/s D．刘翔比赛中的平均速度约是8.2m/s 6、舰载机通过弹射系统获得初速度，再利用自身发动机在航空母舰的跑道上加速，进而飞离航空母舰。某型号的 舰载机在航空母舰的跑道上加速时，发动机产生的最大加速度为5m/s2，起飞所需的速度为50m/s，跑道长只有90m。为了使飞机能正常起飞，弹射系统使飞机获得的初速度至少为 A．40m/s B．35m/s C．32m/s D．30m/s 7、北京地下铁道某电气列车，以12m/s的速度行驶。快进站时司机刹车使列车做匀减速直至停住。加速度大小为 0.5m/s2。那么从刹车开始经30s列车通过的位移大小是 A．135m B．144m C．180m D．360m 8、如图，小球用细绳系住，绳另一端固定于O 点。现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动， 细绳始终处于拉直状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力N以及绳对小球的拉力T的变化情况是 A．N逐渐减小，T逐渐增大 B．N逐渐减小，T逐渐减小 C．N逐渐增大，T先增大后减小 D．N逐渐增大，T先减小后增大 二、多项选择题（本大题共6小题。每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项正确，漏选 得2分，错选不得分。请将答案填涂在答题卡上） 9、下列关于加速度和速度的说法是正确的是 A．物体的速度变化越大，加速度一定越大B．物体的速度变化越快，加速度一定越大 C．物体的加速度增大，速度可能减小D．物体的加速度增大，速度一定增大 10、甲、乙两物体沿同一直线运动，它们的x—t图如图所示。由图像可知

北京四中2014届九年级数学总复习专练：《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习(基础)

《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（基础） 【巩固练习】 一、选择题 1．将二次函数2 y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )． A ．2 (1)2y x =-+ B ．2 (1)2y x =++ C ．2 (1)2y x =-- D ．2 (1)2y x =+- 2．二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2 4y bx b ac =+-与反比例函数 a b c y x ++= 在同一坐标系内的图象大致为（ ）． 3．抛物线2 y x bx c =++图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为2 23y x x =--，则b 、c 的值为( )． A ．b ＝2，c ＝2 B ．b ＝2，c ＝0 C ．b ＝-2，c ＝-1 D ．b ＝-3，c ＝2 4. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ） A ．2 2y x x =-- B ．211122y x x =-++ C ．211 122 y x x =--+ D ．2 2y x x =-++ 5．已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①2 40b ac ->；②abc ＞0； ③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0．其中，正确结论的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 第4题 第5题

6．已知点(1x ，1y )，(2x ，2y )(两点不重合)均在抛物线2 1y x =-上，则下列说法正确的是( )． A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > 7．在反比例函数a y x = 中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2 y ax ax =-的图象大致是图中的( )． 8．已知二次函数2 y ax bx c =++(其中0a >，0b >，0c <)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧． 以上说法正确的有( )． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 9．已知抛物线2 (0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点1(1,)y -，2(2,)y ，试比较1y 和2y 的大小：1y ________2y （填“＞”，“＜”或“＝”）． 10．抛物线2 y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为___ _____． 11．抛物线2 2(2)6y x =--的顶点为C ，已知y ＝-kx+3的图象经过点C ，则这个一次函数 图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________． 12．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程 220x x m -++=的解为___ _____． 第10题 第12题 第13题 13．如图所示的抛物线是二次函数2 2 31y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是________．

北京市高一化学上学期期末考试试题

北京四中2017-2018学年上学 期高一年级期末考试化学试卷 （满分150分，考试时间100分钟） 可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Cl 35.5 Br 80 Fe 56 I卷 一、选择题（每小题只有 ．．．．．．．，1-10题每小题3分，11-18题每小题2分，共．．1．个选项符合题意 46分） 1. 下列物质与危险化学品标志的对应关系不正确的是 A B C D 乙醇甲烷浓硫酸氢氧化钠 2. 氧化还原反应的实质是 A. 电子转移 B. 元素化合价变化 C. 氧元素参加反应 D. 原子重新组合 3. 下列物质中，属于电解质的是 A. 稀盐酸 B. 铜丝 C. 氯化钠固体 D. 蔗糖 4. 下列冶炼金属的方法错误 ．．的是 A. 加热分解HgO制金属Hg B. 高温下用CO还原赤铁矿炼铁

C. 电解NaCl 溶液制金属Na D. Fe 和4CuSO 溶液湿法炼铜 5. 目前，很多自来水厂用氯气杀菌、消毒。下列关于氯气的性质描述正确的是 A. 黄绿色 B. 无毒 C. 无味 D. 难溶于水 6. 下列氯化物既能由金属和氯气直接化合制得，又能由金属和盐酸反应制得的是 A. 2CuCl B. 2FeCl C. NaCl D. 3FeCl 7. 下列物质露置于空气中不易变质的是 A. NaCl 溶液 B. 4FeSO 溶液 C. 漂白粉溶液 D. 氯水 8. 下列关于钠及其化合物性质的叙述，正确的是 A. 钠与硫酸铜稀溶液混合制备金属铜 B. 氧化钠和过氧化钠都能与水反应，生成物完全相同 C. 过氧化钠是淡黄色固体，可用作呼吸面具的氧气来源 D. 等质量的碳酸钠和碳酸氢钠分别与足量盐酸反应，产生气体质量相同 9. 现有一瓶甲和乙的混合物，已知甲和乙的某些性质如下表所示： 物质 熔点/℃ 沸点/℃ 密度/（3 /cm g ） 水中的溶解性 甲 -98 57.5 0.93 可溶 乙 -84 77 0.90 可溶 据此，将甲和乙互相分离的方法是 A. 蒸馏法 B. 升华法 C. 萃取法 D. 过滤法 10. 下列离子方程式书写正确的是 A. 氯气通入氯化亚铁溶液中：+-+ +=+3222Fe Cl Cl Fe B. 澄清石灰水中通入少量2CO ：O H CaCO CO OH Ca 23222+↓=++-+ C. 大理石与稀盐酸反应：O H CO H CO 2223 2+↑=++- D. 碳酸氢钠溶液与稀盐酸反应：O H CO CO H 2223 2+=+- + 11. 对比3NaHCO 和32CO Na 的性质，下列说法中正确的是 A. 常温下在水中溶解性：323CO Na NaHCO > B. 热稳定性：323CO Na NaHCO <

北京四中2020-2021高一上学期期中考试

北京四中2020-2021高一上学期期中考试 一．选择题 1.已知全集U ，集合{1,2,3,4,5},{3,2}A B ==-，则图中阴影部分表示的 集合为 A．{3} B.{3,2}- C.{2} D.{2,3}-2.不等式20 1x x -≤+的解集是 A．(,1)(1,2]-∞-?- B.[1,2]- C.(,1)[2,)-∞-?+∞ D.(1,2] -3.下列函数中，在区间(0,)+∞上为减函数的是 A．22y x x =- B.||y x = C.21y x =+ D.y = 4.已知函数2()51f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是 A．(2,1)-- B.(1,0)- C.(0,1) D.(1,2) 5.若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递增，则 A．(1)(2)(3)f f f ->> B.(3)(1)(2) f f f >->C.(2)(1)(3) f f f >-> D.(3)(2)(1)f f f >>- 6.已知12,x x 是方程220x -+=的两根，则2212x x += A．2 B.3 C.4 D.5 7.已知,,a b R ∈且,a b >则下列结论中正确的是 A．1a b > B.11a b < C.||||a b > D.33a b >8.“2a =”是“函数()||f x x a =-在区间上[2,)+∞为增函数”的 A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.向某容器中匀速注水时容器水面高度h 随时间t 变化的函数()t f h =的图像如右图 所示，则容器的形状可以是

北京四中2011-学年高一数学上学期期末试题

北京市四中2011-2012学年上学期高一年级期末测验数学试卷 试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分 考试时间：120分钟 卷（I ） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. ?210cos = A. 21 B. 23 C. 21 - D. 23 - 2. 设向量()??? ??==21,21,0,1b a ，则下列结论中正确的是 A. ||||b a = B. 22 =?b a C. b b a 与-垂直 D. b a ∥ 3. 已知??? ??-∈0,2π α，53 cos =a ，则=αtan A. 43 B. 43- C. 34 D. 34 - 4. 已知向量a 、b 满足2||,1||,0===?b a b a ，则=-|2|b a A. 0 B. 22 C. 4 D. 8 5. 若24π θπ<<，则下列各式中正确的是 A. θθθtan cos sin << B. θθθsin tan cos << C. θθθcos sin tan << D. θθθtan sin cos << 6. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，且BC BP BA 2=+，则 A. 0=++PC PB PA B. 0=+PC PA C. 0=+PC PB D. 0=+PB PA 7. 函数14cos 22-??? ??-=πx y 是

A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π2的偶函数 8. 若向量()()1,1,4,3-==d AB ，且5=?AC d ，则=?BC d A. 0 B. －4 C.4 D. 4或－4 9. 若函数()??? ? ?<≤+=20sin 3cos πx x x x f ，则()x f 的最小值是 A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 10. 若()()m x x f ++=?ωcos 2，对任意实数t 都有()t f t f -=??? ? ?+4π，且18-=?? ? ??πf ，则实数m 的值等于 A. 1± B. 3± C. －3或1 D. －1或3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知ααcos 3sin =，则=ααcos sin _________。 12. 已知向量()()()2,1,,1,1,2-=-=-=c m b a ，若() c b a ∥+，则=m ________。 13. ??? ? ?+6tan πα21=，316tan -=??? ??-πβ，则()=+βαtan _________。 14. 若函数()x x f 2sin =，则=?? ? ??12πf _________，，单调增区间是_________。 15. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BD BC 3=，1||=AD ， 则=?AD AC _________。 16. 定义运算b a *为：()() ???>≤=b a b b a a b a *。例如：12*1=，则函数()x x x f cos *sin =的值域为_________。

2017.03北京四中九年级月考数学试题及答案

2017.03北京四中九年级月考数学试题及答案

1 E D C B A 初三数学统练试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3分） 1. 长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700 000米.将6700 000用科学记数法表示应为（ ） A. 610×67 B. 610×7.6 C. 710×7.6 D. 610×67.0 2. 如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n 与q 互为相反数，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ） A ．p B ．q C ．m D ．n 3. 如左图是一个几何体的三视图，那么这几何体的展开图可以是（ ） 4. 如图，△ABC 中，∠A =90°，点D 在AC 边上，DE ∥BC ， 若∠1=35°，则∠B 的度数为（ ） A . 25° B. 35° C. 55° D. 65° 5.已知y x =3,则2 2y xy x 的值为（ ） A.12 B.9 C.6 D.3 6. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） 7. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的可估计为（ ） A ．3000条 B ．2200条 C ．1200条 D ．600条 A B C D 正 视 图 左 视 图 俯 视 图 A ． B ． C ． D ．

16. 在数学课上，老师提出如下问题： 小云的作法如下： 请回答：小云的作图依据是__ 三、解答题（本题共72 分，第17—26 题，每小题5 分，第27 题7 分，第28 题7 分，第29 题8 分） 17. 计算：1 0) 2 1 ( 3 45 cos 2 )5 (- + - - ? + - π． 18．已知2410 x x +-=，求代数式22 (2)(2)(2) x x x x +-+-+的值. 19．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90?，点D在BC上，且BD=AC，过点D作DE⊥AB于点E，过点B作CB的垂线，交DE的延长线于点F．求证：AB=DF． 尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行 线． 已知：直线l及其外一点A． 求作：l的平行线，使它经过点A． （1）在直线l上任取一点B，以点B为圆 心，AB长为半径作弧，交直线l于点C； （2）分别以A，C为圆心，以AB长为半 径作弧，两弧相交于点D； （3）作直线AD．

北京四中2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

北京四中2020-2021学年九年级上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列图标中，是中心对称的是( ) A ． B ． C ． D ． 2．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣3） B ．（﹣2，3） C ．（2，3） D ．（﹣2，﹣3） 3．已知3x=2y ,那么下列式子中一定成立的是（ ） A ．x+y=5 B ．32x y = C ．23x y = D ．32x y = 4．如图，在△ABC 中，点D 、 E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =6， BD =2，AE =9，则EC 的长是 A ．8 B ．6 C ．4 D ．3 5．如图，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90° ，得到''A B C ?，连接'AA ，若∠1=25°，则∠BAC 的度数是( ) A ．10° B ．20° C ．30° D ．40° 6．已知二次函数y ＝－3x 2＋1的图象如图所示，将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的表达式为( )

A ．y ＝－3x 2－1 B ．y ＝3x 2 C ．y ＝3x 2＋1 D ．y ＝3x 2－1 7．将抛物线2(1)2y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 8．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过点A ，B ，C ．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x =－2时，y 取最大值；③当m <4时，关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =m 必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c (k ≠0)经过点A ，C ，当kx+c> ax 2＋bx ＋c 时，x 的取值范围是－4

2018北京四中高一(上)期末英语

2018北京四中高一（上）期末 英语 第一卷（三部分, 共90分） 第一部分：听力（共两节, 满分15分） 第一节（共5小题；每小题1分, 共5分） 听下面5段对话。每段对话后有一道小题, 从每题所给的A、B、C三个选 项中选出最佳选项。听完每段对话后, 你将有10秒钟的时间来回答有关小题和 阅读下一小题。每段对话你将听一遍。 1. Which of the following does the woman suggest? 2. What kind of novels does the woman like most? A. Fantasies. B. Science fictions. C. Detective stories. 3. When do high schools usually start? A. At 8：30AM. B. At 8：15AM. C. At 7：30AM. 4. What does the man invite the woman to do? A. Plan a wedding. B. Watch a new movie. C. Go to a concert. 5. Where does the conversation most probably take place? A. At a gas station. B. At a car wash. C. At a repair shop. 第二节（共10小题；每小题1分, 共10分） 听下面4段对话或独自。每段对话或独白后有几道小题, 从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。听每段对话或独白前, 你将有5秒钟的时间阅读每小题。听完后, 每小题将给出5秒钟的作答时间。每段对话或独白你将听两遍。 听第6段材料, 回答第6至7题。 6. What's the man's favorite food? A. Fruit salad. B. Apple pie.